2014B 创意折叠桌的设计.pdf

第卷 第期 年月 数学建模及其应用 檺檺檺檺檺檺 檺檺 檺檺檺檺檺檺 檺檺 殣 殣 殣 殣 竞赛论坛 创意折叠桌的设计 蔡志杰， （复旦大学 数学科学学院， 上海 ；上海市现代应用数学重点实验室， 上海 ） 摘 要： 对一类创意折叠桌建立数学模型， 给出生产这种折叠桌的可行条件。对于任意给定的折叠桌直径和高度， 确定最优设计参数。对于客户给出的折叠桌高度、 桌面边缘曲线和桌脚边缘曲线， 提供设计方案， 使折叠桌尽可能 满足给定的形状。最后对 年“ 高教社杯” 全国大学生数学建模竞赛题的论文予以评述。 关键词： 创意折叠桌；可行性条件；最优参数 中图分类号： 文献标志码： 文章编号： （ ） 收稿日期： 通讯作者： 蔡志杰， ： 问题的提出 图 创意折叠桌 某公司生产一种可折叠的桌子， 桌面呈圆形， 桌腿随铰链的活动可 以平摊成一张平板 （ 图和图） 。桌腿由若干根木条组成， 分成两组， 每组各用一根钢筋将木条连接， 钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧 的两根木条上， 并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度 （ 图） 。这种 折叠桌的外形由直纹曲面构成， 造型美观， 受到客户的喜爱和欢迎。 图 折叠桌平摊成平板 图 钢筋的端点固定在桌腿 最外侧的木条上 年“ 高教社杯” 全国大学生数学建模竞赛 题要求参赛队对这 类创意折叠桌进行分析， 给出最优设计参数， 并对客户任意给定的桌面 和桌脚边缘曲线， 给出设计方案， 使折叠桌尽可能满足给定的形状。这 个赛题由东华大学胡良剑教授提供。 本文给出这个问题的数学模型及相应的分析， 并对评阅中发现的问 题作出评述。 折叠桌的动态变化 设圆桌展平时， 平板长为 ， 宽为 ， 折叠后， 桌面的半径为， 桌面 下沿至地面的高度为。 设平板（ 或桌面）下沿所在平面为 平面。 根据对称性， 只需考虑区域。 以平板中心（ 或圆形桌 第卷第期数学建模及其应用 面的圆心） 为原点， 桌腿的方向为轴， 平板宽的方向为轴， 所考虑的区域为第一象限（ 图） ， 垂直 向上方向为轴正向， 建立直角坐标系 。 图 直角坐标系示意图 设有根木条， 从圆心处开始编号， 分别为， ， 木条宽为。 显然。 记第根木条固定 部分 （ 图中的深色部分） 的长度为 ， 活动部分 （ 图中的浅色部分） 的长度为。 在展平的情况下， 活 动部分的左上端 （ 即固定部分的右上端， 简称为左端点） 的坐标为（，） ， 整根木条的右上端（ 简称 为右端点） 的坐标为（，） ， 钢筋的坐标为（，） ， 则最外侧木条的左端点的坐标为（， ） 。 假设所有木条的左端点均落在以为圆心、 为半径的圆周上， 则 槡 槡， 从而 槡 槡 ， ， ， 烅 烄 烆 。 若最外侧木条绕向下旋转角， 则钢筋的坐标为（ （） ，（） ） ， 因 而第根木条的钢筋的坐标为（ （） ，（） ） （ 图） 。 第 根木条的旋转角度为 图 木条旋转变化图 （） （） （） 槡 。 从而其右端点的坐标为（ ，） ， 其中 （） （） （） （） 槡 ， （） （ ） （） （） 槡 烅 烄 烆 。 图和图显示了折叠桌的动态变化过程， 其中平板半长为 ， 半宽为 ， 折叠桌 高度为 ， 钢筋位置为 。 图 为折叠桌的三维动态变化图， 图为桌脚边缘线的三 维动态变化图 。 竞赛论坛创意折叠桌的设计 年月 图 折叠桌的三维动态变化图 图 桌脚边缘线的三维动态变化图 桌脚边缘线和桌腿曲面 为了讨论方便， 考虑理想情况， 假设有无数根木条， 不考虑木条的宽度及木板的厚度， 从而将问题转 化为连续的情形。 当圆桌展平时， 位于处的左端点（ ）的坐标为（） ，） ， 右端点（）的坐标为（，） ， 钢 筋（ ）的坐标为（， ） （ 图） ， 则 （） 槡 ， （ ） 而木条活动部分的长度为 第卷第期数学建模及其应用 （）（） 槡 。 （ ） 相应地， 最外侧木条， 左端点（） 的坐标为（，） ， 右端点（） 的坐标为（，） ， 钢筋（） 的 坐标为（ ，） 。 若最外侧木条绕（）向下旋转角， 则钢筋的坐标为（ ， ） ， 因而位于处的钢筋 （）的坐标为（ ， ） （ 图 ） 。 因此， 处的右端点（）的坐标为（） ，（） ） ， 其中 （）（）（） ） （） （ （） ） （ ）槡 （）（） ） （ （） ） （ ）槡 烅 烄 烆 ， （ ） （ ） 图 连续情形的直角坐标系示意图 图 连续情形的木条旋转变化图 对任意给定的旋转角度（ ） ， 木条的右端点构成曲线的参数方程为（ （） ，（） ） ， 参数 为（ ） 。 也可将其写成参数为的曲线方程（） ，（） ，（） ） （ ） ， 其中 （）（） 槡 （） 槡 （）（） 槡 烅 烄 烆 ， （ ） （ ） （ ） 这里 （ ） 对应于最外侧木条的右端点（）落地时的旋转角度。 当最外侧木条向下旋转角时， 对圆桌展平时活动木条上的任意一点（， ，） （）， ） ， 其坐标为 （，）（）（） ） （） （ （） ） （ ）槡 ， （，）（） ） （ （） ） （ ）槡 烅 烄 烆 。 对任意给定的旋转角度（ ） ， 活动木条所形成曲面的参数方程为（ （，） ，（，） ） ， 参 数为和（ ）， ） 。 将其改写成参数为和的曲面方程（，） ，（，） ，（，） ） （ ， ） ， 其中 （，）（） 槡 （，） 槡 （，）（） 槡 烅 烄 烆 ， 竞赛论坛创意折叠桌的设计 年月 记 （） 槡 熿 燀 燄 燅 ， （） 槡 熿 燀 燄 燅 ， 则曲面参数方程可写为 （，）（）（）（） ， 此为桌腿曲面的直纹面参数方程。 可行性条件 为研究折叠桌的设计参数， 首先要解决的问题是， 在给定平板及圆桌尺寸的情况下， 能否生产出相 应的折叠桌。 这个问题实际上是要给出能够造出折叠桌的可行性条件， 应考虑如下几个方面的问题： ）钢筋的位置， 即展平时钢筋的坐标 。 显然钢筋的坐标应满足。 但随着木条的旋转， 钢筋的位置会发生变化， 此时， 应保证钢筋不会超出木条的右端。 ）木条右端点的坐标 ， 将平板折叠成圆桌时， 最外侧木条落地， 即其右端点落在地面上， 此时， 应 保证其他木条的右端点都在地面上方， 而不能低于地面。 ）木条右端点的坐标，在木条的旋转过程中， 应保证前后两组桌腿不会发生碰撞。 钢筋的位置分析 由第节的讨论， 当最外侧木条向下旋转角时， 位于处的钢筋（ ）的坐标为（ ， ） ， 它离左端点（）的距离为 （ 图） （） （ （） ） （ ）槡 。 （ ） 显然， （）应满足（）（） ， 即 （ ） 槡 。 （ ） 木条右端点坐标的分析 当最外侧木条的右端点（） 落地时， 其他木条的右端点不能低于地面， 即当 时， 对任意给定 的（ ）应成立（）。 由式（） ， 有 （ （） ） （ （） ） （ ） 槡 。 （ ） 木条右端点坐标的分析 由对称性， 为保证前后两组桌腿不发生碰撞， 对任意给定的（ ） 及（ ） ， 应成立 （） 。 由式（ ） ， 有 （） （ ） （ ）槡 。（ ） 稳定性分析 以上是个几何约束条件， 它们保证了对应于给定几何尺寸， 相应的折叠桌是可以制造出来的。 而 为了使制造出来的折叠桌可以使用， 还需要分析折叠桌是否能保持稳定。 由物理知识可以知道， 如果物 体的重心位置不超出桌脚在地面上围成的区域， 那么该物体就不会翻倒。 由此得到， 折叠桌最外侧个 桌脚构成的正方形边长应不小于圆桌面的直径， 即 槡 ， 或 槡 。 （ ） 最优开槽长度 从实际加工来看， 开槽长度越短， 加工的工作量越小。 因而， 所谓最优开槽长度， 就是对任意给定的 桌面半径， 桌子高度和平板长度， 求最小开槽长度。 第卷第期数学建模及其应用 对任意给定的（ ）及旋转角度（ ） ， 开槽长度应为 （）（）（） ） ， 其中： （）由 式（）给出；（）由 式（）给出。 于是， 对任意给定的旋转角度， 总开槽长度为 （） 槡槡 槡（） 。 （ ） 显然， 式（ ）中的被积函数是旋转角度的递增函数， 因而， 旋转角度越大， 开槽长度越长， 最长开 槽长度在 时达到 。 此时， 总开槽长度为 槡槡 （ 槡 ）。 （ ） 这样， 求最优开槽长度的数学模型可以归结为：求（）满足式（ ） （ ） ， 使得式（ ）达到最小。 最优平板长度 在给定圆桌的半径和桌子高度的情况下， 展开后平板的宽度也是确定的， 因而平板长度 越短， 所用材料越省。 因此， 所谓最优平板长度， 就是对任意给定的桌面半径和桌子高度， 求最小平 板长度， 或最小平板半长， 满足式（ ） （ ） 。 图 桌腿的受力分析 受力分析 设木板的密度为 ， 钢筋的密度为。 首先考察桌腿的受力情况。 如图 所示， 位于（ ）处的活动木 条受到个力的作用：重力， 作用在活动木条的中心（ ） ， 方向垂直向 下；桌面对活动木条的拉力， 作用在活动木条与桌面的连接处（ ） ， 方 向平行于 平面；钢筋对活动木条的支撑力， 作用在钢筋与活动木条 的连接处（ ） ， 方向平行于 平面且垂直于活动木条。 由第节和第节的分析可得各点的坐标分别为 （） ，） ， （ ， ） ， （） ，（） ） ， 其中（ ）由式（）给出， 而 （）（） （ ） （） （ （） ） （ ）槡 ， （） （ ） （ （） ） （ ）槡 。 为书写方便， 本节中所有的均表示， 由式（）给出。 假设折叠桌为刚体， 刚体的平衡条件为力平 衡和力矩平衡。 记的分量为 ， 则由垂直条件， 其分量应为 （） ， 即 （） 。 而重力 （） ） 。 由活动木条的力平衡条件可得 （ （） ） （） ）。 再由活动木条的力矩平衡条件， 有 （） ） （ （） ） （ （） ） （ ） 竞赛论坛创意折叠桌的设计 年月 （ ） ） （ （） ） （ （） ） （ （） ） （ ） （） 。 （ ） 下面讨论桌面的受力情况。 如图 所示， 由对称性， 桌面受到种力的作用： 外侧桌腿对它的 支撑力 ， ， 作用点分别为（，） ，（，） ，（，） ，（，） ；侧面桌腿对它的拉力和， 作用 点分布在（ ）和（） （） ；以及重力 ， 作用在原点（，） 。 其中由 式（ ）给出， 而由对称性， 。 由桌面的力平衡条件可得 （）， 而由对称性， 桌面的力矩显然平衡。 最后分析桌腿构成的直纹面的受力情况。 桌腿曲面受到种力的作用 （ 如图 所示） ： 地面对外侧 桌脚的支撑力 ， 作用点分别为 （ ， ） 和 （ ， ） ；桌面对桌腿曲面的拉力， 作用点 分布在（ ） （） ；桌面对外侧桌腿的压力和， 分别作用在点和点；桌腿的重 力， 作用点分布在桌腿的中点（ ） ； 钢筋的重力， 作用在钢筋的中点（ ， ） 。 钢筋 的长度为， 因而 。 图 桌面的受力分析图 图 桌腿曲面的受力分析图 由桌腿曲面的力平衡条件， 有 （）， （） 。 再由力矩平衡条件， 得到 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （） 。 为使折叠桌稳固， 处的摩擦力应不大于最大静摩擦力 。 设桌脚与地面的静摩擦系数为 ， 则最大 静摩擦力为 ， 因而 ， 即 。 于是， 应取和， 使得 达到最小。 模型 为了增加客户 的乐趣， 根据客户任意设定的折叠桌高度、 桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘 线的大致形状， 要求给出一种设计方案， 使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。 第卷第期数学建模及其应用 设给定桌面边缘曲线：（ ） ，及桌脚边缘曲线：（） ，（） （ ） 。 为方便起见， 假设所给桌面边缘曲线和桌脚边缘曲线关于平面 及 均为对称， 因而仅考虑 ， ， ， 即假设 （） ， （ ） ， （ ） ， 此外， 还假设 （）（） ， （）（） （ ） 。 前一个假设保证最外侧桌腿向外倾斜， 否则折叠桌将不稳定；后一个假设保证最外侧桌腿落地时， 其他 桌腿不会低于地面。 对于固定的钢筋位置 （） ， 经过桌面边缘曲线的桌腿直纹曲面的参数方程可写为 ： （，）（）（） ） （） （ （） ） （ ）槡 ， （，）（） ） （ （） ） （ ）槡 烅 烄 烆 ， 其中： ； （） （） （） ，（） ； （） （ （）（） ） （）槡 ； 而 （）（） （ （） ） （ ）槡 保证钢筋不会超出桌脚； （） （）（ ） （ （） ） （ ）槡 （） ， （ ） ， （） 烅 烄 烆 ， （）（） （ ） （ （） ） （ ）槡 ， 分别保证（， ） ， （，）（） 。 如果桌脚边缘线恰好落在桌腿直纹曲面上， 那么该折叠桌就可以生产出来。但是一般地，不 一定落在上。 此时，上任意一点（ （） ，（） ） 在曲面对应直线（，） ，（，） ） 上投影点的 参数为 （）（） （ （）（） ） （ （） ） （ ） （ （） ） （ ）槡 。 投影点到直线（ （，） ，（，） ）的距离与钢筋的位置有关， 记为（，） 。 则当 （）（） （）时， （，） （ （） ）（） （）（） ） （ （） ） （ ）槡 ； 当（ ） （）时， （，） （ （） ） （） ）槡 ； 当（ ） （）时， （，） （ （）（ （） ） ） （）（ （） ） ）槡 。 这样， 桌脚边缘线与桌腿直纹曲面的总平方误差为 （） （ ，）。 因此， 模型可归结为：确定钢筋的位置， 使得总平方误差（ ）达到最小。 评阅中发现的问题 在评阅过程中也发现了一些问题， 值得注意。 竞赛论坛创意折叠桌的设计 年月 建立数学模型不仅仅是为了解决一个具体问题， 而是希望通过模型解决一类问题。 赛题的第个问 题是非常具体的， 给出了所有尺寸的具体数值。 绝大多数参赛队在解决这一问题时， 都将这些数值直接 写在模型中， 虽然也得到了正确的结果， 但如果换一组尺寸， 就无法使用了， 需要“ 修改” 这个模型 。 这一 “ 修改”既不必要， 又很难进行， 因为其中数值的具体含义其他人是不清楚的， 且很多数值是通过一系列 运算得到的， 其他人根本无从改起。 正确的方法是， 将所有尺寸都用变量表示， 建立一个具有普适性的数 学模型。 在具体计算时， 再将数值代入模型中。 这样， 换一组尺寸， 无需修改模型， 就可以直接进行计算。 在建立优化模型时， 大多数参赛队只考虑了目标函数， 而未考虑约束条件。 也就是只考虑了赛题中 提出的稳固性、 加工方便和材料最省， 而没有注意到赛题中未提及却很重要的几何可行性， 从而导致给 出的优化方案往往是不可行的。 在做受力分析时， 很多参赛队给出了一个约束条件 ，（ ） 其中： 为最外侧桌腿与垂直方向的夹角； 为静摩擦系数。 这一条件来源于斜面上的物体保持静止的条 件， 但用在这里是不对的 。 由第节的分析可知， 最外侧桌腿除了受到桌面对其的压力、 地面对其的支 撑力和摩擦力以外， 还受到重力及钢筋对其的支撑力。 根据力平