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航天返回与遥感 第 37 卷 第 5 期 86 SPACECRAFT RECOVERY quaternion; spacecraft orbital reference frame; Earth-centered and Earth-fixed reference frame; rotation of space vector; remote sensing applications 0 引言 作为遥感应用的关键技术，遥感影像地理定位是获取高品质的遥感和测绘产品的基础。定位算法就 是建立传感器成像阵列像素点（像方坐标）和所观测目标（物方空间位置）的联系，遥感影像定位是测 绘制图和遥感应用研究的必要数据处理环节1-2， 坐标系转换是应用导航数据进行遥感影像定位的必经步 骤。星载遥感影像正向地理定位算法中常用的坐标系统依次为：传感器自身坐标系遥感平台本体坐标 系轨道坐标系地心惯性坐标系地心固定坐标系，在地心固定坐标系下进行传感器视线向量和地球 表面交点的求解3。其中，从轨道坐标系到地心惯性坐标系要用到在地心惯性坐标系下定义的遥感平台 的位置和速度信息，从地心惯性坐标系到地心固定坐标系要用到地球的章动、极移和岁差等信息。章动、 极移和岁差等被称作为地球的方位信息， 它们随时间变化， “国际地球自转和参考系服务” （International Earth Rotation and Reference Systems Service，IERS）提供了比较权威的实时数据，然而，在遥感影像正 向直接定位算法过程中要获取实时的地球方位信息比较麻烦。 国内外学者在遥感影像定位方面进行了比较深入的研究4-8，新的技术方法也在不断发展，四元数 （Quaternion）方法就是其中一种比较新的技术。四元数是高效的空间向量方位表示及旋转操作的工具， 近年来被应用于遥感影像定位方面并取得了较好的效果。 文献9提出了适用于线阵影像的空间后方交会的 四元数方法；文献10提出了无初值依赖的空间后方交会；文献11-12提出了对偶四元数的线阵遥感影像 几何定位方法，并把它应用于相对定向的表示；文献13对基于单位四元素的依初值和无初值空间后方交 会进行了研究。这些方法都是应用四元数方法来研究传感器构像方程的解算，而四元数在坐标系转换方面 的优势还没有涉及。坐标系转换是应用导航定位数据确定遥感影像方位信息的关键步骤14-15，当航天器在 较低的轨道运行时， 卫星导航数据可以直接提供其在地心固定坐标系的位置与速度信息。 本文利用此信息， 应用四元数方法实现从遥感器轨道坐标系到地心固定坐标系的直接转换。在常规的遥感影像直接定位算法 中这样的转换首先从轨道到地心惯性，然后从地心惯性到地心固定坐标系。本文方法将这两次转换缩减为 一个，为直接定位算法提供了一种新的坐标系转换方法，也扩展了四元数方法应用领域。 1 传统坐标系统转换方法 1.1 坐标系统定义 本文主要针对从航天器轨道坐标系到地心固定坐标系的坐标系转换方法，所涉及的坐标系有三个： 航天器轨道坐标系、地心惯性坐标系和地心固定坐标系，见图 1。 航天器轨道坐标系（Spacecraft Orbital Coordinate System，SOCS，简化为 Orb）的原点在航天器的质 心，ZOrb轴从坐标原点指向地球的质心，YOrb轴是 ZOrb轴和航天器瞬时速度的叉乘积，其方向和航天器 的瞬时角动量矢量反向。XOrb轴是 YOrb轴和 ZOrb的叉乘积，本文中的坐标系统都是遵从右手法则的笛卡 尔坐标系统。 地心惯性坐标系（Earth Centered Inertial Coordinate System，ECICS，简化为 ECI）是一空间固定的 坐标系，其原点在地球的质心，它的 ZECI轴从原点指向 J2000 的平均北天极点，XECI轴从原点指向 J2000 的平均春分点，YECI轴是 ZECI和 XECI的叉乘积。 地心固定坐标系（Earth Centered Earth Fixed Coordinate System，ECEFCS，简化为 ECEF）随着地球旋 转而旋转，同时还考虑极移、章动和岁差等地球的方位参量，但是此坐标系统把地球当成理想球体，不考 虑其椭球的因素。地心固定坐标系的原点在地球的质心，其 ZECEF轴从坐标原点指向平均北极点，又称国 万方数据 88 航 天 返 回 与 遥 感 2016 年第 37 卷 际参考极点，XECEF轴从原点指向本初子午线和赤道的交点，YECEF轴是 ZECEF轴和 XECEF轴的叉乘积。 图 1 航天器 Orb、ECI、ECEF 坐标系示意 Fig.1 The illustration of the spacecraft Orb, ECI, ECEF coordinate systems. 1.2 传统坐标系统转换 从轨道坐标系到地心固定坐标系的常规方法分为两个步骤：一是从轨道坐标系到地心惯性坐标系的 转换；二是从地心惯性坐标系到地心固定坐标系的转换。在步骤一中需要定义在地心惯性坐标系统下航 天器的位置和速度矢量，步骤二则需要恒星时间以及地球的极移、章动和岁差等地球的方位参量16。 步骤一：从航天器轨道坐标系到地心惯性坐标系的转换 Orb-ECI123 Tb bb （1） 式中的 1 b ， 2 b 和 3 b由下式求得 3ECIECI 23ECI3ECI 123 / / bPP bbVbV bbb （2） 式中 ECI P和 ECI V是航天器在地心惯性坐标系下的位置和速度信息。 步骤二：从地心惯性坐标系到地心固定坐标系的转换 ECI-ECEF ( ) ( )( )tttTQRW （3） 式中 ( ) tQ、( ) tR和( ) tW分别为地球的章动和岁差、自转、极移的旋转矩阵，具体的旋转矩阵比较繁 琐，详细信息在WGS84的文档中有详细描述17，此处不再赘述。 从地心惯性坐标系到地心固定坐标系转换， 不仅要考虑地球自转还要考虑变化较慢的地球方位信息， 如极移、章动和岁差信息。 万方数据 第 5 期 窦长勇 等: 轨道坐标系到地心固定坐标系的直接转换方法 89 传统的从轨道坐标系到地心惯性坐标系的转换需要定义在地心惯性坐标系下的航天器的位置和速度 信息。从地心惯性坐标系到地心固定坐标系的转换需要地球的极移、章动和岁差等地球的方位信息。由 于 地 球 的 方 位 信 息 动 态 变 化 ， 它 的 信 息 需 要 实 时 地 到 国 际 地 球 自 转 和 参 考 系 服 务 网 站 （）获取，这给实际的星载遥感影像的定位带了很多不便。 2 基于四元数坐标系转化方法 2.1 四元数简述 四元数由爱尔兰数学家汉密尔顿发明，它可以用四维的数据形式来表示三维的空间向量。四元数由 实部和虚部组成，可表示为( , i, j, k)qr xy z ，其中r为实部，( i, j, k)xy z 为虚部，它的三个虚部遵循汉密 尔顿定律18 222 ijkijk1 ijijkj iji jkjkikjkj kikijikik （4） 四 元数还可 以 表 示 为( ,)qr v ， 当 它 的 实 部 为 零 时 表 示 纯 四 元 数 ， 它 的 共 轭 可 表 示 为 * ( ,i,j,k)qrxyz ，或者 ( ,)qrv * 。两个四元数的乘法可表示为 1 211221 2121 22 112 ( ,)( ,)(,)q qrrrrrrvvvvvvvv （5） 四元数可用四维的数据形式表示三维的空间向量，所以在三维空间向量的旋转操作时要比传统的欧 拉角和旋转矩阵等有一定的优势。四元数可以追踪旋转的过程，因此，在空间向量多次旋转的叠加方面 有独特的优势。例如，四元数方法可以避免在旋转过程中出现万向节死锁现象。另外，四元数可以表示 空间任意向量绕任意轴旋转， 而且可以把多次这样的旋转叠加到一起， 这对于旋转矩阵操作就比较困难。 假如空间中的任意向量 in v ，它可以表示为纯四元数形式 in 0（ ，）v，它绕着空间任意轴（, ,x y z）旋转任 意角度，可用四元数表示为19 * outin (0,)(0,)qqvv （6） 此处， out v为经过旋转操作后的输出向量。这里四元数是单位四元数，其定义形式为 222 * 222 ( ijk) sin( ) 2 cos( ) 2 ( ijk) sin( ) 2 cos( ) 2 xyz q xyz xyz q xyz （7） 如果把一个向量连续旋转两次，设表示第一次和第二次旋转的四元数分别为q1和q2，则两次旋转的 组合可表示为 * out2 1in12 (0,)(0,)q qq qvv （8） 2.2 转换方法 本文应用定义在地心固定坐标系下的航天器的位置和速度矢量信息，建立航天器轨道坐标系和地心 固定坐标系的联系。遵从坐标系转换的本质，即是绕着坐标轴的旋转和坐标原点的平移，利用四元数实 现从轨道坐标系到地心固定坐标系的转换。 假设某一时刻航天器在地心固定坐标系下的位置和速度分别为 ECEF P和 ECEF V，根据1.1中的坐标系 定义，航天器轨道坐标系的三个轴在地心固定坐标系下表示为 万方数据 90 航 天 返 回 与 遥 感 2016 年第 37 卷 OrbECEF OrbECEFECEF OrbOrbOrb Z Y XYZ -P PV （9） 坐标系转换的本质即是绕着被转换坐标系的三个轴分别旋转使其和目标坐标系的三个轴方向一致， 然后再平移坐标系原点使其和目标坐标系原点重合。现在就把式（9）建立的航天器轨道坐标系旋转，使 其和地心固定坐标系方向一致，因为航天器的轨道坐标系在地心固定坐标系下表示出来，两个坐标系位 于同一个坐标系统下， 因此， 可以按照上述坐标系旋转的本质进行转换。 本文中地心固定坐标系的XECEF、 YECEF和ZECEF轴分别表示为(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)。第一个旋转是绕着 Orb Z轴旋转角度，使 Orb X位 于由 ECEF X和 Orb Z决定的平面内，旋转角度可表示为 OrbECEFOrb arccos()YXZ （10） 式中 ECEFOrb XZ是 ECEF X和 Orb Z决定的平面的法向量。因为 Orb Y和 Orb X垂直，如果 Orb Y和上述平面 的法向量指向相同就能保证 Orb X位于由 ECEF X和 Orb Z决定的平面内。 式（10）计算出的角度范围是0，因为四元数的旋转遵循右手法则，其范围应该是02。为了准 确获取旋转角度，我们定义以下规则，把开始旋转的向量称之为 begin V，终了向量为 end V，旋转轴为 axis R， 如果 beginendaxis ()0VVR则旋转角度范围是0，否则，就是2。求得旋转角度，则由式（7）得 出表示绕着 Orb Z旋转的四元数 222 k 2 (ij)sin( ) cos( ) 2 xyz xyz ZZZ ZZZ q (11) 式中 Zx、Zy和Zz是 Orb Z的三个轴的分量。 根据式（6），分别旋转轨道坐标系的XOrb和YOrb轴，实现轨道坐标系转换过程中的第一次旋转 * Orb_Orb Orb_Orb (0,)(0,) (0,)(0,) XqXq YqYq * （12） 式中 Orb_ X和 Orb_ Y是第一次旋转后的坐标轴。 第二次旋转是绕着经过第一次旋转后的 Orb_ Y轴旋转，使同样经过第一次旋转后的 Orb_ X轴跟 ECEF X 方向一致，这次的旋转角度是 Orb_ECEF arccos() XX。同理表示旋转的四元数为 _ 222 _ (ijk)sin() 2 cos() 2 xyz xyz YYY q YYY （13） 式中 Y_x，Y_y，Y_z分别是 Orb_ Y轴的三个分量，同样，对 Orb_ X和 Orb Z进行旋转，实现轨道坐标系 的第二次旋转 Orb_Orb_ Orb_Orb (0,)(0,) (0,)(0,) XqXq ZqZq * * （14） 式中 Orb_ X和 Orb_ Z是第二次旋转后的坐标轴。 第三次旋转是绕着 Orb_ X轴旋转角度使 Orb_ Z轴和 ECEF Z轴方向一致。本次旋转角度为 Orb_ECEF arccos() ZZ，同理旋转四元数可表示为 _ 222 _ (ijk)sin() 2 cos() 2 xyz xyz XXX q XXX （15） 万方数据 第 5 期 窦长勇 等: 轨道坐标系到地心固定坐标系的直接转换方法 91 式中的三个分量是 Orb_ X轴的。同理，把另外两个轴旋转，实现轨道坐标系的第三次旋转 Orb_Orb_ Orb_Orb_ (0,)(0,) (0,)(0,) YqYq ZqZq * * （16） 经过这三次旋转轨道坐标系和地心固定坐标系的方向就完全一致了，最后一步就是把轨道坐标系的原 点移到跟地心固定坐标系重合位置，综上所描述及根据式（8），可以得出两个坐标系间的转换关系为 ECEFOrbECEF (0,)(0,)(0,) q qqq q q * VVP （17） 式中 Orb V和 ECEF V分别是定义在轨道和地心固定坐标系下的向量。 式中由三个四元数构成的旋转表示 坐标系方向上的转换，也即是角元素，后者表示坐标原点的平移，即直线元素。 本文所提出的方法适用于已经提供了定义在地心固定坐标系下的低轨航天器位置和速度信息的情 形，这样利用位置和速度信息建立轨道坐标系和地心固定坐标系的联系，遵从坐标系转换的本质实现从 轨道坐标系到地心固定坐标系的直接转换。本方法的优点为把常规的两次坐标系转换缩减为一次，避免 了应用地球的方位信息，这些信息比较难获取。 3 验证与比较 本文采用国际空间站的轨道数据来验证所提出方法的正确性，因为国际空间站是低轨运行的航天 器，其轨道数据同时提供了定义在地心惯性坐标系（J2000）和地心固定坐标系下的位置和速度信息。 应用同一时刻的国际空间站的轨道数据，分别用传统算法（式（1）和式（2）所描述的两次坐标系转 换）和本文提出的算法进行比较，即可验证本文方法的正确性。如表1所示，选用2011年第一天国际 空间站一个轨道周期（其轨道周期约为90min）中的4个时刻的数据点进行验证。4个时刻的分别是 2011:001:00:10:00（年：天：时：分：秒）、2011:001:00:30:00、2011:001:00:42:00和2011:001:00:58:00。 假设定义在轨道坐标系下的向量值为 Orb (3,4,5)V，分别用本文所提出的方法和1.2中所介绍的传统方 法进行向量转换。为了保证向量输出值的比较精度，只进行角元素的转换，本文提出的坐标系转换方 法式（17）可简化为 ECEFOrb (0,)(0,) q qqq q q * VV （18） 这两种方法输入的被转换向量都是 Orb (3,4,5)V，它是任意定义的向量，没有实际的单位和含义， 仅起到提供两种方法的统一输入量的作用。输出的向量为 ECEF V，用以对两种转换方法做对比。表1列出 了上述4个时刻的输入参数和转换后输出的结果比较。对于本文方法输入的位置和速度信息定义在地心 固定坐标系下，而常规方法的输入位置和速度信息是定义在J2000坐标系下。由表1可知同样的输入向 量应用两种方法转换后结果的三个分量差别非常小，在105级别或者更小，可以忽略不计。对比结果说 明了本文方法和传统方法对于具有同样的旋转效果，证明了其正确性。 为了进一步验证， 我们把本文中的坐标系转换方法应用到遥感影像定位算法中， 算法过程在文献16 中有详细描述，利用改进的定位算法，把表1中4个时刻所列的参量和对应时刻的姿态信息作为输入， 计算国际空间站瞬时星下点的地理定位结果，并跟商业软件STK（Satellite Tool Kits）的模拟结果进行了 对比。本文提出算法输入参数包括定义在地心固定坐标系下航天器的位置和速度信息（表1）以及航天 器的姿态信息（表2），STK软件的输入参数包括相同时刻定义在惯性坐标系下航天器的位置和速度信 息（表1）以及姿态信息（表2）。从表2的比较结果可以看出，两种方法对应的定位结果在经度和纬度 上的差异都在0.5m以内，有的接近于零。考虑到定位算法中的固有误差，这样的定位精度进一步证明了 本文方法的正确性。 万方数据 万方数据 第 5 期 窦长勇 等: 轨道坐标系到地心固定坐标系的直接转换方法 93 表 2 本文提出方法应用到定位算法中和商业软件 STK 定位结果的比较 Tab.2 The comparison of the geolocation results between the method proposed in this paper and STK. 时间(GMT) 采用方法 姿态信息/（） 星下点位置/（） /年：天：时：分： 秒 俯仰角 横滚角 偏航角 纬度 经度 2011:001:00:10:00 STK 2.609 72 1.078 69 3.857 59 5.465 237 169.252 172 本文方法 5.465 239 169.252 176 差值 0.22m 0.44m 2011:001:00:30:00 STK 2.694 50 1.318 85 4.092 09 48.388 742 107.894 412 本文方法 48.388 741 107.894 413 差值 0.02m 0.11m 2011:001:00:42:00 STK 2.662 38 1.150 43 4.193 01 43.457 451 41.052 510 本文方法 43.457 450 41.052 509 差值 0.03m 0.11m 2011:001:00:58:00 STK 2.457 42 0.758 88 4.177 57 1.659 201 4.298 238 本文方法 1.695 201 4.298 237 差值 0.00m 0.11m 4 结束语 本方法利用定义在地心固定坐标系下的航天器位置和速度信息建立轨道坐标系和地心固定坐标系之 间的联系，遵循坐标系转换的本质，分别绕航天器轨道坐标系的三个轴旋转，以及坐标原点的平移，实 现两个坐标系统间的直接转换， 从而把传统方法的两个坐标转换缩减为一个， 且避免了应用地球的章动、 极移和岁差等信息。利用四元数可对空间任意向量绕任意轴进行旋转操作的特性，求解了坐标系三次旋 转的角度，并用四元数表示了旋转操作。应用国际空间站的轨道数据，对本文方法的正确性进行了验证。 选取2011年第一天“国际空间站”一个轨道周期中的4个时刻的轨道数据，应用本文提出的方法和传统 的坐标系转换方法对定义在轨道坐标系下的同一向量分别转换到地心固定坐标系下，转换后向量的三个 分量的差都在105级别。把本文的方法应用到定位算法中，同样应用上述4个时刻的轨道数据，计算了 国际空间站的星下点的定位结果，跟同样输入的商业软件STK定位结果进行了比较，4个时刻定位结果 的差异都在0.5m以内。通过以上比较可知，本文提出的方法可跟传统方法获得相同的效果，证明本文方 法的正确性，本方法将这两次坐标系转换缩减为一个，从而避免了应用地球的章动、极移和岁差等信息， 为直接定位算法提供了一种新的坐标系转换方法，也扩展了四元数方法应用领域。特别适合于大型低轨 载人平台以及低轨卫星遥感影像的应用，因为这类航天器在全球定位系统的帮助下，可提供定义在地心 固定坐标系的位置和速度信息，该方法具有一定的应用前景。 参考文献(References) 1 吕争, 傅俏燕, 王小燕. “资源三号”卫星正视影像区域网平差J. 航天返回与遥感, 2014, 35(2): 72-80. 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