1998年考研数学二试题答案与解析.pdf

NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 1998 年数学二试题分析年数学二试题分析 (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) (NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全!) 一、 填空题一、 填空题 （1） 2 0 112 lim x xx x + = 答答 应填 1 . 4 分析分析 由洛必达法则， 原式( ) 00 11 112 12 1 limlim. * 2411 xx xx xx xxxx + + = + 至此又有两条路可走， 一是分子分母同乘以( ) 11,xx+ 原式 () 0 21 lim; 4 41111 x x xxxxx = + 或者是将（*）中的分母4 11xx+先处理，然后再将其余部分用洛必达法则 原式 00 111 limlim 4 11 xx xx xxx + = + () 0 11111 lim1. 4442 12 1 x xx = = + （2）曲线 32 2yxxxx=+与 轴所围成的图形的面积A= 答答 应填 37 . 12 分析分析 应先求出函数 32 2yxxx=+的零点： 123 1,0,2.xxx=判断图形哪 一部分在x轴下方，哪一部分在上方，则 ()() 02 3232 10 22Axxx dxxxx dx = + 4343 2022 10 37 . 434312 xxxx xx =+ += （3） 2 lnsin sin x dx x = 答答 应填：cotlnsincot.xxxxC + NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 分 析分 析 本 题 考 查 不 定 积 分 的 分 部 积 分 法 ， 直 接 令 2 lnsin , sin dx ux dv x =cot ,vx=便得 2 2 lnsin cotlnsincot sin x dxxxxdx x =+ () 2 cotlnsincsc1 cotlnsincot. xxxdx xxxxC =+ = + （4）设( )f x连续，则() 22 0 x d tf xtdt dx = 答答 应填() 2 xf x 分析分析 令 22 xtu= 原式( )( ) 2 2 0 0 11 22 x x dd f u duf u du dxdx = 现在x仅含于上限，可按对上限变量再经过复合函数求导办法求之，从而 原式( )() 222 1 2 d f xxxf x dx = （5）曲线() 1 ln0yxex x =+ 的渐近线方程为 答答 应填 1 .yx e =+ 分析分析 本题考查求曲线的斜渐近线 () 1 ln 1 limlim ln1 1 limlimln1 xx xx xe x ae xx byaxxe x + + + =+= =+ 1 ln1 11 limlim. 11 xx e x e e xx + + = + 故此曲线的渐近线方程为 1 .yx e =+ 二、 选择题二、 选择题 （1） 设数列 nn xy与满足lim0, nn n x y =则下列断言正确的 （A）若 n x发散，则 n y必发散 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 （B）若 n x无界，则 n y必有界 （C）若 n x有界，则 n y必为无穷小 （D）若 1 n x 为无穷小，则 n y必为无穷小 答答 应选 D 分析分析 （A） （B） （C）三项可用反例排除。 （A） 项显然是不正确的，因为只需取数列0 n y=，就排除了它。若取数列 21,21, 1,2,; 0,2 , 0,21, 1,2, 2 ,2 , n n knk xk nk nk yk k nk ? ? = = = = = = 便排除了（B）项 对于（C）项，若数列0 n x=，则 n y可为任意数列，所以（C）项也不正确，故 只有（D）项正确。事实上，当 1 n x 为无穷小，数列 n x为无穷大，即对任意给定 1 0,0MN存在，使当 1 nN时，;lim0, nnn n xMx y =由则对任意给定0， 存 在 2 0,N使 当 2 nN时 ，, nn x y时 ， 有 , nnn M yx y，证明（1）中的 0 x是唯一的。 分析分析 先写出欲证的式子：存在() 0 0,1x 使()( ) 0 1 00 0. x x f xf t dt= 将此欲 证之式凑成罗尔定理的结论的形式并满足相应的条件，即取函数( ),x在 01，上连续，在()0,1内可导，且( )( )( ) 1 x xxf xf t dt= 欲证上述 0 x为唯一，只要证( ) x为单调，即证( ) x定号即可。 证明证明 取( )( ) 1 , x xxf t dt= 它在01，上连续，在()0,1内可导， ( )( )010,=由罗尔定理知，存在() 0 0,1x ，使() 0 0,x=经计算， ( )( )( ) 1 x xxf xf t dt= NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 故 知 存 在() 0 0,1x 使()( ) 0 1 00 0. x x f xf t dt= （1） 证 毕 ， 又 ( )( )( )( ) 0,xxfxf xf x=+即( ) x在()0,1内严格单调增加， 故 （1） 中的 0 x 是唯一的。 九、 九、 设有曲线1,yx=过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的 平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。 解解 设切线的横坐标为 0, x则切点为( ) 00 ,1xx，曲线1,yx=在此点的 切线斜率为 0 1 21x ，于是切线方程为 () 00 0 1 1 21 yxxx x = 又因它经过原点，以点()0,0代入，得() 00 21xx=，解得 0 2x=，于是 切线方程为() 1 12 , 2 yx =即 1 , 2 yx=切点为()2,1 由曲线段()1 12yxx=绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 () 22 2 1 11 21435 51 , 6 Syy dxxdx =+= 由直线() 1 02 2 yxx=段绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 2 2 0 15 25 . 22 Sxdx= 因此，所求旋转体的表面积为 () 12 11 51 . 6 SSS =+= 十、 十、 设( )yy x=是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(), x y处的曲率为 2 1 , 1y+ 且此曲线上点()0,1处的切线方程为1yx=+，求该曲线的方程， 并求函数( )yy x=的极值。 解解 因曲线向上凸，故 0;y由题设，有 () 32 2 1 1 1 y y y = + 化简，即为 () 2 1.yy=+ NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 曲线经过点()0,1，故( )01y=，又因在该点的切线方程为1yx=+，即切线 斜率为1，于是( ) 01,y=现在归结为求 () ( )( ) 2 1 01,01 yy yy =+ = 的特解。 命 ,yp yp=于是得() 2 1,pp=+分离变量解得arctan,pCx= ( )01p=以代入，得 1 arctan1, 4 C =所以 tan 4 ypx = 再积分，得 2 tanln cos 44 yx dxxC =+ ( )01y=以代入，得 2 1 1ln2, 2 C= +故所求曲线方程为 1 ln cos1ln2, 42 yx =+ + 取其含有0x=在内的连续的一支为 1 ln cos1ln2, 42 yx =+ + 3 , 44 x 当 3 44 xx + 或时，cos0, 4 xy 故此函数无极小值， 当 4 x =时，y为极大，极大值 1 1ln2. 2 y= + 十一、 十一、 设()0,1x，证明 （1）()() 22 1ln1;xxx+ （2） () 1111 1 ln2ln 12xx + 证证 （1）命( )()()( ) 22 1ln1,00,xxxx=+=有 ( )()() 2 ln12ln 12 ,xxxx=+ 还看不出在()0,1内( ) x是否定号，为此，再计算( ) 00=， ( )() 2 ln 1. 1 xxx x =+ + NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 再计算( ) 00=， ( ) () () 2 2ln 1 0, 1 x x x + = + 当()0,1 .x 于是( ) x在()0,1内严格单调减少，又( ) 00=，所以在()0,1内( ) 0x，于 是( ) x在()0,1内严格单调减少，又( ) 00=，故在()0,1内( ) 0x，故( )x 在()0,1内严格单调减少，又( )00=，故在()0,1内( )0.x （2）命 ( ) () ( 11 ,0,1 , ln 1 f xx xx = + 有 ( ) ()() ()() 22 22 1ln1 1ln1 xxx fx xxx + = + （*） 由（1）知( ) 0fx + 又 ( ) () () () 2 000 ln 1ln 1 limlimlim ln 1 xxx xxxx f x xxx + + = + () 0 1 lim 212 x x xx + = + 故当()0,1x时，( ) () 111 ln 12 f x xx = + 十二、 十二、 设() 11 2, T ECB AC =其中E是4阶单位矩阵， T A是4阶矩阵A的转 置矩阵， 12321201 01230120 , 00120012 00010001 BC = ，求A 解解 由题设得 () 1 2, T CECB AE = NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导! NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040 即 ()2, T CB AE= 由于 1234 0123 2210 0012 0001 CBCB = ， 故2CB可逆。 于是 ()() 1 1 22 T T ACBCB = 10001000 21002100 32101210 43210121 = 十三、 十三、 已知 123 1,4,0,2,2,7,1,3 ,0,1,1,3,10, ,4, TTTT ab=问 （1）, a b取何值时，不能由 123 , 线性表示？ （2）, a b取何值时，可由 123 , 线性表示？并写出此表示式。 解解 因为 120312031203 4711001120112 0110110010 2340120002 bba aab 所以 （1） 当2b时，线性方程组() 123 ,x =无解，此时不能由 123 , 线性表示； （2） 当2,1ba=时 ， 线 性 方 程 组() 123 ,x =有 唯 一 解 ： ()() 123