1987-2008年 考研数学 数二.pdf

年全国硕士研究生招生考试试题 【编者注】 年到 年的数学试卷为现在的数学二 （试卷） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （ ），其中 为非零常数，则 ， （） 曲线 在横坐标为 的点处的切线方程是；法线方程是 （） 积分中值定理的条件是，结论是 （） () （）（） ， （） 二、（本题满分 分） 求极限 () 三、（本题满分 分） 设 （ ）， （ ）， 求 ， 四、（本题满分 分） 计算定积分 五、（本题满分 分） 设 是由曲线 与三条直线 ， ， 围成的曲边梯形，求 绕 轴旋转一 周所生成的旋转体的体积 六、证明题（本题满分 分） （） 若 （） 在（，） 内可导，且导数 （） 恒大于零，则 （） 在（，） 内单调增加 （） 若 （） 在 处二阶导数存在，且 （） ，（） ，则 （） 为 （） 的一个极大值 七、（本题满分 分） 计算不定积分 ，其中 ， 是不全为 的非负常数 年真题 八、（本题满分 分） （） 求微分方程 满足条件 的特解 （） 求微分方程 的通解 九、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） （） （ ） 是（ ） （） 有界函数 （） 单调函数 （） 周期函数（） 偶函数 （） 函数 （） （ ） （） 当 时为无穷大（） 在（ ， ） 内有界 （） 在（ ， ） 内无界（） 当 时有有限极限 （） 设 （） 在 处可导，则 （ ） （ ） 等于（ ） （）（）（）（） （）（）（） （） 设 （），其中 （） 连续， ， ，则 的值（ ） （） 依赖于 ，（） 依赖于 ， （） 依赖于 ，不依赖于 （） 依赖于 ，不依赖于 十、（本题满分 分） 在第一象限内求曲线 上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形 面积为最小，并求此最小面积 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （） ， ， （ ）， 在（ ， ） 内连续，则 （） 设 （） () ，则 （） （） 设 （） 连续，且 （） ，则 （） （） （） 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） （） 的图形在点（，） 处的切线与 轴交点的坐标是（ ） （） ，()（）（ ，） （） ，()（）（，） （） 若 （） 与 （） 在（ ， ） 上皆可导，且 （） （），则必有（ ） （）（ ） （ ）（）（） （） （） （） （）（） （） （） （） 若函数 （），有 （） ，则当 时，该函数在 处的微分 是（ ） （） 与 等价的无穷小（） 与 同阶的无穷小 （） 比 低阶的无穷小（） 比 高阶的无穷小 （） 由曲线 （ ） 与 轴围成的平面图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ） （） （） （） （） （） 设函数 （） 是微分方程 的一个解，且 （） ， （） ，则 （） 在 点 处（ ） （） 有极大值（） 有极小值 （） 某邻域内单调增加（） 某邻域内单调减少 年真题 三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 已知 （） ， （） 且 （） ，求 （） 并写出它的定义域 （） 已知 ，求 ， （） 求微分方程 （ ） 的通解（一般解） 四、（本题满分 分） 作函数 的图形，并填写下表 单调增加区间 单调减少区间 极值点 极值 凹（） 区间 凸（） 区间 拐点 渐近线 五、（本题满分 分） 将长为 的一段铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正 方形与圆形的面积之和为最小？ 六、（本题满分 分） 设函数 （） 满足微分方程 ，且其图形在点（，） 处的切线与曲线 在该点处的切线重合，求函数 （） 七、（本题满分 分） 设 ，求 （ ） 八、（本题满分 分） 设 （） 在（ ， ） 上有连续导数，且 （） （） 求 （ ） （ ）； （） 证明： （） （） （ ） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） （） （） 曲线 （ ）（ ） 在点（，） 处的切线方程是 （） 设 （） （ ）（ ）（ ），则 （） （） 设 （） 是连续函数，且 （） （），则 （） （） 设 （） ， ， ， 在 处连续，则常数 与 应满足的关系是 （） 设 ，则 二、（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 已知 ，求 （） 求 （） 求 （ ） （） 已知 （ ）， ， 求 ， （） 已知 （） ， （） 及 （） ，求 （） 三、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 当 时，曲线 （ ） （） 有且仅有水平渐近线（） 有且仅有铅直渐近线 （） 既有水平渐近线，也有铅直渐近线（） 既无水平渐近线，也无铅直渐近线 （） 若 ，则方程 （ ） （） 无实根（） 有唯一实根 （） 有三个不同实根（） 有五个不同实根 （） 曲线 ( )与轴所围成的图形，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ ） （） （）（） （） 年真题 （） 设两函数（） 和（） 都在 处取得极大值，则函数（） （）（） 在 处（ ） （） 必取极大值（） 必取极小值 （） 不可能取极值（） 是否取极值不能确定 （） 微分方程 的一个特解应具有形式（式中 ， 为常数）（ ） （） （） （） （） （） 设 （） 在点 的某个邻域内有定义，则 （） 在 处可导的一个充分条件是（ ） （） （ ） （） 存在（） （ ） （ ） 存在 （） （ ） （ ） 存在（） （） （ ） 存在 四、（本题满分 分） 求微分方程 （ ） （ ） 满足 （） 的特解 五、（本题满分 分） 设 （） （ ）（），其中 为连续函数，求 （） 六、（本题满分 分） 证明方程 在区间（， ） 内有且仅有两个不同实根 七、（本题满分 分） 对函数 填写下表 单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹区间 凸区间 拐点 渐近线 八、（本题满分 分） 设抛物线 过原点，当 时， 又已知该抛物线与 轴及直线 所 围图形的面积为 试确定 ， 的值，使此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积 最小 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 曲线 ， 上对应于 处的法线方程是 （） 设 ，则 （） （） 下列两个积分的大小关系是： （） 设函数 （） ， ， ， ， 则函数 （） 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 已知 () ，其中 ， 是常数，则（ ） （） ， （） ， （） ， （） ， （） 设函数 （） 在（ ， ） 上连续，则 （） 等于（ ） （）（）（）（）（）（） （）（） （） 已知函数（） 具有任意阶导数，且（） （），则当为大于 的正整数时， （） 的阶 导数 （）（） 是（ ） （）！（） （）（） （）（）（）！（） （） 设 （） 是连续函数，且 （） （），则 （） 等于（ ） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） （） 设（） （） ， ， （）， ， 其中（）在 处可导， （）， （） ，则 是（）的（ ） （） 连续点（） 第一类间断点 （） 第二类间断点（） 连续点或间断点不能由此确定 三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 已知 () ，求常数 （） 求由方程 （ ）（ ） 所确定的函数 （） 的微分 年真题 （） 求曲线 （ ） 的拐点 （） 计算 （ ） （） 求微分方程 （ ） 满足条件 的特解 四、（本题满分 分） 在椭圆 的第一象限部分上求一点，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形面积为 最小（其中 ， ） 五、（本题满分 分） 证明：当 时，有不等式 六、（本题满分 分） 设 （） ，其中 ，求 （） () 七、（本题满分 分） 过点 （，） 作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 轴围成一平面图形 求此平面 图形绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 八、（本题满分 分） 求微分方程 的通解，其中 为实数 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （ ），则 （） 曲线 的凸区间是 （） （） 质点以速度 （） 米 秒作直线运动，则从时刻 秒到 秒内质点所经过的 路程等于米 （） 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 若曲线 和 在点（， ） 处相切，其中 ， 是常数，则（ ） （） ， （） ， （） ， （） ， （） 设函数 （） ， ， ， ， 记 （） （）， ，则（ ） （）（） ， ， ， （）（） ， ， ， （）（） ， ， ， （）（） ， ， ， （） 设函数 （） 在（ ， ） 内有定义， 是函数 （） 的极大值点，则（ ） （）必是 （） 的驻点（） 必是 （ ） 的极小值点 （） 必是 （） 的极小值点（） 对一切 都有 （） （） （） 曲线 （ ） （） 没有渐近线（） 仅有水平渐近线 （） 仅有铅直渐近线（） 既有水平渐近线又有铅直渐近线 （） 如图， 轴上有一线密度为常数 ，长度为 的细杆，若质量为 的质点到杆右端的距离为 ，已 知引力系数为 ，则质点和细杆之间引力的大小为（ ） 年真题 （） （ ） （） （ ） （） （ ） （） （ ） 三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 ， ， 求 （） 计算 （ ） （） 求 （ ） （） 求 （） 求微分方程 满足 （） 的特解 四、（本题满分 分） 利用导数证明：当 时，（ ） 五、（本题满分 分） 求微分方程 的通解 六、（本题满分 分） 曲线 （ ）（ ） 和 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的体 积 七、（本题满分 分） 如图， 和 分别是曲线 和 上的点， 和 均垂直 轴，且 ， ，求点 和 的横坐标，使梯形 的面积最大 八、（本题满分 分） 设函数 （） 在（ ， ） 上满足 （） （ ） ，且 （） ， ，） 计算 （） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （） ， （ ）， 其中 可导，且 （） ，则 （） 函数 在， 上的最大值为 （） （） （ ） （） 由曲线 与直线 所围成的图形的面积 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 当 时， 是 的（ ） （） 低阶无穷小（） 高阶无穷小 （） 等价无穷小（） 同阶但非等价的无穷小 （） 设 （） ， ， ， ， 则（ ） （）（ ） ， ， （ ）， （）（ ） （ ）， ， ， （）（ ） ， ， ， （）（ ） ， ， ， （） 当 时，函数 的极限（ ） （） 等于 （） 等于 （） 为 （） 不存在但不为 （） 设 （） 连续，（） （），则 （） 等于（ ） （）（） （）（） （）（） （）（） （） 若 （） 的导函数是 ，则 （） 有一个原函数为（ ） （） （） （） （） 三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 求 () （） 设函数 （） 由方程 所确定，求 的值 年真题 （） 求 （） 求 （） 求微分方程（ ） 的通解 四、（本题满分 分） 设 （） ， ， ， ， 求 （ ） 五、（本题满分 分） 求微分方程 的通解 六、（本题满分 分） 计算曲线 （ ） 上相应于 的一段弧的长度 七、（本题满分 分） 求曲线 的一条切线 ，使该曲线与切线 及直线 ， 所围成的平面图形面积最小 八、（本题满分 分） 已知 （） ， （） ，证明对任何 ， ，有 （ ） （） （） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） （） 函数 （） 由方程 （ ） 所确定，则 （） 设 （） （ ），则函数 （） 的单调减少区间是 （） （） 已知曲线 （） 过点(， )，且其上任一点（，） 处的切线斜率为 （ ），则 （） 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 当 时，变量 是（ ） （） 无穷小 （） 无穷大 （） 有界的，但不是无穷小 （） 无界的，但不是无穷大 （） 设 （） ， ， ， ， 则在点 处函数 （）（ ） （） 不连续（） 连续，但不可导 （） 可导，但导数不连续（） 可导，且导数连续 （） 已知 （） ， ， ， ， 设 （） （）（ ），则 （） 为（ ） （） ， ， ， （） ， ， ， （） ， ， ， （） ， ， ， （） 设常数 ，函数 （） 在（， ） 内的零点个数为（ ） （） （） （） （） （） 若 （） （ ），在（， ） 内 （） ， （） ，则 （） 在（ ，） 内（ ） （）（） ， （） （）（） ， （） （）（） ， （） （）（） ， （） 年真题 三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （），其中 具有二阶导数，求 （） 求 （ ） （） 求 （） 求 （ ） （） 求微分方程（ ） （ ） 满足初值条件 （） 的特解 四、（本题满分 分） 设二阶常系数线性微分方程 的一个特解为 （ ），试确定常数 ，并求该方程的通解 五、（本题满分 分） 设平面图形 由 与 所确定，求图形 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 六、（本题满分 分） 作半径为 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 为何值时，其体积 最小，并求出该最小值 七、（本题满分 分） 设 ，常数 证明：（ ） 八、（本题满分 分） 设 （） 在， 上连续，且 （） ，证明： （） ，其中 （） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 若 （） ， ， ， 在（ ， ） 上连续，则 （） 设函数 （） 由参数方程 （ ）， 所确定，则 （） （）() （） （） 微分方程 （ ） 的通解为 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （ ） （ ） ，则（ ） （） ， （） ， （） ， （） ， （） 设 （） ， ， ， ， 则 （） 在点 处的（ ） （） 左、右导数都存在（） 左导数存在，但右导数不存在 （） 左导数不存在，但右导数存在（） 左、右导数都不存在 （） 设 （） 是满足微分方程 的解，且 （） ，则 （） 在（ ） （）的某个邻域内单调增加（）的某个邻域内单调减少 （）处取得极小值（）处取得极大值 （） 曲线 （ ）（ ） 的渐近线有（ ） （） 条 （） 条 （） 条 （） 条 （） 设 ， （ ）， （ ），则有（ ） （） （） （） （） 年真题 三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （ ），其中 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 ，求 （） 计算 （ ） （） 计算 () （） 计算 （） 如图，设曲线方程为 ，梯形 的面积为 ，曲边梯形 的面积为 ，点 的坐标为（，）， 证明： 四、（本题满分 分） 设当 时，方程 有且仅有一个解，求 的取值范围 五、（本题满分 分） 设 ， （） 求函数的增减区间及极值； （） 求函数图形的凹凸区间及拐点； （） 求其渐近线； （） 作出其图形 六、（本题满分 分） 求微分方程 的通解，其中常数 七、（本题满分 分） 设 （） 在， 上连续且递减，证明：当 时， （） （） 八、（本题满分 分） 求曲线 与 轴围成的封闭图形绕直线 旋转所得的旋转体体积 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （） ，则 （） 微分方程 的通解为 （） 曲线 ， 在 处的切线方程为 （） () （） 曲线 的渐近线方程为 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （） 和 （） 在（ ， ） 上有定义， （） 为连续函数，且 （） ，（） 有间断点，则 （ ） （）（） 必有间断点（）（）必有间断点 （）（） 必有间断点（） （） （） 必有间断点 （） 曲线 （ ）（ ） 与 轴所围图形的面积可表示为（ ） （） （ ）（ ） （） （ ）（ ） （ ）（ ） （） （ ）（ ） （ ）（ ） （） （ ）（ ） （） 设 （） 在（ ， ） 内可导，且对任意 ，当 时，都有 （） （），则（ ） （） 对任意 ， （） （） 对任意 ， （ ） （） 函数 （ ） 单调增加（） 函数 （ ） 单调增加 （） 设函数 （） 在， 上 （） ，则 （）， （）， （） （） 或 （） （） 的大小顺序是 （ ） （）（） （） （） （）（）（） （） （） （） （）（） （） （） （）（）（） （） （） （） （） 设 （） 可导，（） （）（ ） 若 （） 在 处可导，则必有（ ） （）（） （）（） （）（） （） （）（） （） 年真题 三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 求 （ ） （） 设函数 （） 由方程 （） 确定，其中 具有二阶导数，且 ，求 （） 设 （ ） ，且 （） ，求（） （） 设 （） ， ， ， ， 试讨论 （） 在 处的连续性 （） 求摆线 ， 一拱（ ） 的弧长 （） 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 已知阻力与速度成正比（比例常数为 ）， 问 为多少时此质点的速度为 ？并求到此时刻该质点所经过的路程 四、（本题满分 分） 求函数 （） （ ） 的最大值和最小值 五、（本题满分 分） 设 是微分方程 （） 的一个解，求此微分方程满足条件 的特解 六、（本题满分 分） 如图，设曲线 的方程为 （），且 又， 分别为该曲线 在点 （，） 处 的 切 线 和 法 线已 知 线 段 的 长 度 为 （ ） （其中 （）， （），试推导出点 （，） 的坐 标表达式 七、（本题满分 分） 设 （） ，计算 （） 八、（本题满分 分） 设 （） ，且 （） ，证明 （） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 （试卷 ） 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 （ ） ，则 （） （ ） （） 微分方程 的通解为 （） () () （） 由曲线 ， 及 所围图形的面积 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设当 时， （ ） 是比 高阶的无穷小，则（ ） （） ， （） ， （） ， （） ， （） 设函数 （） 在区间（ ，） 内有定义，若当 （ ，） 时，恒有（） ，则 必是 （） 的（ ） （） 间断点（） 连续而不可导的点 （） 可导的点，且 （） （） 可导的点，且 （） （） 设 （） 处处可导，则（ ） （） 当 （） ，必有 （） （） 当 （） ，必有 （） （） 当 （） ，必有 （） （） 当 （） ，必有 （） （） 在区间（ ， ） 内，方程 （ ） （） 无实根（） 有且仅有一个实根 （） 有且仅有两个实根（） 有无穷多个实根 （） 设 （），（） 在区间， 上连续，且（） （） （为常数），由曲线 （）， （）， 及 所围平面图形绕直线 旋转而成的旋转体体积为（ ） （） （） （）（） （） （） （） （）（） （） （） （） （）（） （） （） （） （）（） （） 年真题 三、（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 计算 （） 求 （） 设 （）， （）， 其中 （） 具有二阶导数，且 （） ，求 （） 求函数 （） 在点 处带拉格朗日型余项的 阶泰勒展开式 （） 求微分方程 的通解 （） 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为，用过此柱体底 面的短轴且与底面成 角 ()的平面截此柱体，得一楔形体 （如图），求此楔形体的体积 四、（本题满分 分） 计算不定积分 （ ） 五、（本题满分 分） 设函数 （） ， ， ， ， ， （） 写出 （） 的反函数 （） 的表达式； （）（） 是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点 六、（本题满分 分） 设函数 （） 由方程 所确定，试求 （） 的驻点，并判别它是否为 极值点 七、（本题满分 分） 设 （） 在区间， 上具有二阶导数，且 （） （） ， （）（） 证明：存在 （，） 和 （，），使 （） 及 （） 八、（本题满分 分） 设 （） 为连续函数， （） 求初值问题 （）， 的解 （），其中 是正常数； （） 若（） （ 为常数），证明：当 时，有（） （ ） 历年考研数学真题解析及复习思路（数学二） 年全国硕士研究生招生考试试题 一、填空题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 已知函数 （） （ ） ， ， ， 在 处连续，则 （） 设 ，则 （） （ ） （） （） 已知向量组 （， ，）， （，）， （， ， ） 的秩为，则 二、选择题（本题共 小题，每小题 分，满分 分） （） 设 时， 与 是同阶无穷小，则 为（ ） （） （） （） （） （） 设在闭区间， 上 （） ， （） ， （） 记 （）， （）（ ）， （） （）（ ），则（ ） （） （） （） （） （） 已知函数 （） 对一切满足（） （） ，若（） （），则（ ） （）（） 是 （） 的极大值 （）（） 是 （） 的极小值 （）（， （） 是曲线 （） 的拐点 （）（）