15年数学建模B题.pdf

1 飞机失事搜寻方案飞机失事搜寻方案 20172017 年美赛年美赛 8 8 组组 20172017 年年 1 1 月月 1212 号号 2 摘要 本文针对搜寻失联的飞机这一问题， 将从以下几个方面对失联飞机的目标搜 索范围、搜索方法以及成本最优化进行预测和分析。以失联飞机为研究对象，建 立动力学模型和发现概率模型， 以及对不同型号的失联飞机和搜寻飞机予以分析， 建立海上立体搜寻模型并进行成本最优化处理。 针对确定搜寻区域， 当飞机在海上遇难后， 假设无法获取到坠落飞机的任何信号， 我们将要面对的问题是：一、确定搜索区域；二、制定最优搜索方案。在飞机在 坠落过程中保持完整，与原飞行方向保持一致等，一系列合理的假设下，我们运 用相关的动力学和物理学知识， 将目标问题转化为抛体运动中的一个特殊问题去 研究。 将失事飞机的运动进行划分，建立动力学模型用于计算失事飞机的落水点 和水平位移，确定目标搜索区域。将目标区域进行划分，建立发现概率模型，计 算各任务区域概率，以提高搜索效率。 针对搜索方案， 失联飞机以及搜寻飞机的型号各不相同，所需的搜寻力量也有所 不同。为实现目标区域全方面的覆盖，建立海上立体搜寻模型，使搜寻力量和方 案达到最优，加上建立优化扇形搜寻模型，更好地辅助搜索。 针对搜救成本，建立一个关于非线性规划问题的成本最优化模型，运用数学软件 Lingo 进行模型的求解，帮助搜索人员在进行大规模的搜索时，降低成本，节省 消耗，进行有序的搜救行动。 【关键词】失事飞机 搜寻方案 空气动力学 发现概率 最小值法 扇形优化法 非线性规划 最优化法 3 目录目录 1.1.引言引言 . 4 4 1.1 问题解读 4 1.2 问题分析 4 1.3 现有模式及评价 . 4 2.2.模型假设模型假设 . 5 5 3 3. .模型建立与求解模型建立与求解 . 6 6 3.1.1 动力学模型 6 3.1.2 发现概率模型 7 3.2.1 搜救力量模型 . 9 3.2.2 搜救方案模型 12 3.3 搜救成本模型 . 13 4 4. .模型测试模型测试 1515 5 5. .结论结论 1 17 7 6 6. .模型评价模型评价 1 17 7 6.1 动力学模型和发现概率模型评价 17 6.2 搜寻力量组成评价 . 17 6.3 搜救成本模型评价 17 7 7. .参考文献参考文献 1 18 8 4 1.1.引言引言 1.1 通过对于失踪马航搜寻的理解，我们需要帮助“搜索者”制定一个可用 的针对失踪飞机的搜索方案，飞机坠落地点在开放的水域中，我们无法获得飞机 坠落前的任何信号，在搜寻过程中，我们要搜寻的飞机类型不同，所用的搜寻设 备也不相同。 1.2 从整个题目来看，问题要求建立一个通用的数学模型，帮助制定搜索方 案。对于飞机失事问题，无论是海洋还是陆地，搜寻是整个搜救过程中最重要的 一部分。然而搜寻计划的最首要的一步，就是确定搜索区域。因此，建立动力学 模型估算失事飞机的落水点和落水后的位移，用以确定搜寻区域。 1.2.1 失联飞机下落过程中速度和加速度都不断变化。飞机下坠，重力加速 度向下，下落速度不断增大，导致竖直方向向上的空气阻力不断增大，减小飞机 下坠的加速度。在水平方向飞机只受与之运动方向相反的空气阻力，水平速度不 断减小， 但由于下落时间长了很多， 导致飞机下落水平位移增大， 搜索区域变大， 因此飞机受到的空气阻力是不可忽略的因素。 动力学模型是基于神经网络模型的搜寻方案,基于蒙特卡罗算子的搜寻方案 等,而建立动力学模型和扇形模型探究失联飞机的搜寻方案。分析飞机的坠落过 程，将空气中风力、阻力等影响飞机运动的力统称为空气阻力，水中影响飞机运 动的力统称为水中阻力，建立动力学模型。 1.2.2 飞机发生故障后， 可能会改变下落方向， 采用圆形区域作为搜寻区域， 才能达到全面搜寻的目的。搜寻区域中搜寻概率大的区域需要重点搜寻，概率小 的区域可以快速搜寻。 发现概率模型是将搜索区域进行划分，计算划分后的各区域的概率，重点搜 寻概率大的区域，缩短搜寻时间。 1.2.3 通过上述模型，确定了搜寻范围，我们根据不同型号的失事飞机， 建立海上立体搜寻最优化数学模型，将船只和飞机进行数量上的最优组合，达到 最高搜索率。为实现对目标区域的全方位覆盖，我们对视觉搜寻和电子搜寻进行 分析，最终在扇形搜寻法的基础上进行优化，得到搜寻方案。 1.2.4 飞机失事后，尽量在降低搜救成本的同时尽可能地提高救助成功率。 搜救成本模型是使用非线性规划的方法对搜救成本进行求解。 对变量进行量化处 理， 1.3 现有的搜寻模式： 5 图（1） 由上知， 现有的模式不够细化， 在实际的海上搜寻救助决策中时间就是生命， 做好细节准备也是至关重要的事情。 2 2. .模型假设模型假设 1、假设搜索区域的边界是完整大海洋。大部分被陆地覆盖的地球表面是海 洋。 从某种程度上说，找到一架坠毁在陆地上的飞机往往比在海上找到一个更简 单。 海洋覆盖了很大比例的控制地球的表面积，并作为一个不断增加的挑战大膨 胀等影响表面移动。 2、 假设飞机失事前没有黑匣子远程获得信号,没有额外的方法得知坠落的飞 机信息。如果可以获得黑匣子远程信号，那么很容易可以找到飞机残骸，所以找 到一个坠落的飞机尽可能少的信息是合理的。 3、假设飞机掉落海面之前没有发生爆炸，机身近似在一个平面上。如果发 生爆炸，一个研究对象将变为多个研究对象，无法准确预测飞机的运动轨迹以及 坠落点。 4、假设飞机的坠落方向与其原飞行方向保持一致，不发生偏移。避免了偏 移角度无法确定， 保持原飞行方向， 可以将搜索半径最大化， 范围更具有说服力。 5、假设飞流与洋流是均匀的。海洋的总水流受多方面不定性因素影响，具 有多变性，假设其是均匀的，简化模型。 6、飞机在坠落过程中不考虑风力。忽略风力的影响，飞机失联点与坠落点 之间的水平位移可取最大值。 7、在进行搜救前，我们获取了飞行航线、失联时刻的位置、卫星发现的疑 似碎片以及出事区域的天气和洋流状况等。我们可以通过飞行的高度H，失联点 的具体位置等信息确定目标搜索区域。 8、假设飞机在坠落过程中重力加速度不变。由于失事飞机在下落过程中的 6 速度和加速度是不断变化的。假设加速度不变，并不影响水平运动，不影响搜索 半径的确定，并且可以简化计算。 9、 假设待搜区域周围有海上巡航船舰、 搜救飞机。 以便及时发现失事飞机， 并进行搜寻。 10、假设搜救路线上的船只、飞机不会互相影响。在模型中，船只和飞机的 出行顺序已确定。 11、假设现有的搜救设备只有船和飞机。经过对大量失事飞机搜救的案例分 析，搜救设备中船和飞机所占的比重大。 3 3. .模型的建立与求解模型的建立与求解 为了制定搜寻行动计划，我们需要及时、准确、全面的获取搜寻海域附近搜 寻力量的相关信息分派搜寻力量，实现目标区域全方位覆盖。首先在目标水域通 过对黑匣子搜寻仪的侦听判断是否能搜听到疑似信号，若能搜听到疑似信号，应 及时进行信号的录制与确认。 若未能搜听到疑似信号， 则应进行大面积海上搜寻。 针对搜寻力量任务分配问题所提出的海上搜寻区域剖分算法,借鉴了多边剖分算 法的思想并对其进行了有效改进,从而形成适合于开展海上搜寻行动的任务分配 算法。 3 3.1.1.1.1 动力学动力学 11模型的建立 模型的建立 飞机在发动机失效以后，飞机坠落过程近类平抛运动。在落水前，飞机相对 空气运动，受与运动方向相反的阻力f，自身重力G。因失去动力，其运动方向、 运动速度、所受空气阻力是动态的。如图（2）示： 图（2） 在水平方向： 设失事飞机在落水前， 速度为Vt,加速度为at， 结合物理学与动力学公式得： 7 水= 1 2 t2 （1） v Vt= att （2） X = Vtdt （3） ma= f （4） 求得落水瞬间飞机的水平速度Vt和飞机的落水点与失联点的水平距离X，因 为在此过程中排除了风阻的影响，所以水平距离X为最大值。 在竖直方向： 设失事飞机在落水的瞬间，加速度为g,下落前高度为H，结合物理学与动力 学公式得： f竖= 1 2 CSV02 （5） V0= gt （6） H = 1 2 gt2 （7） mg= mg f竖 （8） 求得落水瞬间飞机的竖直速度V0和落水所用时间。 在落水后，空气阻力为 0，飞机的运动受水中阻力f水的影响。设飞机在水中 的速度为V水，加速度为a水，在落水后到在水中做水平相对静止运动所用的时间 为t水。 求解在水中的水平位移X水， 同理于求解空气中的X。 改为海水的密度海水， C为海水中阻力系数C海水。求出X水后，将飞机失事点垂直投影到海平面上，作为 圆心，以X + X水为半径，此圆内区域即为失事飞机的搜寻最大区域。 3 3.1.2.1.2 建立发现概率建立发现概率 22模型 模型 因为在圆形搜索区域内，搜寻到失事飞机的概率有所不同，所以，为进一步 精确地确定，将搜寻区域进行划分，如图示划分成若干份扇形。 8 图（3） 飞机失事后，相对确定方向的漂移，更加贴合实际，将区域定义为扇形，随 着时间的延长，其面积也会不断扩大，考虑到，进行搜寻时，失事的飞机已经漂 流了一段时间t漂，则扇形面积为： 扇= 360 圆= 360 ( + 水) 2 = *(+漂)+ 2 360 （9） 其中：S扇为扇形面积；S圆为圆形面积；为扇形的夹角；T搜寻队实际搜寻 时间；v为搜寻目标在水中相对运动的的速度，即水流的速度；为圆周率。 根据发现概率公式，得目标在相对方向确定的漂移时，其发现概率为： P() = 1 360搜 *(+漂)+ 2 （10） 其中， 表示数学常量， 约等于 2.71828； 搜表示搜寻仪器的搜寻速度； 表 示扫海宽度。 如果认为失事飞机时任意方向漂流，则令值为3600。当扇形夹角为00时， 可认为失事飞机沿一条直线运动。 值可以根据飞机失事时运动的水平速度的方向向两边偏移而定。 由于以上数据是根据查询而来，信息的质量也会造成误差。所以，引入信息质量 函数I(T)，取值范围为（0,1）I(T)趋近于 0 时，信息质量差，趋近于 1 时，信息 质量高。 9 经修正，发现概率为： P() = 1 360搜 *(+漂)+ 2 1I(T) （11） 据上述，可以在搜索时，对搜索区域进行概率计算，并且搜索完毕后，删除已搜 索区域概率，更新未搜索区域概率。使数据更加精确。 3 3.2.2.1.1 搜寻力量的确定搜寻力量的确定 在可能的搜索区域中，搜索目标在区域中的概率分布是搜索过程中重要 的因素，它影响着如何使用可用搜寻设备。由于我们已经知道了飞机最后失 事的位置，可选用以点为中心的环形标准正太概率密度分布形式。由最后已 知位置经过漂移计算后得出的目标最可能位置就是目标位置概率密度最大的 点，及基准点。如图所示 3： 图（4） 标准正太概率密度分布图形 在搜寻力量的选择上， 搜寻指挥人员可根据图中的基准点将搜寻力量先集中 在概率较大的中心区域，节省搜救时间。 为了制定关于搜寻力量的行动计划，需要及时的、全面的了解到待搜索海域 及附近的搜寻力量，对已有的搜索力量我们要进行筛选，选择最佳的搜寻力量， 同时要考虑待搜海域的各种环境问题和遇难人员的目前情况来对比已有的搜寻 力量，通过数学模型实现对搜寻力量的优化选择。 10 图 （5） 可用的搜寻力量示意图 图 （6） 海上立体搜寻形式图 图（5）中将可用的搜寻力量详细的综合起来，清晰地表示了各种力量的集 合，图 （6）中是由多艘专业搜救船泊、多架可用的专业搜救飞机和多艘路过船 只组成了海上立体搜寻力量 4。 模型的建立 11 模型的目标是为了选择最优5的搜救力量，为使搜救船只、搜救飞机协同工 作使整个搜寻行动所耗的总时间 T 最少，为达到此目标引入决策变量进行优化： 1, 如果船只i参与搜寻行动 0, 如果船只i不参与搜寻行动 1,如果飞机i参与搜寻行动 0，如果飞机i不参与搜寻行动 船只在进行搜寻行动时，由于每艘船只距待搜海域的初始距离 不同，有的船只 在搜寻开始时就能到达该海域，有的船只在搜寻结束后才能到达，可以得到整个 搜寻行动所用时间： 船= + （12） 同理搜寻飞机需要有往返海域的时间和在海域上搜寻的时间， 则飞机的搜寻时间 为 飞机= （13） 建立海上立体搜索力量最优化模型需满足搜索时间最小： = =1 + ( ) =1 （14） 模型的求解： 假设搜寻海域的面积为 2000（n mile）2,在该海域中有 10 艘船只（其中一艘 位于海域内部，其余在海域周围）和 5 架飞机，其中船只距海域的初始距离、最 大航速和搜寻能力同理给出飞机的相关信息。 船只序号 初始距离 最大航速 搜寻能力 1 0 8 9 2 21 10 12 3 22 33 50 4 25 12 24 12 5 26 31 56 6 69 12 21 7 75 21 42 8 77 17 25 9 87 16 21 10 88 13 24 11 92 15 19 12 93 16 27 13 95 21 47 14 97 22 58 15 99 23 62 表（1） 船只的信息 飞机序号 初始距离 最大航速 最大续航时间 搜寻能力 1 21 155 4.26 180 2 35 175 5.25 220 3 255 135 3.44 150 4 412 155 4.26 180 5 717 175 5.25 220 表 （2）飞机的信息 将各种数据带入模型中， 可得到所需时间最少的派遣方案， 派遣序号 1、 2、 3 的三架飞机与序号为 1、2、3、5、6 的 5 艘船只一起行动。 由上述模型可知，在针对不同型号的飞机与其不同情况失事等进行搜寻时， 可进行不同序号性能的飞机与不同序号性能的船只相互组合， 以便达到最优的搜 寻力量，优化海上立体搜寻 6。 3.2.23.2.2 搜寻方法的确定搜寻方法的确定 在确定了搜寻区域后，需根据区域的环境影响，以及该目标的情况选择适当 的搜索方式，目前世界上的搜寻方法有：视觉搜寻方法、电子搜寻方法 7。 视觉搜寻方法的选取： 通过对比各种视觉搜寻方法，根据已有的搜索区域及基准点，我们采用扇形 搜索方式进行改良处理，为了节约时间我们将圆形区域进行细化处理，充分的将 船只与飞机结合起来，使二者在海上同时搜寻，协同工作。给基准点建立坐标， 使船只分别以基准点的各个方向出发，以其可满足的视角搜寻为划分点，在每两 艘船之间设立一架飞机，方便视角的补充，以及人员的搜救。 13 图 （7） 视觉搜寻方法示意图 电子搜寻方法的选取： 在进行搜救时电子搜寻方法是非常重的一项，尤其是在夜晚搜寻时，视觉搜寻会 出现盲区，此时电子搜寻更显得尤为重。 电子搜寻设备 卫星雷达 光学相机 夜视仪器 通过分析上述三种设备，各种电子设施大部分是安装在搜寻设备中，为搜寻 行动提供辅助，所以在本文中我们只考虑它的辅助作用。 表（3） 3 3.3.3 搜救成本模型建立与求解搜救成本模型建立与求解 本模型需要求出搜救成本的最小值，而对于搜救成本又有多种因素的制约， 所以想到使用非线性规划的方法对搜救成本进行求解。 我们假设能提供的飞机有 15 架，船有 30 艘，搜救面积为 10000k2,以它们作为约束变量，建立以总成本 为目标函数的非线性规划模型，求最小成本。为便于解决问题，查阅资料我们设 飞机的搜寻能力为 700k2/h，船只的搜寻能力 100k2/h，每架飞机 70000 美 元/小时，每艘船只 30000 美元/小时，由于黑匣子的发射信号的时间为 30 天， 为扩大搜索提供时间，飞机需要补给，所以每 3 架飞机至少配备一艘船，将其作 为标准。设需要调用的船艘，飞机架，总成本为Z，由非线性规划的相关知 识可建立数学模型： 船只的搜寻路线 飞机的搜寻路线 14 （1）目标函数： Z = 3000 + 7000 （15） 约束条件：0 30 （16） 0 15 （17） 100 + 700 10000 （18） 720 （19） 3 （20） 由于模型中的变量因素较多，为了求解非线性规划中的最优值，比较各种数 学软件，选择 Lingo 软件 8进行求解。 （2）求解步骤： model: minz=(3000*C*M+7000*C*N); M=0; M=0; N=10000; c=M/3; gin(M); gin(N); gin(C); End 15 （3）求解结果： Variable Value MINZ 156000.0 C 12.00000 M 2.000000 N 1.000000 可以得出需要 2 艘船， 1 架飞机，搜救时间为 12 小时的最小搜救成本为 156000 美元。 4 4. .模型测试模型测试 由于海上立体搜寻模型所需数据包含各国拥有的搜寻力量， 我们无法获取精 准信息；搜救成本模型在上述中，已进行数据假设，在此，我们只对动力学模型 和发现概率模型进行模型测试。测试如下： 我们通过马航 MH370 来进行模型测试。 首先，为了计算大气密度，我们查阅相关资料，得出下表： 海 拔 高 度（m） 0 1000 2000 2500 3000 4000 5000 相 対 空 气密度 1 0.903 0.813 0.770 0.730 0.653 0.583 表（4） 由表得知，在标准状态下大气压为 1，相对空气密度为 1，一般标准情况下，空 气密度为1.293g/L，根据气体状态方程式求得空气密度与海拔高度的关系为： = (1 /0)4.26 （21） 其中：表示海拔高度为时的空气密度；0表示标准状态下的空气密度；表 示空气温度梯度，约为0.0065K/M；表示海拔高度，单位为m；0表示绝对温 度，为273K. 将相关数据代入，可以得到空气密度与高度的关系曲线图，如下： 16 图（8） 查阅马航 MH370 的相关资料，估计飞机的重量约为：20000 千克，翼展面积约为 130 平方米，机翼受力面积为 200 平方米，飞机空气阻力系数为 0.08，将这些数 据代入到动力学模型中，使用 Matlab 进行计算，最终得到飞机的坠落轨迹，如 图： 图（9） 求得，X 为 16328m，t 为 81.9071s。 同理，求出在水中的位移水163280m。 综上所述， 搜索半径为 200000m。 则搜索区域的面积可以确定， 为125600km2。 接下来，进行发现概率模型测试，由于马航相关信息杂乱，无法确定准确信息， 再次，我们通过“吉松 5”轮，来测试我们的模型。 经过搜寻，我们得到如下信息： 17 经过修正的扫海宽度： 7408 米 搜寻设施的数量： 2 搜寻时间： 20 小时 搜寻速度： 11112 米每小时 目标已经漂移的时间： 17 小时 目标漂移的速度： 1407.52 米每小时 信息的质量函数 0.3 目标漂移的夹角： 60 度 将上述信息，代入发现概率模型： () = 搜 搜 *(+漂 漂)+ () 经计算得出：其发现概率为 0.809 表（5） 通过马航 MH370 我们测试了动力学模型的准确性，通过“吉松 5”轮，测 试了发现概率模型的稳定性。经测试，所得信息与实际基本相符。综上述，我们 建立的模型是合理的。 5 5. .结论结论 搜寻失事飞机是由确定目标搜寻区域，对区域进行概率分析，组织安排搜寻 力量，设计搜寻方案和搜寻成本最优化组成。为实现这一过程，我们建立了 5 个子模型，与上述组成一一对应:动力学模型、发现概率模型、海上立体搜寻模 型、优化扇形搜寻模型和成本优化模型。这五个子模型依次递进，经测试确定能 够适应并解决实际的搜寻失事飞机问题。 6 6. .模型评价模型评价 6.1 动力学模型和发现概率模型评价 模型的优点：可以通过简单的计算得到精确的目标区域和概率较大的任务区域； 模型的缺点：未考虑飞机解体情况。 6.2 搜寻力量确定模型 模型的优点：可以准确的得知搜寻力量中飞机和船只的组成； 模型的缺点：需要带入大量数据，计算较为繁琐。 6.3 搜救成本模型评价 模型的优点：利用已知条件求解最小成本，为国家搜寻减少了消耗； 模型的缺点：模型架构较小。 18 7 7. .参考文献参考文献 1一种落水失联飞机的搜寻方案 焦晓君，孙瑞芳，李道祥 2海上搜寻中目标发现概率的研究 周涛 3图论 ，作者王树禾，科学出版社 2010.08. 4邢胜伟，张英俊，李元奎，高宗江，海上搜寻力量选择优化模型J，大连海 事大学学报，2012,38（2） ：15-18. 5申培萍.全局优化方法M.北京：科学出版社，2006. 6国际海事组织.国际航空和海上搜寻救助手册M.北京：人民交通出版 社.2003. 7周江华.搜救船舶优选和