2019线性代数辅导讲义练习参考答案（一）.pdf

2019 线性代数辅导讲义 练习参考答案 - 2018 年 6 月 7 日 - 金榜图书编辑部数学组 微信公众号 Contents 第 2 页今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 第 15 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 第 18 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 第 26 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 第 28 页今年考题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 第 42 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 第 45 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 第 49 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 第 52 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 第 69 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 第 73 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 第 75 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 第 77 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 第 78 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 第 94 页今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 第 98 页 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 第 100 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 第 103 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 第 109 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 第 125 页今年考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 第 143 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 第 145 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 第 150 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 第 158 页今年考题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 第 164 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 第 175 页. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 限于能力和时间，难免有些错漏，恳请大家指正. 更欢迎大家分享不同的解法. 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 第第 2 页今年考题页今年考题 (2018,3) 答案2 解析: A1,2,3 = 1+ 2,2+ 3,1+ 3 = 1,2,3 101 110 011 , 因为 1,2,3线性无关，所以 1,2,3 可逆，为了方便，记 P = 1,2,3, 则 AP = P 101 110 011 , () A = P 101 110 011 P 1, 即 A 101 110 011 , 则有 （相似的矩阵，行列式值相等） |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? 101 110 011 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? 101 011 011 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? 11 11 ? ? ? ? ? = 1 (1) = 2. 也可以就得出的关系式 () 两边取行列式， |A|P| = |P| ? ? ? ? ? ? ? ? 101 110 011 ? ? ? ? ? ? ? ? , P 可逆，则 |P| = 0. |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? 101 110 011 ? ? ? ? ? ? ? ? = 2. (2018,1) 答案1 解析: 设 A 的特征值分别为 1,2,1= 2. 1,2线性无关，则 1,2属于不同特征值的特征向量. （如果 1,2是同一个特征值的特征向量，则该特征值至少是二重的，与题设特征值不同矛盾.） 不妨设 1,2对应的特征向量分别为 1,2，则 A1= 11,A2= 22. 代入 A2(1+ 2) = 2 11+ 2 22= 1+ 2 整理，得 (2 1 1 ) 1+ (2 2 1 ) 2= 0 1,2线性无关，系数全为 0. 2 1 1 = 0,22 1 = 0. 所以， |A| = 12= 1. 3 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 第第 15 页页 答案4+ 3+ 22+ 3 + 4 解析: 行列式的计算方法很多. 在计算时, 通过观察行列式的特点来简化计算. 比如本题按第一行展开就没 有按第一列展开计算方便. 按第一列展开后三角形行列式可以直接得出结果. 这里按第四列展开为例计算一下. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 432 + 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ( + 1) ? ? ? ? ? ? ? ? 10 01 00 ? ? ? ? ? ? ? ? + (1)4+3(1) ? ? ? ? ? ? ? ? 10 01 432 ? ? ? ? ? ? ? ? = ( + 1)3+ ( ? ? ? ? ? 1 32 ? ? ? ? ? + (1)3+14 ? ? ? ? ? 10 1 ? ? ? ? ? ) = 4+ 3+ 22+ 3 + 4. 也可以利用行列式的性质 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 432 + 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 432+ + 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 3 行的 + 1倍加到第 4 行 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 43+ 2+ 2 + 300 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 2 行的2+ + 2倍加到第 4 行 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 4+ 3+ 22+ 3 + 4000 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 1 行的3+ 2+ 2 + 3倍加到第 4 行 = 4+ 3+ 22+ 3 + 4.第 4 行展开 第第 18 页页 （1）答案1 解析: 矩阵不可逆, 矩阵行列式为零. |A| = 0,|A 2E| = 0,|3A + 2E| = 0,（特征值|E A| = 0,特征值的相关知识见第五章） 矩阵 A 的特征值为 = 0,2,2 3 矩阵 A + E 的特征值为 = 1,3, 1 3, （3 阶矩阵 3 个特征值.） 行列式 |A + E| 等于特征值乘积, |A + E| = 1 3 1 3 = 1. 4 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 （2）答案24 解析: 相似矩阵有相同的特征值, 所以矩阵 B 的特征值为 1,2,3,B + E 的特征值为 2,3,4. |B + E| = 2 3 4 = 24. 第第 26 页页 答案(1,0, ,0)T 解析: 线性方程组的系数行列式 D = ? ?AT?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1a1an1 1 1a2an1 2 . . . . . . . . . 1anan1 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 16j 0 又因 AA=|A|E 即 AAT=|A|E 两边取行列式, 有 |A|AT| = |A|E| |A|2= |A|3 |A| 等于 0 或 1. 从而 3a2 11= 1, 故 a11= 3 3 . 第第 45 页页 答案A 解析: 因为 B = E + AB, 所以 B AB = E,B (E A) = E,B = (E A)1 又因为 C = A + CA, 所以 C CA = A,C (E A) = A,C = A(E A)1, 6 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 所以 B C = (E A)1 A(E A)1= (E A)(E A)1 = E 正确答案选（A）. 第第 49 页页 答案B 解析: 用初等矩阵 P 左乘矩阵 A, 所得矩阵 PA 等同于对矩阵 A 做一次相应的行初等变换所成矩阵； 用初等矩阵 P 右乘矩阵 A, 所得矩阵 AP 等同于对矩阵 A 做一次相应的列初等变换所成矩阵. 根据题设条件 Q = P 100 110 001 = PE21(1). 则 Q1AQ = (PE21(1)1A(PE21(1) = (E21(1)1P 1APE21(1) = 100 110 001 100 010 002 100 110 001 = 100 010 002 初等矩阵的逆矩阵形式记住最好. 第第 52 页页 答案 （I）a = 0, （II） 312 111 211 . 解析: （I） A3= O ? ?A3?= 0 |A| = 0 而 |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? a10 1a1 01a ? ? ? ? ? ? ? ? = a2, 故 a = 0. （II） X(E A2) AX(E A2) = E (E A)X(E A2) = E E A,E A2必可逆. 7 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 X = (E A)1(E A2)1 = 110 111 011 1 001 010 102 1 = 211 111 110 201 010 100 = 312 111 211 . 第第 69 页页 证明: 设 k11+ k22+ l11+ l22+ l33= 0(1) (1) 式左乘 A, 得 k1A1+ k2A2+ l1A1+ l2A2+ l3A3= 0 k111+ k212+ l121+ l222+ l323= 0(2) 由 1,2不同，所以不全为 0, 不妨设 2= 0. (1) 式乘 2, 得 k121+ k222+ l121+ l222+ l323= 0(3) (2) (3) 得 k1(1 2)1+ k2(1 2)2= 0(2) 1,2不同，所以 1 2= 0, 即 k11+ k22= 0. 又因为 1,2线性无关，所以 k1= 0,k2= 0. 代入 (1) 式 l11+ l22+ l33= 0. 同样可得，l1= 0,l2= 0,l3= 0. 所以，1,2,1,2,3线性无关. 第第 73 页页 解析: 设数 k1,k2,k3, 使得 k11+ k22+ k33= . 记 A = 1,2,3, 则 能否由 1,2,3线性表出就是看方程组 Ax = 是否有解. 对矩阵 A, 做初等行变换, 1111 2a + 2b 23 03aa + 2b3 1111 0ab1 03aa + 2b3 1111 0ab1 00a b0 8 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 （I）当 a = 0 时, A, 1111 00b1 00b0 1111 00b1 0001 r(A) = r(A,) , 故方程组无解, 不能由 1,2,3线性表出. （II）当 a = 0 且 a = b 时, A, 1111 0ab1 00a b0 1001 1 a 010 1 a 0010 r(A) = r(A,) = 3, 方程组有唯一解, 求得 k1= 1 1 a,k2 = 1 a,k3 = 0. 即 = ( 1 1 a ) 1+ 1 a2. （III）当 a = 0 且 a = b 时, A, 1111 0aa1 0000 1001 1 a 011 1 a 0000 r(A) = r(A,) = 2, 方程组有无穷多解, 求得 k1= 1 1 a,k2 = 1 a + k,k3= k,k为任意常数 即 = ( 1 1 a ) 1+ ( 1 a + k ) 2+ k3,k为任意常数. 第第 75 页页 解析: （I）方法一秩 101 013 115 101 013 014 101 013 001 r(1,2,3) = 3, 113 124 13a 113 011 02a 3 113 011 00a 5 1,2,3不能由 1,2,3线性表出, 显然要 1,2,3的秩要小于 3. 故 a = 5. 方法二不能线性表示, 方程组无解 113 124 13a ? ? ? ? ? ? ? ? 101 013 115 113 011 02a 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 101 112 014 113 011 00a 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 101 112 210 9 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 故 a = 5 时, 方程组 (1,2,3)X = (1,2,3) 无解, 1,2,3不能由 1,2,3线性表出. （II）设 k111+ k122+ k133= 1, k211+ k222+ k233= 2, k311+ k322+ k333= 3, 解此线性方程组 101 013 115 ? ? ? ? ? ? ? ? 113 124 135 101 013 014 ? ? ? ? ? ? ? ? 113 124 022 101 013 001 ? ? ? ? ? ? ? ? 113 124 102 100 010 001 ? ? ? ? ? ? ? ? 215 4210 102 解得, k11= 2, k12= 4, k13= 1, , k21= 1, k22= 2, k23= 0, , k31= 5, k32= 10, k33= 2. 即 1= 21+ 42 3, 2= 1+ 22, 3= 51+ 102 23. 第第 77 页页 (1)答案A 解析: 向量组 I 可由向量组 II 线性表出, r(I) 6 r(II) 6 s 若向量组 I 线性无关, 则 r(I) = r, 故 r 6 s. 选（A）. 反例排除 (B)(C)(D). (B), (I) : (1,0,0),(0,2,0),(3,4,0) 线性相关,r = 3. (II) : (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 可线性表出 (I),s = 3. (C), (II) : (1,0,0),(0,1,0) 线性无关, s = 2. (I) : (1,0,0),(0,2,0),(3,4,0); r = 3. (D), (I) : (1,0,0),(0,2,0),(3,4,0) ,r = 3. (II) : (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,2,0),(3,4,0) 线性相关, 可表出 (I),s = 5. (2)答案B 10 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 解析: 矩阵可以改写成列向量、元素的形式, 故有 C = AB = 1,2, ,n b1k b2k . . . bnk = ,k, k= b1k1+ b2k2+ + bnkn,k = 1,2, ,n C 的列向量可以由 A 的列向量线性表出. B 可逆, 可得 A = CB1. 类似,A 的列向量可以由 C 的列向量线性表出. 综上, C 的列向量与 A 的列向量等价. 第第 78 页页 证明: 设 1,2, ,s的秩为 r, 记其极大线性无关组为 i1,i2, ,ir. 1,2, ,t的秩为 q, 记其极大线性无关组为 i1,i2, ,iq. 1,2, ,s可以由 1,2, ,t线性表出, 可以推出, i1,i2, ,ir可以由 i1,i2, ,iq线性表出, 定理 3.5 推论, r 6 q 即 r(1,2, ,s) 6 r(1,2, ,t). 第第 94 页今年考题页今年考题 解析: （I）初等列变换, 则 |A| = l|B|,l = 0, ? ? ? ? ? ? ? ? 12a 130 27a ? ? ? ? ? ? ? ? = l ? ? ? ? ? ? ? ? 1a2 011 111 ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? 12a 01a 033a ? ? ? ? ? ? ? ? = l ? ? ? ? ? ? ? ? 1a2 011 0a + 13 ? ? ? ? ? ? ? ? , 0 = l(2 a), 得 a = 2. （II）P 是方程组 AX = B 的解. 122122 130011 272111 122122 012111 000000 106344 012111 000000 11 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 得 P = 3 6k14 6k24 6k3 1 + 2k11 + 2k21 + 2k3 k1k2k3 , k1,k2,k3为任意常数. |P| = ? ? ? ? ? ? ? ? 3 6k14 6k24 6k3 1 + 2k11 + 2k21 + 2k3 k1k2k3 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? 344 111 k1k2k3 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? 011 111 0k2 k1k3 k1 ? ? ? ? ? ? ? ? = k3 k2= 0. 第第 98 页页 答案B 解析: A= O,r(A) 1, 伴随矩阵的秩的关系, r(A) = n,r(A) = n, 1,r(A) = n 1, 0,r(A) n 1. 知 r(A) = n或n 1. 非齐次方程组有不同的解, 即有多个解, r(A) n. 故 r(A) = n 1, 所以齐次线性方程组的基础解系非零向量个数为 n r(A) = 1, 选（B）. 第第 100 页页 答案D 解析: Ax = 0 的基础解系为 (1,0,2,0)T, 即 n r(A) = 1, r(A) = n 1 = 3 4, 知 |A| = 0. AA = |A|E = O, 知矩阵 A 的每一列都是方程组 Ax = 0 的解, 即 1,2,3,4 是方程组 Ax = 0 的解. 由伴随矩阵的秩的关系, 得 r(A) = 1, 12 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 故方程组 Ax = 0 的基础解系含 3 个线性无关的解. (1,2,3,4) 1 0 2 0 = 1 23= 0, 1,3线性相关. 排除（C）. 正确答案选（D）. 第第 103 页页 解析: 由 AB = O 得 r(A) + r(B) 6 3. 又 A = O,B = O, 故 1 6 r(A) 6 2,1 6 r(B) 6 2. 当 k = 9 时,r(B) = 2. 此时, r(A) = 1. n r(A) = 3 1 = 2. 因 AB = O 知 B 的列向量是 Ax = 0 的解. 故 Ax = 0 的通解为 k1(1,2,3)T+ k2(3,6,k)T,k1,k2为任意常数. 当 k = 9 时,r(B) = 1. 此时,r(A) = 1 或 r(A) = 2. （1）当 r(A) = 1 时, Ax = 0 与 ax + by + cz = 0 同解. 由 n r(A) = 2, (不妨设 a = 0) , 则 Ax = 0 通解为 k1(b,a,0)T+ k2(c,0,a)T,k1,k2为任意常数. （2）当 r(A) = 2 时， 由 n r(A) = 1, 则 Ax = 0 通解为 k1(1,2,3)T,k1为任意常数. 第第 109 页页 （I）证明： 因为 3= 1+ 22, 所以 1,2,3线性相关. 故 |A| = 0, 有特征值 = 0. 设 A 的另外两个特征值为 1,2, 且 1= 2= 0, 则 A 100 020 000 . 所以,r(A) = 2. （II）由 3= 1+ 22有 1+ 22 3= 0, A 1 2 1 = (1,2,3) 1 2 1 = 1+ 22 3= 0 13 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 得 (1,2,1)T是 Ax = 0 的一个解. 又 A 1 1 1 = (1,2,3) 1 1 1 = 1+ 2+ 3= 得 (1,1,1)T是 Ax = 的一个解. 由（I）r(A) = 2, 知方程组 Ax = 0 的基础解系只有 1 个解向量,Ax = 的通解为 k(1,2,1)T+ (1,1,1)T,k为任意常数. 第第 125 页今年考题页今年考题 （2018,1,2,3）答案A 解析: 题设所给出的矩阵记为 P，P 的特征值是 1,1,1. E P = 010 001 001 , 秩为 2, 对应线性无关的特征向量 3 2 个. 分别分析四个选项的矩阵，特征值都 1（3 重). 只有（A）中的线性无关的特征向量是 1 个，其他都是有 2 个线性无关的特征向量. （2018,2）答案2 解析: A1,2,3 = 21+ 2+ 3,2+ 23,2+ 3 = 1,2,3 200 111 121 , 因为 1,2,3线性无关，所以 1,2,3 可逆，为了方便，记 P = 1,2,3, 则 AP = P 200 111 121 ,A = P 200 111 121 P 1, 即 A 200 111 121 , 则有（相似的矩阵有相等的特征值） ? ? ? ? ? ? ? ? 200 1 11 12 1 ? ? ? ? ? ? ? ? = ( 2) ? ? ? ? ? 11 2 1 ? ? ? ? ? = ( 2)(2 2 + 3). 解得实特征值为 2. 14 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 第第 143 页页 答案B 解析: A(1+ 2+ 3) = A(1,2,3) 1 1 1 = AP 1 1 1 由 P1AP = 000 010 002 , 知 AP = P 000 010 002 = (1,2,3) 000 010 002 = (0,2,23) A(1+ 2+ 3) = A(1,2,3) 1 1 1 = (0,2,23) 1 1 1 = 2+ 23. 也可以由 P1AP = 000 010 002 , 知矩阵 A 的特征值为 0,1,2, 对应的特征值为 1,2,3. A1= 0,A2= 2,A3= 23 则 A(1+ 2+ 3) = 2+ 23. 第第 145 页页 解析: 矩阵 A 可逆，则 |A| = 0,A可逆， = 0. A = , 两边同时左乘 A, AA = A, |A| = A, A = |A| , 211 121 11a 1 b 1 = |A| 1 b 1 , 3 + b 2 + 2b 1 + b + a = |A| 1 b 1 , 对应分量相等， 3 + b= |A| (1) 2 + 2b= |A| b(2) 1 + b + a= |A| (3) (1)(3) 式, 3 + b = 1 + b + a, 得 a = 2. |A| = 4. 15 2019 线性代数辅导讲义练习参考答案 (1)(2) 式,2 + 2b = (3 + b)b, 得 b2+ b 2 = 0, 即 b = 2 或 b = 1. b = 2 时， = 4；b = 1 时， = 1. 第第 150 页页 答案A 解析: 重要的考点：T与 T 谁是矩阵, 谁是数, 有什么特点. T是秩为 1 的矩阵, 且是对称矩阵, 又 是单位列向量, 故 T = 1, T = (T) = 故 T的特征值为 1,0, ,0(n 1个), 故 E T的特征值为 0,1, ,1(n 1个). 因此, 矩阵 E T不可逆. 回顾一下讲义定理 2.3 . 要熟练灵活运用. 第第 158 页今年考题页今年考题 解析: (I) 二次型都是平方项的和，要等于 0，各项分别等于 0. x1x2+ x3= 0 x2+ x3= 0 x1+ax3= 0 解方程组，矩阵行初等变换 111 011 10a 111 011 01a 1 111 011 00a 2 当 a = 2 时，方程组只有零解； 当 a = 2 时，方程组通解为 k(2,1,1)T,k 为任意常数. (II) 当 a = 2 时， 令 y1=x1x2+ x3 y2=x2+ x3 y3=x1+ax3 且 111 011 10a 可逆. 二次