2012-2018年高考真题汇编：圆锥曲线理科(带答案).pdf

第 1 页（共 12 页） 学科教师辅导教案学科教师辅导教案 学员姓名学员姓名年年级级高二高二辅导科目辅导科目数数 学学 授课老师授课老师课时数课时数2h2h第第次课次课 授课日期及时段授课日期及时段20182018 年年月月日日： 1.(2017 新课标全国卷新课标全国卷 I，理理 10)已知F为抛物线C： 2 4yx的交点，过F作两条互相垂直 1 l， 2 l，直线 1 l与 交于A、B两点，直线 2 l与C交于D，E两点，ABDE的最小值为（） A16B14C12D10 【答案】A 【解析】 设AB倾斜角为作 1 AK垂直准线， 2 AK垂直x轴 易知 1 1 cos 22 AFGFAK AKAF PP GPP （几何关系） （抛物线特性）cosAFPAF 同理 1cos P AF ， 1cos P BF 22 22 1cossin PP AB 又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为 2 2 2 22 cos sin 2 PP DE 而 2 4yx，即2P 22 11 2 sincos ABDEP 22 22 sincos 4 sincos 22 4 sincos 2 4 1 sin 2 4 2 16 16 sin 2 ，当 4 取等号即ABDE最小值为16，故选 A 2.(2016新课标全国新课标全国卷卷I， 理理5)已知方程1 3 2 2 2 2 nm y nm x 表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为4， 则n取值范围是（） 直线和圆锥曲线高考题分析直线和圆锥曲线高考题分析 第 2 页（共 12 页） （A）)3 , 1(（B）)3, 1(（C）)3 , 0(（D）)3, 0( 【解析】 ： 22 22 1 3 xy mnmn 表示双曲线，则 22 30mnmn ， 22 3mnm 由双曲线性质知： 2222 34cmnmnm， 其中c是半焦距， 焦距22 24cm， 解得1m 13n ，故选 A 3.(2016 新课标全国卷新课标全国卷 I，理，理 10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于BA,两点，交C的准线于ED,两点， 已知24AB,52DE，则C的焦点到准线的距离为 （A）2（B）4（C）6（D）8 【解析】 ：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理,设抛物线为 2 2ypx0p ，设圆的方程为 222 xyr，如图： 设 0,2 2 A x，, 5 2 p D ，点 0,2 2 A x在 抛 物 线 2 2ypx上 ， 0 82px ； 点, 5 2 p D 在 圆 222 xyr上， 2 2 5 2 p r ；点 0,2 2 A x在圆 222 xyr上， 22 0 8xr；联立解得：4p ， 焦点到准线的距离为4p 故选 B 4.(2015 新课标全国卷新课标全国卷 I，理，理 5)已知 M（ 00 ,xy）是双曲线 C： 2 2 1 2 x y上的一点， 12 ,F F是 C 上的两个 焦点，若 12 0MFMF ，则 0 y的取值范围是() （A） （- 3 3 ， 3 3 ） （B） （- 3 6 ， 3 6 ） （C） （ 2 2 3 ， 2 2 3 ） （D） （ 2 3 3 ， 2 3 3 ） 5.（2015 新课标全国卷新课标全国卷 II，理理 11）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角 形，且顶角为 120，则 E 的离心率为（） A5B2C3D2 【解析】设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，如图所示，ABBM， 0 120ABM，过点M作 MNx轴，垂足为N，在Rt BMN中，BNa，3MNa，故点M的坐标为(2 , 3 )Maa，代 第 3 页（共 12 页） 入双曲线方程得 2222 abac，即 22 2ca，所以2e ，故选 D 6. (2014 新课标全国卷新课标全国卷 I，理，理 5)已知F是双曲线C： 22 3 (0)xmym m的一个焦点，则点F到C的一 条渐近线的距离为（A）A.3B.3C.3mD.3m 7. (2014 新课标全国卷新课标全国卷 I，理理 10)已知抛物线C： 2 8yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线 PF与C的一个焦点，若4FPFQ ，则|QF=（ C） A. 7 2 B. 5 2 C.3D.2 8 （2013 3新课标新课标高考理高考理）已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为 () Ay1 4x By1 3x Cy1 2x Dyx 【解析】因为双曲线x 2 a2 y2 b21 的焦点在 x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为 yb ax.又离心率为 e c a a2b2 a 1 b a 2 5 2 ，所以b a 1 2，所以双曲线的渐近线方程为 y 1 2x，选择 C. 9 （2013 3新课标新课标高考理高考理）已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为() A.x 2 45 y2 361 B.x 2 36 y2 271 C.x 2 27 y2 181 D.x 2 18 y2 9 1 【解析】因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y1 2(x3)，代入椭圆方程 x2 a2 y2 b21 消去 y，得 a2 4 b2 x23 2a 2x9 4a 2a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为 3 2a 2 2 a2 4 b2 1，即 a22b2，又 a2 b2c2，所以 bc3，选择 D. 1010 （20132013新课标新课标高考理高考理）设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为直 径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为() Ay24x 或 y28xBy22x 或 y28x Cy24x 或 y216xDy22x 或 y216x 【解析】由已知得抛物线的焦点 F p 2，0，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0，y0)，则 AF p 2，2，AM 第 4 页（共 12 页） y20 2p，y 02 .由已知得， AFAM0， 即 y208y0160， 因而 y04， M 8 p，4.由|MF|5 得， 8 p p 2 216 5，又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C. 11.（2013 3新课标新课标高考理高考理）已知点 A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 yaxb(a0)将ABC 分割为面积相 等的两部分，则 b 的取值范围是() A(0,1)B. 1 2 2 ，1 2C. 1 2 2 ，1 3D. 1 3， 1 2 【解析】由 xy1， yaxb 消去 x，得 yab a1，当 a0 时，直线 yaxb 与 x 轴交于点 b a，0，结合图 形知1 2 ab a1 1b a 1 2，化简得(ab) 2a(a1)，则 a b2 12b.a0， b2 12b0，解得 b 1 2. 考虑极限位置，即 a0，此时易得 b1 2 2 ，故答案为 B. 12 （2012 2新课标高考理新课标高考理）设 F1，F2是椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，P 为直线 x 3a 2 上一点， F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为() A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.4 5 【解析】选 C由题意可得|PF2|F1F2|，所以 2(3 2ac)2c，所以 3a4c，所以 e 3 4. 13 （2012 2新课标高考理新课标高考理）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B 两点，|AB|4 3，则 C 的实轴长为() A. 2B2 2 C4D8 【解析】选 C抛物线 y216x 的准线方程是 x4，所以点 A(4，2 3)在等轴双曲线 C： x2y2a2(a0)上，将点 A 的坐标代入得 a2，所以 C 的实轴长为 4. 14 （2011 1新课标高考新课标高考）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为() A. 2B. 3C2 D3 【解析】选 B设双曲线 C 的方程为x 2 a2 y2 b21，焦点 F(c,0)，将 xc 代入 x2 a2 y2 b21 可得 y 2b4 a2，所以 |AB|2b 2 a 22a.b22a2.c2a2b23a2，ec a 3. 15、(2017 新课标全国卷新课标全国卷 I，理理)已知双曲线 22 22 : xy C ab ， （0a ，0b ）的右顶点为A，以A为圆心，b为 半直径作圆A， 圆A与双曲线线C的一条渐近线交于M，N两点， 若60MAN， 则C的离心率为_ 第 5 页（共 12 页） 【答案】 2 3 3 如图，OAa，ANAMb 60MAN， 3 2 APb， 22 22 3 4 OPOAPAab 22 3 2 tan 3 4 b AP OP ab 又tan b a ， 22 3 2 3 4 b b a ab ，解得 22 3ab 2 2 12 3 11 33 b e a 16、 （2015 新课标全国卷新课标全国卷 I，理，理 14）一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上， 则该圆的标准方程为. 【解析】设圆心为（a，0） ，则半径为4a，则 222 (4)2aa，解得 3 2 a ，故圆的方程为 22 325 () 24 xy. 17 （2011新课标高考）新课标高考）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心 率为 2 2 .过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为_ 【解析】根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，e 2 2 ，c a 2 2 .根据ABF2的周 长为 16 得 4a16，因此 a4，b2 2，所以椭圆方程为x 2 16 y2 8 1. 18、(2018 新课标全国卷新课标全国卷 I，理理 8)设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 2 3 的直线与 C 交 于 M，N 两点，则FM FN =（C） A5B6C7D8 19、(2018 新课标全国卷新课标全国卷 I，理理 11)已知双曲线 C： 2 2 1 3 x y，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直 线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|=（B ） A 3 2 B3C2 3D4 20、(2018 新课标全国卷新课标全国卷 II，理，理 12)已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的左，右焦点，A是C的左 第 6 页（共 12 页） 顶点，点P在过A且斜率为 3 6 的直线上， 12 PFF为等腰三角形， 12 120FF P，则C的离心率为（D） A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 21、(2018 新课标全国卷新课标全国卷 III，理理 11）设 12 FF，是双曲线 22 22 1 xy C ab ：（00ab，）的左、右焦点，O是 坐标原点过 2 F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P若 1 6PFOP，则C的离心率为（ C ） A5B2C3D2 22、(2018 新课标全国卷新课标全国卷 III，理理 16）已知点1 1M ，和抛物线 2 4Cyx：，过C的焦点且斜率为k的直线 与C交于A，B两点若90AMB ，则k _2_ 23、 (2017 新课标全国卷新课标全国卷 I， 理理)已知椭圆C： 22 22 1 xy ab 0ab ， 四点 1 1 1P， ， 2 01P， ， 3 3 1 2 P ， ， 4 3 1 2 P ， 中恰有三点在椭圆C上 （1）求C的方程； （2）设直线l不经过 2 P点且与C相交于A、B两点，若直线 2 P A与直线 2 P B的斜率的和 为1，证明：l过定点 【解析】（1）根据椭圆对称性，必过 3 P、 4 P，又 4 P横坐标为 1，椭圆必不过 1 P，所以过 234 PPP，三 点，将 23 3 011 2 PP ， ， 代入椭圆方程得 2 22 1 1 3 1 4 1 b ab ，解得 2 4a ， 2 1b 椭圆C的方程为： 2 2 1 4 x y （2）当斜率不存在时，设 : AA l xmA myB my， 22 112 1 AA P AP B yy kk mmm 得2m，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设1 lykxb b ， 1122 A xyB xy， 联立 22 440 ykxb xy ，整理得 222 148440kxkbxb 12 2 8 14 kb xx k ， 2 12 2 44 14 b xx k ，则 22 12 12 11 P AP B yy kk xx 212121 12 xkxbxxkxbx x x 22 2 2 2 8888 14 44 14 kbkkbkb k b k 81 1 411 k b bb ，又 1b 21bk ，此时64k ，存在k使得0 成立 直线l的方程为 21ykxk ，当2x 时， 1y ，所以l过定点21， 第 7 页（共 12 页） 24 （2016新课标高考新课标高考） 设圆0152 22 xyx的圆心为A，直线l过点)0 , 1 (B且与x轴不重合，l 交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E （）证明EBEA 为定值，并写出点E的轨迹方程； （）设点E的轨迹为曲线 1 C，直线l交 1 C于NM,两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于QP,两 点，求四边形MPNQ面积的取值范围 【解析】 ： 圆 A 整理为 2 2 116xy，A 坐标1,0，如图， BEACQ，则CEBD，由,ACADDC则， EBDD ，则EBED ， 4 |AEEBAEEDADAB 根据椭圆定义为一个椭圆，方程为 22 1 43 xy ，(0y )； 22 1: 1 43 xy C；设:1l xmy，因为PQl，设:1PQ ym x ， 联立 1 lC与椭圆 ： 22 1 1 43 xmy xy 22 34690mymy ，则 圆心A到PQ距离 22 |1 1 |2| 11 mm d mm ， 所以 22 22 2 2 44 34 | 2 |2 16 1 1 mm PQAQd m m ， 2 22 2 22 2 121 114 342411 | |2412,8 3 1 2234 134 3 1 MPNQ m mm SMNPQ m mm m 2525、（20152015 新课标全国卷新课标全国卷 I I，理，理 2020）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y 2 4 x 与直线 l：ykxa(a0)交于 M，N 两点(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由 （）由题设可得(2, )Ma a，( 2 2, )Na，或( 2 2, )Ma，(2, )Na a. 1 2 yx ，故 2 4 x y 在 x=2 2a处的到数值为a，C 在(2 2 , )a a处的切线方程为(2)yaa xa，即0axya. 故 2 4 x y 在x=-2 2a处的到数值为-a，C 在( 2 2 , )a a处的切线方程为 (2)yaa xa ，即0axya.故所求切线方程为0axya或0axya. 22 2 22 22 3636 34121 |1|1 3434 MN mmm MNmyym mm 第 8 页（共 12 页） （）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，直线 PM， PN 的斜率分别为 12 ,k k.将ykxa代入 C 得方程整理得 2 440xkxa. 1212 4 ,4xxk x xa . 12 12 12 ybyb kk xx = 1212 12 2()()kx xab xx x x = ()k ab a . 当ba 时，有 12 kk=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故OPM=OPN，所以(0,)Pa符合题意. 26、（20142014 新课标全国卷新课标全国卷 I I， 理理 2020） 已知点A（0， -2） ， 椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ， F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 2 3 3 ，O为坐标原点. （I）求E的方程； （）设过点A的直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程. 解： （）设 F（c，0） ，直线 AF 的斜率为，解得 c= 又，b2=a2c2，解得 a=2，b=1椭圆 E 的方程为； （）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） 由题意可设直线 l 的方程为：y=kx2 联立，化为（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0 时，即时， ，|PQ|= =， 点 O 到直线 l 的距离 d=SOPQ=，设0，则 4k2=t2+3， =1，当且仅当 t=2，即，解得时取等号 满足0，OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为： 27. (20142014新课标全国卷新课标全国卷理理T20T20)设 F1,F2分别是椭圆 2 2 x a + 2 2 y b =10ab的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直,直线 MF1与 C 的另一个交点为 N. 第 9 页（共 12 页） (1)若直线 MN 的斜率为 3 4 ,求 C 的离心率.(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且MN=5 1 FN,求 a,b. 【解析】(1)因为由题知, 1 12 MF FF = 3 4 ,所以 2 b a 1 2c = 3 4 ,且 a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0, 解得 e= 1 2 .所以 C 的离心率为 1 2 . (2)由三角形中位线知识可知,MF2=22,即 2 b a =4.设 F1N=m,由题可知 MF1=4m.由两直角三角形相似,可得 M,N 两点横坐标分别为 c,- 3 2 c.由焦半径公式可得: MF1=a+ec,NF1=a+e 3 2 c ,且 MF1NF1=4 1,e= ,a2=b2+c2.联立解得 a=7,b=27.所以,a=7,b=27. 28 （2013 3新课标新课标高考理高考理）已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且 与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|. 解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23. 设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)， 其方程为x 2 4 y 2 3 1(x2) (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0) 时，R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2)2y24. 若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|2 3. 若 l 的倾斜角不为 90，由 r1R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则|QP| |QM| R r1，可求得 Q(4,0)， 所以可设 l：yk(x4)，由 l 与圆 M 相切得 |3k| 1k21，解得 k 2 4 .当 k 2 4 时，y 2 4 x 2代入x 2 4 y 2 3 1，并整理得 7x28x80，解得 x1,246 2 7 .所以|AB| 1k2|x2x1|18 7 .当 k 2 4 时，由图形的对 称性可知|AB|18 7 .综上，|AB|23或|AB|18 7 . 29 （2013 3新课标新课标高考理高考理）平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：x 2 a2 y2 b21 (ab0)右焦点的直线 xy 30 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为1 2.(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上的两点，若 第 10 页（共 12 页） 四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值 解： (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， y2y1 x2x11， 由此可得b 2x2x1 a2y2y1 y2y1 x2x11.因为 x 1x22x0，y1y22y0，y0 x0 1 2，所以 a 22b2. 又由题意知，M 的右焦点为( 3，0)，故 a2b23.因此 a26，b23.所以 M 的方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)由 xy 30， x2 6 y 2 3 1， 解得 x4 3 3 ， y 3 3 ， 或 x0， y 3. 因此|AB|4 6 3 . 由题意可设直线 CD 的方程为 yxn 5 3 3 n 3 ，设 C(x3，y3)，D(x4，y4) 由 yxn， x2 6 y 2 3 1 得 3x24nx2n260.于是 x3,42n 29n 2 3 . 因为直线 CD 的斜率为 1，所以|CD| 2|x4x3|4 3 9n2. 由已知，四边形 ACBD 的面积 S1 2|CD|AB| 8 6 9 9n2. 当 n0 时，S 取得最大值，最大值为8 6 3 .所以四边形 ACBD 面积的最大值为8 6 3 . 30 （2012012 2新课标高考理新课标高考理）设抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点 (1)若BFD90，ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程； (2)若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值 解：(1)由已知可得BFD 为等腰直角三角形，|BD|2p，圆 F 的半径|FA| 2p. 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d|FA| 2p.因为ABD 的面积为 4 2，所以1 2|BD|d4 2，即 1 22p 2p 4 2，解得 p2(舍去)或 p2.所以 F(0,1)，圆 F 的方程为 x2(y1)28. (2)因为A， B， F三点在同一直线m上， 所以AB为圆F的直径， ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|1 2|AB|， 所以ABD30，m 的斜率为 3 3 或 3 3 .当 m 的斜率为 3 3 时，由已知可设 n：y 3 3 xb，代入 x22py 得 x22 3 3 px2pb0.由于 n 与 C 只有一个公共点，故4 3p 28pb0，解得 bp 6. 因为 m 的纵截距 b1p 2， |b1| |b| 3，所以坐标原点到 m，n 距离的比值为 3. 第 11 页（共 12 页） 当 m 的斜率为 3 3 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m，n 距离的比值为 3. 31( (2012018 8 新课标全国卷新课标全国卷 I I，理理 1919) )设椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,A B两点， 点M的坐标为(2,0). （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB . 解： （1）由已知得(1,0)F，l 的方程为 x=1.由已知可得，点 A 的坐标为 2 (1,) 2 或 2 (1,) 2 . 所以 AM 的方程为 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx. （2）当 l 与 x 轴重合时，0OMAOMB .当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMAOMB .当 l 与 x 轴不