3第三讲热传导方程的解法(1).pdf

2.5 热传导问题的求解方法 2006- 9- 25高等传热学2 2.5.1 简单的热传导问题 = = = = = = = 2 2 0 0 00 0 0 , ( ) x xL tt axL x t t tf x 2006- 9- 25高等传热学3 2.5.3 分离变量法 从边界条件看，两侧边 界条件都是齐次的； 可以尝试能满足边界条 件的乘积形式的解 ( , )( ) ( ) ( ),( ) nnn nn t xXx XXL = =000 = = = = = = = 2 2 0 0 0 0 ( ) x xL tt a x t t tf x 2006- 9- 25高等传热学4 推导过程 如果采用式的特解形式，则原来的导热微分方 程就可以演化为 ( )( ) ( )( ) n nn X x Xxa x = 2 2 即 ( )( ) ( )( ) nn nn Xx aXxx = 2 2 11 2006- 9- 25高等传热学5 = 2 2 11( )( ) ( )( ) nn nn dd Xx adXxdx 令 展开可以分别得到 += += 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n d a d d Xx Xx dx 2006- 9- 25高等传热学6 前者的解为 =( )exp() n Aa 而后者的解可能有三种形式 =+ 12 12 12 0 0 0 ( )exp()exp() ( ) ( )cossin n n n XxBxBx XxB xB XxBxBx 2006- 9- 25高等传热学7 若属于第一种情况，则按照边界条件有 =+= =+ = 12 12 00 0 ( ) ( )exp()exp() n n XBB XLBLBL BB= 12 0 出现平凡解。 导致 第一种情况 2006- 9- 25高等传热学8 第二种情况 若属于第二种情况，则按照边界条件有 BB= 12 0 也会出现平凡解。 导致 = =+= 2 12 00 0 ( ) ( ) n n XB XLB LB 2006- 9- 25高等传热学9 第三种情况 若属于第三种情况，则按照边界条件有 就会出现非零解。 如果 = = 1 2 00( ) ( )sin n n XB XLBL nn n L = 2006- 9- 25高等传热学10 方程的非零解 = = = 2 2 2 2 0 ( )sin, ( , )exp()sin ( , )sinsin nnn nnn nnnn n XxBx L t xABax t xABxCx 2006- 9- 25高等传热学11 其中( , ) n tx 是对应初始条件为 ( )sin nnn f xCx= 的微分方程的特解。这一组可数个特解在 （0, L）区间内是正交的，即 = = 0 0 2 ( , ) ( , ) L mn mn txt xdx L mn 2006- 9- 25高等传热学12 由于( )( ) nn n f xC f x = = 1 即 = = 1 ( )sin nn n f xCx ( , )( , )( )( ) n nnn nn t xC t xf xC f x = = 11 必然有 即 = = 2 11 ( , )( , )exp()sin n nnnn nn t xC t xCax 2006- 9- 25高等传热学13 为了求出上式中各项的系数，利用 得到 和 n C = = 1 ( )sin nn n f xCx () = = 00 1 ( )sinsinsin LL mnnm n f xx dxCxx dx () = 0 2 ( )sin L nn Cf xx dx L 2006- 9- 25高等传热学14 得到的最终解为 得到 若 () = = 2 0 1 2 ( , )( )sinexp()sin L nnn n t xf xx dxax L = 1( )f x 则 () = 0 211() sin n L nn Cx dx Ln = = 2 1 11() ( , )exp()sin n nn n t xax n 2006- 9- 25高等传热学15 2.5. 热传导方程的线性特征 ( , )( )t xf x ( , )( ) ( , )( ) t xf x t xf x 11 22 如果有 且有 2006- 9- 25高等传热学16 ( , )( ) ( , )( , )( )( ) ( , )( , )( )( ) t xf x t xt xf xf x t xt xf xf x + + 11 1212 1212 则一定有 2006- 9- 25高等传热学17 ( ), ( ), ( ) n f xf xf x 12 L ( )( ) nn n f xC f x = = 1 ( , )( , )( )( ) n nnn nn t xC t xf xC f x = = 11 如果所有可能的初始条件构成一个线性空间 使得任意 如果这组基函数分别对应着导热微分方程 的特解，则必然有 成立 2006- 9- 25高等传热学18 如果能够找出初始条件函数空间中的一组 基函数 及其对应的导热微分方程的特解 ( ), ( ), ( ) n f xf xf x 12 L 就可以获得任意初始条件下导热微分方程 的特解。 L 12 ( , ), ( , ), ( , ) n t xt xtx ( , )( , )( )( ) n nnn nn t xC t xf xC f x = = 11 2006- 9- 25高等传热学19 至于，因为有 利用基函数的线性独立的特征，通过积分获得 n C ( )( , ) nn f xt x=0 因此有 ( )( , ) n n n f xC t x = = 1 0 = = 00 1 000( ) ( , )( , ) ( , ) LL mnmn n f x txdxCtxt xdx 2006- 9- 25高等传热学20 这样共有可数个关于的方程构成方程组， 因而可以获得封闭的解。 特别是如果在所关心的区间内，基函数是 正交的，即 n C ( , ) ( , ) L nm nm t xtxdx Nnm = = 2 0 0 00 = 2 0 1 0( ) ( , ) L nn Cf x t xdx N 则可以直接得到 2006- 9- 25高等传热学21 2.5. 热传导方程求解一般方法 初始条件函数空间的正交基 获得这些基所对应的方程的解 将这些解进行叠加 采用待定系数法获得加权系数 组合出最终的解 2006- 9- 25高等传热学22 2.5.5 常用术语 1. 齐次方程 2. 齐次边界条件 3. 特征值 4. 特征函数 5. 常见的特征值问题（Sturm- Liouville) ( ,) nn Xx += = 2 2 0 000 ( ) ( ) ( )( ) n n nn Xx Xx x XXL n 2006- 9- 25高等传热学23 2.5.6 非其次边界条件的处理 = = = = = 2 2 0 0 00 0 0 , , xxL tt axL x ttq xx t 2006- 9- 25高等传热学24 （1）首先齐次化处理 = = = 2 2 0 00 0 , , xxL PP axL x PPq xx 定义 ( , )( , )( , )t xP xQ x=+ 令 ( , )P x 满足下面的方程和边界条件 2006- 9- 25高等传热学25 此时满足( , )Q x = = = = = 2 2 0 0 00 00 000 , , ( , )( , )( , ) xxL QQ axL x QQ xx Qt xP xP x 如果能求出以上两个方程的解，则原问题的 解就可以得到了 。 2006- 9- 25高等传热学26 （2）辅助问题的求解 2 ( , )( )( )( ) 0,0( )0 ,( ) 2 P xAxBxC P xB x Pqq xLA xL =+ = = 2006- 9- 25高等传热学27 2 2 2 ( ) ( ) ( , ) 2 PP a x Cqa L qa CD L qqa P xxD LL = = =+ =+ 2006- 9- 25高等传热学28 （3）齐次问题的求解 = = = = = 2 2 0 2 0 00 00 2 , , xxL QQ axL x QQ xx q QxD L 2006- 9- 25高等传热学29 ( )( ) ( )( ) nn nn Xx aXxx = 2 2 11 令 展开可以分别得到 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n a Xx Xx x += += 2 2 0 0 2006- 9- 25高等传热学30 前者的解为 ( )exp() n Aa = 2 而后者的解可能有三种形式 =+ 12 12 12 0 0 0 ( )exp()exp() ( ) ( )cossin n n n XxBxBx XxB xB XxBxBx 2006- 9- 25高等传热学31 若属于第一种情况，则按照边界条件有 BB= 12 0 出现平凡解。 导致 第一种情况 = = = = = 12 0 12 0 0exp()exp() n x n xL dX BB dx dX BLBL dx 2006- 9- 25高等传热学32 第二种情况 若属于第二种情况，则按照边界条件有 = 2 任意常数B 也出现平凡解。 导致 = = = = 1 0 1 0 0 n x n xL dX B dx dX B dx 2006- 9- 25高等传热学33 第三种情况 若属于第三种情况，则按照边界条件有 就会出现非零解。 如果nn n L = = = =+ = += = += gg gg 12 12 0 12 000 0 ( )cossin sincos sincos n n x n xL XxBxBx dX BB dx dX BLBL dx 2006- 9- 25高等传热学34 = = = 1 2 1 1 0 ( )cos, ( , )exp()cos ( , )coscos nnn nnn nnnn n XxBx L QxABax QxABxCx = = 2 0 ( , )exp()cos nnn n Q xCax = + = = = 2 1 1 2 2 0 0 2 221 2 ( , )cos () ()cos () nn n n L nn q Q xxDCx L qqL CxDxdx LLn 2006- 9- 25高等传热学35 + = = 1 2 2 1 21() ( , )exp()cos n nn n n q Q xax L 2 2 222 1 ( , )( , )( , ) (