2015年全国数学建模竞赛B题国家一等奖论文.pdf

1 基于供求匹配率的出租车资源配置模型 摘 要 本文针对城市出租车资源配置问题，采用定性与定量相结合的研究方法，建 立衡量出租车供求匹配程度的指标， 分析打车软件各种补贴方案对所建指标的影 响，在充分考虑各方利益的前提下，得到打车软件的最优补贴方案，对城市出租 车行业资源优化配置、持续良性发展具有一定的参考意义。 为分析不同时空出租车资源的供求匹配程度，引入出租车资源供求匹配率这 一指标， 指标的定义为城市中实际运行的出租车辆数与居民出行需要的出租车辆 数之比， 反映城市中实际运行的出租车辆数与居民出行需要的出租车辆数之间的 差异。计算得出成都 2013 年出租车供求匹配率为 0.7766，表示供不应求。 居民出行需要的出租车辆数与居民人均日出行次数、城市总人口数量、居民 出行选择乘坐出租车的比例有关，也与每辆出租车日均载客次数、每单载客人数 和车辆满载率有关。 对于居民人均日出行次数， 利用十五个国内大中城市的数据， 将十二个城市经济指标聚类分析选出每类指标中典型的经济指标， 建立居民人均 日出行次数与这些典型经济指标间的多元线性回归方程， 而与居民出行需要的出 租车辆数相关的其他指标可查阅文献或年鉴获得。分析成都市每天 6:00-8:30， 11:00-12:30,13:30-14:30,17:00-18:30 四 个时 间段 得 供求 匹配 率 分别 为 0.4111，0.5678,0.6062,0.5631，结果显示供不应求。得到大连、北京、广州、 武汉、南京、成都、杭州、深圳八座城市的出租车资源供求匹配率分别为1.0936、 0.8827、0.9430、0.7040、0.7049、0.7666、0.6583、0.5252，表明只有大连的出租车资 源是供大于求，而其余七座城市为供小于求。 为了分析各公司的出租车补贴方案对缓解打车难是否有帮助，定性分析出租 车日均载客次数、 出租车满载率随打车软件对出租车司机每单补贴金额的变化趋 势，分别建立阻滞增长模型，进而分析打车软件对出租车司机每单补贴金额的变 化对所建指标的影响。得到的结论为：对于使用打车软件的乘客来说，出租车补 贴方案能够缓解打车难的问题；而对于不使用打车软件的乘客来说，出租车补贴 方案则不能缓解打车难的问题。 针对打车软件服务平台的最优补贴问题，综合考虑乘客、出租车司机和打车 软件公司三方的满意度，利用熵值法确定这三方各自满意度的权重，将三方满意 度加权之和作为综合满意度，进而以综合满意度为目标函数，以打车软件对出租 车司机每单补贴金额为控制变量， 以补贴金额设置的范围为约束条件建立优化模 型。遍历所有可能的方案得到最优补贴方案为对出租车司机每单补贴 9 元,综合 满意度为 0.5710。 关键词：聚类分析；回归分析；灰色预测；阻滞增长模型；熵值法；最优化 2 一、 问题重述 随着经济的发展，近年来，人们对出行的要求不断提高，城市出租车以其方 便、快捷、舒适和私密性的特点成为越来越多人的出行选择。但是，国内各大城 市交通问题日趋严重， “打车难”也是人们关注的一个社会热点问题。数据显示， 包括上海、杭州等众多大城市，出租车非高峰期的空驶率始终在 30%上下徘徊， 而高峰期却打不到车。 这与众多市民反映的打车难背后所隐藏的强烈需求看似形 成了一个矛盾。究其原因，最主要的莫过于司机与乘客需求信息不对称，缺乏及 时沟通交流的平台。 随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件 服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的 补贴方案，吸引了越来越多的司机和乘客使用打车软件。然而，打车软件同时也 导致出租车行业乱象丛生， 存在马路扬招成功率降低、 乘客怕司机接到大单拒载、 司机分心忙于抢单影响行车安全等问题。 请你们搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题： 问题一：试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。 问题二：分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？ 问题三：如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方 案，并论证其合理性。 二、 问题分析 “打车难”是人们关注的一个社会热点问题。但是，在北京也不是无论何时 何地都难打到车。打车难往往出现在特殊时间和地点：上班高峰的住宅区，下班 高峰的商务区，凌晨和深夜的郊区或偏僻地点，遇到雨雪天气 “互联网+”时代的出租车资源配置是一个十分复杂的社会问题。要想准确 得出合理的资源配置方案难以实现， 同时也难以准确收集大量出租车的各项数据 如出租车的每天跑单数，收费，拒载情况等，以及不同城市不同城区不同时间居 民的出行行为特征数据。 为了建立合理的指标，分析不同时空出租车资源的供求匹配程度，首先从城 市居民出行对出租车的需求量入手，分析与需求量有关的主要指标，如城市居民 出行量。为分析城市居民出行量与城市经济指标的相关性，先将这些指标进行聚 类分析，继而得出每类最具代表性的经济指标，再将最具代表性的经济指标与居 民出行总量进行回归分析，得到多元线性回归模型，从而预测居民的出行总量。 通过查阅文献可以确定居民出行选择出租车作为出行方式的比例从而， 计算得出 城市的出租车运输量的需求量。然后根据供需平衡法预测出城市出租车需求量。 将城市实际出租车数量与城市出租车需求数量作比， 得到衡量出租车资源的供求 匹配程度的指标即供求匹配率。对未来城市的出租需求量进行灰色关联预测，得 到未来城市的出租需求量，通过计算不同城市的出租车需求量，进行不同时空的 出租车资源供求匹配的分析。 对于各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助问题，由于难以 得到各公司不同时间的补贴方案对居民打车难度的实际影响效果数据， 我们从公 司对每单的补贴金额入手，分析每单补贴金额范围为 015 元，认为补贴金额再 高对公司利益有较大损失。司机的每日跑单数为平均每台出租车每天接单数，有 效载客率等效为里程利用率。以每单补贴金额为自变量，司机的每日跑单数和有 效载客率为因变量，建立阻滞增长模型，基于前面的供求匹配率关系式算出不同 每单补贴金额对应的供求匹配率这一指标。 3 为一个新的打车软件服务平台设计合理的补贴方案，我们基于已建立的模型 计算出租车单车日均载客次数、 有效载客率与打车软件平台对每单补贴金额的关 系式。综合考虑每单补贴金额对出租车司机、乘客、打车软件平台三方各自的满 意度，利用熵值法求出三方满意度的权重，继而将三方的标准化数据乘以权重得 出综合满意度，比较得出最优的补贴方案。 三、 模型假设 1假设城市中的黑车现象对居民出行没有造成影响； 2假设所研究的城市没有发生严重的自然灾害和社会动荡； 3假设所研究的城市政府对出租车行业的政策基本不变； 4假设司机和乘客都是为自身利益考虑，即经济人假设； 5假设参考文献中的数据来源可靠，真实可信。 四、 符号说明 符号含义，单位 P出租车供求匹配率 M市民出行需要的出租车辆数，辆 N城市实际运行的出租车辆数，辆 Y市民日均出行次数，次/日 W城市总人口数量，人 市民选择打车出行的比例 s出租车单车日均载客次数，次/车日 出租车单车日均每次载客人数，人/车次 出租车满载率 vi城市的第 i 个经济指标 RPearson 相关系数 w打车软件每单对司机的补贴钱数，元 x每辆出租车每天接单的数量，单 y出租车每天的满载率 五、 模型建立与求解 5.1 建模前的准备 由参考文献2可得到现有指标体系见表 1。 表 1衡量出租车供求的三大指标 指 标 里程利用率 意 义 指营业里程与行驶里程之比，一般以一辆车为单位，公式为： 里程利用率=营业里程（公里）/行驶里程（公里）100% 评 价 这一指标反映车辆载客效率， 如果比例高， 说明车辆行驶中载客比例高， 空驶比较低， 对与要车的乘客来说可供租用的车辆不多， 乘客等待时间增加， 说明供求关系比例紧张。如果比例低，则车辆空驶比例高，乘客租用比较方 便， 但经营者的经济效益下降。 国外一些城市把这一指标作为出租汽车发展 规划的主要数据。如日本的东京、横滨等城市，把出租汽车里程利用率控制 在 52%左右，以方便乘客租车，如果里程利用率高于 52%，则发展出租汽车， 使之降到 52%左右。 指车辆满载率 4 标 意 义 通过在客流集散较为集中的地点选取几个长期观测点，对单位时间通过 道路的载有乘客的出租汽车数量占总通过出租汽车数量的比，公式为： 车辆满载率=载客车数（辆）/总通过车辆（辆）100% 评 价 经验认为，车辆满载率应达 70%。在实际操作过程中，通过控制出租车 的满载率实现运力与运量的适当平衡。 在中心城市， 当出租车汽车载客率低 于 70%时，限制出租汽车运力增加；高于 70%,增加出租汽车运力，这样对于 提高服务质量，满足高峰时运力需求具有重要作用。 指 标 万人拥有量 意 义 是人均设备普指标，用来描述一定城市规模内车辆的占有量。公式为： 万人拥有量=车辆（辆）/人口规模（万人） 评 价 目前对城市出租车拥有量的控制标准中并没有上限规定，现行的城市 道路交通规划设计规范（GB50220-95） 仅给出了出租车拥有量的下限，即 大城市不少于每万人 20 辆，小城市不少于每千人 5 辆，中等城市可在其间 取值。 5.2 问题一：建立评价出租车资源供求匹配程度的指标 为评价出租车资源的“供求匹配”程度，引入出租车资源的供求匹配率这一 指标， 指标的定义为城市中实际运行的出租车辆数与市民出行需要的出租车辆数 之比，即 N P M (1) 其中，引入 P 表示出租车资源的供求匹配率，M 表示市民出行需要的出租车辆 数，N 表示城市中实际运行的出租车辆数。市民出行需要的出租车辆 M 的意义 是指这些出租车辆能够恰好满足市民打车出行的需求， 即城市出租车资源供求平 衡时的车辆数。 供求匹配率P反映了城市中实际运行的出租车辆数与市民出行需要的出租车 辆数之间的差异。供求匹配率 P1 为出租车资源供求平衡状态，供求匹配率 P 越接近 1，则说明城市出租车资源供求匹配程度越高，出租车数量配置越合理； 当供求匹配率 P 大于 1 时， 表明城市中现有的出租车数量超过市民出行需要的数 量，会增加出租车的空驶率，造成出租车司机的收益降低；当供求匹配率 P 小于 1 时，表明城市中现有的出租车数量少于市民出行需要的数量，需要增加出租车 的数量来缓解打车难的情况。 5.2.1 建立市民出行需要的出租车辆数M的预测模型 市民出行需要的出租车辆数 M 与市民人均日出行次数、 城市总人口数量、 市 民出行选择乘坐出租车的比例有关，也与每辆出租车日均载客次数、每单载客人 数和车辆满载率有关，具体关系式为： = 市民人均日出行次数 城市总人口 打车出行的比例 市民出行需要出租车辆数 日均每车载客次数 日均每车每次载客人数 车辆满载率 符号表达式为： Y W M s (2) 其中，M 表示市民出行需要的出租车辆数（辆） ，Y 表示市民人均日出行次数（单 5 位：次/人日） ，W 为城市总人口数量（人） ，表示市民选择打车出行的比例，s 表示出租车单车日均载客次数（单位：次/车日） ，表示出租车单车日均每次载 客人数（人/车次） ，为出租车满载率。 根据参考文献3，选取出租车单车日均载客次数 s=35（次/车日） ，出租车 单车日均每次载客人数=2.0（人/车次） ，出租车满载率=65%，居民选择打车出 行的比例为 6%。 接下来建立市民人均日出行次数与城市经济指标关联的量化模型 市民人均日出行次数是居民出行强度的最直接反映，其与城市人口总数量的 乘积即为市民的出行总量，而市民人均日出行次数与城市经济指标有着极大联 系。 通常情况下， 市民人均日出行次数的多少与出行目的、 城市布局、 交通设施、 城市环境质量等因素有关。对于某一城市来说，影响居民人均出行次数的因素又 间接地反映在该城市的相关经济指标上。因此，多种因素与市民人均日出行次数 的内在关联可以转化为多种经济指标与市民人均日出行次数的内在关联。 STEP1STEP1：各经济指标的聚类分析； STEP2STEP2：典型指标的选取； STEP3STEP3：回归模型的建立 STEP4STEP4：模型的检验。 聚类分析是根据事物本身的特性来定量研究分类问题的一种多元统计分析。 其基本思想是按照距离的远近将数据分为若干个类别， 以使类别内数据的 “差异” 尽可能小，类别间“差异”尽可能大。所用的变量可以被大致分成两类：对样本 个体进行聚类通常称为 Q 型聚类，对研究变量进行聚类称为 R 型聚类。 选用欧几里得距离（欧式距离）来度量指标之间接近的程度。欧式距离就是 空间中两点之间的直线距离，其中各特征参数是等权的，记 dij表示指标 vi和 vj 之间的距离，则有计算公式如下： 1 2 2 1 (2)(| ) p ijikjk k dvv ,1,2,i jp 聚类分析具体过程如下： （1） 首先将各聚类单位各自作为一类（这时有 p 类） ，按照所选取的距离计算 各数据点之间的距离，形成一个距离阵。 （2） 将距离最近的两个单位并为一个类别，形成 n-1 个类别，计算新产生的类 别与其他各类别之间的距离，形成新的距离阵。 （3） 按照和第二步相同的原则，再将距离最接近的两个类别合并，这时如果类 别个数仍然大于 1，则继续重复这一步骤，直到所有的数据都被合并为成 为一个类别为止。 STEP1STEP1：选取北京、上海、天津、广州、深圳、成都、南京、杭州、武汉、 长春、珠海、大连、福州、苏州、常州十五个大中城市为研究对象，分析各城市 人均日出行次数和十二个经济指标之间的关联。十五个大中城市 2001 年人均日 出行次数和各经济指标见表 2。 6 表 2大中城市居民人均出行次数和经济指标 城市居民人均 出行次数 /（次/人 天） 市区土地 面积 /(km2) 市区总人 口/(万人) 第三产业 值/亿元 人均 GDP/元 工业产品 销售收入 /（亿元） 社会消费 品零售总 额/（亿 元） 经济指标符号v1v2v3v4v5v6 苏州2.431650209.5669303842643.7391.54 南京2.442599371.9544.5205971672.5465.83 常州2.8628089.539.119704944.7222.61 上海1.9553001262.42509.83738272131861.3 北京2.641041676.81660.9253003006.91593.4 天津2.447417748856.6199862983.3832.7 杭州2.073068379.5613250741828.3458.82 福州2.721043153.843618034699.7386.28 广州1.8637195771452.6380002811.31248.28 深圳1.5939283.2879.6433442971.6609.26 珠海3.04163375.9148.648931634.2128.44 大连1.882415270.7550223481077.7534.2 长春2.543583298423.514274920.9358.3 武汉2.848494758.2667.917882980.4685.82 成都2.561418341.5682.214665726.4627.52 城市居民人均 出行次数 （次/人. 天） 房地产 开发资/ （亿元） 城乡居民 储蓄存款 /（亿元） 居民消费 价格总指 数/（%） 在岗+职 工平均工 资/元 市区居民 人均可支 配收入/ 元 农民纯收 入/元 经济指标符号v7v8v9v10v11v12 苏州2.4368.6936.999.51367010512.005790 南京2.44111.0716.199.9165758848.004311 常州2.8632.2412.7100.1131089406.004719 上海1.95630.73001.9100.02178112883.005850 北京2.64783.83536.3103.11915511578.005099 天津2.44161.31285.0101.2143088959.004825 杭州2.07140.9941.899.51831910896.004896 福州2.7289.5550.198.7127609053.004020 广州1.86387.02600.498.92277214694.006446 深圳1.59302.61373.497.82594123544.009869 珠海3.0434.1248.998.61704015870.004800 大连1.88115.5839.099.5134937418.003900 长春2.5448.5608.1102.3110906339.002875 武汉2.84115.3802.099.5113147305.003100 成都2.56170.8995.5100.8124938128.003111 注：数据来源：参考文献1。 以 12 个经济指标为聚类单位，指标与指标间的距离选用欧式距离，采用组 间平均联接法，进行聚类分析。利用 SPSS19.0 软件进行聚类分析，得到各经济 指标间的相关系数矩阵如表 3，聚类过程中的运算结果参数见表 4 所示，聚类分 析的谱系图如图 1。 7 表 3相关系数矩阵 R v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10v11v12 v11.00.711.281-.186.262.307.027.112.137-.173-.326-.281 v2.7111.00.830-.014.743.850.651.693.345.208-.144-.064 v3.281.8301.00.305.900.972.899.924.207.591.254.342 v4-.186-.014.3051.00.420.198.291.279-.537.766.861.734 v5.262.743.900.4201.00.815.729.753.062.624.356.502 v6.307.850.972.198.8151.00.935.959.329.519.164.247 v7.027.651.899.291.729.9351.00.973.343.625.329.370 v8.112.693.924.279.753.959.9731.00.346.611.281.365 v9.137.345.207-.537.062.329.343.3461.00-.332-.527-.469 v10-.173.208.591.766.624.519.625.611-.3321.00.866.864 v11-.326-.144.254.861.356.164.329.281-.527.8661.00.918 v12-.281-.064.342.734.502.247.370.365-.469.864.9181.00 表 4聚类分析参数 聚类表 阶 群集组合 系数 首次出现阶群集 下一阶 群集 1群集 2群集 1群集 2 136831.753004 279945.251003 3271490.730024 4232535.570315 5284117.334406 6257813.490507 71212482.022068 811216855.2237010 9101122008.9920010 1011049884.8798911 111495789.8111000 图 1聚类分析的谱系图 8 根据聚类分析的谱系图可以看出，这十二个经济指标可分为三大类：第一大 类包括人均 GDP（v4） ；第二大类包括在岗职工平均工资（v10）和市区居民人均可 支配收入（v11） ；第三大类包括市区面积（v1） 、市区总人口数（v2） 、第三产业值 （v3） 、 工业产品销售收入 （v5） 、 社会消费品零售总额 （v6） 、 房地产开发投资 （v7） 、 城乡居民储蓄存款（v8） 、居民消费价格总指数（v9） 、农民人均纯收入（v12） 。聚 类分析的结果见表 5 表 5聚类分析结果 指标代 码 指标代 码 v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10v11v12 分类类别333133333223 STEP2STEP2：将十二个指标进行聚类分析得到三类指标后，出来第一类指标外， 其他两类都包含多个指标，为了选取各类指标中的典型指标，分别计算类中每一 变量与其余变量的 Pearson 相关系数，继而求得类中每一变量与其余变量的 Pearson 相关系数的平方和的平均值，最后把该值最大的变量作为典型指标。 Pearson 相关系数的定义为 1 1cov( ,) ()() n ii i yxyx yyxxY X R nsss s （3） 相关系数 R 的数值范围是介于-1 与+1 之间: 如果|R|0，表明两个变量没有线性相关关系。 如果|R|1，则表示两个变量完全直线相关。线性相关的方向通过相关系数 的符号来表示， “+”号表示正相关， “-”表示负相关。 2 12 1 ij i m v v j v R R m 1,2,jmji（4） 式中， 2 i v R表示变量 i v与其余变量() j v ij的 Pearson 相关系数 R 的平方和的 平均值，m 为变量的个数。 将表 3 中的值代入公式(3)、 (4)， 计算得到第二类和第三类指标中的各变量的 2 i v R ，具体见表 6 所示。 表 6同一类中每一变量与其余变量的相关系数平方和的均值 指 标 第二类指标第三类指标 v10v11v1v2v3v5v6v7v8v9v12 2 i v R 0.4580.3760.1850.4150.5320.4670.5200.4930.5060.2210.376 从表 6 中可以看出，第二类指标中 v10对应的值最大，第三类指标 v3中对应 的值最大。所以，选择 v10、v3为典型数据。而第一类指标只有一个指标，故可 选取 v4、v10、 v3分别作为第一、二、三类指标的典型指标。 STEP3STEP3：根据聚类分析得到的典型变量，利用表 2 中的数据，建立 2001 年人 均日出行次数 Y 与第三产业值（v3） 、人均 GDP（v4） 、在岗+职工平均工资（v10） 的多元线性回归方程。 多元线性回归原理： 多元线性回归模型为 9 011iiiipi yyebb xbe （5） 每个因变量的实测值 i y 由两部分组成：估计值，用 i y表示，即给定各自变量 取值时因变量 y 的估计值，它代表的是能与自变量决定的部分；ei为残差，是因 变量实测值 i y 与估计值 i y之差，表示不由自变量决定的部分。 应用多个个回归模型对每一条记录求其因变量预测值与实测值之差的平方 和 2 )( ii yy ， 并将其累加， 那么每个回归模型都会得到一个累加值 2 )( ii yy， 而该数值的最小的那个回归模型就是需要的模型，这就是最小二乘法。 2 01 122 11 ()() nn iiiiippi ii Qyyybb xb xb x （6） 利用 SPSS19.0 软件计算得 5 3410 2 3.464( 2.2751.6509.169) 10 0.678 Yvvv R （7） R2=0.678 表明因变量 Y（人均出行次数）的 67.8%可由回归方程确定，回归 方程视为可用的。 STEP4STEP4：模型检验： 将表 2 中的第三产业值、人均 GDP、在岗+职工平均工资代入得到的多元线 性回归方程（7）中，得到人均日出行次数的模型模拟值，作出模型值与调查值 的折线图如图 2 所示。 图 2大中城市居民平均出行次数调查值与模型值比较 由图 2 可以看出所得到的 2001 年人均日出行次数的回归方程具有较好的回 归效果。由于市民每天出行次数的多少与出行目的、城市布局、生活方式、工作 方式、家庭经济状况、交通设施、通讯设施、城市环境质量等因素有关，随着社 会经济的迅猛发展，人民生活水平也日渐提高，私家车数量大幅增加，城市的交 通更加发达，人们之间的联系加强，越来越多的人选择逛街、旅游等休闲方式， 综合考虑社会经济的发展带来的影响， 修正 2001 年人均日出行次数的回归方程， 得到 2013 年人均日出行次数的回归方程： 5 3410 2.526( 5.4522.3954.616) 10Yvvv （8） 根据从参考文献5各城市 2013 年年鉴上收集到的数据 （见表 7） ， 利用 2013 年人均日出行次数的回归方程8，计算得到相应城市的人均日出行次数，结果 10 如表 7 所示。 表 7国内主要城市相关的经济指标 城市第三产业值（亿元）人均 GDP（元） 在岗+职工平 均工资（元） 主城区人口 （万人） 出 租 车 数 量（辆） 大连3281.201112685906136012929 北京14986.509321369521197266646 广州9964.3012010568594625.3320300 武汉4319.70890005374566015637 南京4356.5612503064811451.4910732 成都4574.237171547644533.9614898 杭州3661.989478146831455.4268923 深圳8198.10137477626261052.7611433 利用表 7 中的数据计算八座城市的出租车资源的供求匹配率，结果如表 8 所 示。 表 8国内主要城市出行相关信息 城市大连北京广州武汉南京成都杭州深圳 人均日出行次数2.412.682.272.642.292.762.221.68 打车出行比例， %6.2656.95.86.76.66.15.6 供求匹配率 P1.09360.88270.94300.70400.70490.76660.65830.5252 从表 8 可以看出，在所研究的八个国内主要城市中，只有大连这一座城市的 供求匹配率略大于 1，而其余主要城市的供求匹配率均小于，并且深圳和杭州 两地的供求匹配率与 1 相距最远。因此，城市出租车资源供求达到近似平衡的城 市为大连，而城市出租车资源供小于求的城市为北京、广州、武汉、南京、成都， 严重供小于求的城市为杭州和深圳。 5.2.2 不同时间的出租车资源的供求匹配 由参考文献4得到的在不同时刻蚌埠市居民出行的平均比例，将此比例作 为成都市居民不同时刻的出行比例（见表 9） ，计算得到各时段的出租车供求匹 配率，结果见表 9。 表 9成都市不同时刻出租车资源供求情况 时间段6:00-8:3011:00-12:3013:30-14:3017:00-18:30 出行比例%31.9715.4310.8415.56 单车载客次数6434 供求匹配率0.41110.56780.60620.5631 由表 9 可以看出，在上班早高峰、下班晚高峰和中午时段成都市出租车资源 的供求匹配率均小于 1，并且与 1 相距较远。所以这在四个时间段内，成都市出 租车资源都是严重供小于求。 5.2.3 利用灰色模型预测 2018 年成都市区人口数量和出租车需求量 利用灰色模型预测 2018 年成都市区人口数量和出租车需求量，接下来介绍 灰色预测方法原理。 1设已知参考数据列为 x （0）=（x（0） （1） ，x （0） （2） ，x （0） （n） ）,做 1 次累加 （AGO） ，生成数列 )() 1(),.,2() 1 (),1 ()(),.,2(),1 ( )0()1()0()1()1()1()1()1()1( nxnxxxxnxxxx 其中 (1)(0) 1 ( )( )(2,)1, k i xkxi kn 。求均值数列 11 ) 1(5 . 0)(5 . 0)( )1()1()1( kxkxkz 则z （1）=（z（1） （2） ，z （1） （3） ，z （1） （n） ） 。于是建立灰微分方程为 bkazkx)()( )1()0( 相应的白化微分方程为 btax dt dx )( )1( )1( 记 TT nxxxYba)(),.,3(),2(,),( )0()0()0( (1) (1) (1) 1(2) 1(3) 1( ) z z B zn 由最小二乘法，求得使 )()()( BYBYJ T 达到最小值的 YBBBba TTT1 )(),( 于是求解方程得 1-,1,2,) 1 () 1( )1()1( nk a b e a b xkx ak 2灰色预测的步骤 （1）数据的检验与处理 首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。 设参数据为 x （0）=（x（0） （1） ，x （0） （2） ，x （0） （n） ）,计算数列的级比 (0) (0) (1) ( ) ( ) xk k xk ,nk,2,3, 如果所有的级比(k)都落在可容覆盖 ),( 2 2 1 2 nn ee 内，则数列 x （0）可以作为模型 GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列 x （0）做必要的变换处理，使其 落入可容覆盖内。即取适当的常数 c ，作平移变换 nkckxky,1,2,)()( )0()0( , 则使数列 )(),.,2(),1 ( )0()0()0()0( nyyyy 的级比为 nkX ky ky k,2,3, )( ) 1( )( )0( )0( , （2）建立模型 按 1 节中的方法建立模型 GM(1,1)，则可以得到预测值 1-,1,2,) 1 () 1( )0( )1( nk a b e a b xkx ak ， 。 （3）建立模型预测值 残差检验：令残差为(k),计算 12 nk kx kxkx k,1,2, )( )()( )( )0( )0()0( ， 如果(k)0.2,则可认为达到一般要求；如果(k)0.1,则认为达到较高的要 求。 级比偏差值检验：首先由参考数据 x （0） （k-1） ，x （0） （k） ，计算出级比(k), 再用发展系数 a 求出相应的级比偏差 )() 5 . 01 5 . 01 (1)(k a a k 如果（k）0.2，则可认为达到一般要求；如果（k）0.1，则认为达到较高 的要求。 利用灰色预测模型和成都市 2002 年至 2013 年的人口数量，对成都市 2014 年至 2021 年的人口数量进行预测，结果见表 10 和表 11。 表 10成都市人口灰色预测 年份市区人口（万人）模型值残差相对误差级比误差 2002439.8439.800 2003451.2458.624-7.4240.01650.0042 2004464.54468.546-4.0060.00860.0077 2005482.07478.693.380.0070.0155 2006497.15489.048.110.01630.0094 2007502.71499.623.090.0061-0.0103 2008510.16510.44-0.280.0005-0.0067 2009520.86521.47-0.610.0012-0.0006 2010535.15532.762.390.00450.0056 2011544.78544.290.490.0009-0.0036 2012554.18556.07-1.890.0034-0.0043 2013564.94568.09-3.150.0056-0.0022 表 11成都市区人口预测 年份20142015201620172018201920202021 人口（万人）580.39592.94605.78618.88632.27645.95659.95674.2 预测 2018 年成都市区人口 632.27 万，选取人均日出行次数为 2.8 次，将以 上数据代入公式1， 得到在出租车供求平衡即供求匹配率 P1 的情况下， 成都 市 2018 年需要出租车 23345 辆。 5.3 问题二:分析各公司的出租车补贴方案的影响 由参考文献9得到各打车软件补贴政策，见表 12。 表 12打车软件补贴政策 时间时间事件事件 2014年1 月10日 嘀嘀打车软件在32个城市开通微信支付，使用微信支付，乘客车费立减10元、司 机立奖10元。 2014年1 月20日 “快的打车”和支付宝宣布，乘客车费返现10元，司机奖励10元。 2014年1 月21日 快的和支付宝再次提升力度，司机奖励增至15元。 13 2014年2 月10日 嘀嘀打车宣布对乘客补贴降至5元。 2014年2 月10日 快的打车表示奖励不变，乘客每单仍可得到10元奖励。 2014年2 月17日 嘀嘀打车宣布，乘客奖10元，每天3次；北京、上海、深圳、杭州的司机每单奖 10元，每天10单，其他城市的司机每天前5单每单奖5元，后5单每单奖10元。新 乘客首单立减15元，新司机首单立奖50元。 2014年2 月17日 支付宝和快的宣布，乘客每单立减11元。司机北京每天奖10单，高峰期每单奖11 元(每天5笔)，非高峰期每单奖5元(每天5笔)；上海、杭州、广州、深圳每天奖10 单。 2014年2 月18日 嘀嘀打车开启“游戏补贴”模式：使用嘀嘀打车并且微信支付每次能随机获得12 至20元不等的补贴，每天3次。 2014年2 月18日 快的打车表示每单最少给乘客减免13元，每天2次。 2014年3 月底 滴滴打车公布，自补贴开始，其用户数从2200万增至1亿，日均订单数从35万增 至521.83万，补贴达14亿元。虽然每单补贴已从最高峰时下降了三分之二，但每 个月依然砸得数亿元。快的打车覆盖的城市从40个快速扩展至近300个。 2014年5 月17日 滴滴打车和快的打车两款软件同时宣布取消乘客的打车补贴。但滴滴打车以两周 年庆为名，推出了打车红包分享活动：用户通过微信分享，可以抽取红包抵消部 分车费；几乎同时，快的打车也推出了积分抵车费活动。 两大打车软件的竞争并未停息，只是从“明补”过渡为“暗补”。 由于打车软件的补贴方案有三个直接作用，即 （1）提高了使用使用软件的人数(司机和乘客) （2）提高了司机接客的积极性 （3）最重要的是方便了司机与乘客间的信息互通，使需求信息更加对称。 但在用车高峰期，用车需求量很大，该软件的作用并不明显，软件主要作用 于非用车高峰。信息沟通后，出租车的几项指标：出租车空驶率(里程利用率)， 乘客等候时间，每台出租车平均每天接单数，等指标都将发生改变。平均每台出 租车每天接单数会增加，出租车有效行驶率会提升，乘客等待时间会减少 司机每天的接单数目是一个复杂的随机变量，大致服从一定的分布，每天每辆出 租车接的生意单数都在发生变化，为了研究简便，我们研究一段时间之中每台出 租车每天平均接的单数，这样更简便，同时更有意义。 由于滴滴出行、快的打车等公司的补贴方式主要是给每单给出租司机一定金 额的补贴，不失一般性，我们讨论每单补贴的金额数目 假设城市出租车司机中有 70%的比例都在使用打车软件，乘客出行的出租车 需求量在短时间内保持不变。 14 由参考文献9可知，当打车软件不提供补贴时，出租车司机较之前不使用 打车软件每天多接三四单， 每天多挣百八十块钱， 每月增加收入 1000 至 1500 元。 毕竟打车软件有效地改善了出租车司机和乘客之间的信息不对称。 司机在使用打 车软件的过程中，即使没有补贴，司机与乘客之间依然存在信息交流，司机在非 高峰期的时侯的接单数目会有所增长。当存在补贴的时候，司机的接客单数则在 补贴的作用下，平均每台出租车每天接单数会增加。根据司机的经济人假设，司 机考虑自身经济利益，每单补贴越多，乘客使用打车软件打车的次数也会越多， 司机的接客单数也会随之增加。 但是司机的接客单数不会随着补贴金额增加而无 限增加， 因为司机每天的工作量有一个极限， 查阅资料可得， 每台出租车每天(包 括夜晚)接单数目的最多为 55 单左右。定性分析可得，出租车的日均接单数是补 贴金额的增函数， 满足阻滞增长的规律， 因此建立司机接单数目的阻滞增长模型。 基于阻滞增长的出租车单车日均载客次数模型 0 ( )30 1 (1) m rw m x x w x e x 1,2,15w (9) 式中，w 表示每单对司机的补贴钱数（单位：元） ；30 的意义为不使用打车软件 时，每辆出租车每天平均的接单数； x0表示打车软件没有补贴时司机较之前不 使用打车软件单车每天多接的单数，取 x0=5（单） ；xm表示在打车软件有补贴时 一辆出租车较之前不使用打车软件单车每天多接单数的最大值，取 xm=10（单） ； x(w)表示当打车软件每单给司机补贴 w 元时， 每辆出租车每天接单的数量 （单位： 单） ；r 为模型参数，将 w=15，x(15)=45，x0=5，xm=10，代入模型可解得 r=0.196。 模型参数估计 同理，在打车软件有补贴的影响下，出租车载客率的变化规律与每辆出租车 每日接单数目的变化趋势有相似之处，同样也建立阻滞增长模型。 0 ( ) 1 (1) m Bw m y y w y e y 1,2,15w (10) 式中，w 表示每单对司机的补贴钱数（单位：元） ； y0表示打车软件没有补贴时， 出租车平均每天的满载率，取 y0=70%；ym表示在打车软件有补贴时，出租车每天 最大的满载率，取 ym=90%；y (w)表示当打车软件每单给司机补贴 w 元时，出租 车每天的满载率；B 为模型参数将 w=15，y (15)=90%，y0=70%，ym=90%，代入模 型可解得 B=0.181。 改变打车软件对出租车司机每单的补贴金额 w 的大小， 得到不同的每辆出租 车每天接单的数量 x(w)和出租车每天的满载率 y (w)，进而求得相应的成都市出 租车资源的供求匹配率和居民出行需要的出租车辆数。 表 13不同补贴金额对成都出租车供求匹配的影响 每单补贴（元）01234567 供求匹配率0.80780.83460.86030.88460.90740.92840.94740.9645 车辆需求量（辆）1844217851173181684116418160481572515446 每单补贴（元）89101112131415 供求匹配率0.97970.99311.00471.01481.02351.03091.03721.0426 车辆需求量（辆）1520715002148281468114556144511436314290 由表 13 可知，当打车软件对出租车司机的补贴小于 10 元时，出租车资源的 供求匹配率均小于 1，而当打车软件对出租车司机的补贴大于 10 元时，出租车 资源的供求匹配率均大于 1。由问题一的结论可知成都市的出租车资源本来就供 15 不应求，当对出租车司机每单补贴的金额增加时，出租车的满载率和每天接单的 数量也会随之增加，导致居民出行需要的出租车辆数减少，又由于成都市运行的 出租车的数量保持不变，所以，成都市出租车资源供求匹配率会逐渐增高，由供 不应求过渡到供大于求。 5.4 问题三:最优补贴方案设计 由于设计的补贴方案涉及三方的利益，分别是出租车乘客、出租车司机和补 贴的打车软件公司，为了设计合理的补贴方案，应该充分考虑这三方的利益，设 计使这三方都能接受的补贴方案，因此，建立综合满意度指标，进而以此指标为 目标函数，以打车软件对出租车司机每单补贴金额为控制变量，以补贴金额设置 的范围为约束条件建立优化模型。 在综合满意指标中，利用熵值法确定出租车乘客、出租车司机和打车软件平 台三方满意度的权重。 司机的满意度主要与每台出租车每天总营业额与补贴之和 有关，每天总的营业额越大司机满意度越高；乘客的满意度主要与出租车的供求 匹配率有关，供求匹配率越大，乘客越满意；软件公司的满意度主要与每天总的 补贴金额有关，补贴金额越小，打车软件公司越满意。因此，我们将出租车每天 总营业额与补贴之和，出租车的供求匹配率，每天总的补贴金额三项数据进行标 准化处理，结果作为满意度，0 表示最不满意，1 表示最满意，建立综合满意度 评价模型。 符号说明： D:综合满意度 Oj:第 j 方的满意度的权重值 Ej：第 j 方的满意度 D=O1*E1+O2*E2+O3*E3 j=1,2,3 分别表示出租车司机，乘客，打车软件平台。 i=1,2,3,.16 表示补贴金额为 0,1,2,，14,15 元 满意度 O1、O2、O3的确定： 采用熵值法确定各方满意度的系数，熵值法原理如下。 熵值法是一种客观赋权法,其根据各项指标观测值所提供的信息的大小来确 定指标权重。 设有 m 个待评方案，n 项评价指标，形成原始指标数据矩阵 ij m n Gg 对于某项指标 xj， 与指标值 xij的差距越大， 则该指标在综合评价中所起的作用越 大；如果某项指标的指标值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。 在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小， 熵也就越小；信息量越小，不确定性就越大，熵也越大.根据熵的特性，我们可 以通过计算熵值来判断一个方案的随机性及无序程度， 也可以用熵值来判断某个 指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大。因此， 可根据各项指标的变异程度，利用信息熵这个工具，计算出各个指标的权重，为 多指标综合评价提供依据。 （1） 数据矩阵 16 mnmm n n G ggg ggg ggg 21 22221 11211 其中 gij为第 i 个方案第 j 个指标的数值。 （2）数据的非负数化处理 由于熵值法计算采用的是各个方案某一指标占同一指标值总和的比值，因此 不存在量纲的影响，不需要进行标准化处理，若数据中有负数，就需要对数据进 行非负化处理。此外，为了避免求熵值时对数的无意义，需要进行数据平移。 对于越大越好的指标： minmax min g gg ggj ij 对于越小越好的指标： minmax max g gg gg j ij 为了方便起见，仍记非负化处理后的数据为 gij （3）计算第 j 项指标下第 i 个方案占该指标的比重 1 ,(1,2,3,) ij ijn ij i g pjm g