2018年北京市朝阳区高三一模数学(理)考试逐题解析.pdf

2 2018018 年北京市朝阳区高三一模年北京市朝阳区高三一模数学（理）数学（理）考试解析考试解析 第第 I I 卷卷 （选择题爱共 40 分） 一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分.在每小题列出的四在每小题列出的四 个选项中个选项中,选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集为实数集R,集合 2 |30, |21 x Ax xxBx, 则()AB R （A）(,03,) （B）(0,1 （C）3,) （D）1,) 【答案】C 【解析】本题考查集合的运算. 集合 2 |30 | (3)0 |03Ax xxx x xxx, 集合 0 |21 |22 |0 xx Bxxx x. 所以 |0Ax x R 或3x, 所以() |3ABx x R ,故选C. 2. 复数z满足(1 i)iz,则在复平面内复数z所对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】A 【解析】本题考查复数的运算与坐标表示. 由(1 i)iz得 ii(1 i)1i 1i(1i)(1 i)2 z ,在复平面内对应的点为 1 1 ( , ) 2 2 ,在第一象限,故选A. 3. 直线l的参数方程为 3 , 13 xt yt (t为参数),则l的倾斜角大小为 （A） 6 （B） 3 （C） 2 3 （D） 5 6 【答案】C 【解析】本题考查直线的参数方程及倾斜角. 由 3 , 13 , xt yt 可以得到直线的方程为13yx . 所以直线的斜率为3,倾斜角为 2 3 ,故选C. 4. 已知, a b为非零向量,则“0 a b”是“a与b夹角为锐角”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】本题考查平面向量数量积与夹角的关系. , a b为非零向量 0cos,0,0,) 2 a ba ba b , a b夹角为锐角 ,(0,) 2 a b (0, )0, ) 22 故选B. 5. 某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班,每天 有且只有1人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的 安排方法种数为 （A）18 （B）24 （C）48 （D）96 【答案】B 【解析】本题考查排列组合. 甲连续2天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）, （周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有 3 3 6A 种排法 因此共有4 624 种排法,故选B. 6. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于 （A） 3 4 （B） 2 3 （C） 1 2 （D） 1 3 【答案】D 【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计 算 抠点法:在长方体 1111 ABCDABC D中抠点, 1.由正视图可知: 11 C D上没有点; 2.由侧视图可知: 11 BC上没有点; 3.由俯视图可知: 1 CC上没有点; 4.由正（俯）视图可知:,D E处有点,由虚线可知,B F处有点,A点排除. 由上述可还原出四棱锥 1 ABEDF,如右图所示, 1 1 1 BEDF S 四边形 , 1 11 1 1 33 ABEDF V . 故选D. 7. 庙会是我国古老的传统民俗文化活动, 又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、 元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩 的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者 每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、 乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机 会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预 测,预测结果如下: 甲说:“我或乙能中奖”; 乙说:“丁能中奖”; 丙说:“我或乙能中奖”; 丁说:“甲不能中奖”. 游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预 测结果是正确的,则中奖的同学是 （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 【答案】A 【解析】本题考查学生的逻辑推理能力. 由四人的预测可得下表: 中奖人 预测结果 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 1. 若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意 2. 若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意 3. 若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意 4. 若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意 故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确.选A 8. 在平面直角坐标系xOy中,已知点( 3,0)A,(1,2)B,动点P满足OP OAOB,其中,0,1,1,2 ,则所有点P构成的图形面 积为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 3 【答案】C 【解析】本题考查向量坐标运算,线性规划. 设( , )P x y,则( 3,2 )( , )OPOAOBx y 3 2 x y 2 3 () 32 y y x 01 2 3 0()1 32 3 1()2 232 y y x yy x 02 022 3 2 32( 31)4 3 y xy xy 所有点P构成图形如图所示（阴影部分） 1 323 2 S 故选C 第第卷卷 （非选择题爱共 110 分） 二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 6 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 30 分分. 9. 执行如图所示的程序框图,若输入5,m 则输出k 的值为_. 【答案】4 【解析】本题考查程序框图. m k 初始 5 0 第一次 9 1 第二次 17 2 第三次 33 3 第四次 65 4 第四次时,6550,所以输出4k 10. 若 三 个 点( 2,1),( 2,3),(2, 1)中 恰 有 两 个 点 在 双 曲 线 2 2 2 :1(0) x Cya a 上,则双曲线C的渐近线方程为_. 【答案】 2 2 yx 【解析】本题考查双曲线图象与渐近线方程. 由于双曲线关于原点对称,故( 2,1),(2, 1)在双曲线上,代入方程解得 2a ,又因为1b,所以渐近线方程为 2 2 yx 11.函数( )sin()f xAx (0,0,) 2 A的 部分图象如图所示,则_;函数( )f x 在区间 , 3 上的零点为_. 【答案】 7 2, 12 【解析】本题考查三角函数图象与性质 由图得 () 3622 T ,即最小正周期T 又因为 2 | T ,且0,解得2 由图得 3 x 时, 2 2 () 32 kkZ 又因为 | 2 ,所以 6 ( )f x的零点即 ( )2sin(2) 6 f xx的图象与x轴交点的横坐标 则 2, 6 xkkZ,解得 , 122 k xkZ 因为 , 3 x,得到 7 12 x 所以零点为 7 12 12.已知点( 2,0), (0,2),AB若点M是圆 22 220xyxy上的动点, 则ABM!面积的最小值为_. 【答案】2 【解析】本题考查直线与圆位置关系. 将圆 22 :220M xyxy化简成标准方程 22 (1)(1)2xy 圆心(1, 1),半径2r 因为( 2,0), (0,2)AB,所以| 2 2AB 要求ABM!面积最小值,即要使圆上的动点 M到直线AB的距离d最小 而圆心(1, 1)到直线AB的距离为2 2 所以 min 2 22 222dr 所以 ABM S!的最小值为 min 11 |2 222 22 AB d 13.等比数列 n a满足如下条件: 1 0;a 数列 n a的前n项和1 n S . 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式_. 【答案】 * 1 () 2 n n anN（答案不唯一） 【解析】本题考查等比数列通项公式和前n项和. 例: 1 11 (1) 111 22 0,11 1 222 1 2 n n n aqS ,则 1 2 n n a 1 21 (1) 211 33 0,11 1 333 1 3 n n n aqS ,则 1 212 ( ) 333 n n n a 1 31 (1) 311 44 0,11 1 444 1 4 n n n aqS ,则 1 313 ( ) 444 n n n a 14.已知,aR函数 2 11 (1),0 ( ) sin 2 ,0 22 xx xax x f x x 当0x时,函数( )f x的 最大值是_;若函数( )f x的图象上有且只有两对点关于y轴对 称,则a的取值范围是_. 【答案】 11 ,( 1, ) 22 【解析】本题考查函数综合应用. (1)当0x 时, 11 sin 2 ( ) 22 xx x f x 令 111 1 1 1 ( )2222 2 xxx x f x ,当 1 1 1 2 2 x x ,即1x 时取等号 即当1x 时, 1min ( )2f x 令 2 ( )sin 1,1 2 x fx 又因为 22max (1)sin1( ) 2 ffx 则 1max max 2min ( )1 ( ) ( )2 f x f x fx (2)( )f x图象仅有两对点关于y轴对称 即( )(0)f x x的图象关于y轴对称的函数图象与( )(0)f x x 仅有两个 交点 当0x时, 2 ( )(1)f xxa.设其关于y轴对称的函数为( )g x 2 ( )()(1)(0)g xfxxa x 11 sin 2 ( )(0) 22 xx x f xx 由（1）可知近似图象如图所示 当( )g x与( )f x仅有两个交点时, 1 1 2 a 综上,a的取值范围是 1 ( 1, ) 2 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题小题,共共 80 分分,解答应写出文字说明解答应写出文字说明,演算步骤或证演算步骤或证 明过程）明过程） 15.（本小题满分 13 分） 在ABC!中,已知 5 sin 5 A,2 cosbaA. （）若5ac,求ABC!的面积; （）若B为锐角,求sinC的值. 【解析】 （）由正弦定理得 sin sin aA bB ,因为2 cosbaA, 所以sin2sincosBAA,cos=0 2 b A a , 因为 5 sin 5 A,所以 2 5 cos 5 A, 所以 52 54 sin2 555 B , 所以 114 sin52 225 ABC SacB ! . （）由（）知 4 sin 5 B ,因为B为锐角,所以 3 cos 5 B . 所以sin=sin()sin()CABAB sincoscos sinABAB 532 54 5555 11 5 = 25 16.（本小题满分 14 分） 如图1,在矩形ABCD中,2,4ABBC,E为AD的中点,O为BE 的中点.将ABE!沿BE折起到ABE,使得平面ABE平面BCDE（如 图2）. （）求证:AOCD; （）求直线A C与平面ADE所成角的正弦值; （） 在线段A C上是否存在点P,使得/OP平面ADE?若存在,求出 A P A C 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】 （）如图,在矩形ABCD中, 2,4ABBC,E为AD中点, 2ABAE, O为BE的中点, AOBE 由题意可知,A OBE, 平面ABE平面BCDE 平面ABE平面BCDEBE, A O平面ABE AO平面BCDE CD平面BCDE, AOCD （）取BC中点为F,连结OF 由矩形ABCD性质,2,4ABBC,可知OFBE 由（）可知,AOBE AOOF 以O为原点, OA 为z轴,OF为x轴,OE为y轴建立坐标系 在Rt BAE!中,由2,2ABAE,则2 2,2BEOA, 所以(0,0, 2), (0, 2,0),( 2,0,0),AEF (0,2,0), (2 2, 2,0),( 2,2 2,0),BCD (2 2, 2,2)AC,( 2, 2,0)ED ,(0, 2,2)AE 设平面ADE的一个法向量为( , , )mx y z 则 0 0 m A E m ED , 220 220 yz xy 令1yz,则1x 所以( 1,1,1)m 设直线A C与平面ADE所成角为 2 sincos, 3 A C m A C m A Cm 所以直线A C与平面ADE所成角的正弦值为 2 3 . （）假设在线段A C上存在点P,满足/OP平面ADE 设(01)APAC 由(2 2, 2,2)AC,所以(2 2 , 2 ,2 )AP (2 2 , 2 , 22 )P,(2 2 , 2 , 22 )OP 若/OP平面ADE,则0m OP 所以2 22220,解得 1 0,1 2 所以 1 2 A P A C . 17.（本小题满分 13 分） 某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科 目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选 取三个科目作为选考科目,若一名学生从六个科目中选出了三个科目 作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案 待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲 的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案. 某学校为了了解高一年级 420 名学生选考科目的意向,随机选取 30 名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表: 性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有 8 人 8 8 4 2 1 1 选考方案待确定的有 6 人 4 3 0 1 0 0 女生 选考方案确定的有 10 人 8 9 6 3 3 1 选考方案待确定的有 6 人 5 4 1 0 0 1 （） 估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 多少人？ （）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定 的 8 位男生随机选出 1 人,从选考方案确定的 10 位女生中随机 选出 1 人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目 的概率; （）从选考方案确定的 8 名男生随机选出 2 名,设随机变量 1,2 2,2 名男生选考方案相同, 名男生选考方案不同, 求的分布列及数学期望E. 【解析】 （）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为, x 8 106435 420420140 86 1068 1059 x （人） 所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人. （）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为 11 23 11 108 3 40 CC CC （）由题意知的所有可能取值为1,2 22 42 2 8 611 (, 284 CC P C 1)= 111111111111 424141212111 2 8 (2 8442213 284 CCCCCCCCCCCC P C ) 所以的分布列为 1 2 P 1 4 3 4 期望为 137 ( )12 444 E . 18.（本小题满分 13 分） 已知函数 ln1 ( ) x f xax x . （）当2a 时,（i）求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程; （ii）求函数( )f x的单调区间; （）若12a,求证:( )1f x . 【解析】 （）当2a 时, ln1 ( )2 x f xx x ,定义域为(0,) 2 22 2ln2ln2 ( )2= xxx fx xx （i）(1)1 2=3f (1)22=0 f 所以切点坐标为(1, 3),切线斜率为0 所以切线方程为3y （ii）令 2 2ln( )2xgxx , 1 4(0)xxg x 所以( )g x在(0,)上单调递减,且(1)=0g 所以当(0,1)x时,( )0g x 即( )0fx 所以当(1,+ )x时,( )0g x 即( )0fx 综上所述,( )f x的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+ ). ()方法一: ( )1f x ,即 ln1 1 x ax x 设 ln1 ( )1(0) x h xaxx x 2 22 2lnln2 ( ) xaxx h xa xx 设 2 ( )ln2xaxx 2 121 ( )20 ax xax xx 所以( )x在(0,)小于零恒成立 即( )h x在(0,)上单调递减 因为12a 所以(1)20ha, 2 ()0h ea 所以在 2 (1,)e上必存在一个 0 x使得 2 00 0 2 0 ln2 ()=0 axx h x x 即 2 00 ln=2xax 所以当 0 (0,)xx时,( )0h x,( )h x单调递增 当 0 (,+ )xx时,( )0h x,( )h x单调递减 所以 0 00 0 ln1 ( )()1 max x h xh xax x 因为 2 00 ln=2xax 所以 2 00 0 0 21 () axx h x x 令 0 ()=0h x得 0 118 4 a x a 因为12a,所以1 18 0 4 a a ,1 18 1 4 a a 因为 2 0 (1,)xe,所以 0 ()0h x恒成立 即( )0h x 恒成立 综上所述,当12a时,( )1f x 方法二: ( )f x定义域(0,) 为了证明( )1f x ,即 ln1 1 x ax x 只需证明 2 ln1xaxx ,即 2 ln1xaxx 令( )ln1(0)m xxxx 则 1 ( )1m x x 令( )0m x,得01x 令( )0m x,得1x 所以( )m x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减 所以( )(1)0 max m xm 即ln1 0xx ,则ln1xx 令 2 ( )22n xaxx 因为12a,所以=4 80a 所以( )0n x 恒成立 即 2 220axx 所以 2 11axxx 综上所述, 2 ln1xaxx 即当12a时,( )1f x 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ,且过点 2 (1,) 2 . （）求椭圆C的方程; （）过椭圆C的左焦点的直线 1 l与椭圆C交于,A B两点,直线 2 l过坐 标原点且与直线 1 l的斜率互为相反数.若直线 2 l与椭圆交于 ,E F两点且均不与点,A B重合,设直线AE与x轴所成的锐角 为 1 ,直线BF与x轴所成的锐角为 2 ,判断 1 与 2 的大小关系 并加以证明. 【解析】 （）由题可得 2 22 222 2 2 2 () 1 2 1 c a ab abc ,解得 2 1 1 a b c . 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y. （）结论: 12 ,理由如下: 由题知直线 1 l斜率存在, 设 11122 :(1), ( ,), (,)lyk xA x yB x y. 联立 22 (1) 22 yk x xy , 消去y得 2222 (12)4220kxk xk, 由题易知0恒成立, 由韦达定理得 22 1212 22 422 , 1212 kk xxx x kk , 因为 2 l与 1 l斜率相反且过原点, 设 2: lykx , 3344 (,),(,)E x yF x y, 联立 22 22 ykx xy 消去y得 22 (12)20kx, 由题易知0恒成立, 由韦达定理得 3434 2 2 0, 12 xxx x k , 因为,E F两点不与,A B重合, 所以直线,AE BF存在斜率, AEBF kk, 则 1324 1324 AEBF yyyy kk xxxx 1323 1323 (1)(1)k xkxk xkx xxxx 13232313 1323 (1)()(1)() ()() xxxxxxxx k xxxx 2