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全等三角形中的辅助线 第 1 页，共 26 页 一、全等三角形常见辅助线 中线类辅助线作法中线类辅助线作法 1、 遇到三角形的中线， 可以倍长中线， 使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形， 通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系 3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜 边的中点，试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系 截长补短法构造全等三角形截长补短法构造全等三角形 截长补短法， 是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法， 也是把几何题化难为易的一 种思想所谓“截长” ，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已 知的两条较短线段中的一条， 然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等； 所谓 “补短” ， 就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等， 然后求出延长后的线 图 E D CB A 图 F A BC D E D CB A 图 ED CB A 图图 M D C B A 全等三角形中的辅助线 知识点 全等三角形中的辅助线 第 2 页，共 26 页 段与最长的已知线段的关系 有的是采取截长补短后， 使之构成某种特定的三角形进行求解 一、 单选题 1、 （2014 初一下期末人大附中）已知ABC 中，5AB ，7AC ，则 BC 边上的中线 a 的 取值范围是（ ） A16a B57a C212a D1014a 【答案】 A 【解析】 该题考查的是添加辅助线构造全等三角形 延长 AE 到 D，使AEDE，连接 BD， AE 是中线， BECE，AECDEB， AECDEB（SAS） ， 7BDAC， 又AEa， 2212a， 16a，故答案是 A 二、 解答题 2、 如图， 点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点 （点B除外） ， 作60DMN， A B C E D 例题 全等三角形中的辅助线 第 3 页，共 26 页 射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? 【答案】 见解析 【解析】 猜测DMMN过点M作MGBD交AD于点G，AGAM，GDMB 又120ADMDMA，120DMANMB ADMNMB，而120DGMMBN， DGMMBN，DMMN 3、已知：如图，ABC 中，ABAC，BD 平分ABC，BC 上有动点 P （1）DPBC 时（如图 1） ，求证：BPDCCP； （2）DP 平分BDC 时（如图 2） ，BD、CD、CP 三者有何数量关系？ 【答案】 （1）见解析（2）BDCDCP 【解析】 N EBMA D G N EBMA D 全等三角形中的辅助线 第 4 页，共 26 页 （1）证明：在 BP 上截取PMPC，连接 DM， DPBC， DMDC， CDMC， ABAC， ABCCDMP， BD 平分ABC， 2ABCDBCC ， 2DMCDBC ， DMCDBCBDM， DBCMDB， DMBMDC， BPBMPMDCCP （2）解：BDCDCP， 理由是：在 BD 上截取DMDC，连接 PM， DP 平分BDC， MDPCDP， 在MDP 和CDP 中 DMDC MDPCDP DPDP MDPCDP（SAS） ， CPMP，CDMP， 2CABCDBC ， 2DMPDBCDBCMPB ， DBCMPB， BMMPCP， BDCDCP 全等三角形中的辅助线 第 5 页，共 26 页 4、已知：如图，E 是 BC 的中点，点 A 在 DE 上，且BAECDE 求证：ABCD 【答案】 见解析 【解析】 延长 DE 到 F，使EFDE，连接 BF， E 是 BC 的中点，BECE， 在BEF 和CED 中 BECE BEFCED EFDE BEFCED FCDE，BFCD BAECDE，BAEF ABBF， 又BFCD，ABCD 5、已知等腰ABC，100A ，ABC的平分线交AC于D，则BDADBC 全等三角形中的辅助线 第 6 页，共 26 页 【答案】 见解析 【解析】 如图，在BC上截取BEBD，连接DE， 过D作DFBC，交AB于F，于是32 ，ADFECD 又12 ， 13 ，故DFBF显然FBCD是等腰梯形 BFDC，DFDC 111 218010020 222 ABC ， 1 180280 2 BEDBDE ， 180100DECBED，100FADDEC， AFDEDC，ADEC 又BEBD，BCBDECBDAD 6、 如图， 已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点， 延长BE交AC于F， AFEF，求证：ACBE 【答案】 A BC D 3 2 1 F E D CB A F E DC B A 全等三角形中的辅助线 第 7 页，共 26 页 见解析 【解析】 延长AD到G，使DGAD，连结BG BDCD，BDGCDA，ADGD ADCGDB，ACGBGEAF 又AFEF，EAFAEF GBED， BEBG，BEAC 7、如图，在ABC 中，ABAC，D 是三角形外一点，且60ABD，BDDCAB求 证： 60ACD 【答案】 见解析 【解析】 延长 BD 至 E，使CDDE，连接 AE，AD， BDCDAB，BEBDDE，BEAB， 60ABD，ABE 是等边三角形， AEABAC，60E， 在ACD 和ADE 中， ACAE CDDE ADAD ， G F E D C B A 全等三角形中的辅助线 第 8 页，共 26 页 ACDADE（SSS） ， 60ACDE 8、如图，以ABC 的边 AB、AC 为直角边向外作等腰直角ABE 和ACD，M 是 BC 的中 点，请你探究线段 DE 与 AM 之间的关系 说明： （1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路 写出来（要求至少写 3 步） ； （2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件， 完成你的证明 画出将ACM 绕某一点顺时针旋转 180 后的图形； 90BAC（如图） （3）如图，若以ABC 的边 AB、AC 为直角边，向内作等腰直角ABE 和ACD，其它条 件不变，试探究线段 DE 与 AM 之间的关系 【答案】 见解析 【解析】 （1）分三种情况； 全等三角形中的辅助线 第 9 页，共 26 页 当90BAC，M 是 BC 的中点 2 BC AMBMMC， 90EADBAC，AEAB，ACAD ABCAED EDBC 2EDAM 同理当90BAC，易得2EDAM 当90BAC，易得2EDAM （2）已知（1）的结论，若90BAC，可得2EDAM （3）结合上题可得：2AMDE 延长 CA 到 F 使AFAC，连接 BF 易证ABFADE BFDE 2AMBF，2AMDE 9、(2012 初二上期中中关村中学)如图 1 所示：/AMDN， AE、 DE 分别平分MAD 和AND，并交于 E 点.过点 E 的直线分别交 AM、DN 于 B、C. （1）如图 2，当点 B、C 分别位于点 AD 的同侧时，猜想 AD、AB、CD 之间的 存在的数量关系：_ _. （2）试证明你的猜想. （3）若点 B、C 分别位于点 AD 的两侧时，试写出 AD、AB、CD 之间的关系，并选择一个 写出证明过程. 【答案】 （1）ADABCD（2）见解析（3）见解析 【解析】 全等三角形中的辅助线 第 10 页，共 26 页 该题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质 （1）ADABCD （2）在 AD 上截取AFAB，连结 EF， AE 平分BAD， BAEFAE 在ABE 和AFE 中， ABAF，BAEFAE，AEAE， ABEAFE， ABCAFE AB/CD， 180ABCBCD 又180AFEDFE DFEBCD DE 平分ADC， ADECDE 在FED 和CED 中， DFEDCE ADECDE DEDE FEDCDE， DFCD AFDFABCD 即ADABCD （3）第一种情况，当点 B 位于点 A 左侧，点 C 位于点 D 右侧时，DCADAB 在 CD 上截取DFAD，连结 EF， DE 平分ADC ADECDE 在ADE 和FDE 中， 全等三角形中的辅助线 第 11 页，共 26 页 DADF ADECDE DEDE ADEFDE EAEF，DAEDFE AE 平分DAM， DAEEAM DFEEAM 又180BAEEAM，180DFECFE， BAECFE AMDN， ABCBCD 在BAE 和CFE 中， BAECFE ABCBCD EAEF BAECFE ABFC DCDFFC， DCADAB 第二种情况：当点 B 位于点 A 右侧，点 C 位于点 D 左侧时，ABADCD 在 AB 上截取AFAD，连结 EF AE 平分BAD， BAEDAE 在ADE 和AEF 中， AFAD BAEDAE AEAE AEFAED EFED， AFEADE DE 平分ADN， ADEEDN， AFEEDN 又180AFEBFE，180EDNEDC， BFEEDC AM/DN， ABCBCD 在BEF 和CED 中， 全等三角形中的辅助线 第 12 页，共 26 页 BFEEDC ABCBCD DEEF BFECED CDBF ABAFFB， ABADCD 10、 （2014 初二上期末石景山区）如图 1，在ABC 中，2ACBB ，BAC 的平分线 AO 交 BC 于点 D，点 H 为 AO 上一动点，过点 H 作直线 lAO 于 H，分别交直线 AB、AC、BC 于点 N、E、M （1）当直线 l 经过点 C 时（如图 2） ，证明：BNCD； （2）当 M 是 BC 中点时，写出 CE 和 CD 之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出 BN、CE、CD 之间的等量关系 【答案】 （1）见解析（2）2CDCE（3）当点 M 在线段 BC 上时，CDBNCE；当点 M 在 BC 的延长线上时，CDBNCE；当点 M 在 CB 的延长线上时，CDCEBN 【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质 （1）证明：连接 ND AO 平分BAC， 12 ， 直线 lAO 于 H， 4590 ， 67 ， 全等三角形中的辅助线 第 13 页，共 26 页 ANAC， NHCH， AH 是线段 NC 的中垂线， DNDC， 89 ANDACB， 3ANDB ，2ACBB ， 3B， BNDN BNDC； （2）如图，当 M 是 BC 中点时，CE 和 CD 之间的等量关系为2CDCE 证明：过点 C 作 CNAO 交 AB 于 N 由（1）可得BNCD ，ANAC ，ANAC 43 ，NNCE 过点 C 作 CGAB 交直线 l 于 G 42 ，1B 23 CGCE M 是 BC 中点， BMCM 在BNM 和CGM 中， 1B BMCM NMBGMC BNMCGM （ASA） BNCE 2CDBNNNBNCE （3）BN、CE、CD 之间的等量关系： 当点 M 在线段 BC 上时，CDBNCE； 当点 M 在 BC 的延长线上时，CDBNCE； 当点 M 在 CB 的延长线上时，CDCEBN 11、（2012 初二上期中北达资源中学）（1） 如图， 四边形 ABPC 中，ABAC，60BAC， 120BPC，求证：PBPCPA 全等三角形中的辅助线 第 14 页，共 26 页 （2）如图，四边形 ABCD 中，ABBC，60ABC，P 为四边形 ABCD 内一点，且 120APD，求证：PAPCPDBD 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 该题考查的是几何综合 （1）延长 PC 于点 E，使得CEBP，连接 AE， 60BAC，120BPC， 180ABPACP， 180ACEACP， ACEABP， 在ABP 和ACE 中， ABAC ACEABP EPCE ， ABPACE（SAS） ， APAE，BAPCAE， 60BAPCAP， 60CAECAP，即60PAE， APE 是等边三角形， APEP， 即PBPCPA 全等三角形中的辅助线 第 15 页，共 26 页 （2）连接 BP， 由（1）得，PAPCPB， 在BDP 中， BPPDBD， PAPCPDBD 12、已知：如图，MNQ中，MQNQ （1）请你以 MN 为一边，在 MN 的同侧构造一个与MNQ全等的三角形，画出图形，并简 要说明构造的方法； （2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图，在四边形 ABCD 中， 180ACBCAD，BD 求证：CDAB E M N P Q R 全等三角形中的辅助线 第 16 页，共 26 页 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 该题考查的是三角形全等 （1）过点 N 在 MN 的同侧作 MNRQMN， 在 NR 上截取NPMQ，连结 MP MNP 即为所求 画图 1 分，构造说明 1 分，共 2 分 （2）证明：延长 BC 到点 E，使CEAD，连结 AE 180ACBCAD，180ACBACE， CADACE 3 分 又ADCE，ACCA， ACDCAE 4 分 DE，CDAE 5 分 BD ， BE AEAB 6 分 CDAB 7 分 A B C D M N Q 全等三角形中的辅助线 第 17 页，共 26 页 E D C BA 全等三角形中的辅助线 第 18 页，共 26 页 1、已知：AC 平分BAD，CEAB，180BD ，求证：AEADBE 【答案】 见解析 【解析】 在 AE 上取 F，使EFEB，连接 CF CEAB 90CEBCEF EBEF，CECE， CEBCEF BCFE 180BD，180CFECFA DCFA AC 平分BAD DACFAC ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE 2、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为 顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长 E D C BA 随堂练习 全等三角形中的辅助线 第 19 页，共 26 页 【答案】 见解析 【解析】 如图所示，延长AC到E使CEBM 在BDM与CDE中，因为BDCD，90MBDECD，BMCE， 所以BDMCDE，故MDED 因为120BDC，60MDN，所以60BDMNDC 又因为BDMCDE，所以60MDNEDN 在MND与END中，DNDN，60MDNEDN，DMDE， 所以MNDEND，则NEMN，所以AMN的周长为2 3、五边形 ABCDE 中，ABAE，BCDECD，180ABCAED，求证：AD 平分 CDE C E D B A 全等三角形中的辅助线 第 20 页，共 26 页 【答案】 见解析 【解析】 延长 DE 至 F，使得EFBC，连接 AC. 180ABCAED，180AEFAED，ABCAEF ABAE，BCEF，ABCAEF EFBC，ACAF BCDECD，CDDEEFDF ADCADF，ADCADF 即 AD 平分CDE 4、 （2014 初二上期末昌平区）如图，AD 是ABC 的角平分线，点 F，E 分别在边 AC，AB 上，且FDBD （1）求证：180BAFD ； （2）如果2180BDEA ，探究线段 AE，AF，FD 之间满足的等量关系，并证明 【答案】 （1）见解析（2）AEAGGEAFFD 【解析】 该题考查全等三角形 （1）在 AB 上截取AGAF AD 是ABC 的角平分线， FADDAG 在AFD 和AGD 中， A B D E F C 全等三角形中的辅助线 第 21 页，共 26 页 AFAG FADGAD ADAD AFDAGD（SAS） ， AFDAGD，FDGD， FDBD， BDDG， DGBB， 180BAFDDGBAGD ； （2）AEAFFD 过点 E 作DEHDEA，点 H 在 BC 上 2180BDEA ， HEBB 180BAFD ， BAFDGEH ， GDEH GDEDEHDEG GDGE 又AFAG， AEAGGEAFFD 5、 如图所示， 已知在等腰直角三角形ABC中，BAC是直角，D是AC上一点，AEBD， AE的延长线交BC于F，若ADBFDC，求证：D是AC的中点 【答案】 见解析 【解析】 过C作CH垂直于AC交AF延长线于H点；易证ABDAHC，HCAD；进而证明 FHCFDC，得到HCCD，则D为AC中点 F E D C B A 全等三角形中的辅助线 第 22 页，共 26 页 1、已知等腰直角三角形ABC，C为直角，M为BC的中点CDAM求证： AMCDMB求证：AMCDMB 【答案】 见解析 【解析】 如图，过B作EBBC，交CD延长线于E 3190 ，4190 ，34 又ACCB，RtRtCBEAMC，BECM，51 又BMCM，BEBM 90MBDEBD，而45MBD，EBDMBD 又BD为公共边，BEDBMD52 H F E D C B A M D C B A 5 4 3 2 1 M B A E D C 课后作业 全等三角形中的辅助线 第 23 页，共 26 页 2、 如图所示 已知正方形 ABCD 中， M 为 CD 的中点， E 为 MC 上一点， 且2BAEDAM 求 证：AEBCCE 【答案】 见解析 【解析】 如图，延长 AB 到 F，使 BF=CE，连接 EF 与 BC 相交于点 N， 在BFN 和CEN 中， 90FBNC BNFCNE BFCE ， BFNCEN（AAS） ， BNCN，ENFN， 又M 是 CD 的中点， BANDAM， 2BAEDAM ， BANEAN， AN 既是AEF 的角平分线也是中线， AEAF， AFABBF， AEBCCE 3、已知：如图，2ABAC，BADCAD，DADB，求证：DCAC M E D CB A M E D C B A N F 全等三角形中的辅助线 第 24 页，共 26 页 【答案】 见解析 【解析】 在 AB 上取中点 E，连接 DE