2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则.pdf

2010 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则 一 试 2010 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则 一 试 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分） 1 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分） 1已知数列an、bn满足an2 EA A 2n+3 5 A E A，bn A 1 n E A log2(a1a2a3an)，nN*，则数列bn的通项公式 是 答案答案：bn A n4 5 E A ，nN* 简解简解：由an2 EA A 2n+3 5 A EA ，得a1a2a3an2 EA A 2(12n)3n E 5 A EA 2 EA A n(n4) E 5 A EA，nN* 所以bn A 1 n E A A n(n4) 5 E A A n4 5 E A ，nN* 22已知两点 M(0，2)、N(3，6)到直线 l 的距离分别为 1 和 4，则满足条件的直线 l 的条数 是 答案答案：3 简解简解：易得 MN5，以点 M 为圆心，半径 1 为的圆与以点 N 为圆心，半径为 4 的圆外切，故满 足条件的直线 l 有 3 条 33设函数 f(x)ax2x已知 f(3)f(4)，且当 n8，nN*时，f(n)f(n1)恒成立，则实数 a 的 取值范围是 答案答案：( A 1 7 E A ， A 1 17 E A ) 简解简解：(方法一) 因为当 n8 时，f(n)f(n1)恒成立，所以 a0，此时 f(n)f(n1)恒 成立等价于f(8)f(9)，即 64a881a9，解得a A 1 17 E A 因为f(3)f(4)，所以 9a316a4，解得a A 1 7 E A 即a( A 1 7 E A ， A 1 17 E A ) (方法二)考察二次函数 f(x)ax2x 的对称轴和开口方向 因为当n8 时，f(n)f(n1)恒成立，所以a0，且 A 1 2a E A A 17 2 E A ，解得a A 1 17 E A 因为f(3)f(4)，所以 A 1 2a E A A 7 2 E A ，解得a A 1 7 E A 即a( A 1 7 E A ， A 1 17 E A ) 44已知 ABCDA1B1C1D1是边长为 3 的正方体， 点 P、Q、R 分别是棱 AB、AD、AA1上的 点，APAQAR1，则四面体 C1PQR 的 体积为 答案答案： A 4 3 E 简解简解：因为 C1C面 ABCD，所以 C1CBD 又因为 ACBD， 所以 BD面 ACC1，所以 AC1BD 又 PQBD，所以 AC1PQ 同理 AC1QR所以 AC1面 PQR (第 4 题) C A B D D1 C1 B1 A1 P Q R 因为APAQAR1，所以PQQRRP A 2 EA 因为AC13 A 3EA，且VAPQR A 1 3 E A A 1 2 E A 121 A 1 6 E A ，所以 VC1PQR A 1 3 E A EA A 3 A 4 E A ( A 2EA)23 A 3EAVAPQR A 4 3 E A 55数列 n a满足 11 1 2, 1 n n n a aa a + + = ，nN N*记 Tna1a2an，则 T2010等于 答案答案：6 简解简解：易得：a12，a23，a3 A 1 2 E A ，a4 A 1 3 E A ，a1a2 a3a41 又 a52a1，由归纳法易知 an4an，nN* 所以 T2010T2008a2009a2010a1a26 66骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子 10 只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 答案答案：1：6. 提示：提示：掷 3 只骰子，掷出 6 点的情况为 1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10 种， 概率为 3 10 6 . 掷 4 只骰子，掷出 6 点的情况为 1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+ 2 4 C =10 种，概率 为 4 10 6 . 所以概率的比为 3 10 6 : 4 10 6 = 1:6 . 77在ABC中，已知BC5，AC4，cos(AB) A 7 8 E A ， 则 cosC 答案答案： A 11 16 E A 简解简解：因BCAC，故AB . 如图，作 AD， 使BADB，则DACAB 设 ADBDx，则 DC5x在ADC 中， 由余弦定理得x3再由余弦定理得cosC A 11 16 E A 88在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y22x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点，则 A MO MF E A 的最大值为 答案答案： EA 2 A 3 A 3 E A A B D C (第 7 题) 简解简解：设点M(x，y)，则( A MO MF E A )2 EA x2y2 (x A 1 2 A )2 E A A 4x28x 4x24x1 E A 1 A 4x1 4x24x1 E A 令 4x1t， 当t0 时，显然 A MO MF E A 1 当t0 时，则( A MO MF E A )21 EA 4 t6 A 9 t AE A 1 A 1 3 E A A 4 3 E A ，且当t3，即x1 时，等号成立 所以 A MO MF E A 的最大值为 EA 2 A 3 A 3 E A ，此时点M的坐标为(1， A 2EA) 二、解答题（本题满分 16 分） 二、解答题（本题满分 16 分） 如图，点 P 是半圆 C：x2y21(y0)上位于 x 轴上方的任意一点，A、B 是直径的两个端点， 以 AB 为一边作正方形 ABCD，PC 交 AB 于 E，PD 交 AB 于 F，求证：BE，EF，FA 成等比数列 证明证明：设 P(cos，sin)，C(1，2)，D(1，2)， E(x1，0)，F(x2，0) 因为点P、E、C三点共线，所以 A sin2 cos1 E A A 2 x11 E A ， 所以x1 A 2(cos1) sin2 E A 1 5 分 由点P、F、D三点共线，所以 A sin2 cos1 E A A 2 x21 E A ， 所以x2 A 2(cos1) sin2 E A 1 10 分 所以BEx11 A 2(cos1) sin2 E A ，EFx2x1 A 2sin sin2 E A ，FA A 2(cos1) sin2 E A 所以BEFA A 2(cos1) sin2 E A A 2(cos1) sin2 E A A 4sin2 (sin2)2 E A EF2 即 BE，EF，FA 成等比数列 16 分 三、解答题（本题满分 20 分） 三、解答题（本题满分 20 分） 设实数a，m满足1a ，02 3m， 10 分 从而 112nnnn aaaa + ?，这显然不可能，因为 * (N ) n an是正整数的 无穷数列. 故数列 n a中的项是严格递增的. 20 分 从而由 4 4a =可知， 1 1a =， 2 2a =， 3 3a =. 30 分 于是由 n a的递推公式及数学归纳法知 * (N ) n an n=. 40 分 显然数列 * (N )nn满足要求，故所求的正整数无穷数列为 n (1)n . 50 分 四、 （本题满分 50 分） 四、 （本题满分 50 分） 设 p 是一个素数，3 (mod 4)p . 设x，y是整数，满足 22 1 | 4 p p xxyy + +. 求证：存 在整数u，v，使得 2222 11 () 44 pp xxyyp uuvv + +=+. 证明：证明：由条件可知 22 |(2)pxypy+，则 2 |(2)pxy. 因p是素数，故有|2pxy. 设2xypk=， 20 分 则 2222 11 (2) ) 44 p xxyypyxy