初二数学《三角形》拔高题精选.pdfVIP

三角形三角形 全等三角形 全等三角形 基础知识 1全等三角形的基本判定方法有“边角边” ， “角边角” ， “角角边” ， “边边边”四种特 别的是，在直角三角形中可用“边边角”即“斜边，直角边”来证明全等 证明两个三角形全等的要素是证明它们满足判定方法中的三个条件 通常使用逆向思维， 从结果推导到已知 2根据全等三角形的性质，它们的对应边，对应角，对应线段（角平分线，中线，高） 都对应相等我们常用全等三角形来证明线段和角的相等，线段和角的和差倍分等问题，还 可用来证明直线的垂直与平行关系 3三角形的内心：三角形内三条角平分线交于一点，它叫做三角形的内心三角形内 心到三角形三边的距离相等 提示 1在某些图形中，应添加辅助线以构造全等三角形，类似代数中的“辅助代数式” （常 用方法如截长补短法（如例 2） ，倍长中线法（如例 3） ） 2一题一般不止一种解法，应有 选择性 3在竞赛中证明无需像平时那样严谨，有的推论可以不写 例题 1如图 1，已知BD，CE分别是ABCD的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线 上，BPAC=，点Q在CE上，CQAB=求证：APAQ=；APAQ 分析：由图可知要证APAQ=，可利用全等三角形对应边相等这一性质，于是 据观察，AP和AQ位于ACQD和PBAD中，题目已知条件已经给出两边 对应相等，只需再证一角对应相等，即ACQPBA= 即可 P Q E D BC 图 1 图 1 () :, 90 90 ,90 , ,90 90 ,90 BD CEABCACAB BECBDC ABDBACACEBAC ABDACE BPAC ACQPBAABDACE CQAB ACQPBA SAS APAQ CAQP BDACPCAP CAQCAPQAP APAQ D = = + = + = = = DD= = DD = = + = + = 证明分别是的边和上的高 在和中 由得 即 即 . 2 如图 2， 在ABCD中，90BAC=，ABAC=，BE平分ABC，CEBE， 求证： 1 2 CEBD= 分析：本题可按如图所示延长CE和BA并相交后得到一对全等三角形FCAD和 BDAD，得到BDCF=，又得BEFBECDD，即可证 1 2 CEBD= () () : 90 , 90 , , , , ,2 11 22 . BACCEBE FCAFDBA FACDAB FCABDAABAC FCADBA FCABDA SAS BDCF FEBCEB BEFBECBEBE FBECBE BEFBEC ASA ECE CEB F CFCE CEC AF FB = = - = = DD= = DD = = DD= = DD = = 证明 在和中 延长与交于 点 在和中 .D 3证明：在直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边的一半 已知：如图 31，在ABCD中，90ACB=，CD是中线 F D A CB E 图 2 图 2 求证： 1 2 CDAB= 分析：本题所求证的是“直角三角形斜边中线定理” ， 有多种证法，在这里我们介绍“倍长中线”证法 如图 32 所示作辅助线，可得一对全等三角形 ADCD和BDED，紧接着证ACBEBCDD，就 可得到对应线段的比例关系了 () () : , , , 90 90 , , 2 1 . . 2 , ADBD ADCBDEADCBDE DCDE ADCBDE SAS ACBEADBE ACBE ACB EBC ACBE ACBEBC C ACBEBC CBBC ACBEBC SAS ABC DEDC ECD CDA DBE B E = DD= = DD = = = = DD= = DD = = = 延长到 证明 在和中 得 使连 在和中 点 4如图 41，ABCD中，60A=，ACB的平分线CD和ABC的平分线BE交 于点G求证：GEGD= 分析：在题目条件中出现角平分线时，我们常从角平分线上一点向角的两边作 垂线，可得到一对全等三角形，在本题中也是如此 D A C B 图 3-1 图 3-1 图 3-2 图 3-2 E D B C A 评注： “倍长中线”是一种常用 的辅助线，其目的是为了构造出 全等三角形，将分散的条件集中 到一个三角形中去 图 4-1 图 4-1 GE D BA C :42, 60 120 , 60 1 , 20 , 3 , 2 . 0 1 0 , A ACBABC CDACB BEABC BCGCBG CGBEGD GACB GNGFGFGM GNGM AGCAB GAMGAN NGMNGAAGM RtEGNRt AGGGMAB GNAC GFB M C DG - = + = + = = = = = = = = + = D D 证明如图 平分平分 是平分线上一点 同理 是的 连过 平分线 在和 作 中 点 () 120 , , . EGDNGM EGNDGM GNGM RtEGNRtDGM AAS GEGD = = = = DD = 5如图 51， （1）已知ABCD和 111 ABCD中， 11 ABAB=， 11 BCBC=， 111 100BACB AC= =，求证： 111 ABCABCDD （2）前题中，若将条件改为 11 ABAB=， 11 BCBC=， 111 70BACB AC= =， 结论是否成立？ 分析：本题是典型的“SSA”特例，需要构造辅助直角三角形证全等 D1 B1 D B CAA1C1 图 5-1 图 5-1 F N M G E D BA C 图 4-2 图 4-2 ( ) () 1111 111 1 1111 1111 11 11 111 11 11 1 1 11 11 : 1: 80 ,90 , , , , ,. BADB ADDD BACB AC DD ABDAB DBADB AD ABAB ABDAB DAAS BDB D BCBC RtBDCRtB DC B BDCAD B DC A DB D RDt D tB CR = = = = = = DD= = DD = = DD = D D 作于点于点解证明 在和中 在和中 () () ( ) 111 1 111 1111 11 111 111 , , . 2.52,. B DCHL CC BACB AC ABCABCCC BCBC ABCABCAAS ABCABC = = DD= = DD -DD 在和中 结论不成立如图显然与不全等 6如图 61，在四边形ABCD中，BCDC=，对角线AC 平分DABAB与AD的大小满足什么条件时， 180DB+=？请画图并证明你的结论 分析：本题需对两种情况进行讨论：ABAD和 ABAD=这里提供的解法是作点C在AB和AD上的垂线 构造全等三角形 () () 作于点于点 解如图所示 当时 证明 设 平分 在和中 当且时 显然证明略 :62,180 . :. , , 180 90,180 ,. . ABADDB ABAD ACDAB CECF BCDC RtBCERtDCF CECF RtBCERtDCF HL BCDF A C DCB EABE CFAD ADCCDF ABADBDB F -+ = = = DD = DD = + = + = =+ = 7如图 7，已知ABCD，ADBC，AC与BD交于点O，AEBD 于点E，CFBD于点F，那么图中全等的三角形有 对 分析：在此图中全等的三角形如下： C1 A(A1)B(B1) C 图 5-2 图 5-2 D A B C 图 6-1 图 6-1 D A B C E F 图 6-2 图 6-2 O AB DC E F 图 7 图 7 ; ; ; ; ; . AEDCFB AEOCFO ADOCBO ABOCDO AEBCFD ADBCBD DD DD DD DD DD DD 故应填6 8如图 81， 在ABCD中，BAC的平分线AD 交BC于点D，ACABBD=+，30C=，求B 的度数 分析：按截长补短法作辅助线 () :82, , , 30 , , 2 ,. 60 . ADBAC BADCAD AEAC AEDACDBADCAD ADAD AEDACD SAS EC AEAC AEABBE ACABBD BEBDBDEE A ABEAEAC BCBDE DE- = = DD= = DD = = = =+ =+ = = = = 延长到点解如图所示 平 使 分 和 连 在中 9如图 9，在ABCD中，5AB =，3AC =，则BC 边上的中线AD的长l的取值范围是（ ） 分析：按倍长中线法作辅助线，可得一对全等三角形DECD 和ABDD，然后利用三角形的三边关系即可得到l的取值范围 图 8-1 图 8-1 D A BC D A BC E 图 8-2 图 8-2 5 3 l D C B A E 图 9 图 9 评注： 在进行全等三角形有关 的计数时可参考面积计数方法， 分类计数，如在此题中可按三角 形的面积从小到大分类，也可按 相同顶点的三角形进行分类这 样做的好处就是不会漏数 A14l +=+ 15 如图 151，在ABCD中，90ACB=， ACCB=，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长 线于点E，且 1 2 AEBD=求证： BD是ABC的平分线 分析： 要证BD是ABC的平分线， 可证ABECBE= 采用截长补短法， 延长AE 与BC可得一对全等三角形，故得证 图 15-1 图 15-1 图 15-2 图 15-2 () 证明 如图所示 在和中 在 延长与交于点 和中 :152, 90 , 90 , , 1 2 1 , 2 , ,90 , . AEDBCD ADEBDC FACDBC ACFDCB FCAACBACBD FACDBC FCAACB ASA AFBD AEBD AEAF AEFE AEFE ABEFBEAEB AEBC F B F E BEBE - = = = = = = DD= = DD = = = = DD= = = () 是的平分线. ABEFBE SAS ABEFBE BDABC DD = 16如图 16， 在ABCD中， ABAC=，直线l过点A且 lBC，ABC的平分线与AC和l分别 交于D，E，ACB的平分线与AB 和l分别交于F，G求证：DEFG= 分析：欲证DEFG=，应先证 AEDAGFDD由等腰三角形和角平分线的性质 可 得ABEEBCACGGCB= = = ， 又 由 平 行 线 的 性 质 可 得 EADGAF= ，进而可证AEDAGFDD 图 16 图 16 证明 : , , , , 180,180 ABAC ABCACB ABEEBCACGGCB ABEEBCACGGCB lBC AEDEBCAGFGCBGAFABCEADACB ABEAEDACGAGFEADGAF ABAE ACAG AEAG AFGBFCGCBABCADECDBEBCA = = = = = = = = = = = = = = = = = = - - = = - - () 在和中 , , . CB ADEAFG EADGAF ADEAFGADEAFG AEAG ADEAFG AAS DEFG = = DD= = DD = 17如图 17，在ABCD中， 90BAC=，四边形ABDE， BCFG是两个正方形，AB的延 长线交DG于点P求证： 2ACBP= （辅助线提示：过点G作 GHBP于点H） 分析：按如图所示作辅助线，可得 两对全等的三角形： GBHBCADD和 GHPDBPDD，故有 , 2,2. BHAC HPBP BHBP ACBP = = 图 17 图 17 () : ,90 90 90 90 , , , 90 , , BCFG BCBGGBC GBHCBA BAC BCACBA GBHBCA GHBBACBGHABC GBHBACBGBC GBHBCA GBHBCA ASA BHAC GHBA BABD GHBD GHPDBP GHPDBPGP = + = = + = = = = DD= = DD = = = = = DD 证明四边形是正方形 在和中 在和中 () , ,2 2. HDPB GHBD GHPDBP AAS HPBP BHBP ACBP = = DD = = 18如图 181，三所学校分别记作A，B，C，体育场记作O， 它是ABCD的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有 道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校再回到O点， 指出哪条路线跑的距离最短（已知ABBCAC+ + 解 是的外角平分线 在和中 在的延长线上截取点使得 连 直角三角形直角三角形 1 基础知识 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形关于它有如下几个重要的定理： 1两锐角互余； 2斜边上的中线等于斜边的一半； 3两直角边的平方和等于斜边的平方； 4在直角三角形中，如果一个角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 5在一个三角形中，如果一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 6在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30 例题 22如图 22，D，E是等边ABCD两边上的两个点，AECD=， 连BE，AD交于点P，过点B作BQAD于点Q求证： :2BPPQ = 注： 1 “直角三角形”在数学教材中并不是单独成节的内容 D B C A P E 图 21 图 21 Q P C A B E D 图 22 图 22 () , :, 60 30 1 2 :2. CAAB CADABECEAB CDAE CADABE SAS CADABE QPBPABPBAPABPAE BPAD QBP PQBP BPPQ = DD= = DD = = + = + = = = = 证明在和中 23已知ABCD中，ABAC=，120A=， D是BC的中点，DEAB于点E求证： 3BEAE= :,120 30 1 2 ,9030 1 2 243. ABACA BC DBC ADBD ADAB DEABADEBADB AEAD BEABAEADAEAEAEAE = = = = = -= = = =-=-=-= 证明 是的中点 24如图 241，已知ABCD中，30B=，15C=，D是BC上一点， 90CAD=求证：2CDAB= :242, , 23 ,. 0 22. AMMCMD CAMC A DCMAM MDCAMCCB AMAB CDAMAB - = = = + = = = = = 取中点连证明如图 E D C B A 图 23 图 23 D A BC 图 24-1 图 24-1 M D A BC 图 24-2 图 24-2 25如图 251，在ABCD中， BD，CE是两条高，F，G分别是 BC，DE的中点求证： FGDE :252, , 1 2 , 1 2 . . , BDAC FBC DFBC EFBCDFEF GDE F FFE GDE D- = = 证明如图 为的中点 同理 为的中点 连 26如图 26，在ABCD中，90B=，M为AB上一点， 使得AMBC=，N为BC上一点，使得CNBM=连 AN，CM交于点P，试求APM的度数 () ,.:, , , , , ,90 , CDAM AMCD CDAM AMCD ADCM ADCM AMBC DCBC DCBC RtDCNRtCBMDCNB CNBM RtDCNRtCBM SAS DNCM CCD DN ABCDAMA AD ADNMQNMCBQNCMCB D DN = = = = = DD= = = DD = = = = + = + = 解如图 在四边形中 四边形是平行四边形 在和中 过点作且连 90 45 45 . CMB ANDRt DAN APMDAN = DD = = = 是等腰 27如图 27，90BAC=，ABAC=，M是AC 的中点，ADBM交BC于D，交BM于E求证： AMBDMC= 分析：AMB和DMC所在的AMED和DMCD 显然不全等，但这启示我们构造其它的全等三角形 由于45C=，90BAC=，若作BAC 的平分线AG，结合求证中的条件AMBDMC= ，我们可断言 G F E D BC A 图 25-1 图 25-1 G F E D BC A 图 25-2 图 25-2 D P N MA B C 图 26 图 26 图 27 图 27 G D E M A C B AGMCDMDD，为证明，应找出另一对全等的三角形AGBCDADD，这样便建 立了相对完整的证明链 () : , , 45