点线圆定理与角内切圆.doc

点线圆定理与角内切圆关键词：几何、角内切圆。摘要：本文介绍我在扁锥几何学第一章引论中讲述的点线圆定理和角内切圆的性质及公式。pmnaboo12图1-1 在扁锥几何学第一章引论中，我提出了点线圆定理和角内切圆、角内切椭圆概念，由此开创了扁锥几何学。现介绍如下：如图11所示，mn、ab是平面上的两条直线，点p是mn和ab间的任意一点，笔者证明（证明略）过p点可作且只可作二圆与二直线mn，ab相切。由于此性质反应了点、线、圆之间的关系，笔者命名为“点线圆定理”，叙述为：通过平面上二定直线之间任意一点可作且只可作二圆和这二定直线相切。 推论：通过一个角的角平分线上的任意一点可作且只可作二圆与这个角的两边相切，且此二圆的半径是确定的。 受推论的启示笔者提出了下面的定义。 定义：从平面上任一点o引两条不重合的射线，构成一大小为2的角（o900）,在角内有有限或无限个圆与角的两边相切,且这些圆也依次相切,如图12所示，这样的圆称为角内切圆。ppppprrrrr10000013322123444555图1-2o 离角顶点o最近的圆记为o1，其余的依次记为o2，o3，on，；每个圆的半径相应记为r1，r2，rn，。 角内切圆具有下面性质： 10、所有角内切圆的圆心都在该角的角平分线上，圆与圆的切点也在角平分线上。 20、所有角内切圆的个数组成的集合是可数的，即它可与自然数一一对应。1+sin1-sin 30、只要第一个圆的半径确定，则第n个圆（n=1，2，3）的半径就是确定的。定理：夹角为2的角内切圆的半径r1确定，则第n个角内切圆半径rn已是确定的,且满足rn=r1n-1.( 其中= ) 此定理的证明较简,这里不在赘述,有兴趣的读者可自已试证. 提出角内切圆之后,很自然地联想到一个角内有一些椭圆与角的两边相切,且这些椭圆也相切的情况,于是笔者又提出了角内切椭圆的概念。 定义:在平面上的一个角内,如果有一些椭圆与构成这个角的两边相切,且这些椭圆也依次相切,这样的椭圆叫角内切椭圆。椭圆的长轴与角平分线重合的叫横角内切椭圆，椭圆的长轴与角平分线垂直的叫纵角内切椭圆。00120mnr 奇怪的是经过作图，笔者发现角内切椭圆不象角内切圆那样是可数的，相邻两个角内切椭圆的离心率不相等，随着所作横角内切椭圆的增加，所作的横角内切椭圆的形态逐渐变为一条直线段或是一个圆，也就是说角内切椭圆不能无限地作下去，它以线段或圆为“极限图形”。这种奇妙现象不是虚拟或作图错误，实际中还真能找到这种现象的模型，如下图是牙膏形体的尾部部分，它的一端是圆的，圆心记为0，半径为r，另一端是扁的其长为mn，我把这种形体称为“扁锥”。图中直线0102过0点且与扁锥底面垂直叫扁锥的轴。若用垂直于扁锥轴的平面去截扁锥，则与扁锥侧面的交线称为扁锥面的横截线。用x表示与0点的距离（0xh），h是0点到线段mn的距，离即扁锥的高。则当x=0时，横截线是圆；当0xh时，横截线是椭圆；当x=h时，横截线是线段mn。除此之外,上述变化现象已可以用平面截圆锥而得,由此笔者认为图形的变化是存在极限的.若把一种图形是另一种图形变化趋向的现象用“形变极限”来描述,则形变极限是客观存在的一种几何规律。正是对扁锥的进一步研究，笔者创立了扁锥几何学。参考文献：（1）