2017年全国高中数学联赛一试(A卷)答案.pdf

2017 年全国高中数学全国高中数学联合竞赛一联合竞赛一试试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得不得增加其他中间档次增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不不得得增加其他中间档次增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 1. 设( )f x是定义在R上的函数， 对任意实数x有(3)(4)1f xf x 又 当07x时， 2 ( )log (9)f xx，则( 100)f 的值为 答案答案： 1 2 解解：由条件知， 1 (14)( ) (7) f xf x f x ，所以 2 111 ( 100)( 100147)( 2) (5)log 42 fff f 2. 若实数, x y满足 2 2cos1xy， 则cosxy的取值范围是 答案答案： 1,31 解解：由于，故 由可知， 因此当时， 有最小值（这时y可以取） ； 当时，有最大值 （这时y可以取） 由于 2 1 (1)1 2 x的值域是 1,31，从而cosxy的取 值范围是 1,31 3. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为 22 1 910 xy ，F为C的上焦 点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积 的最大值为 答案答案： 3 11 2 解解：易知(3, 0),(0, 1)AF设P的坐标是(3cos ,10sin ),0, 2 ，则 3 11 sin() 2 其中当时，四边形OAPF面积的最大值为 3 11 2 1 4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳 数” 平稳数的个数是 答案答案：75 解解：考虑平稳数abc 若0b，则1,0,1ac，有2个平稳数 若1b，则1, 2,0,1, 2ac，有236 个平稳数 若28b，则,1, ,1a cbb b，有73 363 个平稳数 若9b，则,8,9a c，有224 个平稳数 综上可知，平稳数的个数是2663475 5. 正三棱锥PABC中，1,2ABAP，过AB的平面将其体积平分， 则棱PC与平面所成角的余弦值为 答案答案： 3 5 10 解解：设,AB PC的中点分别为,K M，则易证平面ABM就是平面由中线 长公式知 ， 所以 2 22 315 222 KMAMAK 又易知直线PC在平面上的射影是直线MK，而 3 1, 2 CMKC，所以 ， 故棱PC与平面所成角的余弦值为 3 5 10 6. 在平面直角坐标系xOy中，点集( ,)| ,1, 0,1Kx yx y在K中随机 取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为 答案答案： 4 7 解解： 易知K中有 9 个点， 故在K中随机取出三个点的 方式数为 3 9 C84种 将K中的点按右图标记为 128 ,A AA O，其中有8 对点之间的距离为5 由对称性， 考虑取 14 ,A A两点的情 况， 则剩下的一个点有7种取法， 这样有7856 个三点 组 （不计每组中三点的次序） 对每个(1, 2,8) i A i，K 中恰有 35 , ii AA 两点与之距离为5 （这里下标按模8理解） ，因而恰有 35 ,(1, 2,8) iii A AAi 这8个三点组被计了两次从而满足条件的三点组个 数为56848 ，进而所求概率为 484 847 x y A2A3A1 A7A6A5 O A8A4 2 7. 在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若 3 A ， ABC的面积为3，则AM AN 的最小值为 答案答案： 解解：由条件知，故 由于 13 3sin 24 ABC SABACAABAC ， 所以， 进 一步可得，从而 当 4 42 ,23 3 ABAC 时，的最小值为 8. 设两个严格递增的正整数数列 n a ， n b 满足： 1010 2017ab ，对任意 正整数n，有 211 ,2 nnnnn aaabb ，则 11 ab 的所有可能值为 答案答案：13, 20 解解：由条件可知： 121 ,aab均为正整数，且 由于，故反复运用 n a 的递推关系知 ， 因此 1101011 215122 (mod34)aabbb ， 而，故有 另一方面，注意到，有，故 当时，分别化为，无解 当时，分别化为，得到唯一的正整数 ，此时 当时，分别化为，得到唯一的正整数 ，此时 综上所述， 11 ab的所有可能值为13, 20 3 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 9. （本题满分 16 分） 设, k m为实数， 不等式 2 1xkxm对所有 ,xa b 成立证明：2 2ba 证明证明：令 2 ( )f xxkxm， ,xa b，则( ) 1, 1f x 于是 2 ( )1f aakam， 2 ( )1f bbkbm ， 2 1 222 ababab fkm 4 分 由2 知， 2 () ( )( )24 22 abab f af bf= ， 故2 2ba 16 分 10. （本题满分 20 分）设 123 ,x x x 是非负实数，满足 123 1xxx+=，求 23 1231 (35)() 35 xx xxxx+ 的最小值和最大值 解解：由柯西不等式 2 2323 12311123 (35)()(35) 3535 xxxx xxxxxxxx+ 2 123 ()1xxx=+=， 当 123 1,0,0xxx=时不等式等号成立，故欲求的最小值为 1 5 分 因为 232 123112313 15 (35)()(35)(5) 3553 xxx xxxxxxxxx+=+ 2 2 12313 1 15 (35)(5) 5 43 x xxxxx + 2 123 114 66 203 xxx =+ 10 分 () 2 123 19 666 205 xxx+=， 当 123 11 ,0, 22 xxx=时不等式等号成立，故欲求的最大值为 9 5 20 分 11. （本题满分 20 分）设复数 12 ,zz满足 12 Re( )0, Re()0zz，且 22 12 Re()Re()2zz（其中Re( ) z表示复数z的实部） (1) 求 1 2 Re()z z的最小值； (2) 求 1212 22zzzz的最小值 4 解解：(1) 对1, 2k ，设i(,) kkkkk zxyxyR由条件知 222 Re()0,Re()2 kkkkk xzxyz 因此 1 211221212 Re()Re(i)(i)z zxyxyx xy y 22 1212 (2)(2)yyy y 1212 22y yy y 又当 12 2zz时， 1 2 Re()2z z这表明， 1 2 Re()z z的最小值为2 5 分 (2) 对1, 2k ，将 k z对应到平面直角坐标系xOy中的点(,) kkk P xy，记 2 P是 2 P关于x轴的对称点，则 12 ,P P 均位于双曲线 22 :2C xy的右支上 设 12 ,F F 分别是C的左、右焦点，易知 12 ( 2, 0),(2, 0)FF 根据双曲线的定义，有 11122122 2 2,2 2