天津理工大学概率论与数理统计第六章习题答案详解.doc

概论第六章 数理统计的基本概念一.填空题1.若是取自正态总体的样本， 则服从分布 .2.样本来自总体则 ； _。其中为样本均值，。3.设是来自正态总体的简单随机样本， ，则当 时， 时，统计量服从分布，其自由度为 2 . 4. 设随机变量与相互独立, 且都服从正态分布, 而和 是分别来自总体和的简单随机样本, 则统计量. 5. 设相互独立, 与分别 为X与Y的一个简单随机样本, 则服从的分布为 6. 设随机变量, 随机变量, 且随机变量X与Y相互独立, 令, 则F(1,n)分布. 解：由, 得. 因为随机变量, 所以 再由随机变量X与Y相互独立, 根据F分布的构造, 得7. 设是总体的样本, 则统计量服从的分布为 (需写出分布的自由度).解：由知, 于是8. 总体为总体X的一个样本, 设服 从 F(1,1)分布(说明自由度) 解：由, 有, 又, 故 因为与独立, 所以9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”) (1) 若 总 体 的 平 均 值 m与 总 体 方 差 s2 都 存 在 ， 则 样 本 平 均 值 是 m 的 一 致 估 计。 ( 对 ) (2) 若 则 称 为 q 的 渐 近 无 偏 估 计 量 .( 错 )(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在， 是X 的一个样本 ， 则统计量是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )(4) 若 且 则 以 估 计 q 较 以 估 计 q 有 效 。 ( 错 ) (5) 设为q 的估计量，对任意e 0，如果 则称 是q 的一致估计量 。 ( 对 ) （6）样本方差是总体中s2 的无偏 估计量。是总体X中s2的有偏估计。 （ 对 ）10.设是取自总体的一个样本，则下面三个均值估计量 都 是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 最有效.二、选择题1、设总体服从正态分布，其中已知，未知，是取自总体的一个样本，则非统计量是( D ).A、B、C、D、2、设是来自正态总体的简单随机样本，则服从自由度为的t分布的随机变量是( B ).A、 B、 C、 D、3、设，为的样本，则( C ).A、B、C、D、4、设是总体的样本，分别是样本的均值和样本标准差，则有( C )A、 B、 C、 D、 5. 简 单 随 机 样 本 () 来 自 某 正 态 总 体， 为 样 本 平 均 值， 则 下 述 结 论 不 成 立 的 是 ( C )。( A ) 与 独 立 ( B ) 与 独 立 ( 当 )( C ) 与 独 立( D ) 与 独 立 ( 当 )6. 设 ， 来自总体 来自总体 ， 且 X 与 Y 独 立。 则如下结论中错误的是 ( D )。( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 7. 设是取自总体的样本，则可以作为的无偏估计量是( A ).A、B、C、D、8. 3、设是来自母体的容量为3的样本，则下列说法正确的是( B ).A、都是的无偏估计且有效性顺序为B、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为C、都是的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为D、不全是的无偏估计，无法比三. 计算题1、在总体中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在 29到31之间取值的概率.解：因，故，即2、设某厂生产的灯泡的使用寿命(单位：小时)，抽取一容量 为9的样本，其均方差，问是多少？解：因未知，不能用来解题，而，而 由表查得3、设为总体的一个样本，求.解：4、设总体，从此总体中取一个容量为6的样本， 设，试决定常数，使随机变量服 从分布.解：，即时，5、设随机变量服从分布，求的分布. 解：因为，其中，6. 利 用 t 分 布 性 质 计 算 分 位 数 t0.975( 50 ) 的 近 似 值 。 ( 已 知 x N ( 0， 1 ) ， p ( x 1.96 ) = 0.975 ) 解: 当 n 足 够 大 时，t 分 布 近 似 N (0，1), 当 u N (0，1 ) 时 ，分 位 数 u1-a 近 似 t1-a( n ) 。 而 p u u0.975 =0.025 时 ， u0.975 = 1.926 2 ， t0.975 ( 50 ) 27. 设 Xn为 来 自 有 均 值 m 和 r 阶 中 心 矩 mr 的 总 体 X 的 样 本，试证明。又此式说明总体的r阶 矩与样本r 阶矩有什么关系 ？证 ： 上 述 结 果 表 明 总 体 的 r 阶 矩 与 样 本 的 r 阶 矩 相 等 , 说 明 样 本 的 r 阶 中 心 矩 是 总 体 X 的 r 阶 中 心 矩 mr的 无 偏 估 计 。8. 设总体, 为来自总体X的样本. 令.试确定常数C, 使CY服从分布, 并指出其自由度.解：由, 得又互相独立, 故 且二者独立. 从而有 得分布的自由度为2. 9. 设分别是来自正态的总体X与Y的样本,求.解:方法1:由 可得 . 方法2: .10.设 是 取 自 母 体 N ( m，s2 ) ，容 量 为 n的 两 个 相 互 独 立 的 样 本 X1 、X2、 、 Xn 及 Y1、 Y2、 、Yn 的 均 值 ， 试 确 定 n