14年数学建模三等奖创意平板折叠桌.pdf

2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写） ： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2014 年 9 月 15日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 创意平板折叠桌 摘要 本文针对创意平板折叠桌的制作方法，以空间几何及优化理论的相关知识为基础，结合 Matlab 软件的绘图功能，解决了题目要求的三个问题。 对于问题 1，由于结构的对称性，选用 1/4 实物图作为研究对象。首先由钢筋在卡槽中 滑动的起始位置和终止位置决定开槽长度，起始位置由已知条件推出，随着木条的摆动，钢 筋与每根木条的交点到地面的距离都是相等的， 以此确定了钢筋滑动的终点位置， 这里相当 于用静态变量描述动态变量， 建立数学模型一，求出了每根木条的开槽长度： 20.093， 19.598， 18.768，17.593，16.059，14.144，11.813，9.001，5.532，0；对于桌脚边缘线，采用木条末 端在三维坐标系中所形成的曲线来描述，也就是木条末端对应的 x 轴，y 轴，z 轴的坐标， 该坐标由最外侧木条与地面的夹角以及钢筋位置等因素决定， 用它们之间的关系建立了模型 二，作出了桌脚边缘线；结合模型二，利用 Matlab 编程得到了实物的动态变化过程及三维 立体分布图。 对于问题 2，题中要求设计出的折叠桌稳固性好，加工方便以及用材最少，这是一个多 目标优化问题。 将前后两个条件放一起考虑， 也就是折叠桌展开后外侧木条所围成的图形构 成黄金梯形， 黄金梯形满足了折叠桌稳固性好的条件； 这时外侧木条与地面有个最大的角， 角越大外侧木条越短， 满足了用材最少的要求； 对于加工方便， 考虑开槽的长度越短越好。 从而， 根据各变量之间的几何约束关系建立满足产品要求的最优规划模型三。 通过在 Matlab 中输入用户要求即可方便公司在生产时求得最优设计参数。 如： 把桌高 70cm， 桌面直径 80cm 带入编程操作后可得出钢筋位置在最长桌腿 1/2 处，平板尺寸为：160.220cm80cm3cm， 开槽长度分别为：35.949，35.063，33.572，31.457，28.684，25.211，20.971，15.853，9.591， 0。 对于问题 3，通过更改前面所建立的模型中的设计参数来改变桌面的形状，在问题（2） 的基础上， 选用菱形作为桌面， 自选取平板尺寸为 168 cm 60 cm 3 cm， 每根木条宽 3 cm， 折叠后桌子的高度为 74cm。求得最优设计参数以及平板折叠桌动态变化过程三维模拟示意 图。 关键词关键词：三维坐标；几何约束；边缘线；最优设计；黄金梯形 - 1 - 一、问题重述 该公司生产的创意平板折叠桌，是由 Caroline Williamson 在 12 年 2 月 7 日 Home Furnishing Main 上展览的作品。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观，构造简单，简约而不 失时尚，美学、力学和数学的高程度的契合，让该桌不仅具有实用性、观赏性还有研究性。 在生产造型上，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，桌腿由若干根木条 组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两 根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度，带着这些已知条件，我们将会完成如下 问题： （1）. 给定长方形平板尺寸为 120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽 2.5 cm，连接桌腿木 条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。试建立模型描述 此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽 的长度等）和桌脚边缘线（图 4 中红色曲线）的数学描述。 （2）. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折 叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数， 例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定 最优设计加工参数。 （3）. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边 缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状， 给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优 设计加工参数， 使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。 你们团队的任务是帮助给 出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠 桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。 - 2 - 二、模型的假设 1. 忽略材料属性（密度、刚度、弹性模量等）对设计的影响 2. 忽略实际加工中的误差 3. 木条与圆桌面之间的交接处无间隙 4. 钢筋尺寸不计 5. 最外侧木条的开槽长度趋近于零 三、符号约定 1. 最外侧木条的长度 l 2. 从内向外，第根木条开槽的长度( n l n 10, 2 , 1K=n) 3. r圆的半径 4. 平板的宽 0 x 5. 最外侧木条与水平地面间的夹角 6. 桌面下底面中心与地面的高度 h 7. 钢筋安装点到最外侧桌腿末端的距离与最外侧桌腿长度之比 m 四、问题分析 4.1 问题（1）的分析 创意平板折叠桌所展现的模型是非常完美的对称图形，由结构的对称性，可选用 1/4 实 物图作为研究对象。首先，建立三维坐标系，将相关的点用三维坐标表示出来，由于木板尺 寸和木条宽度已知， 加上桌面是个圆， 可以求出每根木条的长度； 然后， 因为桌子高度已知， 最外侧木条与地面最大夹角即可求出， 对于问题中的卡槽长度的求解， 可以考虑为求钢筋在 卡槽中滑动的起始位置与终止位置之间的距离， 钢筋的起始位置题目已给出， 由于钢筋与每 根木条的交点到地面的距离都相等， 可以方便的求出钢筋滑动的终止位置， 这样每根木条的 开槽长度即可确定，建立模型一；最后，对于桌脚边缘线，因为木条末端的位置与钢筋的位 置和木条顶端的位置以及最外侧木条与地面夹角等因素有关， 所以可以利用已知条件得到木 条末端的三维坐标，建立模型二，从而在三维坐标系中描绘出桌脚边缘线的大致形状。 - 3 - 4.2 问题（2）的分析 问题要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的 折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参 数，即是在已知和后求其他参数变量。观察实物模型，折叠桌展开后外侧木条所围成 的是一个梯形，根据“黄金梯形”稳固原理，列出几何约束方程，求出最稳定 h 0 x 角。黄金梯 形得要求： 梯形对角线长度=下底长度 当确定角时，通过 l h =sin可以得出外侧木条长度 ，平板尺寸随之确定；由最稳定 的 l 角，再根据外侧木条开槽长度为 0，确定钢筋的位置，每根木条的开槽长度就能求出。 结合问题（1）的数学模型，在添加新变量和之后，建立数学模型三，完成编程后，可 以把顾客对桌高和桌面直径的要求数据输进编码中运行， 即可求出最优设计的相关参数。 关 于用材最少， 即在满足实物刚性和强度的程度下， 木板厚度越薄越好， 如果是在同等条件下， 不对折叠桌外形加以改变， 那么， 当折叠桌完全展开时， 最长木条与水平地面的夹角为 vm 时， 即可以求出最节省材料的最长木条长度和最短木条的最短开槽长度。 a) 问题（3）的分析 本问题要求根据客户任意设定的折叠桌高度、 桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大 致形状， 给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数， 使得生产的折叠桌 尽可能接近客户所期望的形状。 所以， 站在客户的角度， 设计自己所想要的创意平板折叠桌。 在问题（2）数学模型三的基础上不考虑桌面与木条的不等长截取的长度，构造菱形桌面。 运用数学几何约束条件，建立有关角和边的方程，建立数学模型四。运用 matlab 编程，求 出木条末端边缘线的三维变化曲线和此折叠桌的动态变化过程模拟三维图。 五、模型建立 5.1 问题（1）模型的建立 5.1.1 数据的预处理 问题一给定的长方形平板尺寸为 120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽 2.5 cm ，折叠 后桌子的高度为 53 cm，易知桌面下底面中心距地面的高度h=50cm，则： - 4 - l h =sin 得到折叠后最外侧木条与水平地面间的夹角 l h arcsin max =。 木条数可以确定为 50cm/2.5cm=20 根，其中中间的两根等长，也可以看作一根，即木条 数也可以为 19 根，最外侧的那根木条最长，通过相关计算得出其长度为 57.5cm， 图 1 图 2 5.1.2 建立模型 折叠桌以三维立体模型展示在我们的面前，为了方便理解与解决问题，首先建立以 桌面中心所对应的水平面为原点，过桌面圆心作Z轴，过折叠桌宽侧两最长腿连线的中点 作X轴，过折叠桌长侧两长腿连线的中点作Y轴，建立三维坐标系，如图 3 所示。 - 5 - 图 3 三维坐标系 由于桌面要求近似是个圆形，所以桌面菱角与桌面中心的距离是圆的半径，如下图 4 所示： 图 4 桌面俯视图 再由已知条件可以求出每个棱角到平面的距离为zy()2 2 5 . 21025nr。 对于开槽的长度，可由钢筋的起始和终止位置决定，钢筋的起始位置如下图 5 所示： 图 5 长方体木板俯视图 由图可以得出钢筋到木条和桌面连接的一端得距离为() 2 2 1025 2 vnrv l +。 然后将木条展开放好桌子，这时可以得到钢筋的终止位置，如下图 6 所示： - 6 - 图 6 桌子平视图 因为钢筋终止位置确定，这时每根木条开槽的长度可由图 6 求出，建立模型一： () ()10, 2 , 15 . 210255 . 2 2 5 . 2cos 2 5 . 21025sin 2 2 2 2 2 2 2 K= + + = nnr l l nr l hln 另外，根据实际情况，我们可以假设最外侧木条开槽长度趋近于零。 然后根据该关系式，用 Matlab 编写程序并运作后便可以得到每根木条的开槽长度（程序 编码见附录程序） 。 关于桌脚边缘线，由于钢筋和每根木条的交点相对于xy平面的距离是相等的，所以是 有办法确定每根木条末端坐标的，具体过程如下： 即将桌子摆放好，平视桌子的侧面，将所有点和线映射到平面上得到下面两种图： zx 图 7 桌子平视图 I 图 8 桌子平视图 II 根据图 7 中粗线所示的三角形和已知条件， 利用三角形相似定理， 易建立一个关于 x 的方程： 1、 X 轴坐标满足的方程： - 7 - () () () () 10, 2 , 1 5 . 2cos 2 5 . 21025sin 2 5 . 2cos 2 5 . 21025 5 . 210255 . 2 5 . 21025 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 K= + + = +l n l nr l l nr nr xnr n 2、Y 轴坐标的范围： Y 轴坐标是由木板的宽度和木条的宽度决定，即满足： nyn5 . 2=（） 10, 2 , 1K=n 3、 Z 轴坐标满足的方程： 与 X 轴坐标的确定类似，通过三角形相似定理，得到的方程如下： n z () () () = = + + = sin 91 5 . 2cos 2 5 . 21025sin 2 5 . 210255 . 2 2 sin 2 sin 10 2 2 2 2 2 2 lhz n l nr l nr ll l hzn 以上数学方程为约束条件通过编程（见程序二）即可求出每个木条末端的坐标。同时可以 画出题目附录中图 3 红色曲线所示的桌脚边缘线。另外，结合数学模型二，令()，0 i =， 通过编程绘制出桌脚边缘线所对应的的三维立体分布图，以作分析（编程见程序三） 。 5.2 问题（2）的模型建立 折叠桌完全展开后长侧桌面、两桌腿和水平地面构成一个完整的梯形，该梯形符合“黄 金梯形”定律：梯形对角线长度=下底长度。 图 9 黄金梯形 即可建立几何约束关系式： - 8 - cossin 2 sin cos2 2 h h v=+ 即可求出最长木条与地面的黄金夹角，构建稳固性较好的几何模型。 当确定角之后， 我们可以列出相关数学几何约束方程， 把该约束方程与上述方程连在一 起，共同构造数学模型： ()()() () ()()() () + += =+ + = =+ 1 coscos1sinsin 01 coscos1sinsin sin cossin 2 sin cos2 2 22 22 nvrvlml vlmlvnrlmlhl nvrvlml vlmlvnrlmlh l h h h v i 通过该模型， 我们可以在满足顾客对桌高和桌面直径数据的要求下， 同时给予人为干预 给出桌面厚度即可计算出钢筋位置和每根木条的开槽长度和平板尺寸。 此时所给的设计参数 即可以在同等条件下加工最方便（开槽长度短） ，用材最少。 5.3 问题（3）的模型建立 由问题（2）数学模型三建立的思想，在切割时令两根相邻木条之间相差的长度相等， 即此长度等于 v，那么可得到如下图所示的菱形桌面： - 9 - 图 10 菱形桌面 由上图和已知条件易求出每个棱角到根据之前的算法可以列出木条末端 坐标所满足的方程，如下所示： zy平面的距离，再 1、 X 轴坐标满足的方程： () () ()() ()()() () 22 vcoscosv1msin-sin vcoscosv1 v1v v1xnr + + = + lmlnrll lmlnr nrl n （ v x n 2 , 2 , 1 0 K=） 2、 Y 轴坐标的范围： nvy =（ n v x n, 2 , 1K= 2 0 ） 3、 Z 轴坐标满足的方程： () ()()() () 22 vmcoscosv1msinsin msinsin v1v h + = + llnrll ll nrl n （ z v x n 2 , 2 , 1 0 K=） 4、木条开槽长度： )()()()() ( ()v15 . 2m mcoscos1msinsin 22 + +=l nrll vllvnrlhln （ v x n 2 , 2 , 1 0 K=） 这样就可以根据我们所要求的的折叠桌高度、平板尺寸，进行编程，得出切实可行的最 优设计加工参数， 六、模型求解 6.1 问题（1）的求解 据数学模型一，对附录程序运行后，我们得出了每根桌腿的开槽长度，见表 1。 根 - 10 - 表 1 各木条卡槽长度表（单位：cm） 第根木条 近似值 n卡槽长度 1 20.09679 26519374420.093 2 19.59815491800535 19.598 3 18.76808759976125 18.768 4 17.59309885379225 17.593 5 16.05883756657287 16.059 6 14.14371773835314 14.144 7 11.81313517812546 11.813 8 9.00129065553850 9.001 9 5.53183451974652 5.532 10 0 0 分析：桌腿 10 就是最外侧最长的桌腿，因为钢筋固定在最长桌腿的中心，不会移动，开始 根据数学模型二，通过编程运行，我们得出了每根桌腿末端的三维坐标， X 轴 YZ 轴 假设它的开槽长度为 0。与模型运作结果相比较即可证明假设成立，该模型模拟效果较好。 表 2 各木条末端的三维坐标 轴 13.968651050 2.50000000 45.550745297 3078000000066692 13.93180197678178 5.00000000000000 45.24549998975112 13.90579073400168 7.50000000000000 44.71582970010245 13.94998809320133 10.00000000000000 43.92638916648649 14.16184613246997 12.50000000000000 42.81792672610820 14.69577182522533 15.00000000000000 41.29227349734233 15.79717450656752 17.50000000000000 39.17983469756057 17.87249544601112 20.00000000000000 36.15783125955284 21.70061220090130 22.50000000000000 31.47158047250600 30.89454172900137 25.00000000000000 0 同时可以画出桌脚边缘线三维曲线图 - 11 - 图 11 桌脚边缘线三维曲线图 对附录程序运作后， 我们得到此折叠桌实物图模型的动态变化过程， 即不同角下木条 位置变化的三维立体分布图。 折叠桌动态变化过程三维模拟图 a）0=时三维图 b）1 . 0=时三维图 - 12 - c）2 . 0=时三维图 d）3 . 0=时三维图 e）4 . 0=时三维图 f）5 . 0=时三维图 g）6 . 0=时三维图 h）7 . 0=时三维图 i）8 . 0=时三维图 j) l h arcsin= 时三维图 - 13 - 6.2 问题（2）的求解 我们以问题（2）中所给桌面高 70cm，桌面直径 80cm，桌面厚度为 3cm 为范例，给出 所求结果： Sin值：0.880 平板尺寸：160 .220cm 80 cm 3 cm 钢筋位置：最长桌腿 1/2 处，即 38.055cm 每根腿的开槽长度如表 3 表 3 问题 2 中桌腿的开槽长度 第根木条 n卡槽长度 近似值 1 35.94906707621041 35.949 2 35.06277536487481 35.063 3 33.57225221244526 33.572 4 31.45657067840000 31.457 5 28.68440832702715 28.684 6 25.21097488981877 25.211 7 20.97063592817677 20.971 8 15.85327188981334 15.853 9 9.59140716236500 9.591 10 0 0 即根据顾客对折叠桌桌高，桌面直径，桌面厚度等参数的要求，把参数值带入数学模型 3 中，通过编程运算即可获得最优设计参数。 6.3 问题（3）的求解 下面，给定长方形平板尺寸为 168 cm 60 cm 3 cm，每根木条宽 3 cm，折叠后桌子的 高度为 74cm， ，作为折叠桌的动态变化过程模拟三维图所需的设计参数。 经程序运算，可得钢筋位置在最长桌腿 0.455 处，v=3，桌腿 20 根。 表 4 问题 3 中桌腿的开槽长度 第n根木条 卡槽长度 n l近似值 1 28.69979657243205 28.700 2 24.49211643461262 24.492 3 20.50895056391645 20.509 4 16.77039377751825 16.770 5 13.29313324698496 13.293 - 14 - 6 10.08876000539085 10.089 7 7.16244544347224 7.162 8 4.51231024373763 4.512 9 2.12965663220848 2.130 10 0 0 表 5 木条末端三维坐标 第根木条nx y z 1 13.96863078051049 2.5 16.78390611249873 2 14.02130377393775 5 13.47108391553128 3 14.76115200101299 7.5 10.34455306463550 4 16.13606339681732 10 7.52189179185944 5 18.04807109985272 12.5 5.10334909405555 6 20.36474187031357 15 3.15562109160442 7 22.93832253134489 17.5 1.70300412991619 8 25.62652694212240 20 0.72851716239392 9 28.30876693703467 22.5 0.18332223165620 10 30.89454172900137 25 0 按照以上所求参数即可求得我组我设计的菱形桌面平板折叠桌。 以下是菱形桌面折叠桌动态变化过程三维模拟示意图： 菱形桌面折叠桌动态变化过程三维模拟示意图 a）0=时三维图 b）1 . 0=时三维图 - 15 - c）2 . 0=时三维图 d）3 . 0=时三维图 e）4 . 0=时三维图 f）5 . 0=时三维图 g）6 . 0=时三维图 h）7 . 0=时三维图 i）8 . 0=时三维图 j) l h arcsin= 时三维图 - 16 - 七、模型的评价 7.1 模型的优点 1. 数学模型建立在数学几何约束条件中，易于理解与编程； 2. 各个数学模型相互关联，方便在操作中调用或是对变量的修改，易于用于现实生产参考； 3. 模型完整地模拟出产品最优设计参数，对整体实物图的研究把握的很好，易于推广。 7.2 模型的缺点 模型的建立与求解结果，所用数据精确到小数点后三位，在实际生产中会带来不可避 免的人为因素误差. 参考文献 1万福永，数学实验，北京：科学出版社，2012. 2韩中庚，数学建模竞赛，北京：科学出版社，2013. 附录 问题（问题（1） 程序 1 %求槽的长度 clear clc l=57.5;%最长棍子长度 xi=solve(sin(x)=50/57.5);%最长棍子在桌子放好后与地平面形成的角度 r=sqrt(2.52+252);%桌面的半径 for n=1:10 li(n)=sqrt(50-l/2*sin(xi)2+(sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5)2)-(l/2*cos(xi)+2.5)2)-(l/2+2.5-sqrt(r2- (25-(10-n)*2.5)2);%四分之一的棍子的卡槽长度分布 end li=subs(li) 程序 2 %桌脚边缘线 clear clc l=57.5; %最长的棍子长度 - 17 - r=sqrt(2.52+252); %桌面的半径 xi=asin(50/l);%最长棍子在桌子放好后与地平面形成的角度 syms x for n=1:4 x=solve(sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5)2)-x)*(sqrt(l*sin(xi)-l/2*sin(xi)2+(sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5) 2)-(l*cos(xi)-l/2*cos(xi)+2.5)2)=(l+2.5-sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5)2)*(sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5) 2)-(l*cos(xi)-l/2*cos(xi)+2.5),x); x=subs(x); x1(n)=x; end for n=5:10 x=solve(x-sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5)2)*(sqrt(l*sin(xi)-l/2*sin(xi)2+(sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5) 2)-(l*cos(xi)-l/2*cos(xi)+2.5)2)=(l+2.5-sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5)2)*(l*cos(xi)-l/2*cos(xi)+2. 5-sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5)2),x); x=subs(x); x1(n)=x;%四分之一棍子末端在桌子放好后的 x 坐标 end for n=1:9 z(n)=50-(l*sin(xi)-l/2*sin(xi)*(l/2+2.5-sqrt(r2-(25-(10-n)*2.5)2)/(sqrt(l/2*sin(xi)2+(sqrt(r 2-(25-(10-n)*2.5)2)-(l/2*cos(xi)+2.5)2); end z3=50-l*sin(xi); z=z,z3; y1=(2.5:2.5:25); z1=rot90(z,2); z2=z; z=z1,z2; x2=rot90(x1,2); x=x2,x1; y=(-22.5:2.5:25); plot3(x,y,z,o) grid on 问题（问题（2） 程序 3 %选取合适的角度与稳定性和用料最少有关 clear clc v=4; x=solve(8=(268*(sin(xi)2-201)/sin(2*xi); x=subs(x); x 程序 4 - 18 - %选取合适的钢筋位置和各桌腿槽的长度 clear clc h=70-3; xi=1.07649997294858; l=h/sin(xi);%最长棍子长度 r=sqrt(42+402);%桌面的半径 v=4; n=10; m=solve(0=sqrt(h-l*m*sin(xi)2+(sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2)-(l*cos(xi)-l*m*cos(xi)+v)2)-(l* m+v-sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2),m);%四分之一的棍子的卡槽长度分布 m=subs(m) for n=1:10 li(n)=sqrt(h-l*m*sin(xi)2+(sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2)-(l*cos(xi)-l*m*cos(xi)+v)2)-(l*m+v-sq rt(r2-(40-(10-n)*v)2);%四分之一的棍子的卡槽长度分布 end li=subs(li) 程序 5 %符合三个条件的成品图 clear clc h=70-3; xi=1.07649997294858;%最大角度 m=0.5; l=h/sin(xi); %最长的棍子长度 xi=1.07649997294858;%可改变的角度 r=sqrt(42+402); %桌面的半径 v=4; syms x for n=1:4 x=solve(sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2)-x)*(sqrt(l*sin(xi)-l*m*sin(xi)2+(sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2) -(l*cos(xi)-l*m*cos(xi)+v)2)=(l+v-sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2)*(sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2)-(l*co s(xi)-l*m*cos(xi)+v),x); x=subs(x); x1(n)=x; end for n=5:10 x=solve(x-sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2)*(sqrt(l*sin(xi)-l*m*sin(xi)2+(sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2) -(l*cos(xi)-l*m*cos(xi)+v)2)=(l+v-sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2)*(l*cos(xi)-l*m*cos(xi)+v-sqrt(r 2-(40-(10-n)*v)2),x); x=subs(x); x1(n)=x;%四分之一棍子末端在桌子放好后的 x 坐标 end - 19 - for n=1:9 z(n)=h-(l*sin(xi)-l*m*sin(xi)*(l+v-sqrt(r2-(40-(10-n)*v)2)/(sqrt(l*sin(xi)-l*m*sin(xi)2+(s qrt(r2-(40-(10-n)*v)2)-(l*cos(xi)-l*m*cos(xi)+v)2); end z3=h-l*sin(xi); z=z,z3; y1=(v:v:40); z1=rot90(z,2); z2=z; z=z1,z2; z=z,z; x2=rot90(x1,2); x=x2,x1; x=x,-x; y=(-40+v:v:40); y=y,y; ax=4,17.8885,24.3311,28.8444,32.2490,34.8712,36.8782,38.3667,39.3954,40,40,39.3954,38.366 7,36.8782,34.8712,32.2490,28.8444,24.3311,17.8885,4,-4,-17.8885,-24.3311,-28.8444,-32.2490,- 34.8712,-36.8782,-38.3667,-39.3954,-40,-40,-39.3954,-38.3667,-36.8782,-34.8712,-32.2490,-28.8 444,-24.3311,-17.8885,-4; ay=-10*v,-9*v,-8*v,-7*v,-6*v,-5*v,-4*v,-3*v,-2*v,-v,v,2*v,3*v,4*v,5*v,6*v,7*v,8*v,9*v,10*v,-10 *v,-9*v,-8*v,-7*v,-6*v,-5*v,-4*v,-3*v,-2*v,-v,v,2*v,3*v,4*v,5*v,6*v,7*v,8*v,9*v,10*v; az=h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h; plot3(x,y,z,.) hold on plot3(ax,ay,az,.) for i=1:40 line(x(i),ax(i),y(i),ay(i),z(i),az(i) end grid on 问题（问题（3） 程序 6 %选取合适的角度与稳定性和用料最少有关 clear clc v=3; x=solve(6=(284*(sin(xi)2-213)/sin(2*xi); xi=subs(x); xi; 程序 7 %选取合适的钢筋位置和各桌腿槽的长度 clear - 20 - clc h=74-3; xi=1.06805444048726; l=h/sin(xi);%最长棍子长度 r=40;%桌面的半径 v=3; n=10; m=solve(0=sqrt(h-(l*sin(xi)-l*m*sin(xi)2+(r-(n-1)*v)-(l*cos(xi)-l*m