孙训方材料力学(I)第五版课后习题答案完整版.pdf

第二章第二章轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2-12-12-12-1 试求图示各杆试求图示各杆 1-11-1 和和 2-22-2 横截面上的轴力，并作轴力图。横截面上的轴力，并作轴力图。 （a）解解：；（b）解解：； （c）解解：；。(d) 解：解：。 2-22-2 一打入地基内的木桩如图所示一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为沿杆轴单位长度的摩擦力为 f=kxf=kx （k k 为常数为常数），试作木桩的试作木桩的 轴力图。轴力图。 解：由题意可得： 0 l Fdx=F,有 1/3kl=F,k=3F/l FN（x1）= 0 1x 3Fx/ldx=F(x1/l) 2-32-3 石砌桥墩的墩身高石砌桥墩的墩身高 l=10ml=10m，其横截面面尺寸如图所示其横截面面尺寸如图所示。荷载荷载 F=1000KNF=1000KN，材料的密度材料的密度=2.35=2.35 1010 kg/mkg/m ，试求墩身底部横截面上的压应力。，试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： gAlFGFN)(2-3 图 )(942.31048 . 935. 210)114. 323(1000 2 kN 墩身底面积：)(14. 9)114. 323( 22 mA 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 MPakPa m kN A N 34. 071.339 14. 9 942.3104 2 2-42-4图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向 撑杆用角钢构成撑杆用角钢构成，其截面均为两个其截面均为两个 75mm75mm8mm8mm 的等边角钢的等边角钢。已知屋面承受集度为已知屋面承受集度为的竖的竖 直均布荷载。试求拉杆直均布荷载。试求拉杆AEAE和和EGEG横截面上的应力。横截面上的应力。 解解：= 1）求内力 取 I-I 分离体 得（拉） 取节点E为分离体 ， 故（拉） 2）求应力 758 等边角钢的面积A=11.5 cm 2 (拉) （拉） 2-52-5图示拉杆承受轴向拉力图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积，杆的横截面面积。如以。如以表示斜截面与横表示斜截面与横 截面的夹角截面的夹角，试求当试求当，3030，4545，6060，9090时各斜截面上的正应力和切应力时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表并用图表 示其方向。示其方向。 解解： 2-62-6一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长 200mm200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，的正方形，材料可认为符合胡克定律， 其弹性模量其弹性模量E E=10=10 GPaGPa。如不计柱的自重，试求：。如不计柱的自重，试求： （1 1）作轴力图；）作轴力图； （2 2）各段柱横截面上的应力；）各段柱横截面上的应力； （3 3）各段柱的纵向线应变；）各段柱的纵向线应变； （4 4）柱的总变形。）柱的总变形。 解解：（压） （压） 2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 解：取长度为dx截离体（微元体） 。则微元体的伸长量为： )( )( xEA Fdx ld， ll xA dx E F dx xEA F l 00 )()( l x rr rr 12 1 ， 22 112 1 12 d x l dd rx l rr r ， 2 2 112 22 )(u d x l dd xA ，dx l dd du d x l dd d 2 ) 22 ( 12112 du dd l dx 12 2 ，)( )( 2 2 )( 2 21 2 12 u du dd l du u dd l xA dx 因此，)( )( 2 )()( 2 0 21 00 u du ddE Fl xA dx E F dx xEA F l lll l l d x l dd ddE Fl uddE Fl 0 112 21021 22 1 )( 21 )( 2 2 1 22 1 )( 2 1112 21 dd l l dd ddE Fl 2-102-10受轴向拉力受轴向拉力F F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为E E，试求，试求C C与与 D D两点间的距离改变量两点间的距离改变量。 解解： 横截面上的线应变相同 因此 2-11 图示结构中，图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，其弹性模量材料相同，其弹性模量GPaE210，已，已 知知ml1， 2 21 100mmAA， 2 3 150mmA ，kNF20。试求。试求 C 点的水平位移和铅垂位移。点的水平位移和铅垂位移。 2-11 图 解： （1）求各杆的轴力 以 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为 AB 平衡，所以 0 X ，045cos 3 o N，0 3 N 由对称性可知，0CH，)(10205 . 05 . 0 21 kNFNN （2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。 A 点的铅垂位移：mm mmmmN mmN EA lN l476. 0 100/210000 100010000 22 1 1 1 B 点的铅垂位移：mm mmmmN mmN EA lN l476. 0 100/210000 100010000 22 2 2 2 1、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由 1、2、3 杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到 AB 为 刚性杆，可以得到 C 点的水平位移：)(476. 045tan 1 mml o BHAHCH C 点的铅垂位移：)(476. 0 1 mml C 2-12 图示实心圆杆图示实心圆杆 AB 和和 AC 在在 A 点以铰相连接，在点以铰相连接，在 A 点作用有铅垂向下的力点作用有铅垂向下的力kNF35。已知。已知 杆杆 AB 和和 AC 的直径分别为的直径分别为mmd12 1 和和mmd15 2 ， 钢的弹性模量钢的弹性模量GPaE210。 试求试求 A 点在铅垂点在铅垂 方向的位移。方向的位移。 解： （1）求 AB、AC 杆的轴力 以节点 A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出： 0 X ：045sin30sin o AB o AC NN ABAC NN2(a) 0 Y ：03545cos30cos o AB o AC NN 7023 ABAC NN(b) (a) (b)联立解得： 受力图 变形协调图 kNNNAB117.18 1 ；kNNNAC621.25 2 （2）由变形能原理求 A 点的铅垂方向的位移 2 2 2 2 1 1 2 1 222 1 EA lN EA lN F A )( 1 2 2 2 2 1 1 2 1 EA lN EA lN F A 式中，)(141445sin/1000 1 mml o ；)(160030sin/800 2 mml o 22 1 1131214. 325. 0mmA； 22 2 1771514. 325. 0mmA 故：)(366. 1) 177210000 160025621 113210000 141418117 ( 35000 1 22 mm A 2-13 图示图示 A 和和 B 两点之间原有水平方向的一根直径两点之间原有水平方向的一根直径mmd1的钢丝的钢丝， 在钢丝的中点在钢丝的中点 C 加一竖向荷加一竖向荷 载载 F。已知钢丝产生的线应变为。已知钢丝产生的线应变为0035. 0，其材料的弹性模量，其材料的弹性模量GPaE210， 钢丝的自重不计。试求：钢丝的自重不计。试求： （1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律） ； （2）钢丝在）钢丝在 C 点下降的距离点下降的距离； （3）荷载）荷载 F 的值。的值。 解： （1）求钢丝横截面上的应力 )(7350035. 0210000MPaE （2）求钢丝在 C 点下降的距离 )(7 210000 2000 735mm E l EA Nl l。其中，AC 和 BC 各mm5 . 3。 996512207. 0 5 .1003 1000 cos o 7867339. 4) 5 .1003 1000 arccos( )(7 .837867339. 4tan1000mm o （3）求荷载 F 的值 以 C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得： 0 Y ：0sin2 PaN sin2sin2AaNP )(239.96787. 4sin114. 325. 07352 02 N 习题习题 2-15水平刚性杆水平刚性杆 AB 由三根由三根 BC,BD 和和 ED 支撑支撑，如图如图，在杆的在杆的 A 端承受铅垂荷载端承受铅垂荷载 F=20KN, 三根钢杆的横截面积分别为三根钢杆的横截面积分别为 A1=12 平方毫米，平方毫米，A2=6 平方毫米，平方毫米，A,3=9 平方毫米，杆的弹性模平方毫米，杆的弹性模量量 E=210Gpa，求：，求： （1） 端点端点 A 的水平和铅垂位移。的水平和铅垂位移。 （2）应用功能原理求端点应用功能原理求端点 A 的铅垂位移的铅垂位移。 解： （1） 3 0 3 233 11 0 3 123 1 111 7 1 1 96 1 2 2 2 , 3/ ()3/(/ ) cos450 sin450 0.450.150 60,401,0, 60 100.15 3.87 210 1012 10 40 1 l l N N NN N N N fdxFklF kF l FxFxl dxF xl F FFFF FF FKN FKN FKN F l l EA F l l EA 1 有 3 由胡克定理， 7 96 x2 y21 00.15 4.76 210 1012 10 4.76 2320.23 Al All 从而得， （ ） （2） y1122 y +0 20.33 VFAFlFl A （ ） 2-16 简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆 AB 用两根用两根 63mm40mm4mm 不等边角钢不等边角钢 组成组成，钢的许用应力钢的许用应力=170MPa。试问在提起重量为试问在提起重量为 P=l5kN 的重物时的重物时，斜杆斜杆 AB 是否满足强度是否满足强度 条件条件? 解:1.对滑轮 A 进行受力分析如图： FY=0； FNABsin300=2F，得，FNAB=4F=60kN 2查附录的 63mm40mm4mm 不等边角钢的面积 A=4.0582=8.116cm 由正应力公式： =FNAB/A=6010/(8.11610-4)=73.9106Pa=73.9MPa 所以斜杆 AB 满足强度条件。 2-17 简单桁架及其受力如图所示简单桁架及其受力如图所示，水平杆水平杆 BC 的长度的长度l保持不变保持不变，斜杆斜杆 AB 的长度可随夹角的长度可随夹角的变的变 化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力 同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；）两杆的夹角； （2）两杆横截面面积的比值。）两杆横截面面积的比值。 解： （1）求轴力 取节点 B 为研究对象，由其平衡条件得： 0Y 0sin FNAB sin F NAB 0X 0cos BCAB NN cotcos sin cosF F NN ABBC 2-17 （2）求工作应力 sin ABAB AB AB A F A N BCBC BC BC A F A N cot （3）求杆系的总重量 )( BCBCABAB lAlAVW。是重力密度（简称重度，单位： 3 /mkN） 。 ) cos (lA l A BCAB ) cos 1 ( BCAB AAl （4）代入题设条件求两杆的夹角 条件： sin ABAB AB AB A F A N ， sin F AAB cot BCBC BC BC A F A N ， cot F ABC 条件：W的总重量为最小。 ) cos 1 ( BCAB AAlW ) cos 1 ( BCAB AAl ) cot cos 1 sin ( FF l) sin cos cossin 1 ( Fl cossin cos1 2 Fl 2sin cos12 2 Fl 从W的表达式可知，W是角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得最小值。 0 2sin 22cos)cos1 (2sinsincos22 2 2 Fl d dW 022cos 2 2cos3 2sin 2 02cos2cos32sin 22 12cos3，3333. 02cos o 47.109)3333. 0arccos(2， 445474.54 oo （5）求两杆横截面面积的比值 sin F AAB， cot F ABC cos 1 cotsin 1 cot sin F F A A BC AB 因为：12cos3， 3 1 1cos2 2 ， 3 1 cos2 3 1 cos，3 cos 1 所以：3 BC AB A A 2-18 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力MPa170，试，试 选择选择 AC 和和 CD 的角钢型号。的角钢型号。 解： （1）求支座反力 由对称性可知， )(220kNRR BA （2）求 AC 杆和 CD 杆的轴力 以 A 节点为研究对象，由其平 衡条件得： 0 Y 0cos ACA NR )(667.366 5/3 220 sin kN R N A AC 以 C 节点为研究对象，由其平衡条件得： 0 X 0cos ACCD NN )(333.2935/4 5/3 220 coskNNN ACCD （3）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号 AC 杆： 22 2 569.2186.2156 /170 366667 cmmm mmN NN A AC AC 选用 2780（面积 2 72.2186.102cm） 。 CD 杆： 22 2 255.17488.1725 /170 293333 cmmm mmN NN A CD CD 选用 2675（面积 2 594.17797. 82cm） 。 2-19 一结构受力如图所示一结构受力如图所示，杆件杆件 AB、CD、EF、GH 都由两根不等边角钢组成都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用已知材料的许用 应力应力MPa170，材料的弹性模量，材料的弹性模量GPaE210，杆，杆 AC 及及 EG 可视为刚性的。试选择各杆的角可视为刚性的。试选择各杆的角 钢型号，并分别求点钢型号，并分别求点 D、C、A 处的铅垂位移处的铅垂位移 D 、 C 、 A 。 解： （1）求各杆的轴力 )(240300 4 2 . 3 kNNAB )(60300 4 8 . 0 kNNCD 0 F M 02 . 1605 . 13003 GH N )(174)72450( 3 1 kNNGH 0 Y 030060174 EF N )(186 kNNEF （2）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号 AB 杆： 22 2 12.14765.1411 /170 240000 cmmm mmN NN A AB AB 选用 255690（面积 2 424.14212. 72cm） 。 CD 杆： 22 2 529. 3941.352 /170 60000 cmmm mmN NN A CD CD 选用 232540（面积 2 78. 389. 12cm） 。 EF 杆： 22 2 412.10118.1094 /170 186000 cmmm mmN NN A EF EF 选用 254570（面积 2 218.11609. 52cm） 。 GH 杆： 22 2 353.10529.1023 /170 174000 cmmm mmN NN A GH GH 选用 254570（面积 2 218.11609. 52cm） 。 （3）求点 D、C、A 处的铅垂位移 D 、 C 、 A )(7 . 2694. 2 4 .1442210000 3400240000 mm EA lN l AB ABAB AB )(907. 0 378210000 120060000 mm EA lN l CD CDCD CD )(580. 1 8 .1121210000 2000186000 mm EA lN l EF EFEF EF )(477. 1 8 .1121210000 2000174000 mm EA lN l GH GHGH GH EG 杆的变形协调图如图所示。 3 8 . 1 GHEF GHD ll l 3 8 . 1 477. 1580. 1 477. 1 D )(54. 1mm D )(45. 2907. 054. 1mmlCD DC )(7 . 2mmlAB A 2-10 已知混凝土的密度已知混凝土的密度=2.25103kg/m3，许用压应力许用压应力=2MPa。试按强度条件确定图示混凝试按强度条件确定图示混凝 土柱所需的横截面面积土柱所需的横截面面积 A1 和和 A2。若混凝土的弹性模量。若混凝土的弹性模量 E=20GPa，试求柱顶，试求柱顶 A 的位移。的位移。 解：混凝土柱各段轴力分别为： 混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为： )( 1211211 lxgAlgAFFxgAFF NN )( 2211max211max1 lAlAgFFlgAFF NN 由强度条件： 取 A1=0.576m 取 A2=0.664m 柱底固定，则柱顶位移值等于柱的伸缩量，可用叠加原理计算 2-21 （1）刚性梁刚性梁 AB 用两根钢杆用两根钢杆 AC、BD 悬挂着悬挂着，其受力如图所示其受力如图所示。已知钢杆已知钢杆 AC 和和 BD 的直径的直径 分别为分别为mmd25 1 和和mmd18 2 ，钢的许用应力钢的许用应力MPa170，弹性模量弹性模量GPaE210。试校核钢杆试校核钢杆 的强度，并计算钢杆的变形的强度，并计算钢杆的变形 AC l、 BD l及及 A、B 两点的竖向位移两点的竖向位移 A 、 B 。 解： （1）校核钢杆的强度 求轴力 )(667.66100 5 . 4 3 kNNAC )(333.33100 5 . 4 5 . 1 kNNBC 计算工作应力 22 2514. 325. 0 66667 mm N A N AC AC AC MPa882.135 22 1814. 325. 0 33333 mm N A N BD BD BD 2-21 MPa057.131 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力 170MPa，即 AC ； BD ，所以 AC 及 BD 杆的强度足够，不会发生破坏。 （2）计算 AC l、 BD l )(618. 1 625.490210000 250066667 mm EA lN l AC ACAC AC max A FN 22 36 3 1 1 576. 0)( 128 . 91025. 2102 101000 mm gl F A 22 36 33 2 11 2 664. 0)( 128 . 91025. 2102 576. 0128 . 91025. 2101000 mm gl lgAF A E gl EA llgAF E gl EA Fl EA xF ll il i Ni iA 2 )( 2 d 2 2 2 211 2 1 1 1 9 3 9 3 10202 12128 . 91025. 2 576. 01020 12101000 mm242. 2 10202 12128 . 91025. 2 664. 01020 1210)12576. 08 . 925. 21000( 9 3 9 3 )(560. 1 34.254210000 250033333 mm EA lN l BD BDBD BD （3）计算 A、B 两点的竖向位移 A 、 B 第三章第三章 扭转扭转 3-13-1一传动轴作匀速转动，转速一传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮子，主动轮，轴上装有五个轮子，主动轮输入的功率输入的功率为为 60kW60kW，从动轮，从动轮，依次输出依次输出 18kW18kW，12kW,22kW12kW,22kW 和和 8kW8kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 解解：kN kN kN kN 3-23-2实心圆轴的直径实心圆轴的直径mmmm，长长m m，其两端所受外力偶矩其两端所受外力偶矩，材料的切变模材料的切变模 量量。试求：。试求： （1 1）最大切应力及两端截面间的相对扭转角；）最大切应力及两端截面间的相对扭转角； （2 2）图示截面上）图示截面上A A，B B，C C三点处切应力的数值及方向；三点处切应力的数值及方向； （3 3）C C点处的切应变。点处的切应变。 p e p W M W T max 。 式中，)(19634910014159. 3 16 1 16 1 333 mmdWp。3-2 故：MPa mm mmN W M p e 302.71 196349 1014 3 6 max p GI lT ，式中，)(981746910014159. 3 32 1 32 1 444 mmdI p 。故： o p rad mmN mmN GI lT 02. 1)(0178254. 0 109817469/1080 114000 41229 （2）求图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向 MPa BA 302.71 max ，由横截面上切应力分布规律可知： MPa BC 66.35302.715 . 0 2 1 ， A、B、C 三点的切应力方向如图所示。 （3）计算 C 点处的切应变 34 3 10446. 0104575. 4 1080 66.35 MPa MPa G C C 3-3 空心钢轴的外径空心钢轴的外径mmD100，内径，内径mmd50。已知间距为。已知间距为ml7 . 2的两横截面的相对扭转角的两横截面的相对扭转角 o 8 . 1，材料的切变模量，材料的切变模量GPaG80。试求：。试求： （1）轴内的最大切应力；）轴内的最大切应力； （2）当轴以）当轴以min/80rn 的速度旋转时，轴所传递的功率。的速度旋转时，轴所传递的功率。 解； （1）计算轴内的最大切应力 )(9203877)5 . 01 (10014159. 3 32 1 )1 ( 32 1 44444 mmDI p 。 )(184078)5 . 01 (10014159. 3 16 1 )1 ( 16 1 34343 mmDWp 式中，Dd /。 p GI lT ， mm mmmmN l GI T p 2700 9203877/80000180/14159. 38 . 1 42 mmN 45.8563014)(563. 8mkN MPa mm mmN W T p 518.46 184078 45.8563014 3 max （2）当轴以min/80rn 的速度旋转时，轴所传递的功率 )(563. 8 80 549. 9549. 9mkN N n N MT kk e )(74.71549. 9/80563. 8kWNk 3-43-4 某小型水电站的水轮机容量为某小型水电站的水轮机容量为 50kW50kW，转速为转速为 300r/min300r/min，钢轴直径为钢轴直径为 75mm75mm，如果在正常运转下如果在正常运转下 且只考虑扭矩作用，其许用剪应力且只考虑扭矩作用，其许用剪应力 =20MPa=20MPa。试校核轴的强度。试校核轴的强度。 解： 3-5 图示绞车由两人同时操作图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为均为 0.2kN，已知轴材料的许用切应力已知轴材料的许用切应力 MPa40，试求：，试求： （1）AB 轴的直径；轴的直径； （2）绞车所能吊起的最大重量。）绞车所能吊起的最大重量。 解： （1）计算 AB 轴的直径 AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等： )(08. 04 . 02 . 0mkNMM ee 右左 )(16. 02mkNMM ee 右主动轮 扭矩图如图所示。3-5 由 AB 轴的强度条件得： 16 3 max d M W M e p e右右 mm mmN mmNM d e 7 .21 /4014159. 3 8000016 16 3 2 3 右 （2）计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等： 35. 02 . 0 从动轮主动轮ee MM ，)(28. 016. 0 20. 0 35. 0 mkNMe 从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得： 从动轮e MP25. 0，28. 025. 0P)(12. 125. 0/28. 0kNP 3-6 已知钻探机钻杆（参看题已知钻探机钻杆（参看题 3-2 图）的外径图）的外径mmD60，内径，内径mmd50，功率，功率kWP355. 7，转，转 速速min/180rn ，钻杆入土深度钻杆入土深度ml40，钻杆材料的钻杆材料的GMPaG80，许用切应力许用切应力MPa40。假假 设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m； （2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。）两端截面的相对扭转角。 解： （1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m )(390. 0 180 355. 7 549. 9549. 9mkN n N M k e 设钻杆轴为x轴，则：0 x M， e Mml ， )/(00975. 0 40 390. 0 mkN l M m e （2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核 作钻杆扭矩图 xxmxxT00975. 0 40 39. 0 )(。40, 0x 0)0(T；)(390. 0)40(mkNMT e 扭矩图如图所示。 强度校核， p e W M max 式中，)(21958) 60 50 (1 6014159. 3 16 1 )1 ( 16 1 34343 mmDWp MPa mm mmN W M p e 761.17 21958 390000 3 max 因为MPa761.17 max ，MPa40，即 max ，所以轴的强度足够，不会发生破坏。 （3）计算两端截面的相对扭转角 40 0 )( p GI dxxT 式中，)(658752) 60 50 (1 6014159. 3 32 1 )1 ( 32 1 44444 mmDI p 3-73-7图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知，。试求：。试求： （1 1）最大切应力；）最大切应力； （2 2）截面）截面A A相对于截面相对于截面C C的扭转角。的扭转角。 解解：（1）由已知得扭矩图（a） （2） 3-8 直径直径mmd50的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶mkNMe 6，而在圆杆表面上的，而在圆杆表面上的 A 点将移动到点将移动到 A1点点，如图所示如图所示。已知已知mmAAs3 1 ，圆杆材料的弹性模量圆杆材料的弹性模量GPaE210，试求泊松试求泊松 比比（提示：各向同性材料的三个弹性常数（提示：各向同性材料的三个弹性常数 E、G、间存在如下关系：间存在如下关系： )1 (2 E G。 解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：mkNMT e 6。设 1 ,OO两截面之间的相对对转角为，则 2 d s， d s 2 . d s GI lT P 2 式中，)(6135925014159. 3 32 1 32 1 444 mmdI p GPaMPa mmmm mmmmmmN sI dlT G p 4874.81372.81487 36135922 501000106 2 4 6 由 )1 (2 E G得：289. 01 4874.812 210 1 2 G E 3-9 直径直径mmd25的钢圆杆的钢圆杆， 受轴向拉受轴向拉 60kN 作用时作用时， 在标距为在标距为 200mm 的长度内伸长了的长度内伸长了 0.113mm。 当其承受一对扭转外力偶矩当其承受一对扭转外力偶矩mkNMe2 . 0时，在标距为时，在标距为 200mm 的长度内相对扭转了的长度内相对扭转了 0.732 o 的角的角 度。试求钢材的弹性常数度。试求钢材的弹性常数 E、G 和和。 解： （1）求弹性模量 E EA Nl l GPaMPa mmmm mmN lA Nl E448.2168 .216447 113. 02514. 325. 0 20060000 22 （2）求剪切弹性模量 G )(383492514159. 3 32 1 32 1 444 mmdI p 由 P GI lT 得 GPaMPa mm mmmmN I lT G p 7 .81136.81684 38349)180/14. 3732. 0( 200102 . 0 4 6 （3）泊松比 由 )1 (2 E G得：325. 01 684.812 448.216 1 2 G E 3-103-10长度相等的两根受扭圆轴长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴一为空心圆轴，一为实心圆轴一为实心圆轴，两者材料相同两者材料相同，受力情况也一受力情况也一 样。实心轴直径为样。实心轴直径为d d；空心轴外径为；空心轴外径为D D，内径为，内径为，且，且。试求当空心轴与实心轴的最大。试求当空心轴与实心轴的最大 切应力均达到材料的许用切应力切应力均达到材料的许用切应力），扭矩），扭矩T T相等时的重量比和刚度比。相等时的重量比和刚度比。 第一种：解第一种：解：重量比= 因为 即 故 故 刚度比= 第二种：第二种：解： （1）求空心圆轴的最大切应力，并求 D。 p W T max 式中，)1 ( 16 1 43 DWp，故： 1 .27 )8 . 01 ( 16 343 max, D T D T 空 1 .27 3 T D 3-10 （1）求实心圆轴的最大切应力 p W T max ，式中， 3 16 1 dWp，故： 1616 33 max, d T d T 实 16 3 T d，69375. 1 16 1 .27 )( 3 T T d D ，192. 1 d D （3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比 512. 0192. 136. 0)(36. 0)8 . 01 ()( 25. 0 )(25. 0 2222 2 2 0 2 d D d D ld ldD W W 实 空 （4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比 444 01845. 0)8 . 01 ( 32 1 DDI p 空 ， 44 03125. 0 32 1 ddI p 实 192. 1192. 15904. 0)(5904. 0 03125. 0 01845. 0 44 4 4 d D d D GI GI p p 实 空 = 3-11 全长为全长为l，两端面直径分别为，两端面直径分别为 21,d d的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩 e M ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。 解：如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为： P e GI dxM d 式中， 4 32 1 dI p l x rr rr 12 1 22 112 1 12 d x l dd rx l rr r 1 12 2dx l dd rd 44 1 124 )(udx l dd d dx l dd du 12 ，du dd l dx 12 故： l e l e l e l p e l p e u du ddG lM du dd l uG M d dx G M I dx G M GI dxM 0 4 1212 0 4 0 4 00 )( 3213232 l ele l e dx l dd ddG lM uddG lM u du ddG lM 0 3 1 12 12 0 3 12 0 4 12 1 )(3 32 3 1 )( 32 )( 32 = 3 2 3 1 2 221 2 1 3 2 3 1 3 2 3 1 21 3 1 3 212 3 32 )(3 3211 )(3 32 dd dddd G lM dd dd ddG lM ddddG lM eee 3-12 已知实心圆轴的转速已知实心圆轴的转速min/300rn ，传递的功率，传递的功率kWp330，轴材料的许用切应力，轴材料的许用切应力 MPa60，切变模量切变模量GPaG80。若要求在若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过长度的相对扭转角不超过 o 1，试求该轴的直径试求该轴的直径。 解： 180 1 p e P GI lM GI lT 式中，)(504.10 300 330 549. 9549. 9mkN n N M k e ； 4 32 1 dI p 。故： G lM I e p 180 ， G lM d e 180 32 1 4 mm mmN mmmmN G lM d e 292.111 /8000014. 3 200010504.101803218032 4 22 6 4 2 取mmd3 .111。 3-133-13习题习题 3-13-1 中所示的轴中所示的轴，材料为钢材料为钢，其许用切应力其许用切应力，切变模量切变模量，许可许可 单位长度扭转角单位长度扭转角。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。 解解：由 3-1 题得： 故选用。 3-143-14阶梯形圆杆，阶梯形圆杆，AEAE段为空心，外径段为空心，外径D D=140mm=140mm，内径，内径d d=100mm=100mm；BCBC段为实心，直径段为实心，直径d d=100mm=100mm。 外力偶矩外力偶矩，。 已知已知：， 。试校核该轴的强度和刚度。试校核该轴的强度和刚度。 解解：扭矩图如图（a） （1）强度 = ，BC段强度基本满足 = 故强度满足。 （2）刚度 BC段： BC段刚度基本满足。 AE段： AE段刚度满足，显然EB段刚度也满足。 3-153-15 有一壁厚为有一壁厚为 25mm25mm、内径为内径为 250mm250mm 的空心薄壁圆管的空心薄壁圆管，其长度为其长度为 1m1m，作用在轴两端面内的外力偶作用在轴两端面内的外力偶 矩为矩为 180180。 试确定管中的最大切应力试确定管中的最大切应力， 并求管内的应变能并求管内的应变能。 已知材料的切变模量已知材料的切变模量。 试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。 解解： 3-163-16 一端固定的圆截面杆一端固定的圆截面杆 ABAB，承受集度为承受集度为m的均布外力偶作用的均布外力偶作用，如图所示如图所示。试求杆内积蓄的应变试求杆内积蓄的应变 能。已矩材料的切变模量为能。已矩材料的切变模量为 G G。 解： Gd dxxm dG dxxm GI dxxT dV p 4 22 4 222 16 32 1 2 2 )( p l GI lm Gd lm Gd lm dxx Gd m V 6 32 1 6 3 1616 32 4 32 4 32 0 2 4 2 3-16 3-173-17簧杆直径簧杆直径mmmm 的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力作用，弹簧的平均直径为作用，弹簧的平均直径为 mmmm，材料的切变模量，材料的切变模量。试求：。试求： （1 1）簧杆内的最大切应力；）簧杆内的最大切应力； （2 2）为使其伸长量等于）为使其伸长量等于 6mm6mm 所需的弹簧有效圈数。所需的弹簧有效圈数。 解解：， 故 因为 故圈 3-183-18 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 F F 如图，簧丝直径如图，簧丝直径mmd10，材料的许用切应力，材料的许用切应力 MPa500，切变模量为，切变模量为 G G，弹簧的有效圈数为，弹簧的有效圈数为n。试求：。试求： （1 1）弹簧的许可切应力；）弹簧的许可切应力； （2 2）证明弹簧的伸长）证明弹簧的伸长)( 16 2 2 2 121 4 RRRR Gd Fn 。 解：（1）求弹簧的许可应力 用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可 知，在簧杆横截面上： 剪力FQ 扭矩FRT 最大扭矩： 2max FRT ) 4 1 ( 16164 2 3 2 3 2 2 max“ max R d d FR d FR d F W T A Q p ， N mm mm mm mmNmm R d R d F3 .9