2008考研数学(一)试题及详细答案解析.pdf

中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 2008 年年考研考研数学一试题分析、详解和评注数学一试题分析、详解和评注 一、选择题：一、选择题：(本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分. 每小题给出的四个选项中，只有一项每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数 2 0 ( )ln(2) x f xt dt ，则( )fx的零点个数为【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3 【答案答案】应选(B). 【详解详解】 22 ( )ln(2) 22 ln(2)fxxxxx 显然( )fx在区间(,) 上连续， 且( 1)(1)( 2ln3) (2ln3)0ff ， 由零点 定理，知( )fx至少有一个零点 又 2 2 2 4 ( )2ln(2)0 2 x fxx x ，恒大于零，所以( )fx在(,) 上是单调递增 的又因为(0)0 f ，根据其单调性可知，( )fx至多有一个零点 故( )fx有且只有一个零点故应选(B). （2）函数( , )arctan x f x y y 在点(0,1)处的梯度等于【 】 (A) i (B) i. (C) j. (D) j . 【答案答案】 应选(A). 【详解详解】因为 222 2 1 1 fyy xxxy y 2 222 2 1 x fxy xyxy y 所以 (0,1) 1 f x ， (0,1) 0 f y ，于是 (0,1) ( , )igradf x y.故应选(A). （3）在下列微分方程中，以 123 cos2sin2 x yCeCxCx（ 123 ,C C C为任意的常数） 为通解的是【 】 (A) 440yyyy. (B) 440yyyy. (C) 440yyyy. (D) 440yyyy. 【答案答案】 应选(D). 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【详解详解】由 123 cos2sin2 x yCeCxCx，可知其特征根为，可知其特征根为 1 1 ， 2,3 2i ，故对应的特征值方程为 2 (1)(2 )(2 )(1)(4)ii 32 44 32 44 所以所求微分方程为440yyyy应选(D). （4）设函数( )f x在(,) 内单调有界， n x为数列，下列命题正确的是【 】 (A) 若 n x收敛，则 () n f x收敛 (B) 若 n x单调，则 () n f x收敛 (C) 若 () n f x收敛，则 n x收敛. (D) 若 () n f x单调，则 n x收敛. 【答案答案】 应选(B). 【详解】若 n x单调，则由函数( )f x在(,) 内单调有界知，若 () n f x单调有界， 因此若 () n f x收敛故应选(B). （5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵若 3 0A ，则【 】 则下列结论正确的是： (A) EA不可逆，则EA不可逆. (B) EA不可逆，则EA可逆. (C) EA可逆，则EA可逆. (D) EA可逆，则EA不可逆. 【答案答案】应选(C). 【详解详解】故应选(C). 23 ()()EA EAAEAE， 23 ()()EA EAAEAE 故EA，EA均可逆故应选(C). （6）设A为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程1 x xyz A y z 在正交变换下的标 准方程的图形如图，则A的正特征值个数为【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【答案答案】 应选(B). 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 222 22 1 xyz ac 故A的正 特征值个数为 1故应选(B). （7） 设随机变量,X Y独立同分布且X的分布函数为( )F x，则max , ZX Y 的分布函 数为【 】 (A) 2( ) Fx. (B) ( ) ( )F x F y. (C) 2 1 1( )F x. (D) 1( )1( )F xF y. 【答案】应选(A) 【详解】 ( )max, F zP ZzPX Yz 2 ( ) ( )( )P Xz P YzF z F zFz故应选(A) （8）设随机变量XN(0,1), (1,4)YN, 且相关系数1 XY ，则【 】 (A) 211P YX (B) 211P YX (C) 211P YX (D) 211P YX 【答案】应选 (D) 【详解】用排除法设YaXb由1 XY ，知X，Y正相关，得0a 排除（A） 和（C） 由(0,1)XN，(1,4)YN，得 0,1, ()EXEYE aXbaEXb 10ab ，1b 从而排除(B).故应选 (D) 二、填空题二、填空题：(914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.) （9）微分方程）微分方程0xyy 满足条件(1)1y的解是y . 【答案答案】 应填 1 y x 【详解详解】由 dyy dxx ，得 dydx yx 两边积分，得ln|ln|yxC 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 代入条件(1)1y，得0C 所以 1 y x （10）曲线sin()ln()xyyxx在点(0,1)的切线方程为 . 【答案答案】 应填1yx 【详解详解】设( , )sin()ln()F x yxyyxx，则 1 ( , )cos()1 x F x yyxy yx ， 1 ( , )cos() x F x yxxy yx ， (0,1)1 x F ，(0,1)1 y F于是斜率 (0,1) 1 (0,1) x y F k F 故所求得切线方程为1yx （11）已知幂级数 0 (2)n n n ax 在0x 处收敛，在4x 处发散，则幂级数 0 (2)n n n ax 的收敛域为 . 【答案答案】 (1,5 【详解】由题意，知 0 (2)n n n ax 的收敛域为( 4,0，则 0 n n n a x 的收敛域为( 2,2所 以 0 (2)n n n ax 的收敛域为(1,5 (12)设曲面是 22 4zxy的上侧，则 2 xydydzxdzdxx dxdy . 【答案答案】 4 【详解详解】作辅助面 1: 0z取下侧则由高斯公式，有 2 xydydzxdzdxx dxdy 1 22 xydydzxdzdxx dxdyxydydzxdzdxx dxdy 22 2 4xy ydVx dxdy 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 22 22 4 1 0() 2 xy xydxdy drrdr 22 2 00 116 4 24 (13) 设A为 2 阶矩阵， 12 , 为线性无关的 2 维列向量， 1 0A ， 212 2A则A 的非零特征值为_. 【答案答案】应填 1 【详解详解】根据题设条件，得 12121212 02 (,)(,)(0,2)(,) 01 AAA 记 12 (,)P ，因 12 , 线性无关，故 12 (,)P 是可逆矩阵因此 02 01 APP ，从而 1 02 01 P AP 记 02 01 B ，则A与B相似，从而有 相同的特征值 因为 2 |(1) 01 EB ，0 ，1 故A的非零特征值为 1 (14) 设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布，则 2 P XEX_ 【答案答案】应填 1 2e . 【详解详解】 因为X服从参数为 1 的泊松分布， 所以1EXDX 从而由 22 ()DXEXEX 得 2 2EX 故 2 2P XEXP X 1 2e 三、解答题三、解答题：(1523 小题，共 94 分. ) (15)(本题满分本题满分 10 分分) 求极限 4 0 sinsin(sin ) sin lim x xxx x 【详解 1】 4 0 sinsin(sin ) sin lim x xxx x 3 0 sinsin(sin ) lim x xx x 2 0 coscos(sin )cos lim 3 x xxx x 2 0 1cos(sin ) lim 3 x x x 0 sin(sin )cos lim 6 x xx x (或 2 2 0 1 (sin ) 2 lim 3 x x x ，或 22 2 0 1 sin(sin) 2 lim 3 x xox x ) 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 1 6 【详解 2】 4 0 sinsin(sin ) sin lim x xxx x 4 0 sinsin(sin ) sin lim sin x xxx x 3 0 sin lim t tt t 2 0 1cos lim 3 t t t 2 2 0 2 lim 3 t t t （或 0 sin lim 6 t t t ） 1 6 （16）(本题满分本题满分 9 分分) 计算曲线积分 2 sin22(1) L xdxxydy ，其中L是曲线sinyx上从(0,0)到( ,0) 的一段 【详解 1】按曲线积分的计算公式直接计算 2 sin22(1) L xdxxydy 2 0 sin22(1)sin cos xdxxxx dx 2 0 sin2xxdx 2 0 0 cos2 cos2 2 xx xxdx 2 0 cos2 2 xxdx 2 0 0 sin2sin2 222 xxx dx 2 2 【详解 2】添加辅助线，按照 Green 公式进行计算 设 1 L为x轴上从点( ,0)到(0,0)的直线段D是 1 L与 L 围成的区域 1 2 sin22(1) L L xdxxydy 2 (2(1)sin2 D xyx dxdy xy 4 D xydxdy sin 00 4 x xydydx 2 0 2 sinxxdx 0 (1 cos2 )xx dx 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 2 0 0 cos2 2 x xxdx 2 0 0 sin2sin2 222 xxx dx 2 2 因为 1 0 2 sin22(1)sin20 L xdxxydyxdx 故 2 sin22(1) L xdxxydy 2 2 【详解 3】令 2 sin22(1) L Ixdxxydy 2 12 sin222 L xdxydyx ydyII 对于 1 I，记sin2 ,2PxQy因为0 PP yx ，故 1 I与积分路径无关 1 0 sin20Ixdx 对于 2 I， 222 2 00 22sin cossin2 L Ix ydyxxxdxxxdx 2 0 0 cos2 cos2 2 xx xxdx 2 0 cos2 2 xxdx 2 0 0 sin2sin2 222 xxx dx 2 2 故 2 sin22(1) L xdxxydy 2 2 17（本题满分（本题满分 11 分）分）已知曲线 222 20, : 35, xyz C xyz 求C上距离xoy面最远的点和最近 的点 【详解详解 1】 点( , , )x y z到xoy面的距离为|z，故求C上距离xoy面最远的点和最近的点的 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 坐标等价于求函数 2 Hz 在条件 222 20,xyz35xyz下的最大值点和最小值 点 构造拉格朗日函数 2222 ( , , , , )(2)(35)L x y zzxyzxyz ， 由 222 220, 20, 2 20, 43 . , 35 0 x y z Lx Ly Lzz xyz xyz 得xy ， 从而 22 220, 235. xz xz 解得 5, 5, 5. x y z 或1 . 1, 1 , z x y 根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为 ( 5, 5,5)和(1,1,1) 【详解详解 2】 点( , , )x y z到xoy面的距离为|z，故求C上距离xoy面最远的点和最近的点的 坐标等价于求函数 22 Hxy在条件 2 22 5 20 3 xy xy 下的最大值点和最小 值点 构造拉格朗日函数 22222 2 ( , , , )(5) 9 L x y zxyxyxy ， 由 2 22 5 20. 4 22(5)0, 9 4 22(5)0, 9 3 x y Lxxxy Lyx x y y y y x 得xy ，从而 22 2 2(25)0 9 xx 解得 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 5, 5, 5. x y z 或1 . 1, 1 , z x y 根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为 ( 5, 5,5)和(1,1,1) 【详解详解 3】由 222 20xyz得 2 cos , 2 sin . xz yz 代入35xyz，得 5 32(cossin ) z 所以只要求( )zz 的最值 令 2 5 2( sincos ) ( )0 32(cossin ) z ，得cossin ，解得 5 , 44 从而 5, 5, 5. x y z 或1 . 1, 1 , z x y 根据几何意义，曲线C上存在距离xoy面最远的点和最近的点，故所求点依次为 ( 5, 5,5)和(1,1,1) （18）(本题满分本题满分 10 分分) 设( )f x是连续函数， （I I）利用定义证明函数 0 ( )( ) x F xf t dt 可导，且( )( )F xf x ； （IIII）当( )f x是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 2 00 ( )2( )( ) x G xf t dtxf t dt 也是以 2 为周期的周期函数 （I） 【证明证明】 00 00 ( )( ) ()( ) ( )limlim xxx xx f t dtf t dt F xxF x F x xx 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 0 ( ) lim xx x x f t dt x 00 ( ) limlim( )( ) xx fx ff x x 【注】不能利用 LHospital 法则得到 00 ( ) () limlim xx x xx f t dt f xx xx (II) 【证法 1】根据题设，有 222 000 (2)2( )(2)( )(2)( ) x G xf t dtxf t dtf xf t dt ， 22 000 ( )2( )( )2 ( )( ) x G xf t dtxf t dtf xf t dt 当( )f x是以 2 为周期的周期函数时，(2)( )f xf x 从而 (2)( )G xG x因而 (2)( )G xG xC 取0x 得，(02)(0)0CGG，故 (2)( )0G xG x 即 2 00 ( )2( )( ) x G xf t dtxf t dt 是以 2 为周期的周期函数 【证法 2】根据题设，有 22 00 (2)2( )(2)( ) x G xf t dtxf t dt ， 2222 0200 2( )( )( )2( ) x f t dtxf t dtxf t dtf t dt 对于 2 2 ( ) x f t dt ，作换元2tu，并注意到(2)( )f uf u，则有 2 2000 ( )(2)( )( ) xxxx f t dtf uduf u duf t dt ， 因而 22 20 ( )( )0 x xf t dtxf t dt 于是 2 00 (2)2( )( )( ) x G xf t dtxf t dtG x 即 2 00 ( )2( )( ) x G xf t dtxf t dt 是以 2 为周期的周期函数 【证法 3】根据题设，有 22 00 (2)2( )(2)( ) x G xf t dtxf t dt ， 222 000 2( )2( )( )2( ) xx x f t dtf t dtxf t dtf t dt 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 222 000 2( )( )2( )2( ) xx x f t dtxf t dtf t dtf t dt 22 0 ( )2( )( ) x x G xf t dtf t dt 当( )f x是以 2 为周期的周期函数时，必有 22 0 ( )( ) x x f t dtf t dt 事实上 2 2 ( ) (2)( )0 x df t dt f xf x dx ， 所以 2 2 ( ) x f t dtC 取0x 得， 0 22 22 ( )( )Cf t dtf t dt 所以 2 00 (2)2( )( )( ) x G xf t dtxf t dtG x 即 2 00 ( )2( )( ) x G xf t dtxf t dt 是以 2 为周期的周期函数 (19)(本题满分本题满分 11 分分) 将函数 2 ( )1(0)f xxx 展开成余弦级数，并求级数 1 1 ( 1)n n n 的和 【详解详解】将( )f x作偶周期延拓，则有0,1,2, n bn 0 a 2 0 2 (1)dxx 2 2 1 3 0 2 ( )cos n af xnxdx 2 00 0 2 coscosnxdxxnxdx 2 0 0 2 0cosxnxdx 2 0 0 2sin2 sinxnxxnx dx nn 1 2 2 2 ( 1)n n 1 2 4( 1)n n 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 所以 21 0 1 2 2 1 ( )1cos ( 1) 14 3 cos 2 n n nn a f xx n anxnx ，0x 令 x=0，有 n n f n 21 2 1 ( 1) (0)14 3 又(0)1f ，所以 n n n 12 2 1 ( 1) 12 （20）(本题满分本题满分 10 分分) 设, 为 3 维列向量，矩阵 TT A，其中, TT 分别是, 得转置证明： （I） 秩( )2r A ； （II） 若, 线性相关，则秩( )2r A 【详解】 （I） 【证法 1】( )()()()( )( )2 TTTT r Arrrrr 【证法 2】因为 TT A，A为3 3 矩阵，所以( )3r A 因为, 为 3 维列向量，所以存在向量0 ，使得 0,0 TT 于是 0 TT A 所以0Ax 有非零解，从而( )2r A 【证法 3】因为 TT A，所以A为3 3 矩阵 又因为 0 0 T TTT A ， 所以| |0|0 0 T T a A 故 ( )2r A （ II ） 【 证 法 】 由, 线 性 相 关 ， 不 妨 设k 于 是 2 ()()( 1)()12 TTT rArrkr (21) (本题满分本题满分 12 分分) 设n元线性方程组Axb ，其中 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 2 2 2 2 21 21 21 21 2 a aa aa A aa aa ， 1 2 n x x x x ，b 1 0 0 （I）证明行列式| (1) n Ana； （II）当a为何值时，该方程组有惟一解，并求 1 x （III）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解 【详解】 （I） 【证法 1】数学归纳法记 2 2 2 2 21 21 21 | 21 2 n n a aa aa DA aa aa 以下用数学归纳法法证明(1) n n Dna 当1n 时， 1 2Da ，结论成立 当2n 时， 2 22 21 3 2 a Da aa ，结论成立 假设结论对小于n的情况成立将 n D按第一行展开得 nn n a a aa DaD aa aa 2 2 1 2 2 1 1 021 21 2 21 2 2 12 2 nn aDa D 122 2(1) nn anaa na (1) n na 故 (1)nAna 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 【 注 】 本 题 （ 1 ） 也 可 用 递 推 法 由 2 12 2 nnn DaDa D 得 ， 22 11221 ()() nnn nnnn DaDa DaDaDaDa 于是(1) n n Dna （I） 【证法 2】消元法记 2 2 2 2 21 21 21 | 21 2 n a aa aa A aa aa 2 21 2 2 21 3 01 2 1 21 2 21 2 n a a aa rar aa aa 32 2 2 2 21 3 01 2 4 01 2 3 3 21 21 2 n a a a rar aa aa aa 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 nn n a a a n rar n n a n n a n 1 21 3 01 2 4 01 1 3 01 1 1 0 (1) n na （II） 【详解】当0a 时，方程组系数行列式0 n D ，故方程组有惟一解由克莱姆法则， 将 n D得第一列换成b，得行列式为 2 22 1 1 22 22 1 1121 02121 2121 2121 22 n n nn a aaa aaaa Dna aaaa aaaa 所以， 1 1 (1) n n Da x Dna （III） 【详解】 当0a 时，方程组为 1 2 1 011 010 0 10 00 n n x x x x 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 010100 TT xk，其中k为任意常数 (22) (本题满分本题满分 11 分分) 设随机变量X与Y相互独立，X的概率密度为 1 ()(1,0,1) 3 P Xii ，Y的概率 中国教育在线（中国教育在线（ ） 中国最权威考研门户中国最权威考研门户 中国教育在线考研频道 密度为 1,01, ( ) 0, Y y fy 其它. 记ZXY （I） 求