2007年山东高考数学理科试题及答案详解.pdfVIP

2007 年山东高考数学理科年山东高考数学理科 第第卷（共卷（共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，选分在每小题给出的四个选项中，选 择一个符合题目要求的选项择一个符合题目要求的选项 （1）若cosisinz（i 为虚数单位） ，则使 2 1z 的值可能是（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 （2）已知集合11M ， 1 1 24 2 x Nxx Z，则MN （ ） A11 ， B 1 C 0 D10 ， （3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A B C D （4）设 1 113 2 a ， ，则使函数 a yx的定义域为R且为奇函数的所有a值为（ ） A1，3 B1，1 C1，3 D1，1，3 （5）函数sin 2cos 2 63 yxx 的最小正周期和最大值分别为（ ） A，1 B，2 C2，1 D2，2 （ 6 ） 给 出 下 列 三 个 等 式 ：()( )( )f xyf xf y，()( ) ( )f xyf x f y， ( )( ) () 1( ) ( ) f xf y f xy f x f y ，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A( )3xf x B( )sinf xx C 2 ( )logf xx D( )tanf xx （7）命题“对任意的xR， 32 10xx ”的否定是（ ） A不存在xR， 32 10xx 正方形 圆锥 三棱台 正四棱锥 B存在xR， 32 10xx C存在xR， 32 10xx D对任意的xR， 32 10xx （8） 某班 50 名学生在一次百米测试中， 成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大 于等于 13 秒且小于 14 秒； 第二组， 成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒；第六组， 成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒 右 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于 17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分 析出x和y分别为（ ） A0.9，35 B0.9，45 C0.1，35 D0.1，45 （9）下列各小题中，p是q的充要条件的是（ ） p：2m 或6m ；q： 2 3yxmxm有两个不同 的零点 () :1 ( ) fx p f x ；:( )q yf x是偶函数 :coscosp；:tantanq :p ABA；: UU qBA痧 A B C D （10）阅读右边的程序框图，若输入的n是 100，则输出的变量 S和T的值依次是（ ） A2500，2500 B2550，2550 C2500，2550 D2550，2500 （11）在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式 不成立的是（ ） A 2 ACAC AB B 2 BCBA BC C 2 ABAC CD D 2 2 () ()AC ABBA BC CD AB （12）位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向 为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 1 2 ，质点P移动五次后位于点(2 3)，的概 率是（ ） 0 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率/组距 0.36 0.34 0.18 0.06 0.04 0.02 开始 输入n 22x 1nn TTn 1nn 结束 输出ST， ssn 否 00ST， A 2 1 2 B 3 2 3 1 C 2 C 2 2 3 1 C 2 D 3 12 23 1 C C 2 第第卷（共卷（共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分答案须填在题中横线上分答案须填在题中横线上 （13）设O是坐标原点，F是抛物线 2 2(0)ypx p的焦点，A是抛物线上的一点，FA 与x轴正向的夹角为60，则OA 为 （14）设D是不等式组 210 23 04 1 xy xy x y ， ， ， 表示的平面区域，则D中的点()P xy，到直线 10xy距离的最大值是 （15）与直线20xy和曲线 22 1212540xyxy都相切的半径最小的圆的标 准方程是 （16）函数log (3)1 a yx(01)aa且，的图象恒过定点A，若点A在直线 10mxny 上，其中0mn ，则 12 mn 的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 12 分） 设数列 n a满足 21 123 333 3 n n n aaaa ，a * N （）求数列 n a的通项； （）设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n S （18） （本小题满分 12 分） 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程 2 0xbxc实根 的个数（重根按一个计） （）求方程 2 0xbxc有实根的概率； （）求的分布列和数学期望； （）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 2 0xbxc有实根的概率 （19） （本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，已知 1 22DCDDADAB，ADDC， ABDC （）设E是DC的中点，求证： 1 D E平面 11 ABD； （）求二面角 11 ABDC的余弦值 （20） （本小题满分 12 分） 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲 船位于 1 A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的 1 B处，此时两船相距20海里，当甲船 航行20分钟到达 2 A处时， 乙船航行到甲船的北偏西120方向的 2 B处， 此时两船相距10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？ （21） （本小题满分 12 分） 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3， 最小值为1 （）求椭圆C的标准方程； （）若直线: l ykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点） ，且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 （22） （本小题满分 14 分） 设函数 2 ( )ln(1)f xxbx，其中0b （）当 1 2 b 时，判断函数( )f x在定义域上的单调性； （）求函数( )f x的极值点； （）证明对任意的正整数n，不等式 23 111 ln1 nnn 都成立 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B E 北 1 B 2 B 1 A 2 A 120 105 乙 甲 理科数学参考答案理科数学参考答案 第第卷卷 一、选择题一、选择题 （1）D （2）B （3）D （4）A （5）A （6）B （7）C （8）A （9）D （10）D （11）C （12）B 第第卷卷 二、填空题二、填空题 （13） 21 2 p （14）4 2 （15） 22 (2)(2)2xy （16）8 三、解答题三、解答题 （17） （本小题满分 12 分） 解： （） 21 123 333 3 n n n aaaa ， 当2n时， 22 1231 1 333 3 n n n aaaa -得 1 1 3 3 n n a ， 1 3 n n a 在中，令1n ，得 1 1 3 a 1 3 n n a （） n n n b a ， 3n n bn 23 32 33 33n n Sn ， 2341 332 33 33n n Sn -得 123 23(3 333 ) nn n Sn 即 1 3(1 3 ) 23 1 3 n n n Sn ， 1 (21)33 44 n n n S （18） （本小题满分 12 分） 解： （）由题意知：设基本事件空间为，记“方程 2 0xbxc没有实根”为事件A， “方程 2 0xbxc有且仅有一个实根”为事件B， “方程 2 0xbxc有两个相异实 数”为事件C，则()126bc bc， ， ， 2 ()40126Abc bcbc， ， ， ， 2 ()40126Bbc bcbc， ， ， ， 2 ()40126Cbc bcbc， ， ， ， 所以是的基本事件总数为 36 个，A中的基本事件总数为 17 个，B中的基本事件总数为2 个，C中的基本事件总数为 17 个 又因为BC，是互斥事件， 故所求概率 21719 ( )( ) 363636 PP BB C （）由题意，的可能取值为012， ，则 17 0 36 P， 1 1 18 P， 17 2 36 P， 故的分布列为： 0 1 2 P 17 36 1 18 17 36 所以的数学期望 17117 0121 361836 E （） 记 “先后两次出现的点数有中 5” 为事件D， “方程 2 0xbxc有实数” 为事件E， 由上面分析得 11 ( ) 36 P D ， 7 () 36 P DE ， ()7 () ( )11 P DE P E D P D （19） （本小题满分 12 分） 解法一： （）连结BE，则四边形DABE为正方形， 1 A 1 D 1 C 1 B G 11 BEADAD，且 11 BEADAD， 四边形 11 AD EB为平行四边形 11 DEAB 又 1 D E 平面 1 ABD， 1 AB 平面 1 ABD， 1 D E平面 1 ABD （）以D为原点， 1 DADCDD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系，不妨设1DA，则(000)D ， ，(10 0)A ， ，(110)B ， ，(0 2 2)C ， ， 1(10 2) A ， ， 1 (10 2)DA ， ，(110)DB ， ， 设()xyz， ，n为平面 1 ABD的一个法向量 由 1 DA n，DB n， 得 20 0. xz xy ， 取1z ，则( 231) ， ，n 又 2 (0 23)DC ， ，(110)DB ， ， 设 111 ()xyz， ，m为平面 1 C BD的一个法向量， 由DC m，DB m， 得 11 11 220 0. yz xy ， 取 1 1z ，则(111)， ，m， 设m与n的夹角为a，二面角 11 ABDC为，显然为锐角， 33 cos 39 3 m n m n 3 cos 3 ， B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B E z y x F M 即所求二面角 11 ABDC的余弦为 3 3 解法二： （）以D为原点， 1 DADCDD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空 间直角坐标系， 设DAa，由题意知： (0 0 0)D ， ，( 0 0)A a， ，(0)B aa， ，(0 2 0)Ca， ， 1(0 2 2 ) Ca a， ， 1( 0 2 ) A aa， ， 1(0 0 2 ) Da， ， (00)Ea， ， 1 (02 )DEaa ， ， 1 ( 0 2 )DAaa ， ，(0)DBaa ， ， 又(02 )(0)( 0 2 )aaaaaa， ， ， ， 1 DEDBDA 1 DADB ，平面 1 ABD， 1 D E 平面 1 ABD， 1 D E平面 1 ABD （）取DB的中点F， 1 DC的中点M，连结 1 AF，FM， 由（）及题意得知： 0 2 2 a a F ，(0)Maa， ， 1 2 22 aa FAa ， 2 2 a a FMa ， 1 2(0)0 22 aa FA DBaaa ， ， (0)0 2 2 a a FMDBaaa ， ， 1 FADB，FMDB， 1 AFM为所求二面角的平面角 1 1 1 cos FA FM AFM FA FM B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B E x y z F M 2 222 2 3 26 22 aaa a aa aa ， 22 2 2 2 3 44 33 3 2 aa a a 所以二面角 11 ABDC的余弦值为 3 3 解法三： （）证明：如解法一图，连结 1 AD，AE， 设 11 ADADG，AEBDF，连结GF， 由题意知G是 1 AD的中点，又E是CD的中点， 四边形ABED是平行四边形，故F是AE的中点， 在 1 AED中， 1 GFDE， 又GF 平面 1 ABD， 1 D E 平面 1 ABD， 1 D E平面 1 ABD （）如图，在四边形ABCD中，设ADa， ABAD，ADDC，ABDC， ADAB 故2BDa，由（）得 222222 2BCBEECaaa，2DCa， 90DBC ，即BDBC 又 1 BDBB， BD平面 11 BCC B，又 1 BC 平面 11 BCC B， 1 BDBC， 取 1 DC的中点M，连结 1 AF，FM， B C D A 1 A 1 D 1 C 1 B E F M H 由题意知： 1 FMBC， FMBD 又 11 ADAB， 1 AFBD 1 AFM为二面角 11 ABDC的平面角 连结 1 AM，在 1 AFM中， 由题意知： 1 3 2 2 AFa， 22 11 116 222 FMBCBCCCa， 取 11 DC的中点H，连结 1 AH，HM， 在 1 RtAHM中， 1 2AHa，HMa， 1 3AMa 222 11 1 1 cos 2 AFFMAM AFM AF FM 222 93 3 22 36 2 22 aaa aa 3 3 二面角 11 ABDC的余弦值为 3 3 （20） （本小题满分 12 分） 解法一：如图，连结 11 AB，由已知 22 10 2A B ， 12 20 30 210 2 60 A A ， 1221 A AA B， 又 122 18012060AA B ， 122 A A B是等边三角形， 北 1 B 2 B 1 A 2 A 120 105 甲 乙 1212 10 2ABA A， 由已知， 11 20AB ， 112 1056045B AB ， 在 121 AB B中，由余弦定理， 222 1211121212 2cos45BBABABAB AB 22 2 20(10 2)2 20 10 2 2 200 12 10 2B B 因此，乙船的速度的大小为10 26030 2 20 （海里/小时） 答：乙船每小时航行30 2海里 解法二： 如图， 连结 21 A B， 由已知 12 20AB ， 12 20 30 210 2 60 A A ， 112 105B AA ， cos105cos(4560 ) cos45 cos60sin45 sin60 2(13) 4 ， sin105sin(4560 ) sin45 cos60cos45 sin60 2(13) 4 在 211 A AB中，由余弦定理， 222 2122121112 2cos105A BA BAAAB AA 22 2(13) (10 2)202 10 220 4 北 1 B 2 B 1 A 2 A 120 105 乙 甲 100(42 3) 11 10(13)AB 由正弦定理 11 121112 22 202(13)2 sinsin 4210(13) AB A A BB A A A B ， 121 45AA B ，即 121 604515B A B ， 2(13) cos15sin105 4 在 112 B AB中，由已知 12 10 2AB ，由余弦定理， 222 1211222122 2cos15BBABA BA B A B 222 2(13) 10 (13)(10 2)2 10(13) 10 2 4 200 12 10 2B B， 乙船的速度的大小为10 26030 2 20 海里/小时 答：乙船每小时航行30 2海里 （21） （本小题满分 12 分） 解： （）由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由已知得：3ac，1ac ， 2a ，1c ， 222 3bac 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy （）设 11 ()A xy， 22 ()B xy， 联立 22 1. 43 ykxm xy ， 得 222 (34)84(3)0kxmkxm， 222222 12 2 2 12 2 6416(34)(3)0340 8 34 4(3) . 34 m kkmkm mk xx k m x x k ，即，则 ， 又 22 22 12121212 2 3(4) ()()() 34 mk y ykxm kxmk x xmk xxm k ， 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2 0)D ， 1 ADBD kk ，即 12 12 1 22 yy xx ， 121 212 2()40y yx xxx， 222 222 3(4)4(3)16 40 343434 mkmmk kkk ， 22 91640mmkk 解得： 1 2mk ， 2 2 7 k m ，且均满足 22 340km， 当 1 2mk 时，l的方程为(2)yk x，直线过定点(2 0)，与已知矛盾； 当 2 2 7 k m 时，l的方程为 2 7 yk x ，直线过定点 2 0 7 ， 所以，直线l过定点，定点坐标为 2 0 7 ， （22） （本小题满分 14 分） 解： （）由题意知，( )f x的定义域为( 1) ， 3 22 ( )2 11 bxxb fxx xx 设 2 ( )22g xxxb，其图象的对称轴为 1 ( 1) 2 x ， max 11 ( ) 22 g xgb 当 1 2 b 时， max 1 ( )0 2 g xb ， 即 2 ( )230g xxxb在( 1) ，上恒成立， 当( 1)x ，时，( )0fx， 当 1 2 b 时，函数( )f x在定义域( 1) ，上单调递增 （）由（）得，当 1 2 b 时，函数( )f x无极值点 1 2 b 时， 3 1 2 2 ( )0 1 x fx x 有两个相