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2013 交大少年班数学考试题交大少年班数学考试题 一填空题（5 分9） 1. （函数-经济应用题） 一种产品以质量从小到大分为十个档次， 第一个档次每件产品的利 润为 8 元，平均销量为 60 件，每提高一个档次，利润增加 2 元，平均销量减少 3 件。 若要取得最大利润，则应选择哪一档次。 解析：解析：设选择第x档次，总利润为y，则有 (82 )(603 ) 6(4)(20) yxx xx 当420xx时，y有最大值，此时x=8，故选择第 8 档次 2. （函数-反比例函数）如图，在平面直角坐标系xoy上，有两个正方形，第一个正方形两 个顶点在坐标轴上，另两个顶点 12 PP、在函数 2 y x 上；第二个正方形一个顶点在 x 轴 上，另两个顶点 23 PP、在函数 2 y x 上，求 P3的坐标。 解析：解析：由于正方形中直角较多，出现了较多的弦图 则 12 (a,a b),P (a b,b)P 又 12 PP、在函数 2 y x 可解出1ab， 12 (1,2),P (2,1)P 设 3 P到x轴距离为y，由弦图 3 P到y轴距离为y+2 则(2)yy=2，而y0，则y3 1 故 3( 3 1, 3 1) P 3. （几何-三角形）如图，在ABC 中，AD、BE、CF 为垂线，AB=6，BC=5，EF=4，求BE 的 长。 解析：解析：易得AEFABC, 则 AEEF ABBC ，可得 4 64.8 5 AE 由勾股定理， 22 3.6BEABAE 4. （排列组合）把七个相同球放入三个相同空盒子里，每个盒子可以选择不放，求共有多 少种放法。 解析：解析：设放在三个盒子里的球数分别为 x、y、z，球无区别，盒子无区别，故可令 xyz， 依题意有7xyz，于是 3x7，x2，故 x 只有取 3、4、5、6、7 共五个值 x=3 时，y+z=4，则 y 只取 3、2，相应 z 取 1、2，故有 2 种放法； x=4 时，y+z=3，则 y 只取 3、2，相应 z 取 0、1，故有 2 种放法； x=5 时，y+z=2，则 y 只取 2、1，相应 z 取 1、0，故有 2 种放法； x=6 时，y+z=1，则 y 只取 1，相应 z 取 0，故有 1 种放法； x=7 时，y+z=0，则 y 只取 0，相应 z 取 0，故有 1 种放法 综上所求，故有 8 种不同放法 5. （几何-三角形）直角边为整数，且周长为面积的整数倍的直角三角形有多少种？ 解 析 ：解 析 ： 设 直 角 边 为, a b， 不 妨 设ab， 则 斜 边 为 22 ab， 则 由 题 有 22 1 2 ababkab 则 2222 (22)(2)abkabab 即 22222 4480k a bka bkabab 即 (ka 4)(kb 4)8 则 48 41 ka kb 或 44 42 ka kb 则 12 5 a b ， 8 6 a b ， 4 3 a b 综上所述共三种这样的直角三角形 6. （代数-代数式求值）已知：0abc ，0abc ，求： 222 abc bcacab 的值。 解析：解析：由所求 222333 abcabc bcacababc ，需要知道 333 abc与abc的关系， 而 333 3abcabc= 222 (a)(aab ac bc)bcbc =0 则 222333 abcabc bcacababc =3 7. (几何-正方形)如图， AED 为 Rt， 以 AD 为边长在三角形同侧作正方形 ABCD， AE=5， E 点距正方形中心3 2，求 ED。 解析：解析：由90AEDAOB,则, , ,A E O D四点共圆 由托勒密定理AD EOAEDOAO ED 可设DOAOa，则2ADa,5,3 2AEEO 代入得23 25aaa ED 则ED=11 8. （几何-三角形）如图，ABC 为等腰 Rt，角 A 为 90，E 为 AC 中点，EFBE，且 交 BC 与点 F。AB=2，求 SEFC。 解析解析: :过点F作FHAC,由90BEF， 则ABEHEF 又22ABAE,则2HEFH, 又45C,则CHFH 故31FHEC, 可得 1 3 FH 111 1 236 EFC S F H E C B A 9. （函数-二次函数）已知二次函数：y=x2+b，且与 x 轴的两个交点(可重合)与原点之间的 距离之和小于等于 1。求|bmax|+|bmin|的值。 解析：解析：由题 12 1xx，即 1 21,0 4 bb 可得 |bmax|+|bmin|= 1 4 二解答题。 1. （12 分） （代数-行程应用题）有四艘快艇 A、B、C、D，速度分别为 12341234 vvvv vvvv、 、 、（）现进行一场比赛，D 顺流而下，A、B、C 逆流而上，一小 时后，A、B、C 掉头追赶 D，水流速度为 v，问谁先追上 D？ 解析：解析： 设逆流而上的船速度为x，掉头时间为 1，则掉头时两船相距 44 1 (x v) 1xSvvv ，而其速度差为 4 xv 则追上时间 44 44 2 1 xvv T xvxv ,x越大，T 越小 则 A 先追上 D. 2.（15 分） （代数-分式恒等变形）已知，为正数，满足如下两个条件： 证明：以，为三边长可构成一个直角三角形 解析：解析：将两式相乘，得()()8 bcacababc abc bccaab ， 即 222222 ()()() 8 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 440 bcacababc bccaab ， 即 222222 ()()() 0 bcacababc bccaab ， 即 ()()()()()() 0 bca bcacab cababc abc bccaab ， 即 () ( )()()0 bca a bcab cabc abc abc ， 即 222 ()2 0 bca ababc abc ，即 22 () () 0 bca cab abc ，