“哥德巴赫猜想”证明(完整版).pdf

1 “哥德巴赫猜想”证明“哥德巴赫猜想”证明 王若仲 （王洪） 务川自治县实验学校贵州 564300 摘要摘要：对于“哥德巴赫猜想” ，我们探讨一种简捷的初等证明方法，要证明任一不小 于 6 的偶数均存在有“奇素数+奇素数”的情形，我们把这样的情形转换到利用奇合数的个 数来加以理论分析，就是通过顺筛和逆筛的办法，顺筛就是筛除掉不大于偶数 2m（m3） 的全体奇合数，逆筛就是筛除掉偶数 2m（m3）分别减去不大于偶数 2m（m3）的全体奇 合数而得到的全体奇数， 其中主要是利用孙子高斯定理以及同余的性质， 得到一个筛法公 式：Y=m（1-d1p1） （1-d2p2） （1-d3p3）（1-dt-1pt-1） （1-dtpt） ，其中 di=1 或 2（i=1， 2，3，t） ，m 为任意给定的一个比较大的正整数（m3） ；p1，p2，p3，pt均为不大 于m2的全体奇素数（pi pj，ij，i、j=1，2，3，t） ，tN。我们利用这个筛法 公式，就能够明确的判定在任意设定的集合1，3，5，7，9， （2m-1）中，完全可以筛 除掉集合1，3，5，7，9， （2m-1）中的全体奇合数，完全可以筛除掉偶数 2m 分别减 去集合1，3，5，7，9， （2m-1）中的每一个奇合数而得到的全体奇数；其中集合1， 3，5，7，9， （2m-1）通过这样筛除后，最后集合中剩下的奇数必定只满足“奇素数+ 奇素数=2m”的情形。并由此判定 “哥德巴赫猜想”成立。 关键词：哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；顺筛；逆筛 中图分类号：0156 引言 哥德巴赫猜想：任何一个不小于 6 的偶数均可表为两个奇素数之和。 我们首先介绍“哥德巴赫猜想”历史上的研究方法及其进展，德国数学家哥 德巴赫在 1742 年提出“哥德巴赫猜想”，历史上研究“哥德巴赫猜想”的方法 及进展。 对于 “哥德巴赫猜想” 历史上的研究方法， 比较有名的大致有下面四种： （1） 筛法，（2）圆法，（3）密率法，（4）三角求和法。其中：筛法是求不超过自 然数（1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3pi，b=q1q2q3 qj，筛法的基本出发点，即加权筛法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率 法（概率法）是函数估值法。 解决哥德巴赫猜想相当困难。直至今日，数学家对于强哥德巴赫猜想的完整 证明没有任何头绪。事实上，从 1742 年这个猜想正式出现，到二十世纪初期， 在超过 160 年的时间里，尽管许多数学家对这个猜想进行了研究，但没有取得任 何实质性的进展，也没有获得任何有效的研究方法。二十世纪以前对哥德巴赫猜 想的研究，仅限于做一些数值上的验证工作，提出一些等价的关系式，或对之做 一些进一步的猜测。1900 年，德国著名数学家希尔伯特在第二届国际数学家大 会上提出的著名的二十三个希尔伯特问题之中的第八个问题， 就包括了哥德巴赫 猜想和与它类似的孪生素数猜想。希尔伯特的问题引发了数学家的极大兴趣，但 对于哥德巴赫猜想的研究仍旧毫无进展。1912 年第五届国际数学家大会上，德 国数论专家爱德蒙朗道曾经说过，即使要证明每个偶数能够表示成 K 个素数的 2 和，不管 K 是多少，都是数学家力所不及的。1921 年，英国数学家戈弗雷哈 罗德哈代曾经在哥本哈根数学会议的一次演讲中声称： “哥德巴赫猜想的困难 程度可以与任何一个已知的数学难题相比”。 对于“哥德巴赫猜想”的研究进展，我们从四个途径来阐述。 途径一：1920 年挪威数学家布朗提供了一种证明的思路，即殆素数，他使 用推广的“筛法”证明了所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且两个数 的质因数个数都不超过 9 个。这个方法的思路是：如果能将其中的 9 个缩减到 1 个，就证明了哥德巴赫猜想。布朗证明的命题被记作“9+9”，以此类推，哥德 巴赫猜想就是“1+1”。偶数 2m= a1a2a3ai+ b1b2b3bj。 殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设 N 是偶数，虽然现在不能证明 N 是两 个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，N=A+B，其中 A 和 B 的 素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过 10。现在用“a+b”来表示如下 命题： 每个大偶数 N 都可表为 A+B，其中 A 和 B 的素因子个数分别不超过 a 和 b。 在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。 我们来看“a+b”问题的推进，布朗使用的“筛法”，其原型为埃拉托斯 特尼筛法，早在公元前 250 年就出现在古希腊。原始的筛法可以用来寻找一定范 围内（比如说 2 到 100）的素数：先将第一个数 2 留下，将它的倍数全部划掉； 再将剩余数中最小的 3 留下，将它的倍数全部划掉；继续将剩余数中最小的 5 留下，将它的倍数全部划掉，以此直至划无可划为止。这个过程就好像一遍 又一遍的筛掉不需要的数字，故名筛法。布朗用到的推广筛法也是基于同样的理 念，给定一个需要筛选的集合，一个用来作为筛选标准的“筛孔”，即一系列 素数的集合，以及一个范围 。记为： ，那么可以定义筛函数： 表示集合里所有与互质的数的个数， 也就是筛去了内小于 的素数的所 有倍数之后还剩下的数字的个数。 布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中“素数”的要求，将它改为所谓的“殆 素数”，即“由不太多的质因数相乘得到的合数”，布朗在 1919 年证明了，每 个充分大的偶数都可以写成两个数之和， 并且这两个数每个都是不超过九个质因 数的乘积。这个命题可以转变为用筛函数来表达。假设有充分大的偶数，令 集合为，为所有素数的集合， ，那么筛函数就是满足 3 的数对的个数。其中的 和都与互质，也就是说它 们的质因数都要大于等于，因此它们的质因数个数至多有 个。所以对于 来说筛函数大于 0，等价于命题“a+a”成立。如果能证明 的时候筛函数大于 0，就等于证明了关于偶数的哥德巴赫猜想。 对于弱哥德巴赫猜想的解决，这两种思路都在二十世纪中得到了极大的发 展。1933 年，苏联数学家列夫杰里科维奇史尼尔曼同样基于筛法证明了存 在某个整数 K，使得每个偶数能够表示成 K 个素数的和，弥补了朗道的遗憾。史 尼尔曼给出的 K 的上限是 800000，不久后苏联数学家罗曼诺夫证明了这个 K 不 会超过 2208。1936 年，朗道和彼得希尔克把结果改进到 71，一年后意大利数 学家吉奥凡尼 里奇又将结果改良为 67。 1956 年尹文霖证明了 K 不超过 18。 1976 年，英国数学家罗伯特查尔斯沃恩证明了 K 小于等于 6。1937 年是弱哥德巴 赫猜想的研究取得重大突破的一年。首先，T艾斯特曼证明了：每个充分大的 奇数都可以表示成两个奇质数和一个不超过两个质数的乘积的数的和： 或 4 同年， 维诺格拉多夫在使用圆法的基础上，去掉了哈代和利特尔伍德的成果中对 于黎曼猜想的依赖。也就是说，维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数都能表示 为三个质数的和，以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数之和。维诺 格拉多夫的证明使用到了他独创的方法来对以素数为变数的指数 和做出更细致的估计，也就是说更好地划分优弧和劣弧并直接估计 出劣弧上的积分可以忽略，而不用到广义黎曼猜想。唯一的不足是维诺格拉多夫 并没有给出“足够大”的下限。后来苏联数学家波罗斯特金在 1956 年给出了一 个可计算的下限：，也就是说大于的整数都可以写成三个素数的 和。1946 年，苏联数学家尤里弗拉基米罗维奇林尼克沿着哈代和英国数学 家利特尔伍德的道路前进，使用函数论的方法同样证明了维诺格拉多夫的结果。 然而，维诺格拉多夫的定理中的下限对于实际应用来说仍然太大了。写 出来有 6846168 位数字，要验证之前的偶数都能写成两个素数的和，计算量仍然 太大。1989 年陈景润与王元将这个下限减低到 10 43000.5，2001 年廖明哲及王天泽 进一步将下限降至 e 3100101346.3，但仍然与实际验证过的范围（41014）有很大 距离。而如果假设广义黎曼猜想正确的话，让-马克德苏耶等人在 1998 年证明 了： 每个大于等于 7 的奇数都可以写成三个质数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义 黎曼猜想正确的假设下的完全证明）。1938 年，华罗庚证明了弱哥德巴赫猜想 的一个推广：任意给定一个整数 k，每个充分大的奇数都可以表示 p1+p2+p3 k的形 4 式。当 k=1 的时候，就是弱哥德巴赫猜想。由于维诺格拉多夫估计时 使用的方法本质上是筛法，所以数学家也希望用类似圆法的分析方法取代它。 1945 年，林尼克发展出估计狄利克雷 L 函数零点密度的方法，并用其证明了劣 弧上的积分可以忽略，从而用纯粹的分析方法证明了弱哥德巴赫猜想。这个证明 十分复杂，此后几位数学家各自提出了更简化的证明，1975 年沃恩提出了首个 不依赖估计 L 函数零点密度的方法，1977 年潘承洞得到了仅利用 L 函数初等性 质的简易证明。2013 年 5 月 13 日，法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的 数论领域的研究员哈洛德贺欧夫各特，在线发表了论文论哥德巴赫定理的优 弧（Major arcs for Goldbachs theorem）宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。 贺欧夫各特生于 1977 年，秘鲁籍，2003 年获得普林斯顿大学博士学位。2010 年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。2012 年 5 月， 贺欧夫各特发表论文论哥德巴赫问题的劣弧（Minor arcs for Goldbachs problem）中给出了劣弧积分估计的一个更优上界。在这个更优估计的基础上， 贺欧夫各特在 2013 年的论文中将优弧估计的条件放宽，把维诺格拉多夫定理中 的下限降低到了 10 29左右， 贺欧夫各特和同事戴维普拉特用计算机验证在此之下 的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。 弱哥德巴赫 猜想已经基本得到解决，对于偶数的哥德巴赫猜想，数学家们则主要将希望放在 布朗的方法上。而二十世纪中叶，数学家们沿着布朗的思路，得到了不少改进后 的成果。 1924 年汉斯 拉代马海尔证明了 “7+7” ， 1932 年艾斯特曼证明了 “6+6” ， 苏联数学家布赫希塔布在 1938 年和 1940 年分别证明了“5+5”与“4+4”。孔恩 在 1941 年提出了“加权筛法”的概念，能在同样的筛函数上界和下界条件下取 得更好的结果，他在 1954 年证明了“a+b”（a+b7）。阿特勒塞尔伯格利用 求二次型极值的方法极大地改进了布朗的筛法， 对筛函数的上界和下界做出了更 精确的估计，从而出现了更优的结果：维诺格拉多夫在 1956 年证明了“3+3”， 王元在 1956 年证明了“3+4”，并在 1957 年证明了“3+3”和“a+b”（a+b6） 以及“2+3”。 以上的结果中，没有能够证明偶数分拆成的两个数中一定有一个是质数的。 1932 年，埃斯特曼证明了，在假设广义黎曼猜想成立的前提下，“1+6”成立。 1948 年，伦伊阿尔弗雷德利用林尼克创造的“大筛法”，证明了“1+b”的结 果。1956 年，王元与维诺格拉多夫则证明了在同样的假定之下，“1+4”成立。 1961 年，苏联数学家巴尔巴恩证明了一个可以用来代替广义黎曼猜想的公式的 弱化版。 1962 年， 潘承洞也独立证明了此公式的另一个弱化版本， 并得到 “1+5” 。 而王元则指出潘承洞的结果其实可以推出“1+4”。潘承洞在同年用加强的结论 得到了“1+4”的简化的证明，1963 年巴尔巴恩也得到了同样的结果。1965 年布 赫希塔布则用同样的版本证明了“1+3”。与此同时，恩里科邦别里与维诺格 拉多夫也独立地用更简洁的方法证明了“1+3”。使用布朗方法的最好结果是陈 景润得到的。 他在 1973 年发表了 “1+2” 的证明， 其中对筛法作出了重大的改进， 提出了一种新的加权筛法。因此“1+2”也被称作是陈氏定理。现今数学家们普 遍认为， 陈景润使用的方法已经将筛法发挥到了极致， 以筛法来证明最终的 “1+1” 的可能性已经很低了。布朗方法似乎在最后的一步上停止了下来。如今数学界的 主流意见认为：证明关于偶数的哥德巴赫猜想，还需要新的思路或者新的数学工 5 具， 或者在现有的方法上进行重大的改进，也有认为仅仅基于现有的方法上的改 进无法证明偶数哥德巴赫猜想。 途径二：例外集合，即寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数。 在数轴上取定大整数 x，再从 x 往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那 些偶数，即例外偶数。x 之前所有例外偶数的个数记为 E(x)。我们希望，无论 x 多大，x 之前只有一个例外偶数，那就是 2，即只有 2 使得猜想是错的。这样一 来， 哥德巴赫猜想就等价于 E(x)永远等于 1。 当然， 直到现在还不能证明 E(x)=1； 但是能够证明 E(x)远比 x 小。在 x 前面的偶数个数大概是 x/2；如果当 x 趋于无 穷大时，E(x)与 x 的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫 猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。 从 1920 年开始，哈代和利特尔伍德合作陆续发表了七篇总标题 为“整数拆分”的几个问题的论文，系统地发展出了堆垒素数论中一个 新的分析方法。这个新方法的思想在 1918 年哈代与印度数学家拉玛努贾合写的 论文组合分析的渐进公式中就有表现。应用到哥德巴赫猜想上的话，圆法的 思想是：对于非零整数，沿着单位圆为路径的环路积分 当且只当整数的时候，上面的积分才等于 1。因此，如果考虑积分式： 其中，那么这个积分式实际上等于： 上式中第二项等于 0，所以 方程“”的解的个数。 6 所以，关于偶数的哥德巴赫猜想其实等于是说对于所有大于等于 6 的偶数， 单位圆上的环路积分式。同理，关于奇数的哥德巴赫猜想等价于环 路积分式： 因此， 研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式和中以质数 为变数的三角多项式。哈代和利特尔伍德猜测，当变量 接近于分母“比较 小”的既约分数时，的值会“比较大”，而当 接近于分母“比较大” 的既约分数时，的值会“比较小”。也就是说，积分的主要部分 其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分 则没那么重要，可以忽略掉了。因此，可以将整个单位圆分成两个部分：一部分 是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近包括的一些区间，哈代和利特尔 伍德称其为“优弧”（major arc 与平面几何中的“优弧”不同），其余的部分 则称为“劣弧”（minor arc）。将整个积分分成优弧上的积分 与劣弧上积分之和，然后证明相比 起可以忽略，而，这就是圆法的主要思想 4。哈代和 利特尔伍德在 1923 年的论文中证明了，如果存在正数，使得所有的狄利 克雷 L 函数的全体零点都在半平面上，那么充分大的奇数一定满 足，也就是说能够表示成三个素数的和。他们还给出了的渐进 式：在趋于无穷大的时候， 其中 7 他们还证明了， 在假设广义黎曼猜想成立的情况下， 如果用表示以内无 法写成两个质数之和的偶数的个数，那么对任意的正数 ，都有 这说明了，不能写成两个质数之和的偶数占所有偶数的比例是可以忽略的。 维诺格拉多夫在使用圆法的基础上，去掉了哈代和利特尔伍德的成果中对 于黎曼猜想的依赖。也就是说，维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数都能表示 为三个质数的和，以及几乎每一个充分大的偶数都能表示成两个素数之和。维诺 格拉多夫的证明使用到了他独创的方法来对以素数为变数的指数和 做出更细致的估计，也就是说更好地划分优弧和劣弧并直接估计出劣 弧上的积分可以忽略，而不用到广义黎曼猜想。唯一的不足是维诺格拉多夫并没 有给出“足够大”的下限。后来波罗斯特金在 1956 年给出了一个可计算的下限： ，也就是说大于的整数都可以写成三个素数的和。1946 年，苏联 数学家尤里弗拉基米罗维奇林尼克沿着哈代和利特尔伍德的道路前进，使用 函数论的方法同样证明了维诺格拉多夫的结果。然而，维诺格拉多夫的定理中的 下限对于实际应用来说仍然太大了。写出来有 6846168 位数字，要验证 之前的偶数都能写成两个素数的和，计算量仍然太大。1989 年陈景润与王元将 这个下限减低到 10 43000.5， 2001 年廖明哲及王天泽进一步将下限降至 e3100101346.3， 但仍然与实际验证过的范围（410 14）有很大距离。而如果假设广义黎曼猜想正 确的话，让-马克德苏耶等人在 1998 年证明了：每个大于等于 7 的奇数都可以 写成三个质数的和（即弱哥德巴赫猜想在广义黎曼猜想正确的假设下的完全证 明） 。 1938 年， 华罗庚证明了弱哥德巴赫猜想的一个推广： 任意给定一个整数 k， 每个充分大的奇数都可以表示 p1+p2+p3 k的形式。当 k=1 的时候，就是弱哥德巴赫 猜想。由于维诺格拉多夫估计时使用的方法本质上是筛法，所以数学 家也希望用类似圆法的分析方法取代它。1945 年，林尼克发展出估计狄利克雷 L 函数零点密度的方法，并用其证明了劣弧上的积分可以忽略，从而用纯粹的分析 方法证明了弱哥德巴赫猜想。这个证明十分复杂，此后几位数学家各自提出了更 8 简化的证明，1975 年沃恩提出了首个不依赖估计 L 函数零点密度的方法，1977 年潘承洞得到了仅利用 L 函数初等性质的简易证明。2013 年 5 月 13 日，法国国 家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德贺欧夫各特，在 线发表了论文论哥德巴赫定理的优弧（Major arcs for Goldbachs theorem） 宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。贺欧夫各特生于 1977 年，秘鲁籍，2003 年获 得普林斯顿大学博士学位。2010 年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师 范学院的研究员。2012 年 5 月，贺欧夫各特发表论文论哥德巴赫问题的劣弧 （Minor arcs for Goldbachs problem）中给出了劣弧积分估计的一个更优上 界。在这个更优估计的基础上，贺欧夫各特在 2013 年的论文中将优弧估计的条 件放宽，把维诺格拉多夫定理中的下限降低到了 10 29左右，贺欧夫各特和同事 David Platt 用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了弱哥德 巴赫猜想的全部证明。 维诺格拉多夫的三素数定理发表于 1937 年。第二年，在例外集合这一 途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。由于技 术上的原因，圆法不适用于偶数哥德巴赫猜想，人们只能另觅途径。 途径三：小变量的三素数定理，即已知奇数 N 可以表成三个素数之和， 假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取 3， 那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。 如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把 这个问题反过来思考。已知奇数 N 可以表成三个素数之和，假如又能证明 这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取 3，那么我们也就 证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想就促使潘承洞先生在 1959 年，即他 25 岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过 N 的 次方。我们的目标是要证明可以取 0，即这个小素变数有界，从而推出偶 数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明可取 1/4。后来的很长一段时间 内，这方面的工作一直没有进展，直到 1995 年展涛教授把潘老师的定理推 9 进到 7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于 0。 途径四：几乎哥德巴赫问题，即 2m=p+q+2 k。p 和 q 均为奇素数。 1953 年，林尼克发表了一篇长达 70 页的论文。在文中，他率先研究了 几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数 k，使得任何大偶数 都能写成两个素数与 k 个 2 的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥 德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。我们注意，能写成 k 个 2 的方幂之 和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的 x，x 前面这种 整数的个数不会超过 log x 的 k 次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们 还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的 子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去， 这个表达式就成立。这里的 k 用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想 逼近的程度，数值较小的 k 表示更好的逼近度。显然，如果 k 等于 0，几乎 哥德巴赫问题中 2 的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫 猜想。 林尼克 1953 年的论文并没有具体定出 k 的可容许数值，此后四十多年间， 人们还是不知道一个多大的 k 才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证， 这个 k 应该很大。 其中有个结果必须提到， 即李红泽、 王天泽独立地得到 k=2000。 目前最好的结果 k=13 是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学 家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。 数学家们经过上述四个途径的不断探索求证，仍然没有彻底解决哥德 巴赫问题。 现在我们介绍探讨求证“哥德巴赫猜想”的另一种新方法,首先我们先回顾 一下 2000 多年前埃拉托斯特尼筛法，埃拉托斯特尼筛法可以用来寻找一定范围 内的素数（比如说 m 这个数，m 这个数不是太大）：操作的程序是先将第一个数 2 留下，将它的倍数全部划掉；再将剩余数中最小的 3 留下，将它的倍数全部划 掉；继续将剩余数中最小的 5 留下，将它的倍数全部划掉，如此直到没有可 10 划的数为止。例如在 100 内进行这样的操作，可得素数 2，3，5，7，11，13， 17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89， 97。我们暂且把前人的这种筛法称为埃拉托斯特尼顺筛；简称顺筛。就是通过顺 筛能够把某个很大的偶数 M 范围内的素数全部找出来， 也未必好判定不大于偶数 M 的所有偶数均可表为两个奇素数之和。 顺筛实际上就是筛出偶数 M 范围内的所 有偶数和所有奇合数。如果我们在顺筛的基础上，再配合另一种筛法，也就是筛 出用偶数 M 分别减偶数 M 范围内的所有奇合数而得到的所有奇数， 我们暂且把这 种筛法称为埃拉托斯特尼逆筛；简称逆筛。对于偶数 M 范围内的所有正整数，通 过顺筛和逆筛配合筛， 一定能够判定偶数 M 能否表为两个奇素数之和。 对于这种 配合筛法，我们下面详细介绍。 首先我们先举例说说顺筛和逆筛配合筛法的好处， 下面我们以偶数 100和104 为例来阐述，因为“哥德巴赫猜想”针对的是奇素数，而奇素数又是从奇数中分 离出来的概念，所以我们就排出偶数的情形，只考虑奇数的情形。 对于偶数 100 以内的全体奇数，首先进行顺筛： （1）筛出 3 的倍数（除 3 外） ，可得集合 A1=1，3，5，7，11， 13，17，19，23，25，29，31，35，37，41，43，47，49，53，55，59，61， 65， 67，71，73，77，79，83，85，89，91，95，97。 （2）在集合 A1中筛出 5 的倍数（除 5 外） ，可得集合 A2=1，3， 5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，49，53，59，61，67， 71，73，77，79，83，89，91，97。 （3）在集合 A2中筛出 7 的倍数（除 7 外） ，可得集合 A3=1，3， 5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71， 73，79，83，89，97。 因为 100=1+99=3+97=5+95=7+93=93+7=95+5=93+3=99+1，所以偶数 100 以内的全体奇数， 经过顺筛后， 可以得出这样的结论： 满足 “奇合数+奇合数=100” 情形中的全体奇合数，满足“奇合数+奇素数=100”情形中的全体奇合数，满足 “1+奇合数=100”情形中的奇合数，全都被筛出。 又因为区间 100 ，100以内的任一奇合数均能被奇素数 3，5，7 中的某一 个奇素数整除，这种情形拓展开来的一般情形完全可以证明，证明留在后面讲。 前面进行了顺筛，我们再次进行逆筛： （4）在集合 A3中筛出集合（100-9） ， （100-15） ， （100-21） ， （100-27） ， （100-33） ， （100-39） ， （100-45） ， （100-51） ， （100-57） ， （100-63） ， （100-69） ， （100-75） ， （100-81） ， （100-87） ， （100-93） ， （100-99）=91，85，79，73， 67，61，55，49，43，37，31，25，19，13，7，1 中的全体奇数，可得集合 A4=3，5，11，17，23，29， 41，47，53，59，71，83，89，97。 （5）在集合 A4中筛出集合（100-21） ， （100-35） ， （100-49） ， （100-63） ， （100-77） ， （100-91） =79， 65， 51， 37， 23， 9中的全体奇数， 可得集合 A5=3， 11 5，11，17，29， 41，47，53，59，71，83，89，97。 （6）因为 100 含有奇素数因子 5，所以只须考虑筛出 5 的倍数（包括 5）即 可。这样最后得到集合 A6=3，11，17，29， 41，47，53，59，71，83，89，97。 所以再经过逆筛，我们可以得出这样的结论：满足“奇合数+奇素数=100” 情形中的全体奇素数，满足“1+奇素数=100”情形中的奇素数，全都被筛出。观 察集合 A6，显然偶数 100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53。 下面我们为什么还要以偶数 104 为例来阐述配合筛法的好处呢？其实是为 了分析筛出的最大化，也就是筛出的极限情形，在数学理论中通常采用这种方法 解决无穷的问题。因为偶数 104 均不含有奇素数因子 3，5，7；这样就更接近了 筛出的最大化。为了解决无穷的情形，我们必须从极限这一基本点着手，在无穷 多的偶数中，设定某一相当大的偶数满足筛出的最大化（也就是筛出的极限情 形） ，即有点象偶数 104 这样的情形，解决了极限成立的情形，其它情形显然成 立。 对于偶数 104 以内的全体奇数，首先进行顺筛： （）筛出 3 的倍数（除 3 外） ，可得集合 B1=1，3，5，7，11， 13，17，19，23，25，29，31，35，37，41，43，47，49，53，55，59，61， 65， 67，71，73，77，79，83，85，89，91，95，97，101，103。 （）在集合 B1中筛出 5 的倍数（除 5 外） ，可得集合 B2=1，3， 5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，49，53，59，61，67， 71，73，77，79，83，89，91，97，101，103。 （）在集合 B2中筛出 7 的倍数（除 7 外） ，可得集合 B3=1，3， 5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71， 73，79，83，89，97，101，103。 前面进行了顺筛，我们再次进行逆筛： （）在集合 B3中筛出集合（104-9） ， （104-15） ， （104-21） ， （104-27） ， （104-33） ， （104-39） ， （104-45） ， （104-51） ， （104-57） ， （104-63） ， （104-69） ， （104-75） ， （104-81） ， （104-87） ， （104-93） ， （104-99）=95，89， 83，77，71，65，59，53，47，41，35，29，23，17，11，5 中的全体奇数， 可得集合 B4=1，3，7，13，19，31，37， 43，61，67，73，79，97，101，103。 （）在集合 B4中筛出集合（104-15） ， （104-25） ， （104-35） ， （104-45） ， （104-55） ， （104-65） ， （104-75） ， （104-85） ， （104-95）=89，79，69，59， 49，39，29，19，9中的全体奇数，可得集合 B5=1，3，7，13，31，37，43， 61，67，73，97，101，103。 （）在集合 B5中筛出集合（104-21） ， （104-35） ， （104-49） ， （104-63） ， （104-77） ， （104-91）=83，69，55，41，27，13中的全体奇数，可得集合 B6=1，3，7，31，37，43，61，67，73，97，101，103。 因为偶数 104 不含有奇素数因子 3，5，7；所以奇数 1 和 103 要直接筛出。 最后得到集合 B7=3，7，31，37，43，61，67，73，97，101。 观察集合 B7，显然偶数 104=3+101=7+97=31+73=37+67=43+61。 所以，为了解决无穷的问题，一般情形下，我们设定一个非常大的偶数 2m， 设奇素数 p1，p2，p3，pt均为不大于m2的全体奇素数（pi pj，ij，i、 j=1，2，3，t） ，tN；并且偶数 2m 均不含有奇素数因子 p1，p2，p3， pt，为了确保奇素数 p1，p2，p3，pt均要被筛出，我们还要假定集合（2m-p1） ， 12 （2m-p2） ， （2m-p3） ， （2m-pt）中的奇数均为奇合数；因为偶数 2m=（2m-p1） + p1，2m=（2m-p2）+ p2，2m=（2m-p3）+ p3，2m=（2m-pt）+ pt。所以我们 就假定在无穷多的偶数中有一个相当大的偶数 2m 满足筛出的最大化（也就是筛 出的极限情形） 。 如果我们假定偶数 2m 就是满足上面这种情形的偶数，设集合 A=1，3，5，7，9， （2m-3） ， （2m-1），又设集合 A1= p1，3p1，5p1，7p1， 9p1， ，（2m1-1） p1， 集合 A1= （2m-p1） ，（2m-3p1） ，（2m-5p1） ，（2m-7p1） ，（2m-9p1） ， （2m-11p1） ，2m-（2m1-1）p1，集合 A2=p2，3p2，5p2，7p2，9p2， （2m2-1） p2， 集合 A2= （2m-p2） ， （2m-3p2） ，（2m-5p2） ，（2m-7p2） ， （2m-9p2） ，（2m-11p2） ， ， 2m-（2m2-1）p2，集合 A3=p3，3p3，5p3，7p3，9p3， （2m3-1）p3，集合 A3 =（2m-p3） ， （2m-3p3） ， （2m-5p3） ， （2m-7p3） ， （2m-9p3） ， （2m-11p3） ，2m- （2m3-1）p3，集合 At=pt，3pt，5pt，7pt，9pt， （2mt-1）pt，集合 At =（2m-pt） ， （2m-3pt） ， （2m-5pt） ， （2m-7pt） ， （2m-9pt） ， （2m-11pt） ，2m- （2mt-1）pt；其中奇数（2m1-1）p1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最 大奇数，奇数（2m2-1）p2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数， 奇数 （2mt-1-1） pt-1为该表达形式下不大于奇数 （2m-1） 的最大奇数， 奇数（2mt-1） pt为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。 对于偶数 2m 以内的全体奇数，首先进行顺筛： 这里要说明， 因为根据假定集合 （2m-p1） ， （2m-p2） ， （2m-p3） ， ， （2m-pt） 中的奇数均为奇合数，所以奇素数 p1，p2，p3，pt均要直接筛出，按照偶数 100 和 104 为例的筛出操作程序，则有： 1在集合 A 中筛出属于集合 A1中的奇数，得到集合 B1； 2在集合 B1中筛出属于集合 A2中的奇数，得到集合 B2； 3在集合 B2中筛出属于集合 A3中的奇数，得到集合 B3； t-1在集合 Bt-2中筛出属于集合 At-1中的奇数，得到集合 Bt-1； t在集合 Bt-1中筛出属于集合 At中的奇数，得到集合 Bt。 其次进行逆筛： （1）在集合 Bt中筛出属于集合 A1中的奇数，得到集合 E1； （2）在集合 E1中筛出属于集合 A2中的奇数，得到集合 E2； （3）在集合 E2中筛出属于集合 A3中的奇数，得到集合 E3； （t-1）在集合 Et-2中筛出属于集合 At-1中的奇数，得到集合 Et-1； t在集合 Et-1中筛出属于集合 At中的奇数，得到集合 Et。 最后在集合 Et中筛出奇数 1 和（2m-1）得到集合 H，经过顺筛和逆筛，我们 可以得出这样的结论： 满足“奇合数+奇合数=2m”情形中的全体奇合数； 满足“奇合数+奇素数=2m”情形中的全体奇合数； 满足“奇合数+奇素数=2m”情形中的全体奇素数； 满足“1+奇素数=2m”情形中的奇素数或者满足“1+奇合数=2m”情形中的奇 合数。 满足上面情形的全体奇数全都被筛出。如果能判定集合 H 中确实有奇数，那 么集合 H 中的奇数必定为奇素数，并且集合 H 中的奇素数就只能是满足“奇素数 +奇素数=2m”的情形，也就是偶数 2m 可表为两个奇素数之和。这种被筛出最大 13 化的偶数都可表为两个奇素数之和， 其他没有被筛出最大化的偶数显然均可表为 两个奇素数之和。 对于很大很大的偶数 2m，这种配合筛法的技术难度还是相当大，怎样克服 这个技术性难题呢？下面我们主要阐述解决这个技术性难题的基本思想方法。 我们以偶数 100 为例来阐述解决这个技术性难题的基本思想方法。 对于偶数 100 以内的全体奇数组成的集合 A，那么集合 A=1，3， 5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39， 41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71，73，75， 77，79，81，83，85，87，89，91，93，95，97，99，集合 A 中元素的总个数 为 50 个。 因为区间 100 ，100以内的任一奇合数均能被奇素数 3，5，7 中的某一 个奇素数整除，对于偶数 100，我们只需用奇素数 3，5，7 来设定集合就能达到 目的了。 设集合 A1=9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87， 93， 99， 集合 A1= （100-9） ，（100-15） ，（100-21） ，（100-27） ，（100-33） ，（100-39） ， （100-45） ， （100-51） ， （100-57） ， （100-63） ， （100-69） ， （100-75） ， （100-81） ， （100-87） ， （100-93） ， （100-99）=91，85，79，73，67，61，55，49，43， 37，31，25，19，13，7，1 ，集合 A2=15，55，35，45，55，65，75，85，95， 集合 A2=（100-15） ， （100-55） ， （100-35） ， （100-45） ， （100-55） ， （100-65） ， （100-75） ， （100-85） ， （100-95）=85，75，65，55，45，35，25，15，5， 集合 A3=21，35，49，63，77，91，集合 A3=（100-21） ， （100-35） ， （100-49） ， （100-63） ， （100-77） ， （100-91）=79，65，51，37，23，9；那么集合 A1和 集合 A1中元素的总个数均为 16 个， 集合 A2和集合 A2中元素的总个数均为 9 个， 集合 A3和集合 A3中元素的总个数均为 6 个。 （1） 因为偶数 100 含有奇素数因子 5， 所以我们只考虑集合 B= A2A2=5， 15，55，35，45，55，65，75，85，95的情形。又因为偶数 100 不含有奇素数 因子 3 和 7，所以集合 A1和 A1无公共元素，集合 A3和 A3无公共元素；集合 B 中元素的总个数为 10 个。 （2） 集合 A1B=15， 45， 75， 集合 A1B=25， 55， 85， 集合 A1A3=21， 63，集合 A1A3=49，91，集合 A1A3=9，51，集合 A1A3=37，79， 集合 A3B=35，集合 A3B=65，集合 A1A3B=，集合 A1A3B=， 集合 A1A3B=，集合 A1A3B=；那么集合 A1B 和集合 A1B 中元素 的总个数均为 3 个，集合 A1A3和集合 A1A3中元素以及集合 A1A3和集合 A1 A3中元素的总个数均为 2 个，集合 A3B 和集合 A3B 中元素的总个数均为 1 个，集合 A1A3B 和集合 A1A3B 中元素以及集合 A1A3B 和集合 A1 A3B 中元素的总个数均为 0 个。 （3）有了前面的准备工作，我们下面就开始从集合中元素的数量着手，展 开阐述解决这个技术性难题的基本思想方法。 （4）因为集合 A 中元素的总个数为 50 个，在集合 A 中筛出集合 A1和 A1中的元素，又因为集合 A1和 A1中元素的总个数均为 16 个，集合 A1A1 =，从集合中元素的数量着手，则集合 A 通过筛出后剩下元素的总个数为： 50-16-16=18（个） 。 （5）再在集合 A 中筛出集合 B 中的元素，从集合中元素的数量着手，则集 14 合 A 再通过筛出后剩下元素的总个数为：50-16-16-10+3+3=14（个） 。因为在 50-16-16-10 中集合 A1B=15， 45， 75中元素的总个数与集合 A1B=25， 55， 85 中 元 素 的 总 个 数 均 被 多 减 了 一 次 ， 所 以 要 加 上 2 个 3 ； 所 以 为 50-16-16-10+3+3=14（个） 。 （6）再在集合 A 中筛出集合 A3和 A3中的元素，从集合中元素的 数量着手，则集合 A 再通过筛出后剩下元素的总个数为：50-16-16- 10+3+3-6-6+2+2+2+2+1+1=12（个） 。因为在 50-16-16-10+3+3-6-6 中集合 A1 A3=21，63中元素的总个数，集合 A1A3=49，91中元素的总个数，集合 A1 A3=9，51中元素的总个数，集合 A1A3=37，79中元素的总个数，集合 A3B=35中元素的总个数，集合 A3B=65中元素的总个数，均被多减了一 次， 所以要加上 4 个 2 和 2 个 1，所以为 50-16-16-10+3+3-6-6+2+2+2+2+1+1=12 （个） 。 （7）所以从前面这个实例，我们不难得出这样一个结论：利用顺筛和逆筛 配合筛法的好处，再转换到集合中元素的数量上来处理，对于很大很大的偶数 2m，肯定容易处理多了，这就是解决技术性难题的基本思想方法。 以偶数 100 为例验证如下： 我们用 W 表示集合 A 中元素的总个数，【Wp1】 表示集合 A1中元素的总个数， 【Wp1】表示集合 A1中元素的总个数， 【Wp2】表示集合 B 中元素的总个数， 【Wp3】表示集合 A3中元素的总个数， 【Wp3】表示集合 A3中元素的总个数， 【W（p1p2） 】表示集合 A1B 中元素的总个数， 【W（p1p2） 】表示集合 A1B 中元素的总个数， 【W（p1p3） 】表示集合 A1A3中元素的总个数， 【W（p1p3） 】 表示集合 A1A3中元素的总个数， 【W（p1p3） 】表示集合 A1A3中元素的总 个数， 【W（p1p3） 】表示集合 A1A3中元素的总个数， 【W（p2p3） 】表示集 合 BA3中元素的总个数， 【W（p2p3） 】表示集合 BA3中元素的总个数， 【W （p1p2p3） 】表示集合 A1BA3中元素的总个数， 【W（p1p2p3） 】表示集合 A1 BA3中元素的总个数， 【W（p1p2p3） 】表示集合 A1BA3中元素的总个数， 【W（p1p2p3） 】表示集合 A1BA3中元素的总个数。 那么集合 A 经过顺筛和逆筛，转换到集合中元素的数量上来处理，那么集合 A 中剩下的奇数的总个数可以转化为下面这种计算方式：Y3=W-【Wp1】-【W p1】-【Wp2】-【Wp3】-【Wp3】+【W（p1p2） 】+【W（p1p2） 】+【W （p1p3） 】+【W（p1p3） 】+【W（p1p3） 】+【W（p1p3） 】+【W（p2p3） 】+ 【W（p2p3） 】-【W（p1p2p3） 】-【W（p1p2p3） 】-【W（p1p2p3） 】-【W （p1p2p3） 】W（1-2p1） （1-1p2） （1-2p3） 50-5032-505+50 152-5072+50214+50352-501054=50 （1-23） - （505） （1-23）+（507）2（1-23）+50352（1-23）=50（1-23） （1-1 5）-（507）2（1-23） （1-15）=50（1-23） （1-15） （1-27） =50（13） （45） （57）5077。所以通过偶数 100 这个例子验算， 说明通过顺筛和逆筛配合筛出后，被筛