2018年高考全国1卷理科数学(含答案).pdf

1 / 9 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标 号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1设 1i 2i 1i z ，则z A0 B 1 2 C1 D2 2已知集合 2 |20Ax xx，则A R A| 12xx B| 12xx C|1|2x xx x D |1|2x xx x 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村 的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4记 n S为等差数列 n a的前n项和若 324 3SSS， 1 2a ，则 3 a A12 B10 C10 D12 5设函数 32 1f xxaxax若 f x为奇函数，则曲线 yf x在点00，处的切线方程为 A2yx Byx C2yx Dyx 2 / 9 6在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B， 则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A2 17 B2 5 C3 D2 8设抛物线 2 4Cyx：的焦点为F，过点20 ，且斜率为 2 3 的直线与C交于M，N两点，则 FM FN A5 B6 C7 D8 9已知函数 0 ln0 x ex f x xx ， ， ， g xf xxa，若 g x存在 2 个零点，则a的取值范围是 A10 ， B0 ， C1， D1， 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半 圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边 AB，AC，ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为， 其余部分记为，在整个图形中随机取一点，此点取自，的 概率分别记为 1 p， 2 p， 3 p，则 A 12 pp B 13 pp C 23 pp D 123 ppp 11已知双曲线 2 2 1 3 x Cy：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交 点分别为M，N若OMN为直角三角形，则MN A 3 2 B3 C2 3 D4 12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面 积的最大值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 3 / 9 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若xy，满足约束条件 220 10 0 xy xy y ，则32zxy的最大值为_ 14记 n S为数列 n a的前n项和若21 nn Sa，则 6 S _ 15 从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有_ 种 （用数字填写答案） 16已知函数 2sinsin2f xxx，则 f x的最小值是_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 在平面四边形ABCD中，90ADC ，45A，2AB ，5BD （1）求cosADB； （2）若2 2DC ，求BC 18（12 分） 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的 中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置， 且PFBF （1）证明：平面PEF平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值 19（12 分） 设椭圆 2 2 1 2 x Cy：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为20， （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB 4 / 9 20（12 分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验 出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否 对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为01pp，且各件产品是否为不合格 品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 fp，求 fp的最大值点 0 p； （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 0 p作为p的值已 知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔 偿费用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21（12 分） 已知函数 1 lnf xxax x （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x存在两个极值点 1 x， 2 x，证明： 12 12 2 f xf x a xx （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为2yk x以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos30 （1）求 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与 2 C有且仅有三个公共点，求 1 C的方程 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知 11f xxax （1）当1a 时，求不等式 1f x 的解集； （2）若01x，时不等式 f xx成立，求a的取值范围 5 / 9 绝密绝密启用前启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1C 2B 3A 4B 5D 6A 7B 8D 9C 10A 11B 12A 二、填空题 136 1463 1516 16 3 3 2 三、解答题 17解： （1）在ABD中，由正弦定理得 sinsin BDAB AADB 由题设知， 52 sin45sinADB ，所以 2 sin 5 ADB 由题设知，90ADB，所以 223 cos1 255 ADB （2）由题设及（1）知， 2 cossin 5 BDCADB 在BCD中，由余弦定理得 222 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 2582 5 2 2 5 25 所以5BC 18解： （1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF 又BF 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD （2）作 PHEF，垂足为 H由（1）得，PH平面 ABFD 6 / 9 以 H 为坐标原点，HF的方向为 y 轴正方向，|BF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz 由（1）可得，DEPE又 DP=2，DE=1，所以 PE=3又 PF=1，EF=2，故 PEPF可得 33 , 22 PHEH 则 3333 (0,0,0), (0,0,),( 1,0),(1,), 2222 HPDDP 3 (0,0,) 2 HP 为平面 ABFD 的法向 量 设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则 3 3 4 sin| 4| |3 HP DP HPDP 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 3 4 19解： （1）由已知得(1,0)F，l 的方程为 x=1 由已知可得，点 A 的坐标为 2 (1,) 2 或 2 (1,) 2 所以 AM 的方程为 2 2 2 yx 或 2 2 2 yx （2）当 l 与 x 轴重合时，0OMAOMB 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为(1)(0)yk xk， 1221 ( ,), (,)AyxyxB， 则 12 2,2xx，直线 MA，MB 的斜率之和为 2 12 1 22 MAMB xx yy kk 由 1122 ,ykkxykxk得 1212 12 ( 23 ()4 2)(2) MAMB x xxxkk xx k kk 将(1)yk x代入 2 2 1 2 x y得 7 / 9 2222 (21)4220kxk xk 所以， 2 1 2 21 2 2 2 422 , 2121 xxx kk k x k 则 3 1 3 1 3 22 2 441284 23 ()40 21 kkkkk kkk k x xxx 从而0 MAMB kk，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以OMAOMB 综上，OMAOMB 20解： （1）20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2218 20 ( )C(1)f ppp因此 218217217 2020 ( )C 2 (1)18(1) 2C(1) (1 10 )fpppppppp 令( )0fp，得0.1p 当(0,0.1)p时，( )0fp；当(0.1,1)p时，( )0fp 所以( )f p的最大值点为 0 0.1p （2）由（1）知，0.1p （i）令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB， 20 225XY ，即4025XY 所以(4025 )4025490EXEYEY （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 由于400EX ，故应该对余下的产品作检验 21解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 2 22 11 ( )1 axax fx xxx （i）若2a ，则( )0fx，当且仅当2a ，1x 时( )0fx，所以( )f x在(0,)单调递 减 （ii）若2a ，令( )0fx得， 2 4 2 aa x 或 2 4 2 aa x 当 22 44 (0,)(,) 22 aaaa x 时，( )0fx； 8 / 9 当 22 44 (,) 22 aaaa x 时，( )0fx所以( )f x在 22 44 (0,),(,) 22 aaaa 单调递减，在 22 44 (,) 22 aaaa 单调递增 （2）由（1）知，( )f x存在两个极值点当且仅当2a 由于( )f x的两个极值点 12 ,x x满足 2 10xax ，所以 12 1x x ，不妨设 12 xx，则 2 1x 由 于 1212122 12121212 2 2 ( )()lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x ， 所以 12 12 ( )() 2 f xf x a xx 等价于 22 2 1 2ln0xx x 设函数 1 ( )2lng xxx x ， 由 （1） 知，( )g x在(0,)单调递减， 又(1)0g， 从而当(1,)x 时，( )0g x 所以 22 2 1 2ln0xx x ，即 12 12 ( )() 2 f xf x a xx 22解： （1）由cosx，siny得 2 C的直角坐标方程为 22 (1)4xy （2）由（1）知 2 C是圆心为( 1,0)A ，半径为2的圆 由题设知， 1 C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为 1 l，y轴左边的 射线为 2 l由于B在圆 2 C的外面，故 1 C与 2 C有且仅有三个公共点等价于 1 l与 2 C只有一个公共点且 2 l 与 2 C有两个公共点，或 2 l与 2 C只有一个公共点且 1 l与 2 C有两个公共点 当 1 l与 2 C只有一个公共点时，A到 1 l所在直线的距离为2，所以 2 |2| 2 1 k k ，故 4 3 k 或 0k 经检验，当0k 时， 1 l与 2 C没有公共点；当 4 3 k 时， 1 l与 2 C只有一个公共点， 2 l与 2 C有两 个公共点 9 / 9 当 2 l与 2 C只有一个公共点时，A到 2 l所在直线的距离为2， 所以 2 |2| 2 1 k k ， 故0k 或 4 3 k 经检验，当0