2014全国大学生数学建模大赛 嫦娥三号软着陆设计与控制策略.pdf

20142014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参 赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下 载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 16018058 所属学校（请填写完整的全名）： 河南理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 金超 2. 张晋 3. 赵琪 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 建模指导组 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2012014 4 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要 本文针对嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略问题，利用物理学知识，建立了动力 学模型。运用蚁群算法，借助 Matlab 软件求解最优轨迹，探究六个阶段飞行器的运行 状态。 针对问题一，首先以月心为原点坐标，建立球坐标系和空间直角坐标系，确定球坐 标和月球经纬度的一一对应关系。由于嫦娥三号在着陆准备轨道上角动量和机械能守 恒， 根据其关系可求出近月的速度大小为 1692.m/s， 方向为由南向北， 沿轨道切线方向； 远月点的速度大小为 1614m/s，方向为由北向南，沿轨道切线方向。根据查阅资料可知， 着陆准备轨道（椭圆轨道）大致经过月球球心、月球两极和预定着陆路点位置，这样着 陆准备轨道所在平面经过球心和经度为 19.51W 经线。预定着陆点为 19.51W，44.12N， 海拔为-2641m，这样可知近月点的经度为 19.51W。我们由预定着陆点的位置反推 3km 处的位置，然后，根据近月点到 3km 处的抛物线，建立动力学模型，求解抛物线水平距 离为 503980m，我们有两种方案求解近月点的纬度，一种是用月球极区半径求解 1的高 度差，粗略求出近月点与 3km 处纬度差，求得近月点的纬度为 27.49N；一种是在空间直 角坐标系中利用数值关系列方程式求解， 求得近月点的纬度为 23.64N， 取平均值 25.57N 作为近月点的纬度。所以，近月点的位置为：经纬度为 19.51W，25.57N，距离月球表面 15km；远月点的位置为：经纬度为 160.49E，25.57S，距离月球表面 100km。 针对问题二，首先建立动力学方程，在主减速阶段，确定优化指标在月球着陆过程 中消耗的燃料J和控制变量推力F的方向角，采用直接法进行轨迹优化，并将轨迹优化 问题转化为参数优化，将推力方向角)(t表示为多项式形式，并采用函数逼近法进行参 数化处理，将着陆轨迹离散化，分割成若干小段，在每小段节点处设定推力角，并对应 节点时刻，并对)(t表示的多项式进行拟合，将终端时刻和每个节点处的推力方向作为 参数，利用 Matlab 软件，蚁群算法进行优化。在粗避障段及精避障段，将范围分成若 干区域，求出每个区域的高度极差以及方差，以找到最适合软着陆的区域。 针对问题三，对本文设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 由于模型的选取、数据的处理、以及一些假设前提等都会导致误差的产生。误差包括系 统误差和随机误差。在此题求解中，模型中有很多变动因素，如：方向角，推力大小， 飞行总时间。初末状态（包括初末位置和速度）。最后我们采用单因素敏感性分析法进 行计算，得出关键影响因素为推力能达到的最大值和初速度的选取。 关键字：能量守恒 球坐标系 函数逼近法 蚁群算法 拟合 单因素敏感性分析 2 一、问题的重述 嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射，12 月 6 日抵达月球轨道。嫦娥 三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为 2940m/s， 可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的 推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号 的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m（NASA 月球勘测轨道飞行器使用的月 面海拔零点，是月球的平均半径所在的高度）。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键 问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月 点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共 分为 6 个阶段（见附件 2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆 过程的燃料消耗。 根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与 方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。 （3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 二、模型的假设 （1）计算着陆准备轨道近月点和远月点的速度时，不考虑其它天体对嫦娥三号万有引 力的影响。 （2）嫦娥三号在完成所有的着陆过程中本身固定机能不会发生改变。 （3）不考虑空间飞行器上各点因燃料消耗而产生的位移。 （4）在对卫星和空间飞行器进行轨道估计时，认为作用于其上的所有外力都通过其质 心。 （5）卫星和空间飞行器的运动是在真空中进行的。 （6）卫星只受重力影响，空间飞行器除自身推力外只受重力影响，不考虑科氏加速度。 （7）卫星的观测图片及数据精准。 三、符号说明 符号 符号说明 近 v 嫦娥三号近月点的速度 远 v 嫦娥三号远月点的速度 m 嫦娥三号在椭圆轨道上的质量 M 月球的质量 近 r 椭圆轨道近月点到月心的距离 远 r 椭圆轨道远月点到月心的距离 1 r 月球表面 3km 处到月心的距离 2 r 月球表面 100km 处到月心的距离 3 h 月球表面h处到月心的距离 x a 水平方向加速度 y a 竖直方向加速度 x T 制动力的水平方向分力 y T 制动力的竖直方向分力 yue a 月球表面重力加速度 t 主加速段所花费的时间 S 主减速段抛物线水平位移 Q 嫦娥三号主发动机燃料秒消耗率 1 2400m 处高度极差 2 100m 处高度极差 2 1 2400m 处高度方差 2 2 100m 处高度方差 四、问题的分析 4.1 问题一的分析 针对问题一，本文要确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应 速度的大小与方向。在附件一的新闻稿中，可以找到从近月点下落时是一个近似抛体运 动。 嫦娥三号变轨过程中，受月心引力影响，使其轨道满足行星运动模型。由于嫦娥三 号软着陆过程中经过月球表面的距离和月球半径相比甚小，我们把嫦娥三号的软着陆过 程简化为在一个经面（经线圈所在的平面）的一个先做类平抛运动，后做竖直运动的过 程。 我们采用求坐标系和空间直角坐标系，利用它们之间的转换来确定近月点和远月点 的位置。坐标原点为月球球心，xoy平面为月球赤道平面，x轴与月球经线为度的相 交，正方向指向 0 度经线；y轴与经线为 90E 的相交，正方向指向 90E 经线；z轴过月 球两极，正方向指向月球北极。假设),(zyxP为空间内一点，则点P可用三个有次序的 数),(r来确定，其中r为原点O与点p间的距离；为有向线段OP与z轴正向的夹 角；为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy 面上的投影。这样的三个数, r叫做点P的球面坐标，显然，这里, r的变化范围为 ), 0r，2 , 0，, 0，如图 4.1 图 4.1 球坐标系 经度类于图 4.1 中的，在这里有正负，逆时针为正，表示东经；顺时针为负， 表示西经；纬度即类与)90( ，)90( 为正，表示北纬)90( ；为负，表示南 4 纬)90( 。此时，球坐标和月球经纬度一一对应。 我们根据嫦娥三号在椭圆轨道上运行时，在万有引力力作用下，嫦娥三号的角动量 守恒 近 近远 远 mv rmv r （4.1） 机械能守恒即嫦娥三号的近月点动能和势能之和等于月远点的动能和势能之和 22 近远 近远 11 22 MmMm mvGmvG rr （4.2） 然后，为了确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，我们根据嫦娥三号的预定着 陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m 来反推近月点的位置。我们查阅相关资料可得： 着陆准备轨道过月心，大致在同一经线上，且经度为 19.51W，即可知近月点的经度不变 为 19.51W。着陆准备轨道的近月点是 15km，远月点是 100km。近月点在月心坐标系的位 置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。因此，可由预定着陆点的位置反推近月 点的位置。 主减速段的区间是距离月面 15km 到 3km。据悉，嫦娥三号将在近月点 15 公里处以 抛物线下降，相对速度为每秒 1.7 公里，该阶段的主要是减速，实现到距离月面 3 公里 处嫦娥三号的速度降到 57m/s。为了使模型可以计算，我们可以把近月点和距离预定着 陆点上空，月面 3km 转换在空间直角坐标系中计算，进而可以在过月球两极经度为 19.51W 经线的平面内进行演算。我们假设在距离月面 15km 处的水平速度约为 1.7km/s， 竖直速度为 0；在距离月面 3km 处，水平速度为 0，竖直速度为 57m/s。然后，用力学关 系求解水平位移，进而，求出近月点和远月点的经纬度。 4.2 问题二的分析 针对问题二，问题要我们确定嫦娥三号的着陆轨道和在六个阶段的最优控制策略， 嫦娥三号沿着陆准备轨道下降到距离月面一定高度时，嫦娥三号发动机点火工作，开始 动力下降段。这个阶段的主要任务在于消除嫦娥三号速度的水平分量。由于着陆器在月 面上软着陆只能依靠制动发动机的能量来实现，因此，在这一过程中，如何使能量最省 成为所研究的关键问题，一般从以下两个方面考虑：一方面是制动火箭开始工作时机的 选择；另一方面是在设计动力下降段的制导控制策略时，要在末端轨道参数满足下一阶 段要求的前提下，根据燃料消耗最小的原则进行设计。对于动力下降段起始点的选择， 从理论上讲，制动发动机开始工作时的高度越低，所消耗的推进剂量越少；制动发动机 开始工作时的高度越高，制动行程越长，则重力损耗越大，所损耗的推进剂就越多。这 是因为制动发动机不仅要抵消己有的速度，还要防止下降速度在月球引力作用下进一步 增长。 本文对动力下降段起始点的选择及最后缓速下落至着陆点不作具体研究，重点讨论 第二阶段至第五阶段。 在主减速段及快速调整阶段，首先需要建立动力学坐标，确定优化指标在月球着陆 过程中消耗的燃料J和控制变量制动发动机推力F的方向角，采用直接法进行轨迹优 化，由于优化变量)(t的搜索空间是一个泛函空间，无法直接应用优化算法，所以应先 将该轨迹优化问题转化为参数优化问题。参数化方法很多，有直接离散法，多段参数插 值法和函数逼近法等，本文采用函数逼近法进行参数化。 将推力方向角)(t表示为多项式形式，即 3 4 2 321 )(tttt 将着陆轨迹离散化，分割成 9 个小段，在每小段节点处设定推力角，每个节点对应 5 的时刻可由下式得到： ), 1 , 0(, 9/ )( 00 nittitt f i 并对)(t表示的多相式进行拟合，将终端时刻和每个节点处的推力方向做为参数， 利用 Matlab 和蚁群算法进行优化， 得到消耗燃油最少的轨道以及力方向角)(t的曲线。 在粗避障段及精避障段，为保证飞行器能落在较为平缓的月球表面，避开陨石坑， 我们根据拍照获得的高程图，划分区域，每隔一定距离测量高度，计算出每块区域高度 极差和方差，极差和方差越小则该地区起伏越小，越平坦，通过粗避障和精避障两次选 取，找出其中极差和方差最小点作为着陆点。 4.3 问题三的分析 针对问题三，在问题二中，我们建立了相应的模型，得出了嫦娥三号在 6 个阶段的 运动状态，包括各阶段的运动速度、质量变化、推力大小、飞行时间。但是由于模型的 选取、 数据的处理、以及一些假设前提等都会导致误差的产生。误差包括系统误差和 随 机误差。在此题求解中，模型中有很多变动因素，如：方向角，推力大小，飞行总 时间，初末状态（包括初末位置和速度）。敏感性分析是分析系统稳定性的一种方法， 我们采用敏感性分析中的单因素敏感性分析法进行计算。如果一个因素在很小范围内变 化时，引起指标很大的变化，则是敏感性因素。然后我们计算敏感性因素对模拟结果合 理性的影响。 五、模型的建立与求解 5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1 计算椭圆轨道的近月点速度 近 V、远月点速度 远 V 由(4.1)和(4.2)化简得： 2 2 )(1 ) 11 (2 )(1 ) 11 (2 远 近 远近 远 近 远 远 近 远近 近 r r rr GM r r v r r rr GM v （5.1） 式中 G 为万有引力常数，等于 -11 106.67Nm2/kg2，M 为月球质量，等于 22 107.3477kg， 646.1752 1 rrr 平均近 km,646.1837 2 rrr 平均远 km,代入数据解得 近 1692m/s v，速度 方向沿椭圆轨道切线方向； 远 1614m/sv，速度方向沿椭圆轨道切线方向（椭圆轨道为大 致过月球球心和月球两极，由南向北运行）。 5.1.2 确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置 球坐标可表示为, hr 平均 三维直角坐标可表示为cos,sinsin,cossinzrr 其中： 球坐标系),(r与直角坐标系),(zyx的转换关系: cos sinsin cossin rz ry rx （5.2） 6 求解水平位移： 根据题意可列出如下方程式： m T a x x yue y y a m T a smdt Qdtm T t t x /1692 0 0 （5.3） smdta Qdtm T yue t t y /57)( 0 0 NTT yx 7500 22 Sav x* 20近 运用 Matlab 编程求解得： mSNTNTst yx 503980,9 .3127,6 .6816,3 .441 由kmr843.1735 极区 可得在同一经线上 1 纬度的距离为kmr3 .301sin 极区 水平位移所跨的纬度为 63.16 1sin 极区 r S 所以近月点的纬度为 49.2763.1612.44。 图 5.1 由图可知近月点，远月点和着陆点一定在一个平面上。 根据分析可得出： 近月点， 远月点和着陆点在同一个平面上， 并且观察其轨迹发现， 其三点在同一个圆上， 并且近月点位置与远月点和球心在一条直线上，也就是相差一百八十度，而近月点与着 陆点经度相同。故由近月点可推出远月点位置。 近月点球坐标 51.19,1752646 近 远月点球坐标 51.19,1752646 远 抛物线距离月面 3km 处球坐标 51.19,88.45,1740646 近月点三维直角坐标cos),51.19sin(sin),51.19cos(sinzrr 近近 远月点三维直角坐标cos),51.19sin(sin),51.19cos(sinzrr 远远 抛物线距离月面 3km 处三维直角坐标 7 )58.44cos(),51.19sin()58.44sin(),51.19cos()58.44sin( zrr 近月点和抛物线距离月面 3km 处在月球赤道面的坐标为 11, y x， 22, y x。 )51.19sin(sin )51.19cos(sin 1 1 近 近 ry rx (5.4) )51.19sin()58.44sin( )51.19cos()58.44sin( 2 2 ry rx (5.5) Syyxx 2 21 2 21 (5.6) 由(5.4)、(5.5)、(5.6)由 Matlab 可解得 64.23 可知两种方法算出的纬度相差不大，所以认为近月点的纬度为两种结果的平均值， 为 57.25。 所以近月点的位置为：经纬度为 19.51W，25.57N，距离月球表面 15km；远月点的 位置为：经纬度为 160.49E，25.57S，距离月球表面 100km。 5.2 问题二模型的建立与求解 第一阶段：着陆准备轨道 典型的月球软着陆任务中，探测器一般首先发射到 100km 的环月停泊轨道，然后根 据所定的着陆位置，在合适的时间给着陆器一个有限脉冲，使得着陆器转入近月点(在 着落位置附近)为 15km，远月点为 100km 的月球椭圆轨道，这一阶段称为霍曼转移段。 第二、三阶段：主减速段及快速调整段 当着陆器运行到近月点时，制动发动机开始工作，其主要任务是抵消着陆器的初始 动能和势能，使着陆器接触地面时，相对月面速度为零，即实现所谓的软着陆，这一阶 段称为动力下降段。着陆器的大部分燃料都是消耗在此阶段，所以月球软着陆轨迹优化 主要是针对动力下降段这一阶段。选取优化的性能指标为月球探测器软着陆过程中燃料 消耗最小，该性能指标等价于软着陆时探测器的质量最大，因此在此阶段我们建立以燃 料消耗最少为最优制导。 由于月球表面附近没有大气，所以在飞行器的动力学模型中没有大气阻力项。而且 从 15km 左右的轨道高度软着陆到月球表面的时间比较短，一般在几百秒的范围内，所 以诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不计，由于燃耗最优，制动 推力矢量、初始速度矢量以及由月球引力所产生的速度矢量这三个矢量应该在一个平面 内。在动力下降段开始时，经过姿态调整着陆舱主轴也处于制动推力矢量、初始速度矢 量以及由月球引力所产生的速度矢量所构成的平面之内。所以这一过程可以在二体模型 下描述。其示意图如图 1 所示，其中O为月球质心， 8 图 5.2.1 月球软着陆极坐标系 x轴方向为由月心指向着陆器的初始位置，y轴方向为初始位置着陆器速度方向。 其动力学方程如下： e vFm rvmF rrmFv vr / 2cos sin 22 （5.7） 在上式中r为嫦娥三号与月心距离，v为嫦娥三号径向速度，为嫦娥三号极角角速度， 为月球引力常数，F为制动发动机的推力(固定的常值或 0），m嫦娥三号质量， e v为其比冲；为发动机推力与当地水平线的夹角即推力方向角。 根据动力下降段的起点位置可以确定动力学方程初始条件，由于起点处于霍曼转移 轨道的近地点，故其初始条件为： 近 rro 0 0 0 v （5.8） 近远 远 近 rr r rrp 21 0 其中 近 r和 远 r分别为霍曼转移段的近地点半径和远地点半径。终端条件为到达距月 3km 处，即 1 rrrf 平均 0 f v （5.9） 0 f 其中 平均 r为月球平均半径，终端条件中对终端极角口 f 及终端时间 f t无约束。 优化变量为制动发动机推力方向角)(t。 优化的性能指标为在满足上述初始条件和终端条件的前提下，使着陆过程中燃料消 耗最少，即 )()()( 0 0 f t t tmtmdttmJ f 9 基于蚁群算法的月球软着陆轨迹优化： 由蚁群算法思想，首先需要将优化变量)(t转化为参数优化问题，在此，本文使用 函数逼近法进行参数化，将推理方向角)(t表示为多项式的形式，即 3 4 2 3 )(tttt 由于四个参数没用实际的物理意义，确定搜索空间比较困难，为此本文将轨道离散 化，分为九个小段，在每一段的节点处设定一个方向角，将十个节点的推力方向角和终 端时刻 f t作为待优化的参数。每个节点的时刻), 1 , 0(, 9/ )( 00 nittitt f i 利用十个参数及对应时刻对前式进行拟合，可以得到 431 , 的值，进而得到整 个着陆轨迹的推力方向角)(t，然后可以得到在主减速阶段的着陆轨迹。 按照蚁群算法，利用 matlab 编程，对十一个参数进行优化，对这十一个参数设置 搜索范围。对十个方向角，由物理学分析可得推力方向与飞行器速度的反向夹角不会大 于 90，否则会加剧燃料的消耗，所以确定方向角的变化范围为 90)(0t 对于终端时刻 f t，根据齐奥尔可夫斯基公式（)/ln( 0f mmv，为喷漆涡流相 对与火箭的速度）以及软着陆初始条件，可由下式估计 )/()/ )exp(1 ( 00 FmIIvvt spspff 经计算确定 f t搜索范围为（单位/秒）： 006004 f t 四、五阶段：粗避障段及精避障段 为保证飞行器能落在较为平缓的月球表面，避开陨石坑，我们根据拍照获得的高程 图，划分区域，每隔一定距离测量高度，计算出每块区域高度极差 1 和方差1 2 ，极差 1 和方差1 2 越小则该地区起伏越小，越平坦，通过粗避障和精避障两次选取，找出其中 极差 1 和方差1 2 最小点作为着陆点。 粗避障段： 取高度为 2400m 时的高程图， 由 tif 格式文件可得其范围为 23002300， 将其划分为9292的个小区域， 从坐标原点出发， 沿x轴和y轴正方向分别记为i , 3 , 2 , 1 和j, 3 , 2 , 1 ，每个区域的边长为 25,，对每个方格建立三维坐标系，x,y 为代表水平坐 标，z 表示高度，每隔 1 取一次高度，则在每个方格内共取了 2525 次高度，取出其中 最高高度 max z和最低高度 min z，求出该方格内高度的极差 1 和方差1 2 ，同理做出其余每 个方格高度的极差 1 和方差1 2 ， 选取高度极差 1 和方差1 2 最小的方格区域最为粗着陆 点，并让飞行器移向该区域上空。 通过 Matlab 画出 2400m 时的高程图，并计算出粗着陆点坐标。 经过计算可得在10i，41j的区域内，极差3 1 ，方差4996. 01 2 ，均为最小。 10 图 5.2.2 在 2400m 时的高程图 精避障段： 飞行器在粗避障段选取出来的粗着陆点上空下降， 当飞行器距月面 100m 时，再取其相应的高程图，仿照粗避障段该区域其划分为 100100 个方格，从原点出 发沿x轴和y轴正方向分别记为i , 3 , 2 , 1 和j, 3 , 2 , 1 ，每个方格的边长为 10，对每个方 格建立三维坐标系，x,y 为代表水平坐标，z 表示高度，每隔 1 取一次高度，则在每个 方格内共取了 100100 次高度，取出其中最高高度 max z和最低高度 min z，求出该方格内 高度的极差 2 和方差 2 2 ，同理做出其余每个方格高度的极差 2 和方差 2 2 ，选取高度极 差 2 和方差 2 2 最小的方格区域最为精着陆点，并让飞行器移向该区域上空。 通过 matlab 画出 100m 时的高程图，并计算出精着陆点坐标。通过计算可得在55i， 29j的区域内， 2 3， 2 2 4996. 0，均为最小，所以该区域应为最适合软着陆区域 11 图 5.2.3 在 100m 时的高程图 第六阶段：缓速下降阶段 缓速下降阶段的区间是距离月面 30m 到 4m。 该阶段的主要任务控制着陆器在距离月 面 4m 处的速度为 0m/s，即实现在距离月面 4m 处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦 娥三号自由落体到精确有落月点。 5.3 问题三模型的建立与求解 误差分析： 测量误差和系统参数偏差是影响软着陆制导精度的主要原因，在存在测量误差和参 数偏差的情况下实现软着陆，满足终端条件是对软着陆控制系统的一个基本要求，实际 中测量误差可以通过滤波消除，对闭环系统的影响不大。而系统参数如制动发动机的推 力，比冲以及着陆舱的质量都是不可测的，它们是在发射以前在地面标定给出的，但在 飞行过程中参数会由于一定的影响而产生一定的偏差考察这些偏差对制导过程的影响 就显得十分重要。 敏感性分析： 敏感性分析是敏感性分析是系统分析中分析系统稳定性的一种方法。敏感性分析根 据每次变动的因素不同分为单因素敏感分析和多因素敏感分析。本题中的不确定因素 有：方向角，推力大小，初末状态（包括初末位置和速度）。一般来说，不确定性因素 是误差的来源。但是各种不确定性造成的误差大小是不同的， 因此，我们首先研究了 影响因素变动引起的质量的变动范围；再找出影响质量变 化的最关键因素，并进一步 分析与之有关的预测或估算数据可能产生的不确定根源；之后通过可能出现的最有利的 范围分析，对原方案进行调整与控制；通过多 方案敏感性的大小比较，区别敏感性大 或敏感性小的方案，以选取敏感性小的方案。本题我们认为关键的影响因素为推力能达 到的最大值和初速度的选取。 （1）对于推力最大值 7500，我们选取其周围的 5 个推力最大值。推力最大值的选 取应该以 7500 的 10%左右做步长选取。 为了取整我们取的值分别为：6500,7000,7500,8000,8500。 12 其对应最后剩余的探测器质量分别：914.7,911.3,907.6，904.5,901.2 偏率计算公式为 %100 |3| | * * km mm l k k 计算结果如下： 1 l0.39%， 2 l0.41%， 4 l0.34% ， 5 l0.35%。 求平均值为l0.37% 因为l0.1% 所以推力发动机的最大值对整个运动的影响显著。 （2）对于初速度，我们选取其周围的 5 个值。初速度的选取应该以 1.69 的 10%左 右做步长选取。 为了取整我们取的值分别为：1.35,1.52,1.69,1.85,2.02。 其对应飞行总时间分别：595.3,601.2,606.9，610.5,614.2 偏率计算公式为 %100 |3| | * * kt tt l k k 计算结果如下： 1 l0.9%, 2 l0.94%， 4 l0.59%， 5 l0.60% 。求平均值为l0.75% 因为l0.1%，所以初速度对整个运动的结果影响显著。 六、模型的评价及改进 模型优点： 对于主减速段抛物线轨迹的运动力学处理，对部分物理量进行了简化，有利于模型 的求解。球坐标系，空间直角坐标系和月球经纬度一一对应，有利于对模型的分析。 模型缺点： 对于主减速段抛物线轨迹的运动力学处理，简化了部分物理量的值，会对模型的结 果造成一定的影响，只能得到模型大致的结果。 模型改进： 重力转弯制导过程适用于较低高度的最终软着陆段，可以对快速调整段进行进一步 处理。 七、参考文献 1姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第四版），北京，高等教育出版社，2011 年。 2周品，赵新芬，MATLAB 数学建模与仿真，北京，国防工业出版社，2011 年 。 3段佳佳，徐世杰，朱建丰，基于蚁群算法的月球软着陆轨迹优化，宇航学报，29 （2）:476-477，2008 年。 4徐敏， 李俊峰， 月球探测器软着陆的最优控制， 清华大学学报 （自然科学版） ， 41(8)： 87-89，2001 年。 13 八、附录 问题一： Matlab 程序： s1=1.63*t+y/2.551*(ln(2400-2.551*t)-ln(2400)+57; s2=x/2.551*(ln(2400- 2.551*t)-ln(2400)+1692; s3=x2+y2-75002; t,x,y=solve(s1,s2,s3,t,x,y) tv=vpa(t,8) xv=vpa(x,8) yv=vpa(y,8) 问题二： Matlab 程序： （1） I=imread(C:Us