2018全国高中数学联赛模拟试题及参考 答案.pdf

2018 全国高中数学联合竞赛模拟试题参考答案全国高中数学联合竞赛模拟试题参考答案 一、填空题：本道题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 一、填空题：本道题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1.已知函数 2 6yxx的定义域为A， 函数 2 lg43ykxxk的定义域为B， 当BA时， 实 数k的取值范围是 【解答】由题意得，A = 2,3, 令() = ?+ 4 + + 3，当 0 时，令 x +时不满足题意.故 k0.则此时()为一个开口向下的二次函数， 由BA得， (2) 0，(3) 0， 0， ? ? 2,3， 解得 ? ? 4. 注意：函数的定义域不能为空集。 2.已知函数() = 1 ? ?（）若() = 2ln ()，则()的取值范围为_. 【解答】由题意得， ? ? + ? ? = 1而() = 1 ? ?. 先考虑最大值，由于，ln为正，当 +时，() 1，由条件知可以满足. 再考虑最小值，由柯西不等式， ? ? + ? ? = 1 ? ?，解得ln + ln的最小值为 6，故()的 最小值为? ?.综上所述，1() ? ?. 3.在 中，若sin(2 + ) = 2，则的最大值为 【解答】展开得，2 + 2 = 2，即s2 + 2 = 2. 故 = ? ? = ? ? ?2? = ? ? = ? ? ? ? ，若0，则0，这不可能. 0. ? ? . 4. 在边长为 1 的正三角形纸片 ABC 的边 AB，AC 上分别取 D，E 两点，使沿线段 DE 折叠三角形纸片后，顶 点 A 正好落在边 BC，在这种情况下，AD 的最小值为_ 解：设ADx，ADE，记 A 得对称点为 P，则由对称性可知DPx，PDE，1BDx ， 1802BDP ，所以260DPB . 在BDP中由正弦定理得 1 sin60sin 260 xx , 3 32sin 260 x 又0 ,90 ，所以当26090 ，即75 时 min 2 33x. 5. 在球的内接三棱锥 A-BCD 中，AB=8，CD=4，平面 ACD平面 BCD，且ACD 与BCD 是以 CD 为底的全等 的等腰三角形，则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_. 【解答】如图，易得 AEBE，由等量关系，CE=ED=2，AF=BF=4，AE=BE=22. 由垂径定理，OFAB，OECD，由对称性得 O 在 EF 上. 由勾股定理，OF?+ AF?= AO?= R?= OC?= （4 OF） + CE 解方程得，OF=? ?，R= ? ? ,三棱锥 A-BCD 的高 AE=22，故三棱锥 A-BCD 的高与 其外接球的直径的比值为? ? . 6.已知椭圆E: ? ? + ? ? = 1的右焦点为F?，直线 l 与圆心在原点，半径为 b 位于第一、第四象限的半圆相切 于点 M，且交椭圆 E 于 P，Q 两点，则 F?PQ 的周长为_. E F A B C D O 【解答】如图，设?，?，由焦半径公式，?= ?. 在 中，?= ? ?= ? ?+ ? ? = ? ?（1 ? ?）= ? ?，故 = ?. ?+ = .同理?+ = . ?的周长为2. 注：也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答，但过于繁琐，本解 答采用熟知的结论：?+ = . 7.对于? ? 1，则(1 + )?(1 )(1 2)?的最大值为_. 【解答】采用待定系数法。考虑?(1 + )?(1 )(2 1)?的最大值。 首先有 (1 + x) = (1 ) = (2 1),即 ? ? = ? ?.其次有5 + 4 = 0. 消去 得 0=2(3 + 5? 2?) = 2(5 2)( + )，我们取?，? = (2,30,5)，由平均不等式得 2(1 + )?30(1 )5(2 1)? （ ? ? ） ?，此时 =? ?，满足题意。 故(1 + )?(1 )(1 2)?的最大值为? ? ? . 8.设为给定的正整数，集合是1,2,2 1的一个子集，满足：中任意两个不同的正整数之和都不等 于2 1和2，则|的最大值为_. 【解答】注意到，当 A=n，n+1，2n-1时，A 中最小的两个数之和都不小于 2n+1，故 A 中任意两个不 同正整数之和不等于 2n-1 或 2n，因此，|A|的最大值不小于 n。 另一方面，考察下面的数列（它是 1，2，2n-1 的一个排列）2n-1，1；2n-2，2；n+1，n-1；n. 其中任意两个相邻数之和都为 2n-1 或 2n.而由抽屉原理知：当|A|n+1 时，A 中必然有两个数在上述数列 中相邻，所以，符合条件的 A 的元素个数不大于 n. 综上可知，|A|的最大值为 n。 二、解答题：本道题共 3 个小题，满分 56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 二、解答题：本道题共 3 个小题，满分 56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. （本题满分 16 分） 设() = ?+ + ( 0)， 方程() = 的两个根是?与?， 且? 0，? ? ? ?.又若0 1，? ? ?都是正整数。 11. （本题满分 20 分） ABC中， O 是 BC 的中点，|BC| = 32，其周长为 6 + 32.若点 T 在线段 AO 上，且 |AT| = 2|TO|，设点 T 的轨迹为 E，M，N 是射线 OC 上不同的两点，|OM| |ON| = 1 . 过 点 M 的直线与 E 交于P，Q，直线 QN 与 E 交于另一点 R，证明： MPR 是等腰三角形. 【解答】由题意，AB+AC 为定值 6，故 A 的轨迹为长轴为 6，焦距为32的椭圆：? ? ? + ? ? = 1.（y 0） 则 OA 的三等分点 T 的轨迹 E：x + 2y = 1（y0） 要证明MPR 为等腰三角形，由于 M，N 地位等价，则PRN 也为等腰三角形。由于 PQ 直线的任意性，考虑 极端情况可发现MPR 中 MP=MR 可成立，故 PN=RN 也能成立，猜测 P 和 R 关于 x 轴对称。 下采用同一法证明该结论。设直线 QN：x=my+t， N（t，0） ，M（? ?，0） ，R（?，?） ，Q（?，?） ，P（?， ?） 将 QN 与椭圆联立得(2+m)y+2mty+t-1=0. 由韦达定理得? ?+?= ? ? ?= ? ? 代入得 ? ? ? ? = ? ? ? + ? ? ? = ? ? ? + ? ? ? = 2m + ? ? ? ? ? = 0 Q，M，P 共线，由同一法则知 P 和 R 关于 x 轴对称，即 PM=MR，MPR 是等腰三角形。 （注：本题也可以联立证明 PRx 轴） x y R Q O D M N P 2018 全国高中数学联合竞赛加试模拟试题全国高中数学联合竞赛加试模拟试题 一、 本题满分 40 分 如图，圆 1和圆 2相交于 A、B 两点，靠近 A 的外公切线 CD 切 1于点 C，切 2于 D，CEBD1 =E， DFBC2=F，求证：? ? = ? ? 【解答】 由于 DC 是两圆公切线，延长 BADC=M 由切割线定理， DM=MAMB=MC，故 M 为 DC 中点。 10 分 又由 CEDB，DFCB，得CEBDBF，故 DFB=CBE，DBF=CEB 由分角线定理，ACsin = ， ? ? = ? ? = ? ? = ? ? 20 分 由三弦定理，AFsin = + . 同理得到 AEsin = + . 30 分 上下作比得 ? ? = ? ? ? ? = ? ? ? ? = ? ? ? ? 观察式子? ?，其中FAB=FDB=BCE=BAE，故 ? ? = ? ? = ? ?， 同理，有? ?= ? ? = ? ? = ? ?，由等比定理， ? ? = ? ? 40 分 从而? ? = ? ? = ? ?，证毕。 二、 本题满分 40 分 已知x? R，i = 1,2，n，n 2，且 |x ?| = 1， ? ? x?= 0. ? ? 证明:| ? ? | ? ? ? ? + ? ?. 【解答】 记x?中所有正数和为 A，负数和为 B，则 A+B=0，A-B=1，那么 A=? ?，B= ? ?. E A B F D C M E A B F D C 记x?的前项和为S?，则有|S?|? ? 10 分 由于x?的和易把握，? ? ? ?的差易把握，考虑阿贝尔变换。 由阿贝尔分部求和公式， ? ? ? ? = ? ? ? + S?(? ? ? ?) ? ? 20 分 代入?=0， |S?|? ?， 又? ? ? ? ? ? |S ? |? ? ? ? ? ? ? 30 分 故? ? ? ? ? ? ? ? (? ? ? ?) ? ? =? ? + ? ? 40 分 三、 本题满分 50 分 设是素数，整数、满足 0 ，若?、?、?除以的余数相等。 证明：?+ ?+ ?可以被 + + 整除。 【解答】 由已知条件，x?、y?、z?除以 p的余数相等，可得p|x? y?，即p|(x y)(x?+ xy + y?)， 由于 0 x y z p且p 为素数，|x-y|p，故 p|（x?+ xy + y） 同理可得p|(y?+ yz + z?) 10 分 由，知p|(x?+ xy + y?) (y?+ yz + z?)，即 p|（x z） （x + y + z） 20 分 同上证明可知|x z|p，所以 p|(x + y + z). 已知 0 x y z p，所以x + y + z3p，则 x+ y + z = p 或 2p. 30 分 由 p3，故（2，p）=1 而x + y + z x?+ y?+ z?(mod2)，故只需要证明 p|(x?+ y?+ z?) 40 分 由得p|x(x + y + z) + y? xz，于是，p|(y? xz)，同理p|(y? yz)，p|(z? xy) 又p?(x?+ xy + y?) ，p?(y?+ yz + z?)，p|(z?+ zx + x?)，六式相加可知， p|3(x?+ y?+ z)，即p|(x?+ y?+ z). x?+ y?+ z?可以被 x + y + z 整除。 50 分 四、本题满分 50 分 在平面上给出了有限条红色直线和蓝色直线，其中任意两条不平行，并且其中任意两条同色直线的交点都 有一条与它们异色的直线经过。 证明：所有给定的直线交于一点。 【解答】使用反证法：假设所有给定直线不相交于一点。 对于所定的直线中的任意一条红线 l，设它与各条蓝色直线交于?,?，不妨设这个点中?，?的距 离最大（若?，?两点重合，则题中所要证明的结论显然成立，这里假设?，?不重合） ，设与交于?， ?的两条蓝色直线交于，这样构成一个三角形 ?。 依题意，必然有一条红色直线过点，设与交于，我们现在来证明点在线段?上。 10 分 若点不在线段?上，如图 1，不妨设点C在?的延长线上（点 C 不必与?，?重合） ，则依题意知存 在一条过 C 得蓝色直线，则点 C 也是与某条蓝色直线的交点，而?，这就与?的最大性矛盾。 所以点必然在线段?上。 20 分 于是，我们由一条红线便可以得到一个“四线组” （例如直线，?，?，）并称由这条直线所围成 的三角形中面积最大的三角形的面积为这个“四线组”的“质量” 。 同理，对任意一条蓝线，我们也可以类似地得到一个“四线组” ，用同样的方式对其定义“质量” 。 这样一来，对任意一条给定的直线，我们都可以得到一个“四线组” ，从中任取一个，如图 2，不妨设?和 ?为蓝线，?，?为红线，设 P=? ? ?，Q=? ?，R=? ?，S=? ?。 由题意知，必有一条蓝色直线过 R，则该直线必与线段 PQ 及线段 PS 之一相交，不放该蓝色直线与线段 PS