1999年考研数学一真题.pdf

1999 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、填空题一、填空题 （1） 2 0 11 lim tan x xxx = . 【答】 1 3 【详解 1】 223 000 2 2 0 2 2 0 11tantan limlimlim tantan sec1 lim 3 tan lim 3 1 3 xxx x x xxxx xxxxxx x x x x = = = = 【详解 2】 223 000 2 0 0 11sincossincos limlimlim tansin coscossin lim 3 sin1 lim 33 xxx x x xxxxxx xxxxxx xxxx x x x = + = = （2）() 2 0 sin x d xtdt dx = . 【答】 2 sin x. 【详解】 ()() 0 2 2 0 2 0 2 sinsin sin sin x x x dd xtdtxtuu du dxdx d u du dx x = = = 故本题应填 2 sin x (3) 2 4 x yye=的通解为 . 考研数学助手 您考研的忠实伴侣 【答】 22 12 1 , 4 xx yC eCx e =+ 其中 12 ,C C为任意常数. 【详解】 特征方程为： 2 40,=解得 12 2,2= 故 40yy=的通解为 22 112 , xx yC eC e =+由于非齐次项为( ) 2x f xe=，2a =为特征方程 的单根，因此原方程的特解可设为 *2 , x yAxe=代入原方程可求得 1 4 A=， 故所求通解为 *222 112 1 4 xxx yyyC eC exe =+=+ 故本题应填 22 12 1 , 4 xx yC eCx e =+ （4）设n阶矩阵A的元素全为 1，则A的n个特征值是 . 【答】 1 ,0,0 n n ? ? ? ? 【详解】 因为 11111 11111 11111 111 00 00 n n EA n n = = ? ? ? ? ? ? ? ? 故矩阵A的n个特征值是n和 0（1n重） 因此本题应填 1 ,0,0 n n ? ? ? ?. （5）设两两相互独立的三事件,A B和C满足条件：( )( )( ) 1 , 2 ABCP AP BP C=时，必有行列式0AB= （C） ）当nm时，必有行列式0AB （D）当nm时，必有行列式0AB= 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为AB为m阶方阵，且 秩()( )( )()min,min,r ABr Ar Bm n 当mn时，由上式可知，(),r ABnm=过曲线( )yy x=上任意一点 (),P x y作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为 1, S区 间0,x上以( )yy x=为曲边的曲边梯形面积记为 2 S，并设 12 2SS恒为 1，求此曲线 ( )yy x=的方程. 【详解】 曲线( )yy x=上点(),P x y处的切线方程为 ( )( )() Yy xyxXx= 它与x轴的交点为 ,0 y x y 由于( )( ) 0,01,yxy=因此( )()0y xx 于是 2 1 1 . 22 yy Sy xx yy = 又 ( ) 2 0 x Sy t dt= 根据题设 12 21SS=，有 ( ) 2 0 1, 2 x y y t dt y = 并且 ( ) 01y=，两边对x求导并化简得 ( ) 2 yyy= 这是可降阶得二阶常微分方程，令 py=，则上述方程可化为 2 dp ypp dy =，分离变量得 dpdy py = 解得 1 pC y=，即 1 , dy C y dx = 从而有 12 x yC eC=+ 根据( )( ) 01,01,yy=可得 12 1,0,CC= 故所求曲线得方程为 . x ye= 六、六、试证：当0x 时，( )() 2 2 1 ln1 .xxx 【详解 1】 令( ) ()() 2 2 1 ln1 .f xxxx= 易知( )10f= 又 ( )( ) ( )( ) ( ) () 2 2 3 1 2 ln2,10 1 2ln1,120 21 fxxxxf x fxxf x x fx x =+= =+ += = 可见，当01x时，( )() 2 2 1 ln1 .xxx等价于当01x + 又因为( )10f=，可见有 当01x时，有 ()( )()() 2 22 11 ln10,xf xxxx= 即当 0x时，( )() 2 2 1 ln1 .xxx 七、七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m,抓斗 自重 400,N缆绳每米重 500N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3m/s,在提升过程中， 污泥以 20/N s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作 多少焦耳的功？（说明：111 ;, ,NmJ m N s J=分别表示米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的 高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【详解 1】 建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功 123 WWWW=+ 其中 1 W是克服抓斗自重所作的功； 2 W是克服缆绳重力作的功； 3 W为提出污泥所作的功.由题 意知 1 400 3012000.W = 将抓斗由x处提升到xdx+处，克服缆绳重力所作的功为 () 2 50 30,dWx dx= 从而 () 30 2 0 50 022500.Wx dx= 在时间间隔, t tdt+内提升污泥需作功为 () 3 3 200020.dWt dt= 将污泥从井底提升至井口共需时间 30 10 3 =，所以 () 10 3 0 3 20002057000.Wt dt= 因此，共需作功 ( )12000225005700091500WJ=+= 【详解 2】 作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W，当抓斗运动到x处时，作用 力( )f x包 括 抓 斗 的 自 重400,N缆 绳 的 重 力()()50 30xN， 污 泥 的 重 力 () 1 200020 3 xN，即 ( )() 20170 40050 3020003900, 33 f xxxx=+= 于是 ( ) 3030 2 00 17085 390039001170002450091500 33 | Wx dxxxJ = 八、八、 设S为椭球面 22 2 1 22 xy z+=的上半部分， 点(), ,P x y zS为S在点P处的切平面， (), ,x y z为点()0,0,0O到平面的距离，求 () . , , S z dS x y z 【详解】 令() 22 2 , ,1, 22 xy F x y zz=+设(), ,X Y Z为上任意一点，则的方程为 ()()() 0, xyz FXxFYyFZz+= 即 1 22 xXyY zZ+= 从而知 () 1 22 2 2 222 , , 44 AxByCzxy x y zz ABC + =+ + 这里 , 22 xy ABCz= 由曲面方程知 22 1, 22 xy z =+ 于是 2222 , 2 12 1 2222 zxzy xy xyxy = + 因此 2 2 22 22 4 1 2 1 22 xyzz dSdd xy xy =+= + 故有 () ()() 22 2 22 222 00 , ,44 11 44 44 3 2 SS D zxy dSzz dS x y z xy ddrrdr =+ = = 九、九、设 4 0 tan, n n axdx = （1） 求() 2 1 1 nn n aa n + = + 的值； （2） 试证：对任意的常数0,级数 1 n n a n = 收敛 【详解】 （1）因为 ()() () 22 44 2 00 1 0 111 tan1tantansec 11 tan 1 nn nn n aaxx dxxxdx nnn xtt dt nn n + +=+= = + 又由部分和数列 () () 2 11 111 1, 11 nn nii ii Saa ii in + = =+= + 有 lim1, n n S = 因此 () 2 1 1 1. nn n aa n + = += （2）先估计 n a的值，因为 11 4 2 000 1 tantan, 11 n nn n t axdxxtdtt dt tn = 即 ()()0, T BxBA Bx 于是，0Bx .因此，0Bx =只有零解，故有 ( )r Bn= 充分性. 因 ( ) , T TTTT B ABB A BB AB=故 T B AB为实对称矩阵.若( )r Bn= 则线性方程组0Bx =只有零解，从而对任意的实n维列向量0x ，有0Bx .又A为正定 矩阵，所以对于0Bx 有()()0, T BxBA Bx 于是当0x ，有()()()0 T TT xB AB xBxA Bx=，故 T B AB为正定矩阵. 十二、十二、 设随机变量X与Y相互独立， 下表列出了二维随机变量(),X Y联合分布律及关于X和 关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处. 1 y 2 y 3 y ii P Xxp= 1 x 1 8 2 x 1 8 ij P Yyp= 1 6 1 【详解】 1 y 2 y 3 y ii P Xxp= 1 x 1 24 1 8 1 12 1 4 2 x 1 8 3 8 1 4 3 4 ij P Yyp= 1 6 1 2 1 3 1 十三、十三、设总体X的概率密度为 ( ) () 3 6 0 0, x xx f x = ， 其他 12 , n XXX?是取自总体X的简单随机样本. （1） 求的矩估计量 ； （2） 求 的方差 .D 【详解】 (1