2016数学建模A题省二.pdf

1 系泊系统的设计系泊系统的设计 摘要摘要 随着系泊技术在海洋石油开发中的广泛应用 11,系泊技术逐步趋入成熟， 对各种系泊 方式的设计及优化也开始深入研究。根据不同海域的情况，设计出安全又经济的系泊系 统，是现在海洋工程和船舶工程领域亟须解决的问题。 对于问题一，我们将系统分成锚链、钢桶、钢管、浮标四部分，然后对锚链和钢管 建立了微分方程模型，对钢桶和浮标进行受力平衡分析，建立了方程组。我们采用了逐 步近似法，使用 MATLAB 软件对所列的方程组求解，得到结果为：风速 12m/s 时:钢桶的 倾斜角度为 1.0090，从下向上钢管的倾斜角度为 1.0032、0.9975、0.9919、 0.9863，浮标吃水深度为 0.7529 m，浮标游动圆形区域半径为 21.3338 m，锚链末端 与锚的链接处的切线方向与海床的夹角为 3.44， 水下锚链形状见图 5 （见 P7） ； 24m/s 时: :钢桶的倾斜角度为 3.7183，从上而下钢管的倾斜角度为 3.6979、3.6776、 3.6576、 3.6378， 浮标吃水深度为 0.7678m， 浮标游动圆形区域的半径为 21.7316m， 锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角为 3.44，水下锚链形状见图 6（见 P8）。 对于问题二，我们根据问题一的模型，通过 MATLAB 编程不断改变重物球的质量反 复迭代即可得到结果： 当钢桶倾斜角小于5且锚链在锚点与海床的夹角不超过16时， 重物球临界质量为 1745kg，钢桶的倾斜角度为 4.9998，从下而上钢管的倾斜角度为 4.9797、4.9598、4.9400、 4.9204，浮标吃水深度为 0.9320m，浮标游动圆形 区域半径为 21.8912m，锚链形状见图 7（见 P9）。当重物球小于这个质量时，钢桶倾角 会大于 5。 对于问题三，我们在前两问模型的基础上，将其划分成不同情况分别求解。锚链型 号一共为五种，并将每种分为 16m 和 20m 两种情况，我们分别计算出它们在临界时的重 物球质量、锚链长度、浮标吃水情况以及浮标游动范围，对每个情况进行分析，得出最 优解。最后设计的系泊系统应选用 III 型号的锚链，长度为 22m，重物球质量最少为 3547kg，可以适当增加重物球质量，以确保倾角不会大于 5。 关键词：关键词：系泊系统；MATLAB；微分方程模型；逐步近似法 2 一、问题重述一、问题重述 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、 系泊系统和水声通讯系统组成 （如图1所示） 。 某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径 2m、 高 2m 的圆柱体， 浮标的质量为 1000kg。 系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为 600kg， 锚链选用无档普通链环， 近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。 钢管共 4 节， 每节长度 1m，直径为 50mm，每节钢管的质量为 10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切 线方向与海床的夹角不超过 16 度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系 统安装在一个长 1m、外径 30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为 100kg。钢 桶上接第 4 节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢 桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过 5 度时， 设备的工作效果较差。 为了控制钢桶的倾斜角度， 钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 图 1传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）图 1传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例） 系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水 深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题 1问题 1某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m， 选用的重物球的质量为 1200kg。 现将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、海水密度为 1.02510 3kg/m3的海域。若 海水静止，分别计算海面风速为 12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形 状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题 2问题 2在问题 1 的假设下， 计算海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、 锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度， 3 锚链在锚点与海床的夹角不超过 16 度。 问题问题 3 由于潮汐等因素的影响， 布放海域的实测水深介于 16m20m 之间。 布放点的 海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到 36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深 情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃 水深度和游动区域。 说明说明近海风荷载可通过近似公式 F=0.625Sv 2(N)计算，其中 S 为物体在风向法 平面的投影面积(m 2)， v 为风速(m/s） 。 近海水流力可通过近似公式 F=374Sv2(N)计算， 其中 S 为物体在水流速度法平面的投影面积(m 2)，v 为水流速度(m/s）。 表 1锚链型号和参数表表 1锚链型号和参数表 型号长度(mm)单位长度的质量(kg/m) I783.2 II1057 III12012.5 IV15019.5 V18028.12 表注：长度是指每节链环的长度。 二、问题分析二、问题分析 2.1 问题一分析：2.1 问题一分析： 根据题目中所给出的图，我们对系泊系统进行了分析。首先我们考虑将系统分成锚 链、钢桶、钢管和浮标几部分，然后对不同部分使用不同的处理方法。锚链和钢管较为 类似，它们可以建立微分方程组进行计算，而浮标和钢桶较为类似，我们将其进行受力 平衡分析，然后将四个部分进行联立，得到了整个系泊系统的关系式。我们假设已知初 始条件，然后使用 MATLAB 进行编程，对系统进行求解，通过水深、钢桶倾角以及锚链 在锚点与海床的夹角等加入限制条件，最后求出浮标吃水深度、钢桶倾斜角度等结果。 2.2 问题二分析：2.2 问题二分析： 问题二的第一小问和问题一类似，但是重物球变为未知量，风速增大。关于重物球 的质量，我们先取一个重球质量进行求最优解，判断是否符合限制条件，若不符合则再 改变重球质量再次求解，反复迭代后即可求得钢桶倾斜角小于 5时的最优解。 2.3 问题三分析：2.3 问题三分析： 我们在前两问的计算中发现钢桶倾斜程度受到风速的影响较大， 浮标浮动范围受到 链条长度的影响较大，浮标吃水深度受到总重的影响较大。题目要求确定锚链的型号、 长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。其 中重物球的质量与吃水深度成正相关，与倾斜角度成负相关，所以不易求得最优情况， 锚链型号一共为五种，可以对其分别进行求解，锚链长度与游动范围相关，易求得最优 解，故编程求解时先假设锚链长度，利用初值不断对锚链长度与重物球质量进行逼近， 最终求得最优解。 第三问中，风产生的力和水流产生的力都是水平作用力，而水平方向的力对钢桶倾 角有很大的影响，风力和水流力越大，钢桶倾角越大。当风力和水流力同向且最大时， 钢桶倾角为最大， 由于钢桶倾角不能大于 5， 故需算出这个情况下临界时的重球质量， 4 此时为风速与水流速度变化时使钢桶倾角小于 5的重物球的最小临界质量。 三、问题假设三、问题假设 1.假设水流速度不随水的深度而变化； 2.假设系结点的位置在浮筒底部正中央； 3.由于钢桶和浮标倾斜程度较小，故假设钢桶和浮筒均不产生倾斜； 4.假设锚链在锚点与海床的夹角不超过16度时，锚便不会发生移动。 5.忽略系泊线的伸长量； 6.忽略锚链与水流产生的摩擦阻尼； 7.忽略重力球的体积； 四、变量说明四、变量说明 符号符号说明 T 拉力 ds 锚泊线上任一微段 dT ds上的拉力变化 拉力与水平方向夹角 d ds上的倾角变化 aF单位长度上的法向流拖曳力 bF单位长度上的切向流拖曳力 浮F物体所受浮力 w锚泊线单位长度重量 桶m钢桶的质量 av风速 cv水流速 水的密度 r 圆柱形浮标的半径 d锚泊线直径 Nc法向流拖曳力系数 Tc切向流拖曳力系数 桶G钢桶的重力 浮G浮标的重力 球 G重物球的重力 水上S浮标在水上的投影面积 水下S浮标在水下的投影面积 h吃水深度 五、模型建立五、模型建立 5.1 问题一模型的建立：5.1 问题一模型的建立： 首先，锚链和钢管为近似体系，我们可以一同进行模型的建立，我们先对锚链进行 分析，经过查阅资料我们建立了关于锚链的微分方程组 22,如下所示。 对锚链进行分析：对锚链进行分析： 5 图 2锚链的受力分析图 由图 2 可以建立平衡关系，当d趋于 0 时dcos趋于 1，dsin趋于d，忽略高阶 无穷小ddT ，便可得到： )cos/083. 0035. 0( )cos( 2 1 )sin( 2 1 sin cos cos 1 sin 2 a 2 a 1 1 b1 1 a1 1 NT cT cN cc VdcF VdcF ds dy ds dx )F(w Tds d Fw ds dT ）（1 其中d近似认为为 0.01m。 对钢管进行分析：对钢管进行分析： 我们把每段钢管的重力减去浮力即可求得单位长度钢管的质量， 四段钢管之间可以 任意改变角度，因此我们将钢管看做与锚链类似的不同材质的锚泊线，利用上述公式同 样可以得到钢管的微分方程模型： 2 2 2 2 2 2 sin cos cos 1 sin ds dy ds dx )F(w Tds d Fw ds dT b a ）（2 6 然后我们将浮标和钢桶看做类似体系， 通过建立受力平衡分析的公式建立它们与拉 力的关系。 对浮标进行受力分析：对浮标进行受力分析： 图 3浮标的受力分析图 由图 3 可以得到以下方程组： 22 2 22 cos374625. 0 sin 22 TvSvS hrV GTF ca水下水上 浮浮 ）（3 对钢桶进行受力分析：对钢桶进行受力分析： 图 4钢桶受力分析图 由图 4 可以得到以下方程组： 2 2211 2211 374coscos sinsin c svTT TFGTG 浮球浮 ）（4 对上述四个方程组联立，并进行 MATLAB 编程求解，即可得到结果。 5.2 问题二模型的建立：5.2 问题二模型的建立： 问题二的模型和问题一类似，只是重物球的质量由已知量变为未知量。关于重物球 的质量，我们先取一个重球质量进行求最优解，然后在最优解的情况下判断是否符合限 7 制条件，若不符合再次改变重物球质量，反复迭代求得倾斜角小于 5时的最优解。 5.3 问题三模型的建立：5.3 问题三模型的建立： 第三问是在前两问的基础上加入了水流速度，当风力和水流力同向且最大时，钢桶 倾角为最大，由于钢桶倾角不能大于 5，所以我们要求此时的重物球临界质量。我们 通过水的深度、钢桶倾角以及锚链在锚点与海床的夹角对模型进行条件限制。由于重物 球的质量与吃水深度成正相关，与倾斜角度成负相关，所以不易求得最优情况，而锚链 长度与游动范围正相关，易求得最优解，故编程求解时要先假设锚链长度，对系泊系统 不断赋初值，逐步逼近最优解，最终得到结果。锚链型号一共为五种，对 16m 和 20m 时 分别进行求解，最终得到 10 组结果，对结果进行分析，得出系泊系统的最终设计。 六、模型求解六、模型求解 6.1 问题一求解：6.1 问题一求解： 对方程组）（1、）（2、）（3、）（4联立，使用 MATLAB 软件编程求解，最后求得： 12m/s 时:12m/s 时: 钢桶的倾斜角度为 1.0090 从下向上四节钢管的倾斜角度依次为 1.0032 0.9975 0.9919 0.9863 浮标吃水深度为 0.7529 m 浮标游动圆形区域半径为 21.3338 m 锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角为 3.44 024681012141618 0 2 4 6 8 10 12 14 水 下 锚 链 的 形 状 图 5水下锚链的形状 8 24m/s 时:24m/s 时: 钢桶的倾斜角度为 3.7183 从下向上四节钢管的倾斜角度依次为 3.6979 3.6776 3.6576 3.6378 浮标吃水深度为 0.7678m 浮标游动圆形区域的半径为 21.7316m 锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角为 15.64 024681012141618 0 2 4 6 8 10 12 14 水下锚链的形状 图 6水下锚链的形状 6.2 问题二求解：6.2 问题二求解： 对问题一的程序进行修改可求得： 36m/s：36m/s： 钢桶的倾斜角度为 4.9998 从下向上四节钢管的倾斜角度依次为 4.9797 4.9598 4.9400 4.9204 浮标吃水深度为 0.9320m 浮标游动圆形区域半径为 21.8912m 9 02468101214161820 0 2 4 6 8 10 12 水下锚链的形状 图 7水下锚链的形状 当重物球为 1745kg 时， 钢桶倾角恰好小于 5， 此时锚链末端与锚的链接处的切线 方向与海床的夹角为 13.76， 符合锚链在锚点与海床的夹角不超过 16 度。 如果重球再 质量减小，钢桶倾角就会大于 5，则重物球的质量应大于 1745kg。 6.3 问题三求解：6.3 问题三求解： 在问题三模型所设的情况下对五种型号的锚链分别求解，得到临界时 16m 和 20m 长 度和重球质量，最优解为 16m 和 20m 中大的临界值。 表 216m 和 20m 锚链长度和重球质量及最优解 16m20m最优 型号长度重物质量长度重物质量长度重物质量 I24m3716kg34m4038kg34m4038kg II21m3782kg28m3906kg28m3906kg III17m3547kg22m3523kg22m3547kg IV16m3800kg21m3672kg21m3800kg V15m3818kg19m3435kg19m3818kg 求解过程中得到各个情况对应的浮标吃水深度和浮标的浮动范围半径。 表 3最优解对应的浮标吃水深度和浮标的浮动范围半径 16m20m 型号吃水深度浮动范围半径吃水深度浮动范围半径 I1.5286m22.2995m1.6492m31.4185m II1.5775m18.9597m1.6350m24.6214m III1.5183m14.1938m1.5315m17.4159m IV1.6330m12.8982m1.6242m15.6759m V1.6748m11.4395m1.5878m12.8607m 10 可以看到，在保证钢桶倾角不大于 5且锚链在锚点与海床的夹角不超过 16的情 况下，III 型号的锚链在 16m 和 20m 水深时的锚链吃水深度其他型号的锚链要小，故选 用三号锚链。此时，可以得到三号锚链的长度为 22m,重物球质量为 3547kg。 02468101214 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 III型锚链在16m水深时的形状 图 8 型锚链在 16m 水深时的形状 024681012141618 0 2 4 6 8 10 12 14 III型锚链在20m水深时的形状 图 9 型锚链在 20m 水深时的形状 所以系泊系统应选用 III 型号的锚链，长度为 22m，重物球质量最少为 3547kg，可 以适当增加重物球质量，以确保倾角不会大于 5。 七、结果分析七、结果分析 本实验较为精确的分析并建立了系泊系统，所建立的模型较为合理准确，但是本文 中尚有些不足之处，由于时间的不充裕，我们在锚链的设计中，忽略了锚链的伸长量， 但实际中伸长量很小， 所以导致结果的准确度会出现稍许的偏差。 实际中重力球的体积、 锚链和水流的摩擦等也都会对实验结果会产生一些影响。对于这部分的偏差和影响，我 们会在之后的时间里对论文进行完善，建立出更完美的模型。 11 八、参考文献八、参考文献 1景勇.两种不同系泊系统的风险对比J.中国造船，2007 年，48 卷(增刊）：660 页 -661 页. 2潘斌，高捷，陈小红，陈家鼎.浮标系泊系统静力计算J.重庆交通学院学报，1997 年，第 16 卷(1)：68 页-73 页. 12 附录附录 问题一 MATLAB 程序：问题一 MATLAB 程序： %trou1.m dy=zeros(4,1); vc=0;%水流速度 w=7*9.8;%单位长度重量 c=0.01;%锚泊线的直径 dy(1)=w*sin(y(2)-0.5*1.2*(-0.035+0.082/cos(y(2)*1.025*103*c*(vc*cos(y(2) )2; dy(2)=(w*cos(y(2)+0.6*1.025*103*c*(vc*sin(y(2)2)/y(1); dy(3)=cos(y(2); dy(4)=sin(y(2); %trou2.m function dy2=trou2(l,y2) dy2=zeros(4,1); vc=0;%水流速度 w=78.3;%钢管的单位长度重量 c=0.05;%钢管的直径 dy2(1)=w*sin(y2(2)-0.5*1.2*(-0.035+0.082/cos(y2(2)*1.025*103*c*(vc*cos( y2(2)2; dy2(2)=(w*cos(y2(2)+0.6*1.025*103*c*(vc*sin(y2(2)2)/y2(1); dy2(3)=cos(y2(2); dy2(4)=sin(y2(2); clc; clear; vc=0;%水流速度 va=24;%风速(12)24m/s n1=0.1; m1=0.2; m_q=1200;%重球质量 for T1=0:1:2000 for f1=0:0.01:0.28 S,Y=ode45(trou1,0:0.01:22.05,T1 f1 0 0); T2=sqrt(Y(2206,1)*sin(Y(2206,2)+100*9.8+m_q*9.8-pi*0.152*1025*9.8)2+(Y( 2206,1)*cos(Y(2206,2)-374*0.3*vc2)2); F2=acos(Y(2206,1)*cos(Y(2206,2)-374*0.3*vc2)/T2); for f2=F2:0.01:pi/2 S,Y2=ode45(trou2,0:0.01:4,T2 f2 0 0); h=(1000*9.8+Y2(401,1)*sin(Y2(401,2)/(1025*9.8*pi); if 13 Y(2206,1)*sin(Y(2206,2)+100*9.8+m_q*9.8-pi*0.152*1025*9.8-Y2(1,1)*sin(Y2( 1,2)10 gao=Y(2206,4)+Y2(401,4)+h+1; n2=abs(18-gao); m2=abs(h-(Y2(401,1)*cos(Y2(401,2)-2.5*va2)/(374*2*vc2-1.25*va2); if n2n1 GG_1=(pi/2-Y2(101,2)/pi*180; GG_2=(pi/2-Y2(201,2)/pi*180; GG_3=(pi/2-Y2(301,2)/pi*180; GG_4=(pi/2-Y2(401,2)/pi*180; plot(Y(:,3),Y(:,4),b) title(水下锚链的形状) chi=h; y_r=Y(2206,3)+Y(401,3); f_01=f1; T_1=T1; end end end end end disp(钢桶的倾斜角度为) disp(G_T) disp(从下向上钢管的倾斜角度为) disp(GG_1) disp(GG_2) disp(GG_3) disp(GG_4) disp(浮标吃水深度为) disp(chi) disp(浮标游动圆形区域半径为) disp(y_r) 问题二 MATLAB 程序：问题二 MATLAB 程序： clc; clear; vc=0;%水流速度 va=36;%风速 n1=0.1; m1=0.2; 14 m_q=1200;%重球质量 for m_q=1200:1:2000 for T1=1000:1:2000 for f1=0:0.01:0.28 S,Y=ode45(trou1,0:0.01:22.05,T1 f1 0 0); T2=sqrt(Y(2206,1)*sin(Y(2206,2)+100*9.8+m_q*9.8-pi*0.152*1025*9.8)2+(Y( 2206,1)*cos(Y(2206,2)-374*0.3*vc2)2); F2=acos(Y(2206,1)*cos(Y(2206,2)-374*0.3*vc2)/T2); for f2=F2:0.01:pi/2 S,Y2=ode45(trou2,0:0.01:4,T2 f2 0 0); h=(1000*9.8+Y2(401,1)*sin(Y2(401,2)/(1025*9.8*pi); if Y(2206,1)*sin(Y(2206,2)+100*9.8+m_q*9.8-pi*0.152*1025*9.8-Y2(1,1)*sin(Y2( 1,2)10 gao=Y(2206,4)+Y2(401,4)+h+1; n2=abs(18-gao); m2=abs(h-(Y2(401,1)*cos(Y2(401,2)-2.5*va2)/(374*2*vc2-1.25*va2); if n2n1 GG_2=(pi/2-Y2(201,2)/pi*180; GG_3=(pi/2-Y2(301,2)/pi*180; GG_4=(pi/2-Y2(401,2)/pi*180; plot(Y(:,3),Y(:,4),b) title(水下锚链的形状) chi=h; y_r=Y(2206,3)+Y(401,3); f_01=f1; T_1=T1; m_0=m_q; end end end end end end disp(钢桶的倾斜角度为) disp(G_T) disp(从下向上钢管的倾斜角度为) disp(GG_1) 15 disp(GG_2) disp(GG_3) disp(GG_4) disp(浮标吃水深度为) disp(chi) disp(浮标游动圆形区域半径为) disp(y_r) 问题三 M