2014海文高数赵达夫强化班讲义.pdf

1 20142014 海文海文考研考研 强化强化班班讲义讲义 2 高等数学高等数学强化讲义强化讲义 一一 函数函数 极限极限 连续连续 1 1 函数函数 一 函数的基本概念 D是一个非空实数集合，设有一个对应规则f，使每一个xD，都有一个确定 的实数 y与之对应，则称这个对应规则 f为定义在D上的一个函数关系，或称 变量y是变量x的函数，记作( ), yf xxD. 二 函数的基本性态 1 奇偶性 (1) 定义：偶)()(xfxf；奇 )()(xfxf。 (2) 导函数：奇导偶，偶导奇. (3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数, 其中 0 , ( ) ( ) ( ) x f x f t dt f x 偶奇 奇,偶 2 有界性 (1) 定义：0M, xX ，有 Mxf)(. (2) 无界：0M, xX ，有 ( )f xM. (3) 无界与无穷： 无界的本质是有一个子列趋向于无穷； 无穷的本质是任意的子列趋向无穷。 (4) 常见有界的判定：设)(xf在, a b连续, 则)(xf在, a b有界. 设)(xf在( , )a b连续, 且lim( ), lim( ) xaxb f xf x 存在, 则)(xf在( , )a b有界. 3 周期性 (1) 定义：)()(xfTxf 3 (2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 注：周期函数的原函数不一定为周期函数。 4 单调性 (1) 定义：递增(递减) 当 12 xx时，均有 1212 ( )()( )()f xf xf xf x或 (2) 导函数：( )( )0( )fxf x 单增(减)；( )( )0( )fxf x 单增(减). 题型一 无界与无穷的判定 例 1 设 cos ( )sin ,( ) x f xxexf x则是（ ） （A） 偶函数 （B）有界函数 （C） 周期函数 （D）单调函数. 例 2 当0x时，变量 xx 1 sin 1 2 是（ ） （A）无穷小 （B）无穷大 （C）有界的，但不是无穷小量 （D）无界的，但不是无穷大 题型二 函数性态的判定 例 3 设( )f x是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( ) （A） 0 ( )() x f tft dt （B） 0 ( )() x f tft dt （C）( )fx （D）根据上面条件无法判断 4 例 4 设函数( )f x具有二阶导数，并满足( )(),f xfx 且( )(1).f xf x若 (1)0,f 则（ ） (A)( 5)( 5)( 5).fff (B)(5)( 5)( 5).fff (C) ( 5)( 5)( 5).fff (D) ( 5)( 5)( 5).fff 练习：设( )f x在),(内可导，且对任意 21,x x，当 21 xx 时，都有 )()( 21 xfxf，则( ) （A） 对任意0)( ,xfx （B）对任意0)( ,xfx （C）函数)( xf 单调增加 （D）函数)( xf 单调增加 . 例 5 设函数 2 |sin(2) ( ) (1)(2) xx f x x xx 在下列哪个区间内有界( ) A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 三 各种其他的函数 1 分段函数：函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达 2 复合函数 ( )x：)(ufy 与)(xu复合而成的复合函数,u为中间变量. 3 反函数、隐函数 (1)原来的函数为)(xfy ,若把y作为自变量，x作为因变量，便得一个函数 5 )(yx，且yyf)(，称)(yx为)(xfy 的反函数. (2) 隐函数: ( , )0F x y . 4 初等函数 (1) 基本初等函数：常数，幂，指数，对数，三角，反三角. (2) 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数，称为初等函数. 题型三 分段函数的复合 方法：各种情形分别讨论. 例 6 设 0,0 ( ) 1,0 x f x x , 2 2,1 ( ) | 2,1 xx g x xx ， 试求 ( ), ( )f g xg f x. 2 2 极限极限 一 极限的概念 1 数列极限： axn n lim对于00N当Nn 时有 axn. 2 函数的极限 (1) 0 xx(自变量趋向于有限值的情形) (a)Axf xx )(lim 0 0, ( )xxf xA0，0，当|0 0 xx时， 有|)(|Axf. (b) 0 1 lim( ) xx f xA (左极限) 01 ,( )xxf xA. 0 2 lim( ) xx f xA (右极限) 02 ,( )xxf xA. (c) Axf xx )(lim 0 00 lim( )lim( ) xxxx f xf xA . (2)x (自变量趋向于无穷大的情形) (a)lim( ) x f xA ,( )xf xA0，0M，当|xM时， 有|)(|Axf. (b) 1 lim( ) x f xA 1 ,( )xf xA. 6 2 lim( ) x f xA 2 ,( )xf xA. (c) lim( ) x f xA lim( )lim( ) xx f xf xA . (3) 常见有不同极限的函数：分段函数、,arctan x ex 二 极限的性质 1 有界性： axn n lim n x有界； 0 lim( ) xx f xa 0 0,0 |,( )xxf x有界 2 有理运算性质： (1) 若 0 lim( ), xx f xA , 0 lim( ) xx g xB , 则 (a) 0 lim ( )( ) xx f xg xAB (b) 0 lim( ) ( ) xx f x g xAB (c) 0 ( ) lim(0) ( ) xx f xA B g xB . (2) 推广：加减法只要其中的一个极限存在，乘除法只要其中一个极限存在且不 为 0，上述运算法则就成立. (3) 延伸：若 0 ( ) lim ( ) xx f x A g x ，则 (a) 00 lim( )0lim( )0; xxxx g xf x (b) 00 lim( )0,0limg( )0 xxxx f xAx . 例 设 2 2 1 lim3 sin1 x xaxb x ，求a和b. 3 保号性： 0 lim( )( )00, xx f x 当 0 0 |,xx有( )( )0f x 三 极限的两个存在准则 (1)单调有界定理: 若数列 n x单调且有界, 则 n x有极限. (2)夹逼准则: 设在 0 x的领域内恒有( )( )( )xf xx, 且 00 lim( )lim( ) xxxx xxA , 则 0 lim( ) xx f xA . 四 无穷小和无穷大 1 无穷大量: 若 0 lim( ) xx f x , ( )f x称为 0 xx的无穷大量. 7 正无穷： 0 lim( ) xx f x ； 负无穷： 0 lim( ) xx f x . 2 无穷小量： 若 0 lim( )0 xx f x , 称( )f x是 0 xx时的无穷小量。 (1) 设( )f x、( )g x都是 0 xx时的无穷小量, 若且 0 lim xx f x l g x ， (a) 0l，称 xf是比 xg高阶的无穷小，记以 xgoxf, (b) 0l，称 xf与 xg是同阶无穷小。 (c) 1l，称 xf与 xg是等阶无穷小，记以 xgxf. (2)若( ), ( )f x g x为无穷小,且 0 lim0 k xx f x c g x ,称( )( )f xg x是的k阶无穷小. (3)无穷小的性质：无穷小乘以有界为无穷小; 有限个无穷小的和(乘积)仍然为无穷小. (4) 等价无穷小的作用: 若, , 则 limlim . (5) 如何得到加减的等价无穷小：泰勒定理. 3 无穷小和无穷大关系: 非零无穷小的倒数为无穷大; 无穷大的倒数为无穷小. 题型一：极限概念、性质和存在准则的讨论 核心点：相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形 例 1 设对, x 有( )( )( )xf xg x且lim( )( )0 x g xx , 则lim( ) x f x ( ) A 存在且为 0 B 存在但不一定为 0 C 一定不存在 D 不一定存在 例 2 设数列 n x与 n y满足lim0 nn n x y , 则下面断言正确的是( ) A 若 n x发散，则 n y必发散， B 若 n x无界，则 n y必有界 C 若 n x有界， 则 n y必为无穷小 D 若 1 n x 为无穷小，则 n y必为无穷小 8 例 3 设 , , nnn abc均为非负数列, 且lim0 n n a ,lim1 n n b ，lim n n c , 则( ) A , nn abn B , nn bcn C lim n n n a c 不存在 D lim nn n b c 不存在 例 4 设函数( )f x在, 内单调有界, n x为数列, 下面命题正确的是( ) A 若 n x收敛，则 () n f x必收敛 B 若 n x单调，则 () n f x必收敛 C 若 () n f x收敛， 则 n x收敛 D 若 () n f x单调， 则 n x收敛 题型二 求函数的极限 步骤 1：四则运算和等价无穷小 注 1：四则运算特别要注意左右极限不同的情形. 注 2：常见的等价无穷小 当0x时，xx sin，xx tan，xx arcsin， xx arctan， 2 2 1 cos1xx，xe x 1，xx 1lim ，axx a 11 当x 时, 1 10 nnn nnn a xaxaa x . 例 5 求极限 1 1 0 |sin| lim2 1 x x x xe x e . 9 例 6 若 1 2 4 0, 11sinxaxxx时与是等价无穷小，则_.a 例 7 0 ln(1) lim_ 1cos x xx x . 例 8 求 468 10 (21) (1)5 () lim (2) x xxx xx I x 例9 求 11 2 1 0 lim() xx x Ixee 例 10 求 sin 3 0 lim xx x ee x 例 11 求 2 11 lim(arctanarctan) 1 x x xx 例 12 设 0 ln(1( )sin5 ) lim1 21 x x f xx , 求 0 lim( ) x f x 10 步骤 2：恒等变形 (1). 含 ( ) ( )v xu x的极限. (a)若直接计算 ( ) lim ( )v xu x且( )1u x , 直接利用公式 ( ) lim ( )exp( ( ) 1) ( ) v x u xu xv x (b) 将 ( ) ( )v xu x写成 ( ) ( )exp( ( )ln ( ) v x u xv xu x求解. 例 13 求 1 1 cos 0 arcsin lim 3 x x x . 例 14 3 0 12cos lim1 3 x x x x （- ） (2) 有理化变形 33 33223 , abab abab ab abab 例 15 3233 lim(81) x Ixxx (3) 分子、分母同时除以最大的无穷大 常见的无穷比较: ln(0)(0)(1) x xxxxaa ， 例 16 求 2 2 411 lim cos x xxx xx 11 例 17 设 sin22cos ( )lim nx nx x xex f x xe , 求 0 lim( ) x f x . 步骤 3：洛必达法则和导数定义 (1) 先进行步骤 1 和 2，然后再用第 3 步, 符合洛必达法则用洛比达法则; (2) 若洛必达法则无法使用, 则利用导数定义求解, 此类问题一般为抽象型问 题. 例 18 求 2 22 0 10 0 cos lim sin x x xt dt x 例 19 设函数 56 1 cos2 0 sin, 56 x xx f xtdt g x ，则当0x时， f x 是 g x的（ ）无穷小量的比较 （A） 低阶无穷小 （B） 高阶无穷小 （C） 等价无穷小 （D） 同阶但不等价的无穷小 例 20 x x I x x e)1 ( lim 1 0 12 例 21 设( )0f x 且可微, 求极限 1 0 () lim ( ) y y f xxy f x 步骤 3： 泰勒定理 含：sin ,cos ,(1) ,ln(1), x xxxx e 可直接利用 Peano 形式的泰勒定理. 例 22 求 0 11 lim() 1 x x x ex . 题型三 求数列的极限 方法 1：将n换成x, 直接利用求函数极限的方法求解. 例23 2 limtan () 4 n n n . 例 24 求 3 2 2 1 2(1 cos) lim 1 n n n n nn 方法 2：单调有界必有极限, 应用在递推数列求极限 例 25 设 1 03x, 且 1 (3) nnn xxx , 证明 n x极限存在并且此极限. 13 方法 3：夹逼准则. 例 26 求 12 lim nnn n p n aaa ，其中0,0 i pa. 题型四 求数列连加和的极限 方法 1：直接合并 例 27 求 222 333 12 lim n n nnn 方法 2：夹逼准则 一般情况下只放分母不放分子, 且必须使左右两边的放缩项极限相同. 例 28 求 222 6662 12 lim 2 n n nnnnnn 方法 3：定积分定义. 若函数( )f x在区间0,1上可积, 则 1 1 0 11 0 111 lim( )( ), lim nn nn ii ii ff x dxff x dx nnnn 例 29 求 111 lim 12 n nnnn 例 30 2 sinsin sin lim 11 1 2 n nn n nn n 14 练习： 12 lim(1)(1)(1) n n n nnn 题型五 已知极限求未知参数 1 若是x 的多项式型问题，考虑多项式的最高次数. 2 若是 0 0 型, 根据分子或分母极限为 0 得到一个参数再求解其他参数. 例 31 设 54 lim32 c x xxxl , 求, c l. 例 32 确定, ,a b c值，使 3 0 sin lim0 ln 1 xx b axx C C t dt t . 3 3 连续连续 一 连续与间断 1 连续的概念 (1) 若 0 0 limxfxf xx ，则称 xf在点 0 x处连续。 (2) 若 0 0 limxfxf xx ， 则称函数 xf在点 0 x处左连续； 如果 0 0 limxfxf xx ， 则称函数 xf在点 0 x处右连续. 如果函数 xfy 在点 0 x处连续， 则 xf在 0 x 处既是左连续，又是右连续. 2 间断点的分类：非连续点 0 0 lim xx fxfx 15 (1) 第一类间断点: )(lim 0 xf xx 与)(lim 0 xf xx 都存在的间断点： 若 )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx ，则称 0 x为跳跃型间断点. 若)(lim 0 xf xx =)(lim 0 xf xx ，则称 0 x为可去间断点. (2) 第二类间断点: )(lim 0 xf xx 与)(lim 0 xf xx 中至少有一个不存在的间断点 若)(lim 0 xf xx 与)(lim 0 xf xx 中至少有一个为无穷大，则称 0 x为无穷型间断点. 当 0 xx时函数值在摆动, 称为摆动型间断点. 3 间断点可能情形：定义域的端点、分段函数分段点. 二 连续函数的性质 1 连续函数运算的性质. (1) 若( ), ( )f x g x在 0 x连续, 则( )( )f xg x,( ) ( )f x g x在 0 x连续，若还有条件 0 ()0g x，则 ( ) ( ) f x g x 在在 0 x也连续. (2) 若( )f x在 0 x连续,( )g x在 0 ()f x连续, 则( ( )g f x在在 0 x连续. (3) 初等函数在定义域内都连续. 2 闭区间连续函数的性质: 闭区间a,b上的连续函数)(xf (1)（有界性定理）)(xf在a,b上有界。 (2) (最值定理) )(xf在a,b上有最大值和最小值. (3)(介值定理) 设,m M为)(xf在a,b上的最小值最大值，则对()c mcM， 至少存在一点),(ba，使cf)(. (4)(零点定理）若( )( )0f af b，则至少存在一点, a b，使0)(f. 注：若( )( )0f af b，则至少存在一点),(ba，使0)(f. 题型一：讨论连续性与间断点的类型 具体函数：一般利用连续与间断的定义. 抽象函数：一般利用连续函数运算性质. 例 1 设 f xx和在内有定义， f x为连续函数， 且 0,f xx有 16 间断点，则 （A） f x 必有间断点。 （B） 2 f x 必有间断点。 （C） fx 必有间断点。 （D） x f x 必有间断点。 例 2 设函数 n n x x xf 2 1 1 lim)( ，讨论函数)(xf的间断点，其结论为( ) （A）不存在间断点 （B）存在间断点1x （C）存在间断点0x （D）存在间断点1x 例 3 设 3 2 2 0 11 ln 1sin,0, 0,0, 1 sin,0, x xx xx f xx tdt x x 则 f x在0x处( ) （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 例 4 求 xf x t xt x xt sinsin sin sin lim的间断点，并判别其类型。 17 题型二：证明,( )Fc或者方程( )F xc有根. 若具体已知了某些函数值或者函数值的等式, 用零点定理; 若没有这些信息, 一般采取介值定理, 只要证明mcM. 例 5 设( )f x在 , a b连续，且 12 , n x xxa b，求证存在, a b使得 12 ( )() ()() n n ff xf xf x . 例 6 设)(xf是0,1上非负连续函数，且(0)(1)0.ff证明：对任意实数r （01r） ，必存在 0 0,1x ，使得 0 0,1xr ，且 00 ()()f xf xr。 例 5 设) 1 ()0(, 1 , 0)(ffxf且上连续在 ， (1)证明：存在) 2 1 ()(,1 , 0ff使； (2)证明：存在) 1 ()(,1 , 0 n ff使(2n 且n为正整数）. 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 1 1 导数与微分导数与微分 18 一 导数与微分的基本概念 1 导数的概念： 0 000 0 0 0 ()limlim xxx f xxf xf xf x fx xxx 左导数： 00 0 0 ()lim x f xxf x fx x 右导数： 00 0 0 ()lim x f xxf x fx x 导数存在 左右导数存在且相等 2 微分的基本概念 (1) 000 ( )()()()(0)f xxf xxf xA xoxx 在 可微：. 0 0 ( )( ) x x f xxxf xA xAdx 在的微分d (2) 0 ( )f xx在 可微 0 ( )f xx在 可导且 0 ()Afx 0 00 ( )()() x x f xfxxfx dx d 3 可导(微)、连续关系： 0 ()fx存在( )f x在 0 x可微 ( )f x在 0 x连续. 4 导数的几何意义：切线的斜率 题型一：可导性的讨论 核心点：导数定义，特别要对于分段函数要分左右导数讨论. 例 1 设函数( )0f xx 在连续, 则下面命题错误的是( ) （A）若 0 ( ) lim x f x x 存在, 则(0)0f （B）若 0 ( )() lim x f xfx x 存在, 则(0)0f （C）若 0 ( ) lim x f x x 存在, 则(0)f存在 （D）若 0 ( )() lim x f xfx x 存在, 则(0)f存在 例 2 设(0)0f,( )0f xx 在可导的充要条件的是( ) （A） 2 0 1 cosh lim h f h 存在 （B） 0 1 lim h h fe h 存在 （C） 2 0 sinh lim h f h h 存在 （D） 0 2 lim h fhf h h 存在 19 例 3 设 fx可导, ( )(1 |sin |)F xf xx,则(0)0f是( )F x在0x可导的( )条件 (A) 充分必要 (B) 充分非必要 (C) 必要非充分 (D) 即非充分也非必要 注：若( ) |( )f xxax且( )x在xa连续,( )fa存在( )0.a 例 4 函数 23 2f xxxxx 有( )个不可导点. （A）3； （B）2； （C）1； （D）0. 二 导数与微分的计算公式 1 导数的有理运算和复合运算法则 (1) 1212 ()ffff (2) 121212 ()f ff ff f (3) 11212 2 22 () ffff f ff (4) 12122 ( )( )( )ffxffxfx 2 微分的有理运算和形式不变性 (1) 2 (), (), ( ) uvduudv d uvdudv d uvvduudv d vv (2) ( )( )df ufu du, 不管u是最终变量还是中间变量. 3 特殊函数求导法 (1) 反函数求导： 1 ( ) ( ) x y y x , 3 “( ) ( ) ( ) yx xy y x (2)参数函数求导： ( ) ( ) dyy t dxx t , 2 32 “( ) ( )“( ) ( ) ( ) d yyt x txt y t dx x t 。 (3)隐函数求导三大方法：直接求导、直接微分、公式法. 20 (4)变上限函数求导：设 xf在ba,上连续，则 x a f t dtf x . 推广: 2 1 2211 x x f t dtfxxfxx 4 连环相乘的对数求导法： 应用在形如 12 ( ) ( )( ) 12 ( )( )( )( ) n vx vxvx n f xu xuxux的函数 两边取对数 1122 ln( )( )ln( )( )ln( )( )ln( ) nn f xv xu xv xuxv xux 从而 1122 ( ) ( ( )ln( )( )ln( )( )ln( ) ( ) nn fx v xu xv xuxv xux f x 题型二：求显函数的导师 (1) 定义：讨论可导性、分段函数求导；求函数在一点的导数. (2) 公式：四则、复合、对数. 例 5 设 3 3 2 3 ( ) 1(3) xx f x xx , 求( )fx 例 6 设 1 (2)(100) ( ) 1 (2)(100) xxx f x xxx , 求(1)f 例 7 设 2 sin ( )(1) x f xx, 求( )fx. 例 8 设( )F x在0x连续, 且 0 ( ) lim2 x f x x ,令 1 0 0 (),0 ( )0 ,0 sin ,0 x f xt dt x F xx t dt x t , 求( )F x. 21 例9 设 2 1 cos,0 ( ) 0,0 xx xx x ,且( )f x在0x可导, 令( )( ( )F xfx,求(0)F. 题型三：隐函数和参数函数求导 隐函数求导有三种方法: 一般情形下求导和求微分的方法等价.但若只要求隐函 数在某点的高阶导数(或导数)一般采取直接求导得到,y y的关系, 不采取解出 y再求导的方法而采取直接对关系式求导的方法. 例 10 函数( )yy x由方程tan()yxy确定, 求, “y y. 例 11 设可导函数( )yy x由方程sin( )0 y x xu du 确定,其中可导函数( )0u, 且(0)(0), 求“(0)y. 例 12 设设可导函数( )yy x由参数方程 2 323 sin10 y xtt ety 所确定, 求 2 0 2 |. t d y dx . 22 三 高阶导数 (1) fx在点 0 x处的导数称为 fx在点 0 x处的二阶导数，记以 0 x f .若 f x 的1n阶导数的导数存在，称为 xfy 的n阶导数，记为 xy n 或 n n dx yd . (2)运算法则： ( )( )( ) ( ( )( )( )( ) nnn u xv xu xv x， ( )( )() 0 ( ( ) ( )( )( ) n nkkn k n k u x v xC u xv x (3) 常见函数的高阶导数： ( ) ()(ln ) , xnxn aaa ( ) () xnx ee, () sin()sin(), 2 mm axaaxm (1)1 (1), (1) 0 , m n nm m mmnxmn x mn 题型四 求高阶导数 1 直接将函数写成常见函数的加减式, 然后利用常见函数的公式求解. 2 若函数为( )( ) k f xx g x,利用莱布尼茨公式求解. 3 若只求某点的高阶导数 ( )( )n fa, 利用泰勒公式 ( ) 0 ( )( )() nn n f xfa xa 例 13 设 2 ( ) 56 x f x xx , 求 ( )( )n fx. 例 14 求函数 2 ( )ln(1)f xxx在0点的 100 阶导数 (100)(0) f. 23 2 2 中值定理和导数的应用中值定理和导数的应用 一 微分中值定理 1 洛尔定理: 设函数)(xf在闭区间ba,上连续,在开区间),(ba内可导 )()(bfaf, 则存在),(ba，使得0)(f. 2 拉格朗日定理：设函数 xf在闭区间ba,上连续,在开区间ba,内可导， 则 存在ba,，使得 f ab afbf . 推论: 若在ba,内可导，且 0 x f，则 xf在ba,内为常数。 例 证明arctanarctan 2 xx ee . 3 柯西中值定理:设函数 xf和 xg在闭区间ba,内皆连续，在开区间ba,内 皆可导，且 0 x g，则存在ba,使得 g f agbg afbf ba。 二 泰勒定理（泰勒公式） (1) Lagrange 余项：设 xf在包含 0 x的区间ba,内有1n阶导数，在ba,上有 n阶连续导数，则对bax,，有公式 1 21 000 00000 1!2!1 ! nn nn fxfxfxf f xf xxxxxxxxx nn (2)皮亚诺余项: 设 xf在 0 x处有n阶导数，则有 2 000 00000 1!2! n nn fxfxfx f xf xxxxxxxoxx n 注：上面展式称为以 0 x为中心的n阶泰勒公式;0 0 x时，也称为麦克劳林公式。 (3) x e,xsin,xcos，x1ln和x1等的n阶泰勒公式. 三 极值 1 若对点 0 x,存在它的某一邻域, 使得其中 0 x xx，总有 0 f xf x ， 24 称 0 xf为函数 xf的一个极大(小)值，称 0 x为极大(小)值点. 2 必要条件: 0 ()f x为极小值0 0 x f(驻点)或 fx的不可导点. 3 充分条件: 一阶判别法和二阶判别法 (1) 0 x为可能极值点, fx在 00 ,xx和 00,x x异号，左边小于 0 右边 大于 0 为极大值， 反之为极小值. (2) xf在 0 x处有二阶导数，且0 0 x f，0 0 x f，则当0 0 x f， 0 xf 为极大值， 0 x为极大值点. 题型一：极值的判断与求解 1 若只知道函数的连续性, 利用极值的定义求解. 2 若已知函数可导, 先求可能的极值点, 然后再用充分条件判断. 注： 极值的两个充分条件不能互相替代, 例如求隐函数的极值问题只能用二阶导 数判别法. 例 1 设 xf在0x处连续，若 2 0 lim1 x f x x , 问 (1) 当0x时, fx是否存在? (2) 0x是否为 fx的极值点? 例2 设( )yy x由方程 322 2221yyxyx确定, 求( )yy x的极值点和极值. 例 3 求函数 2 2 2 1 () x t f xxt edt 的单调区间与极值. 25 四 最大值和最小值 1 闭区间ba,上最值 (1) 求出 xf在ba,内所有驻点，和不可导点 k xx, 1 ； (2) 计算 bfafxfxf k , 1 ； (3) 比较上面的值，最大者就是最大值M；其中最小者就是最小值m. 2 开区间, a b上最值 (1) 求出驻点,利用图表法划分单调区间; (2) 作出草图, 求出最值. 例 4 求函数 2 0 (2) x t f xt e dt 的最大值与最小值. 五 凹凸性与拐点 1 若( )0fx 称( )f x是凸的，若( )0fx 则称( )f x是凹的. 曲线上凹与凸的分 界点，称为曲线的拐点. 2 必要条件：( )0fx或)(x f 不存在。 充分条件：去心邻域二阶可导，)(x f 在 0 xx左右变号。 题型二：判断凹凸性和拐点 例 5 设 xf有二阶连续导数且 00 f ，又 0 “ lim1 | x fx x , 则( ) (A) 0f是 xf的极大值 (B) 0f是 xf的极小值 (C) 0,0f是曲线 xfy 的拐点 (D) 0f不是 xf的极值, 0,0f不是曲线 xfy 的拐点 26 例 6 设 xf在, 连续, 且在,0)(0,内有二阶连续导数, fx 的图形如右, 则 yf x的驻点、极值点、拐点的个数为( ) (A) 4，4,4 (B) 4,4,3 (C) 4，3,4 (D) 5,4,4 六 渐进线 1 垂直渐近线xc：lim( ) xc f x 或lim( ) xc f x . 2 有斜率的渐近线：lim( ( )0 x f xaxb 或lim( ( )0 x f xaxb , 其中 ( ) lim,lim( ( ) xx f x abf xax x 或 ( ) lim,lim( ( ) xx f x abf xax x 题型三 求渐近线方程 1 垂直渐进线： 先求可能点(定义域的端点)+ 定义判断 2 有斜率的渐近线：先求x的情形, 再求x 的情形 例 7 设 1 2 2 (23) ( ) (1)arctan x xxe f x xx ， 求( )f x的渐近线. 27 例 8 设( )tan 1 x x f xarcx e ，则( )f x具有渐近性的条数为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 题型四 方程根的讨论 1 写出方程对应的函数( )f x. 2 求( )f x的驻点,利用图表法将函数分解成几个小的单调区间. 3 作( )f x草图, 分析各单调区间端点值(或极限值)的符号，得到根的个数 例 9 试讨论方程ln1 x x e 的实根个数. 例10 试确定方程(0) x xae a的实根个数. 题型四 中值定理的等式证明 情形一： 一个中值点、一阶导数 1 参数放在等式右边，左边为 ( )( )f bf a ba 或 ( )( ) ( )( ) f bf a g bg a 的形式，直接利用拉格 28 朗日或者柯西中值定理. 2 辅助函数法 注：特别要注意变上限函数的情形. 例 11 证明：( , )a b 使得, (1)() ba aebeeab 例 12 设( )f x在 , a b连续，在, a b可导，证明：( , )a b 使得 2 ( )( ) ( )( ) ab bf aaf bff ba . 例13 ( )f x在0,1连续，在0,1可导， 2 1 3 1 0 (1)3( ) x fef x dx ，证明 (0,1) 使得( )2( )ff 例14 ( )f x在0,1连续，在0,1可导，且满足 1 (0)(1)0,( )1 2 fff，证明 1）存在 1 ( ,1),( ) 2 f； 2）,存在 ，( )( ( )1ff. 29 例 15 ( )f x在0,1连续，在0,1可导, 且 1 0 ( )0f x dx ，证明： (0,1) 使得 0 ( )( )f x dxf 情形二 k阶导数一个中值点 方法：多次利用洛尔定理. 例 16 ( )f x在0,1上有三阶连续导数， 3 (0)(1)0,( )( )ffF xx f x， 证明：(0,1) 使得( )0f. 情形三 1阶导数 2 个中值点 1 三个点，用二次 Lagrange 中值定理. 本情况下的中值点必定是相异的. 2 将两个参变量分离在等式的两边，与形式 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ffh bh a ghg bg a 作对比，确 定( ), ( )g x h x，利用柯西中值定理即得. 例 17 设( )f x在 , a b连续，在, a b可导，证明: , a b 使得( )( ) 2 ab ff . 例 18 设( )f x在 , a b连续，在, a b可导，( )0,fx 证明 , a b 使得 ( ) ( ) ba fee e fba . 30 例 19 设( )f x在0,1连续，在0,1可导，且满足(0)0,(1)1,ff，证明 (1)存在(0,1),( )1f ； (2)存在不同的点 1212 ,(0,1),( )()1.ff 题型五 不等式的证明 情形一： 不含中值点 方法 1 参数放在等式右边，左边为 ( )( )f bf a ba 或 ( )( ) ( )( ) f bf a g bg a 的形式， 直接利用拉格朗日或柯西中值定理. 例20 若0 2 ，证明： 2 tantan cos . 例21 设 2 eabe，证明： 22 2 4 lnln()baba e . 方法 2：辅助函数法 1 设置一个自变量,构造自变量的函数； 2 对函数求导，通过研究导数求最值, (1) 具体而言，要么求出( )0fx 的根设法证明其中一个根为最值点; 要么证明( )0fx 或( )0fx ,得到单调性. 31 (2) 如果无法把( )fx研究清楚, 就通过研究“( )fx得到( )fx的性质. 3 将最值和要证明的值做比较 例 22 若0x，证明 22 (1)ln(1)xxx. 例 23 若1x ，证明(1)1 n xnx 。 例 24 证明：当0 2 x 时, tan sin xx xx . 情形二： 含中值点或者 ( ) max( ) n fx 核心点：Lagrange 中值定理和泰勒定理, 在导数和高阶导数信息最多的点展开. 例 25 若( )f x在 , a b上二阶可导，( )( )0fafb，证明： , a b 使得 2 4|( )( )| |“( )| () f bf a f ba . 例 26 若( )f x在0,1上二阶连续可导，且(0)(1)0ff, 01 min( )1 x f x ，证明： , a b 使得 01 max“( )8. x fx . 32 三三 积分及其应用积分及其应用 1 1 不定积分不定积分 一 不定积分的基本概念 1 定义： xfxF在区间I上成立，则称 xF为 xf在区间I的原函数. xf 在区间I中的全体原函数称为 xf在区间I的不定积分， 记为 CxFdxxf. 2 充分条件：若 xf连续则必有原函数. 注： 2 22 sincos1 sin,cos, ln x xx xxe xxx 等函数有原函数但原函数不能