2011年考研数学二真题及解析.pdf

NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ 2011 年全国硕士研究生入学考试数学二试题 2011 年全国硕士研究生入学考试数学二试题 （NBF 真题计划：公共课最准，专业课最全！ ）真题计划：公共课最准，专业课最全！ ） 一、选择题：一、选择题：1-8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 （1）已知当时，0x ( )3sinsin3f xxx= k 与cx是等价无穷小，则（ ） （A） 1,4kc= （B） 1,4kc= （C） 3,4kc= （D） 3,4kc= 【答】应选 C 【分析】 本题主要考查等价无穷小量的概念， 用洛必达法则或泰勒公式求极限的方法即可求 得。另外，用排除法也可求解，此题属于基本题。 【解法 1】根据题意及洛必达法则有 NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 () ()() ()() 3 0 1 0 2 0 3cos27cos3 012 1 3 0 3sinsin3 1lim 3cos3cos3 lim 3sin9sin3 lim 1 lim 24 lim 12 k k x k x k x xx xck kkx k xx xx cx xx ckx xx ck kx ck kk + = = + = = = 3,4c= 由此可得k，因此选 C. 【解法 2】根据泰勒公式有 此外，用排除法也可得到正确选项。 首先，因为3sin3sin3 ,xxx即3sin x与sin3x是等价无穷小量，所以3sinsin3xx是 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ ()x高阶的无穷小量，从而也是比0ccx比3高阶的无穷小量，故排除选项 A 与 B,其次， 当时，当0x + ( )0f x 0x( )0f x 的特解形式为（ ） （A） () xx a ee + （B） () xx ax ee + （C） () xx x aebe + （D） () 2xx xaebe + ( )( ),xg x均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足( )( )00,0fgf（ 5 ） 设 函 数0 ( )( ) 0 00fg= ， 且 ，则函数( ) ( )Zf x g y= ( )( ) 00, 00fg ( )( ) 00, 00fg NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ （6）设 444 000 lnsin,lncot,lncosIxdx Jxdx Kxdx = ，则I, ,J K的大小关系是（ ） （A） IJK ，则( )xf x dx + = . 22 2x（13）设平面区域由直线Dyx=，圆yy+=及轴所组成，则二重积分y D xyd= . NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ （14）二次型() 222 123123121 323 ,3222f x x xxxxx xx xx x=+，则f的正惯性指数 为 . 三、解答题：三、解答题：15-23 小题，共小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 分，请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分） 已知函数( ) () 2 0 ln 1 x tdt F x x + = ，设( )( ) 0 limlim0 x x F xF x + + =，试求的取值范围。 【解】因为 NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ ( ) () () () () 2 0 2 1 2 2 1 1 1 limlim 1 lim 2 1 lim 1 21 lim, 1 x a xx a x a x a x Intd F x x Inx ax x x a ax a ax + + + + + = + = + = = t 由题意( )lim0 x F x + =，得. 1a 又因为 ( ) () NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 () 2 0 00 2 1 0 2 1 0 3 0 1 limlim 1 lim lim 1 lim, x a xx a x a x a x Intdt F x x Inx ax x ax x a + + + + + = + = = = ( ) 0 lim0 x F x + =，得. 3a a ( 由题意 综上所述，13. （16） （本题满分 11 分） 3 3 11 33 11 33 xtt 设函数)yy x=由参数方程 ytt =+ + = + 确定，求( )yy x=的数值和曲线( )yy x=的 凹凸区间及拐点。 ( ) ( ) 【解】 () 222 3222 2 114 ,. 11 1 y tdytd ydtdtt dxx ttdxdttdx t = + + 令0 dy dx =，得.当时，1t = 1t = 51 ,; 33 xy= =当1t = 时，1,1xy= =. 令 2 2 0 d y dx =，得0t =，此时 11 , 33 xy=. 列表如下： NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ （17） （本题满分 9 分） 设函数( )(,)Zf xy yg x=，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数( )g x可导且在1x =处 取得极值，求( )1g=1 2 1 1 . x y Z x y = = （18） （本题满分 10 分） 设函数具有二阶导数，且曲线( )y x( ): l yy x=与直线yx=相切于原点，记为曲线l在 NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 ),点(x y外切线的倾角，若 ddy dxdx ( )y x的表达式。 =，求 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ （19） （本题满分 10 分） NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 证明：对任意的正整数，都有n 111 ln 1 1nnn + + 成立. 设() 11 1ln1,2, 2 n n n n = +=LLa，证明数列 n a收敛. NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ （20） （本题满分 11 分） 一容器的内侧是由图中曲线y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 22 1 2 2 xyy y += 与 22 1 1 2 xyy += 连接而成。 （）求容器的容积 （）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m， 重力加速度为，水的密度为） 2 /gm s 33 10/kg m NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ 【解法 1】 （I）由对称性，所求的容积为 11 22 22 1 11 9 222(1) 4 VVx dyy dy, = 即该溶器的溶积为 () 3 9 4 m . (II)因为当 1 1 2 y 时，功的微元 ()() 32 1012;dWgyy dy= 当 1 2 2 y时，功的微元 ()() 2 3 10112,dWgyy dy = 故所求的功为 ()() NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 ()() ()() 1 2 2 323 2 1 1 2 1 2 32323 2 1 1 2 3234234 3 101210112 102244 12 12141 10222 1 23434 1 2 27 10 8 Wgyy dygyy dy gyyy dyyyydy gyyyyyyy g =+ =+ =+ = 即所求的功为 3 27 10 ( ) 8 g J ()() 【解法 2】 （I）所求的容积为 1 2 22 2 1 12 1 2 33 2 12 12 9 ,2 1 334 1 2 VVVydyyydy yy yy =+=+ =+= 即该溶器的溶积为 () 3 9 4 m . （II）同解法 1. （21） （本题满分 11 分） 已知函数(),f x y具有二阶连续偏导数，且()()()1,0,10, D fyf xf x y dxdya= ， NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：100940168 (),01,01 ,Dx yxy= 其中 计算二重积分() ,. xy D Ixyfx y dxdy= （22） （本题满分 11 分） 设向量组，不能由向量组 线性表示. ()()() 123 1,0,1,0,1,1,1,3,5 TTT = T ()()() 123 1,1,1,1,2,3,3,4, TT a= （1）求的值； a （2）将 123 , 用 123 , 线性表示. NBF 辅导，真正为考研人着想的辅导！ （23） （本题满分 11 分） A的秩为 2，即( )2R A =，且. 1 11 1 0000 1 11 1 A = A为三阶实对称矩阵， A的特征值与特征向量 求（1） A （2）矩阵 NBF 考研辅导，全程包过，不过退款！ QQ 客服：10