2010-18年暨南大学数学分析考研真题.pdf

2010 年招收年招收年招收年招收攻读硕士学位攻读硕士学位攻读硕士学位攻读硕士学位研究生研究生研究生研究生入学考试试题入学考试试题入学考试试题入学考试试题（副卷副卷副卷副卷） * 学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业 研究方向：各方向 考试科目名称：609数学分析 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1. 求极限 (每小题6分, 总共36分) (1) lim( ,0) nnn n aba b +； (2) 3 2 0 1 2sincos lim (1 cos )arctan x xx x xx + + ； (3) 2 lim x e xx xx x ee ee + + ； (4) 2 3 32 10 limln() y yy xexydx + + + ； (5) 22 1 lim n n i i ni = + ； (6) 设函数g在区间(,) +内具有二阶连续的导函数, 且(0)1,(0)0,gg= (0)1.g= 求 2 lim ( ()x x g x + . 2. 求导数与微分 (每小题7分, 总共14分) (1) 已知( )(1)(2)(100),f xxxx= 求(1)f； (2) 求由方程 2 (2 )0( ,0) yx xyx y=所确定的函数( )yy x=的微分. 3. 计算积分 (第1,2小题每小题7分, 第3,4小题每小题10分, 总共34分) (1) 2 2xx dx x + ； (2) 瑕积分 2 1 20 1 x dx x 是否收敛? 若收敛, 求其积分值； (3) 设( )wg u=为连续可微函数, 若曲线积分(2 ( )( ) x C y eg x dxg x dy+ 与路径 无关, 且(0)1g=, 求 (1,1) (0,0) (2 ( )( ). x y eg x dxg x dy+ 考试科目： 数学分析 共2 页， 第2 页 (4) 计算 22 (), S yzdydzxzydzdxxydxdy+ ? 其中S为曲面 22 4yxz=+上 0y的那部分取正侧. 4. 求幂级数 0 1 (2)! n n n x n = + + 的收敛域及和函数. (10分) 5. 讨论二元函数:f 2 22 22 22 ,0 ( , ) 0,0 x y xy xyf x y xy + += += 在(0,0)点的可微性. (9分) 6. 证明题 (第1-3小题每小题12分, 第4小题11分, 总共47分) (1) 证明不等式: 222 114 1(0). sin2 x xx + (2) 设函数f在闭区间 1,1上二次可导, 且( 1)0,(0)0,(1)1.fff= 证明: 存在( 1,1) 使得( )1.f= (3) 设函数f满足: ( ) i对 , ,( ) , ;xa bf xa b ( )ii在闭区间,ba上具有连 续的导函数; ()iii|( )| 1, , .fxxa b 令 11 ()(1,2,., , ). nn xf xnxa b + = 证明数列 n x收敛于, 其中满足( ).f= (4) 设函数( , )zf x y=在矩形闭域 , , a bc d上连续, ( )xt=为定义在 , 上其值含于 , a b内的可微函数. 令 ( ) ( , )( , )( , ) , , ). t a F t yf x y dxt yc d = 证明：F在 , , c d 上连续. 2011 年招收年招收攻读硕士学位攻读硕士学位研究生研究生入学考试试题入学考试试题（副（副卷）卷） * 学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业 研究方向：各方向 考试科目名称：709 数学分析 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1. 求极限 (每小题 8 分, 共 24 分) (1) 设数列 n a满足: ., 2 , 1, 1 1, 1 11 n a a aa n n n 证明 n a收敛, 并求 .lim n n a (2) 设., 2 , 1, ) 12() 1( 1 nnnn n x n n 求.lim n n x (3) 求. ) 1()cos1 (4 sin lim 32 22 0 xex xx x x 2. 设函数g在 0 x的某邻域内), 3 , 2(1nn阶光滑, ),()()( 0 xgxxxf n 求 ).( 0 )( xf n (8 分) 3. 设 1n n u是数项级数, 证明: (13 分) (1) 若, 0lim n n nu 则 1n n u发散; (2) 若 1n n u是收敛的正项级数, 且数列 n u单调, 则. 0lim n n nu 4. 证明方程0cos12 y xeyy在)0 , 0(的邻域内确定唯一的可导函数)(xyy , 并求)0(),0(yy 及. )( lim 0 x xy x (12 分) 5. 求幂级数 1 21 )!12( 12 ) 1( n nn x n n 的收敛范围及和函数. (10 分) 6. 将xxxxfarctan1ln)( 2 在0x处展开成幂级数, 并求数项级数 1 ) 12( ) 1( n n nn 的值. (10 分) 7. 计算积分 (每小题 10 分, 共 40 分) (1) 求 1) 1( 32/5 xx dx . (2) 判断广义积分dx xx x 123 2 1 2 的敛散性, 若收敛, 求其值. (3) 计算dy yx eyx dx yx yxx y l 22 2 22 22 4 4 4 cos 2 , 其中l为取逆时针方向的曲线: . 14 22 yx (4) 计算,)( 22 S xydxdyydzdxzxyzdydz 其中S为曲面 22 4zxy 上0y的那部分, 取正侧. 8. 证明: (共 21 分) (1) 若函数f在),( 0 x内可导, 且Axf x )(lim(A为常数), 则 . )( limA x xf x (11 分) (2) 若函数f在闭区间,ba上存在二阶导数, 且, 0)()(bfaf ),(0)(baxxf 则对. 0)(),(xfbax (10 分) 9. 设 ),0 , 0(),(, 0 )0 , 0(),(, | tan ),( 22 yx yx yx yx yxf 其中. 0, 问对哪些f,在)0 , 0(可微? (12 分) 考试科目： 数学分析 共 2 页， 第 2 页 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 * 学科、专业名称：基础数学、概率论与数理统计、计算数学、应用数学、运筹学与控制论等 研究方向： 考试科目名称：数学分析考试科目名称：数学分析(B) 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 本试卷满分为 150 分，考试时间为 3 小时。 一计算积分（每小题 8 分，共 24 分） 1求 dx x x x1 11 2 的值. 2 计算 333 222 1 () S Ix dydzy dzdxz dxdy xyz ， 其中S是 2222 xyza的 外侧. 3. 计算曲线积分 dzyxdyxzdxzyI L )()()( 222222 ， 其 中L是 球 面 三 角 形 0, 0, 0, 1 222 zyxzyx的边界线，从球的外侧看去，L的方向为逆 时针方向. 二求极限（每小题 8 分，共 16 分） 1求极限 2010 2 12011 lim()cossin 92 n n nn nn . 2. 求极限 2 )(lim 22 ),(),( x yx yx xy . 三求导数（共 26 分） 1试从 ydy dx 1 求出 3 3 2 2 , dy xd dy xd .（9 分） 2.设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数,求 dx dz . （9 分） 3. 设 2010 ( )(1) ( )f xxg x，其中( )g x在1x 连续，且(1)1g，求(1) f .（8 分） 考试科目：数学分析 共 2 页，第 1 页 四判断下列命题的真伪（正确的命题请简要证明，错误的命题请举出反例并作说 明） （每题 8 分，共 16 分） 1) .设函数项级数 n u在D上一致收敛于)(xS，函数)(xg在D上有界。则级数 在D上一致收敛于)()(xgxS. 2) .设函数f在 0 x点可导, 则f一定在 0 x的某邻域内可导. 五将)1ln()( 2 xxxf展开成x的幂级数. （8 分） 六证明题（共 60 分） 1.设)(, 0xfa 是定义在,aa上的连续偶函数，则 dxxfdx e xf aa a x 0 )( 1 )( . （15 分） 2. 1）试用“N”定义证明 1 lim n n a，其中 ., , 1 2 为奇数 为偶数， n n nn n n n an. 2）叙述lim n n aa 的“N”定义. （10 分） 3. 证明函数 0, 0 0, 1 sin)( ),( 22 22 22 22 yx yx yx yx yxf 在点)0 , 0(连续且偏导数存 在，但偏导数在)0 , 0(不连续，而f在原点)0 , 0(可微. （20 分） 4设)(xf在 1 , 0连续，在) 1 , 0(可导，且满足 dxxfxef x )(9) 1 ( 9 1 0 1 则至少存在一点) 1 , 0(，使)()1 ()( 1 ff （15 分） 考试科目：数学分析 共 2 页，第 2 页 2013 年招收年招收攻读硕士学位攻读硕士学位研究生研究生入学考试试题入学考试试题（副（副卷）卷） * 学科、专业名称：数学学科各专业 研究方向：各方向 考试科目名称：数学分析 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1. 计算题 (每小题 8 分, 共 80 分). (1) 2 1 ln 0 lim(sin ). x x x (2) 333 4 12 lim. n n n (3) 2 2 2 0 0 lim. x t x xt edt te dt (4) 3 22 ( , )(0,0) 11 sinsin lim. x y y xy xy (5) 2 2 ln(1) . x dx x (6) ln2 0 1 . x x e dx e (7) 设函数( , )zz x y是由方程组 22 , u vu v xeyezuv 所定义, 求dz及 x z. (8) 设球体 222 2xyzz上各点的密度与到坐标原点的距离成反比, 求这球体 的质量. (9) 求幂级数 1 1 ! n n n x n 的收敛范围及和函数. (10) 求(23 )(2 )() L zy dxxz dyxy dz , 其中L为2xyz与三个 坐标面的交线, 取逆时针方向为正向. 2. 讨论题 (共 16 分). (1) 讨论级数 1 ( 1) (0) nn n x x n 的敛散性. (7 分) (2) 设 22 22 22 , 0 ()( , ) 0, 0, p x xy xyf x y xy 其中0.p 讨论f在点(0,0)处的连续性. (9 分) 3. 证明题 (每小题 9 分, 共 54 分). (1) 证明无穷积分 ln(ln ) cos ln e x xdx x 条件收敛. (2) 证明含参量积分 2 2 0 x y x edy 在(,) 内不一致收敛. (3) 设函数f在闭区间 , a b上连续, 在开区间( , )a b内可导, 且 ( )( )0f af b. 证明存在( , )a b使得( )( )ff. (4) 设函数f在光滑曲线:( ),( ), , L xtyt t 上连续, 证明存在点 00 (,)xyL使得 00 ( , )(,) , L f x yf xys 其中s为L的弧长. (5) 证明(sin2 )(cos2 ) xx eyy dxeyx dy有原函数, 并求它的一个原函 数. (6) 设 2 2 1 ( )ln(1) (0,1). n f xnxx nn 证明f在0,1上连续, 且有连续 的导函数. 考试科目： 数学分析 共 2 页， 第 2 页 2014 年招收攻读年招收攻读硕硕士学位研究生入学考试试题士学位研究生入学考试试题（A 卷卷 ） * 学科、专业名称：统计学、数学学科各专业 研究方向：各方向 考试科目名称：数学分析 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1. 计算题 (前 5 小题每题 8 分, 后 4 小题每题 9 分, 共 76 分). (1) 2 0 1tan1 sin lim. sin x xx xx (2) 2 1 limsin. n n knk (3) 111 12 lim () xxx x m x aaa m (其中0,1,2,) i aim. (4) 1 3 0 2 2 . (1) dx xx (5) arctan(1).x dx (6) 0 ( 1) 2 n n n n . (7) 设f是定义在(0,)内的正值函数, 且有原函数F, 若满足 2( )( )(0)xF xf xx, 求( )F x. (8) 求 22 4 l xdyydx xy , 其中l是以点(1,0)为中心, (1)R R 为半径的圆周曲线, 取逆时针 方向为正向. (9) 计算 222 , S x dydzy dzdxz dxdy 其中S是锥面 222 xyz被平面0z 和zh 所截取的部分（0h ）, 方向取外侧. 2. 讨论题 (每小题 9 分, 共 27 分). (1) 讨论级数 1 ln(1) sin 1 n n n n 是条件收敛还是绝对收敛. 考试科目： 数学分析 共 2 页， 第 1 页 (2) 令 33 22 22 22 , 0 ( , ) 0, 0 xy xy xyf x y xy , 讨论f在点(0,0)的可微性. (3) 设 22 ( ), 1,2, 1 n x fxn n x 讨论函数列 n f在(,) 内是否一致收敛. 3. 证明题 (共 47 分). (1) 证明 sin lim0(0). n p nn x dxp x (9 分) (2) 证明 0 sin arctan x ax edxa x . (9 分) (3) 用定义证明极限 0 11 limcos x xx 不存在. (9 分) (4) 设f是(,) 内的可微函数, 且满足 1 ( )0, |( )| 2 f xfx. 任取 0 a, 令 1 (), 1,2, nn af an 证明 n a收敛. (10 分) (5) 设f在 1,1上二次可导, 证明: 若 ( 1)(0)0, (1)1, fff 则存在( 1,1) 使得( )1f. (10 分) 考试科目： 数学分析 共 2 页， 第 2 页 2015 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（B 卷卷） * 学科、专业名称：统计学、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与 控制论 研究方向：各方向 考试科目名称：709 数学分析 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 一、计算题（共 10 小题，每小题 8 分，共 80 分） (1) 求数列 4 cos 12 2 n n n an的上、下极限。 (2) xx x ln2 1 1 1 lim 2 1 (3) n n nnn n 3 cos 3 2 cos 3 cos 1 lim (4) 1 0 xx ee dx (5) x dx 4 cos (6) 将函数),( |)(xxxf展开成傅里叶级数， 并求级数 1 2 ) 12( 1 n n 的和。 (7) 确定幂级数 1 1 ) 1( n n n x 的收敛域，并求其和函数。 (8) 求函数xyyxyxf3),( 33 的极值点，并判断是极小值点还是极大值点。 (9) 求三重积分 V dxdydzyx)( 22 ，其中V由)(3 22 yxz和1 222 zyx所确 定。 (10) 计算曲线积分 L dzyxdyzxdxzy)3(2)2() 1()3(2)2(2) 1( 222222 ， 其中L为1zyx与三坐标面的交线，从上方看取逆时针方向。 考试科目：709 数学分析 共 2 页，第 1 页 二、讨论题（共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） (1) p为实常数，讨论函数 00 0sin )( 2 1 x xx xf x p (a) 当p取何值时在0x连续？ (b) 当p取何值时在0x可导？ (c) 当p取何值时导函数在0x连续？ (2) 讨论无穷积分 1 11dxxx 在取何值时收敛。 三、证明题（共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分） (1) 证明不等式 2 , 0, sin tan x x x x x (2) 设)(xf为),(上的连续函数，周期为 1（即xxfxf),() 1(） 。证明： (a) )(xf在),(上取得最大值与最小值。(b) 存在 0 x使得).()( 00 xfxf (3) 证明 )0(ln 0 ab a b dx x ee bxax 。 (4) 证明全微分dyxxyeedxyxxyee yxyx )22() 1() 12(有原函数， 并求 其原函数。 (5) 证明级数 1 sin n n n 发散。 (6) 用数列收敛的N定义证明：如果aan n lim，则a n aaa n n 21 lim。并举 反例说明逆命题不成立。 考试科目：709 数学分析 共 2 页，第 2 页 2016 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（A 卷）卷） * 学科、专业名称：统计学、数学学科各专业 研究方向：各方向 考试科目名称：数学分析 709 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1. 计算题 (小题每题 8 分, 共 64 分). (1) 2 11 lim(1) . n n nn (2) 3 0 (1 cos )sin lim. (arctan ) x xx x (3) 1 ln 1 lim( ,0); 1 a x b x x a b x (4) 222 12 lim (1 ( ) )(1 ( ) )(1 ( ) ). n n n nnn (5) 3 2 sin cos . 1 sin xx dx x (6) 32 22( , )(0,0) lim. 42 x y xxy xy (7) 求幂级数 1 1( 1)! n n n x n 的收敛域及和函数. (8) 计算, S xyzdxdy 其中S是上半球面 222 1,0xyzz与平面0z 所围空间区 域的表面, 取外侧. 2. 讨论题 (每小题 8 分, 共 16 分). (1) 设 11 3,3,1,2, nn xxxn 试讨论数列 n x的敛散性, 若收敛, 求其极 限. (2) 讨论反常积分 2 3 2 0 arctan (1) x dx x 的敛散性, 若收敛, 求其值. 3. 证明题 (共 70 分). (1) 用N定义证明lim0. 3n n n (8 分) (2) 按函数极限定义证明 2 2 3 lim. 4 x x x (8 分) (3) 设函数f在0,)上连续, 极限lim( ) x f x 存在. 证明f在0,)上一致连续. (10 分) (4) 证明下列不等式: 22 ln(1)(0). 22(1) xx xxxx x (10 分) (5) 设函数f和g在 , a b上二阶可导,( )( )( )( )0,f af bg ag b且当( , )xa b 时, ( )0g x. 证明: (I) 对( , ),( )0;xa bg x (II) 至少存在一点( , ),a b使得 ( )( ) . ( )( ) ff gg (12 分) (6) 设 22 3 1 1 ( )ln(1), n f xn x n 证明: (I) 此级数在0,1上一致收敛; (II)f在0,1上 连续, 且在0,1上有连续的导函数. (12 分) (7) 设函数, ,P Q R在 3内具有连续的偏导数, 且对于任意光滑曲面S 成立 0. S PdydzQdzdxRdxdy 证明: 在 3内 0. PQR xyz (10 分) 考试科目： 数学分析 共 2 页， 第 2 页 2018 年招收年招收攻读硕士学位攻读硕士学位研究生研究生入学考试试题入学考试试题（A 卷）卷） * 学科、专业名称：数学学科、基础数学专业、概率论与数理统计专业、应用数学专业 研究方向：各方向 考试科目名称：709 数学分析 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1. 计算题 (每小题 8 分, 共 24 分) (1) 求dxxx 2018 ) 1(.