全等三角形证明方法总结.pdf

1 证明三角形全等（含线段相等、角相等）的几种方法 一一、三角形全等的判定三角形全等的判定： 三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。 【最简单最简单，考得也最少考得也最少，考试过程中没有注意点考试过程中没有注意点】 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。 【最常考最常考，而且考试就考而且考试就考“角是不是两边夹角角是不是两边夹角” 】 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。 直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。 二二、全等三角形的性质全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 全等三角形的周长、面积相等。 全等三角形的对应边上的高对应相等。 全等三角形的对应角的角平分线相等。 全等三角形的对应边上的中线相等。 几种常见全等三角形的基本图形几种常见全等三角形的基本图形： 【平移平移】 【旋转旋转】 【折叠折叠/ /对称对称】 FE D CB A F E D C B A F E D C B A E D C B A E D C B A E D C B A O E D C B A ED C B A D CB A D CB A 数学培优方法总结数学培优方法总结 1 1- -2 2 当题目中得出“2 对边及 1 对角相等”时，一定要检查“角是不是两边夹角” 。 题目中只要得出“1 对边及 2 对角相等”，那就能证明三角 形全等，唯一要做的就是区分好是 ASA 还是 AAS 直角三角形全等的特殊证法。但当该方法不行时，前面的 4 种方法也能用来证明直角三角形全等。 如何找斜边：斜边是直角所对的边，只要找 90的角所对的边就能找到斜边 2 三三、找全等三角形的方法找全等三角形的方法： 可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； 可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； 从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； 若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。 缺个角的条件： 1、公共角 2、对顶角 3、两全等三角形的对应角相等 4、等腰三角形 5、同角或等角的补角（余角） 6、等角加（减）等角 7、平行线 8、等于同一角的两个角相等 缺条边的条件： 6、等腰三角形 5、角平分线性质 4、等量差 3、等量和 2、中点 1、公共边 3 数形结合找条件数形结合找条件【规律总结规律总结】 10、等于同一线段的两线段相等 9、两全等三角形的对应边相等 8、 线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等 7、等面积法 找另一边SSS 已知两边 找夹角SAS 找直角HL 已知一边一角 边为角的邻边 找角的另一边SAS 找与边相邻的另一角ASA 找边的对角AAS 边为角的对边找任一角AAS 找夹边ASA 已知两角 找除夹边外的任一边AAS 题目中的隐藏条件 1.公共边、公共角 2.对顶角 3.正方形4 条边都相等、4 个角都是 90 4.等边三角形（正三角形）3 条边都相等、3 个角都是 60 5.同一个三角形中，一个角是 90，一个角是 45三角形是等腰直角三角形，两条腰相等。 同一个三角形中，一个角是 90，两条边相等三角形是等腰直角三角形，两个底角为 45 6.两直线互相垂直以垂足为顶点的 4 个角都是 90 7.同角（等角）的余角、补角相等 8.外角定理（最不容易想到，当题目无从下手时，就应该想一想外角定理） 9.两三角形全等对应边、对应角、对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线、周长、面积等都相等 4 四四、构造辅助线的构造辅助线的常用常用方法方法： 关于角平分线的辅助线关于角平分线的辅助线 当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型 OPOP 是是MONMON 的角平分线的角平分线 过点 P 向两边作垂线，构 成全等三角形 截取 OB=OA，构成三角形 全等 角平分线被垂直， 顺势延长 造全等，则 P 是中点 角平分线+平行线得等腰 三角形 图中有角平分线， 可向两边 作垂线 图中有角平分线， 沿它对折 关系现 角平分线加垂线， “三线合 一”试试看 角平分线+平行线，等腰三 角形必呈现 角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知已知ABCABC 中中，BPBP，CPCP 分别为角平分线且交于点分别为角平分线且交于点 P P，探讨探讨BPCBPC 与与A A 的关系的关系 角平 分线 倒角 模型 结论 1 90 2 BPCA 1 90 2 BPCA 1 2 BPCA 基础知识基础知识 5 关于角平分线常用的辅助线方法： （1）截取构全等 如下左图所示，OC 是AOB 的角平分线，D 为 OC 上一点，F 为 OB 上一点，若在 OA 上取一点 E，使得 OE=OF，并连接 DE，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例题例题 1 1：如上右图所示，AB/CD，BE 平分BCD，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。 提示：在 BC 上取一点 F 使得 BF=BA，连结 EF。 （2）角分线上点向角两边作垂线构全等 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过AOB 的平分线 OC 上一点 D 向 角两边 OA、OB 作垂线，垂足为 E、F，连接 DE、DF。 则有：DE=DF，OEDOFD。 例题例题 2 2：如上右图所示，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180。 （3）作角平分线的垂线构造等腰三角形。 如下左图所示，从角的一边 OB 上的一点 E 作角平分线 OC 的垂线 EF，使之与角的另一边 OA 相交，则截 得一个等腰三角形（OEF） ，垂足为底边上的中点 D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性 质与等腰三角形的三线合一的性质。 如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结 为： “延分垂，等腰归” 。 6 例题例题 3 3：如上右图所示，已知BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H 是 BC 中点。 求证：DH=? ?（AB-AC） 提示：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。 例题例题 4 4：已知，如图，在 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD 的延长线于 E,求证：BD = 2CE【提示提示：延长延长 CE 交交 BA 的延长线于点的延长线于点 F】 （4）作平行线构造等腰三角形 作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况： 如下左图所示，过角平分线 OC 上的一点 E 作角的一边 OA 的平行线 DE，从而构造等腰三角形 ODE。 如下右图所示，通过角一边 OB 上的点 D 作角平分线 OC 的平行线 DH 与另外一边 AO 的反向延长线相交于点 H，从而构造等腰三角形 ODH。 由线段和差想到的辅助线 （1）遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法： 截长截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条然后证明剩下部分等于另一条； 补短补短：将一条短线段延长将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段然后证明新线段等于长线段。 截长补短法作辅助线。 例题例题 5 5：在ABC 中，AD 平分BAC，ACB2B，求证：ABACCD。 请问此题是截长还是补短 7 例题例题 6 6：如图，在ABC 中， B=60 。 ，AD，CE 分别平分BAC，ACB，求证：ACAECD 例题例题 7 7：如图， AC 平分DAB，ADC+B=180 。 ，求证：CD=CB 例题例题 8 8：如图， AD/BC，点 E 在线段 AB 上，ADE=CDE，DCE=ECB，求证：CD=AD+BC （2）对于证明有关线段和差的不等式不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可 想办法放在一个三角形中证明。 方法技巧：在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形， 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。 例题例题 9 9：已知如图 1-1，D、E 为ABC 内两点,求证:ABACBDDECE. （法法 1）证明：将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N， 在AMN 中，AMAN MDDENE;（1） 在BDM 中，MBMDBD； （2） 在CEN 中，CNNECE； （3） 由（1）（2）（3）得： AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC 分析见全效优等生 分析见全效优等生 分析见全效优等生 8 （法法 2）如图 1-2，延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G， 在ABF 和GFC 和GDE 中有： ABAF BDDGGF （三角形两边之和大于第三边） （1） GFFCGECE（同上）（2） DGGEDE（同上）（3） 由（1）（2）（3）得： ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE ABACBDDEEC。 （3） 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时， 可连接两点或延长某边， 构造三角形， 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例题例题 1010：如图 2-1：已知 D 为ABC 内的任一点，求证：BDCBAC。 分析分析：因为因为BDC 与与BAC 不在同一个三角形中不在同一个三角形中，没有直接的联系没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形可适当添加辅助线构造新的三角形，使使 BDC 处于在外角的位置处于在外角的位置，BAC 处于在内角的位置处于在内角的位置； 证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角， BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC 证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F BDF 是ABD 的外角 BDFBAD，同理，CDFCAD BDFCDFBADCAD 即：BDCBAC。 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内 角位置上，再利用不等式性质证明。 由中点想到的辅助线 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线加倍延长及其相关性质 （等腰三角形底边中线性质等腰三角形底边中线性质） ，然后通过探索，找到解决问题的方法。 A BC D E F G 12图 （1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1，AD 是 ABC 的中线，则 SABD 例题例题 1111：如图 2，ABC 中，AD 是中线 为 2，求：CDF 的面积。 （2）倍长中线 已知中点、中线问题应想到倍长中线， 通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角 连结 BE(用虚线连接用虚线连接)。 例题例题 1212：如图 5，已知 ABC 中，AD 形。 验证中点、中线问题，应构造平行线 如图，过 B 作 BE 平行 AC 交 AD 延长线于 9 中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 ABD=SACD= ? ?SABC（ （因为因为 ABD 与与 ACD 是等底同高的是等底同高的 是中线，延长 AD 到 E，使 DE=AD，DF 是 DCE 的中线 由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分 通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。如图，延长 AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。 应构造平行线 延长线于 E。 A B C D 是等底同高的是等底同高的） 。 的中线。已知 ABC 的面积 一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边， 延长 AD 到 E，使得 AD=DE， 。求证：ABC 是等腰三角 10 例题例题 1313：如图 3，在等腰ABC 中，AB=AC，在 AB 上截取 BD，在 AC 延长线上截取 CE，且使 CE=BD连接 DE 交 BC 于 F求证：DF=EF 其他辅助线做法 （1）延长已知边构造三角形 在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于 问题的解决 例题例题 1 14 4：如图 4，在ABC 中，AC=BC，B=90，BD 为ABC 的平分线若 A 点到直线 BD 的距离 AD 为 a， 求 BE 的长 例题例题 1515：如图 7-1，已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B，求证：ADBC 分析： 欲证 ADBC， 先证分别含有 AD， BC 的三角形全等， 有几种方案： ADC 与BCD， AOD 与BOC， ABD 与B