2018年陕西省数学竞赛试题及解答.pdf

2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第 1 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理） 2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第一试第一试 一、选择题（每小题 6 分，共 8 小题，共 48 分） 1.已知集合，则 (23) sin, 6 m Mx xmZ cos, 3 n Nx xnZ 的关系是,M N A. B. C. D. MNMNMNMN 解析：B.B. 对于集合，,周期为,列M (23) sinsin()cos() 6323 m xmm mZ6 表如下： m012345 x1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 对于集合,周期为,列表如下Ncos() 3 xn nZ6 n012345 x1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 所以.MN 2.已知,则的大小关系是 8 log 5a 4 log 3b 2 3 c , ,a b c A. B. C. D. abcbcabaccba 解析：C.C. , 8222 121 log 5log 5log 5log 25 366 a 4222 131 log 3log 3log 3log 27 266 b .因为, 222 2241 log 2log 2log 16 3366 c 272516 222 log 27log 25log 16 所以，.bac 3.已知数列满足,，若表示不超过的最大 n a 1 1a 1 1 nn ana nN xx 整数,则 122018 111 aaa A. B. C. D. 1232018 2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第 2 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理） 解析：A.A. ，.由,，, 1 1 nn ana 1 1 nn aan 1 1a 21 2aa 31 3aa , 1nn aan 采用累加法得，.于是， (1) 2 n n n a 1211 2() (1)1 n an nnn , 12 1111 2(1) 1 n n T aaan 2018 12 2(1)2 20192019 T 2018 12T . 2018 1T 4.已知四面体内接于球，且是球直径，若和都是边长为ABCDADABCBCD 的等边三角形，则四面体的体积为1ABCD A. B. C. D. 2 6 2 12 3 6 3 12 解析：B.B. 是球直径，,和都是边长为 的等边三AD 2 ABD 2 ACD ABCBCD1 角形，,球的半径，设球心为，则2AD 2 2 R O 平面,.AD BOC 1 4 BOC S 112 2 3412 ABCD V 5.若，且，则的值是0 2 x 44 sincos1 9413 xx tan x A. B. C. D. 1 2 2 3 1 3 2 解析：D.D. 因为，所以，.由柯西不等式得0 2 x sin0x cos0x tan0x ，即,又 22 2222222 sincos (32 )()() (sincos)1 32 xx xx 44 sincos1 9413 xx ，取等号的条件知：，. 44 sincos1 9413 xx 22 sincos 94 xx 3 tan 2 x 6.设，且，则的最小值为, x yR 44 log (2 )log (2 )1xyxyxy D A B C O 2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第 3 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理） A. B. C. D. 322 34 解析：A.A. 法一：,得,且, 44 log (2 )log (2 )1xyxy(2 )(2 )4xy xy20xy .即，且,，双曲线的右支.根据双曲线20xy 2 2 1 4 x y20xy20xy 的对称性及，不妨令，且,则,要使取的最小xy0y xybyxbxy 值，只需直线在轴上的截距最大，当且仅当直线与双曲线yxbyyxb 相切.,消去得关于的方程： 2 2 1 4 x y 2 2 1 4 yxb x y yx ,. 22 38(44)0xbxb0 3b 法二：也可用参数方程求解.只考虑第一象限部分. 由，令, 2 2 1 4 x y2secx ,则,tany(0,) 2 2sin 2sectan cos xyxy 2sin cos t 表示点动点（）与定点 2sinsin2 coscos0 t (cos ,sin )M(0,) 2 (0,2)N 的连线的斜率的相反数，当且仅当, 取得最小值为，即, 6 t3 4 3 x 时，取得最小值为. 1 3 y xy3 7.若既约分数（）化为小数是,则当最小时， p q , p qN 0.18qp A. B. C. D. 9752 解析：D.D. 由题意可得,即,取倒数，,的下0.180.19 p q 1819 100100 p q 100100 1918 pqpq x y o yxb M 2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第 4 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理） 界单调递增，当时，,，不存在满足条件 100 ( ) 19 f pp1p 100 5.26 19 100 5.56 18 的；当时，,，满足条件.因此，取q2p 100 210.52 19 100 211.11 18 11q q 得最小值为时，.112p 8.在边长为 的正方形中，是的中点，是边上的一点，且8ABCDMBCNAD ，若对于常数.在正方形的边上恰有个不同的点，使3DNNAmABCD6P ，则实数的取值范围PM PNm m A. B. ( 8,8)( 1,24) C. D. ( 1,8)(0,8) 解析：C.C. 建立如图所示的直角坐标系,是的中点,又是边上(0,0)AMBC(8,4)MNAD 的一点，且，,设，则,3DNNA(0,2)N( , )P x yPM (8,4)xy (,2)PNxy ，, 22 868PM PNxxyy 22 (4)(3)17xym 22 (4)(3)xy ,所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.因此，当圆17mP(4,3)17m 与正方形恰有个不同的点，,解得.64175m18m 二、填空题：（每题 分，共小题，共分）8432 9.设的内角的对边分别为，且，构成等差数ABC, ,A B C, ,a b cAC 2 , ,a b c 列，则 .cosB 解析：. 3 4 因为构成等差数列，所以,根据正弦定理可得，, ,a b c2bac2sin Bsin A , ,sinCAC 2 ()2 2 BACC 2sin(2 )sin() 22 CC sinC ,平方得2cos2cossinCCC 22 2(cossin)cossinCCCC 1 cossin 2 CC ,所以，. 3 sin2 4 C 3 coscos(2 )sin2 24 BCC 10.如图，已知抛物线的焦点为,准线为 ， 2 2(0)ypx pFl x y AB C D M N x y A B A F B o 2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第 5 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理） 过点的直线与抛物线交于两点，且.设点F,A B3ABp,A B 在 上的射影为，今向四边形内任投一点，则l,A BAA B B M 点落在内的概率 .MFA B 解析：. 1 3 根据抛物线的定义, , 11 () 22 AA B B SA AB BA BABA B 梯形 1 3 2 A Bp ,所求概率为：. 1 2 A B F SA Bp 1 1 2 1 3 3 2 A B F AA B B A Bp S S A Bp 梯形 11.已知函数，若存在，使得 1 ( )1f xx x 12 1 , ,4 4 n x xx 12 ()()f xf x ，则正整数的最大值是 . 1 ()() nn f xf x n 解析：.6n 函数在区间上的最大值为,最小值为 1 ( )1f xx x 1 ,4 4 11 ( )(4)15 44 ff ,要使正整数最大，需最大,且（）尽可能(1)3fn() n f x( ) i f x1,2,3,1in 的小，只要即可，,此时，. ()() 3 2 mn f xf x 11 15663 44 6n 12.设是正整数，当时，的小数部分的前两位数是 .n100n 2 31nn 解析：.49 取,，101n 2 1013 101 110505 10505102.493902 取,.102n 2 1023 102 110711 10711103.493961 第二试第二试 一、 （本小题满分分）20 已知函数,.( )2cos (cos3sin ) 1f xxxxxR （）求函数的单调递增区间；( )f x （）设点，,都在函数的图像上，且 111 ( ,)P x y 222 (,)P xy(,) nnn P xy( )yf x 满足，.求的值. 1 6 x 1 2 nn xx 122018 yyy 2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第 6 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理） 解析：( )2cos (cos3sin ) 1f xxxx 2 2cos12 3cossinxxx .2sin(2) 6 x （）令，得,函数的周期2 62 x 1 3 x 21 2326 xx ( )f x 为,所以，函数在每一个区间（）都是单调递T( )f x, 36 kk kZ 增的； （）由知，数列构成等差数列，首项，公差, 1 2 nn xx n x 1 6 x 2 d ,于是, 23 n xn 2 62 n xn ()2sin(2)2sin() 62 nnn yf xxn ,周期，,2cos()n 2T 1 2y 2 2y 1352017 2yyyy ,所以. 2462018 2yyyy 122018 0yyy 二、 （本小题满分分）20 如图，圆与轴相切于，与轴的正半轴相交于两点， （在的Cx(2,0)Ty,A BAB 上方） ，且.3AB （）求圆的方程；C （）设过点的直线 与椭圆相交于两点，求证：射线平Bl 22 1 84 xy ,P QAB 分.PAQ 解析： （）根据题意可设圆心的坐标为,（）C(2, )b0b 又，由垂径定理得，,3AB 222 3 2( ) 2 b 5 2 b 所求圆的方程为：.C 22 525 (2)() 24 xy （）由（）知圆的方程，令,得,C 22 525 (2)() 24 xy0x 1 1y 2 4y 所以，,且直线的斜率存在，设直线的方程为：.(0,4)A(0,1)BPQPQ1ykx 消去得：, 22 1 1 84 ykx xy y 22 (21)460kxkx 22 (4 )24(21)kk x y A B Q T P o 2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第 7 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理） 2 6424k 设,. 11 ( ,)P x y 22 (,)Q xy 12 2 4 21 k xx k 12 2 6 21 xx k . 1212 1212 4433 APAQ yykxkx kk xxxx 12 12 3()12 220 6 xxk kk x x 射线平分.ABPAQ 三、 （本小题满分分）20 如图，在锐角中，是的中点，圆过点且与直线相切于点，ABCMBCOABCC 直线与圆交于另一点，直线与圆交于另一点，证明：AMODBDOE EACBAC 证明：在中，是圆的切线，直线是圆的MACMCMDA 割线，由圆的切割线定理可得，, 2 MCMD MA 又为的中点，所以.DBCBMMC 2 BMMD MA 中，,所以，,BMABMDAMB BMDAMBABMBDM ,于是，.BDMADEACE ABMACE 在与中，,所以，.ABCACEACBAEC ABCACE EACBAC 四、 （本小题满分分）30 已知函数,.( ) ln x f x x ( )(1)g xk xkR （）证明：对任意，直线都不可能是的切线；kR( )yg x( )yf x （）若存在，使得，求的取值范围. 2 ,xe e 1 ( )( ) 2 f xg xk 解析：（）函数的定义域为：，.( )f x(0,1)(1,) 2 ln1 ( ) (ln ) x fx x 假设存在使得是在处的切 0 (0,1)(1,)x ( )(1)g xk x( ) ln x f x x 00 (,()xf x 线. 一方面，,切线方程为： 0 0 2 0 ln1 () (ln) x kfx x 00 0 2 00 ln1( ) (ln)ln xx yxx xx 0 2 0 ln1 (ln) x x x M A B E C D o 2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第 8 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理） ；另一方面，是在处的切 0 2 0 (ln) x x ( )(1)g xk xkxk( ) ln x f x x 00 (,()xf x 线. 对比系数，可得，. 0 2 0 ln1 (ln) x x 0 2 0 (ln) x x 00 ln1xx 设,在上恒成立，所以在单调( )ln1h xxx 1 ( )10h x x (0,)( )h x(0,) 递增，又,因此，方程只有一个实根,但(1)0h 00 ln1xx 0 1x 0 (0,1)x ，假设错误.(1,) 于是，对任意，直线都不可能是的切线.kR( )yg x( )yf x （），所以，. 1 ( )( ) 2 f xg x 1 (1) ln2 x k x x 2 ,xe e 2ln 2(1)ln xx k