2016高考全国3卷文科数学解析版.pdf

20162016 年普通高等学校招生全国统一考试试题年普通高等学校招生全国统一考试试题 文科数学文科数学 注意事项：注意事项： 1.1.本试卷分第本试卷分第卷卷( (选择题选择题) )和第和第卷卷( (非选择题非选择题) )两部分两部分. .第第卷卷 1 1 至至 3 3 页页，第第卷卷 3 3 至至 5 5 页页. . 2.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. . 3.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. . 4.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. . 第第卷卷 一一. . 选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 （1）设集合 0,2,4,6,8,10,4,8AB ，则 AB =（） （A）4 8 ， （B）0 2 6 ， ， （C）0 2 610 ， ， ， （D）0 2 4 6 810 ， ， ， ， ， 答案：C 评析：本题考查集合的补集运算. （2）若43iz ，则 | z z =（） （A）1（B）1（C） 43 +i 55 （D） 43 i 55 答案：D 解析： 43zi ， 23 435z ，则 4343 |555 zi i z 。 评析：本题考查复数的共轭和复数模长的运算。 （3）已知向量），（），（ 2 1 2 3 2 3 2 1 BCBA,则ABC=() (A)30 0 (B)45 0 (C) 60 0 (D)120 0 答案:A 解析：由题意，得 1331 3 2222 cos 1 12| BA BC ABC BA BC ，所以30ABC， 评析：本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 0C，B 点表示四月的平均最低 气温约为 5 0C。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在 0 0C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于 20 0C 的月份有 5 个 答案：D 解析：由图可知平均气温高于C 0 20的月份至多有 3 个，故 D 不正确. 评析：本题考查学生识别统计图形，分析图形的能力. （5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I,N 中的一个字 母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（） （A） 8 15 （B） 1 8 （C） 1 15 （D） 1 30 答案：C 解析：按照乘法原理，共有3 515种输入方法，输入正确的有一种，则概率为 1 15 。 评析：本题考查概率中的乘法原理，属于简单题。 （6）若 tan= 1 3 ，则 cos2=（） （A） 4 5 （B） 1 5 （C） 1 5 （D） 4 5 答案:D 解析： 2 222 222 2 1 1 ( ) cossin1tan4 3 cos2 1 cossin1tan5 1 ( ) 3 评析：本题考查三角函数的恒等变化，构造齐次式转化为正切函数带入即可。 （7）已知 4 3 2a ， 2 5 4b ， 1 3 25c ，则（） （A）bac（B）abc（C）bca（D）cab 答案:A 解析：因为 422 335 244ab， 122 333 2554ca，所以bac 评析：本题考查幂函数、指数函数的图象与性质 （8）执行下图的程序框图，如果输入的46ab，那么输出的n （） （A）3（B）4（C）5（D）6 答案：B 解析：第一次循环，得; 1, 6, 6, 4, 2nsaba 第二次循环，得; 2,10, 4, 6, 2nsaba 第三次循环，得; 3,16, 6, 4, 2nsaba 第四次循环，得4,1620, 4, 6, 2nsaba，退出循环，输出. 4n 评析：本题主要考查了程序框图的基础知识 （9）在ABC中， 1 ,sin 43 BBCBCA 边上的高等于则（） (A) 3 10 (B) 10 10 (C) 5 5 (D) 3 10 10 答案：D 解 析 ： 设BC边 上 的 高 线 为AD， 则3,2BCAD DCAD， 所 以 22 5ACADDCAD 由正弦定理，知 sinsin ACBC BA ，即 53 sin2 2 ADAD A ，解得 3 10 sin 10 A 。 评析：考查正弦定理的应用。 (10)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的表面积为 （A）1836 5（B）54 18 5（C）90（D）81 答案:B 解析：由三视图可知该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积为 518545332332632S 评析：本题主要考查利用三视图还原出原立体图形的空间想象能力 (11) 在封闭的直三棱柱 111 ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB ， 8BC ， 1 3AA ，则V的最大值是 （A）4（B） 9 2 （C）6（D）32 3 答案：B 解析：要使球的体积最大，必须球的半径最大考虑球与三侧面相切时的情形，利用底面 三角形三边长分别为 6、8、10，可得底面三角形内切圆半径为 2，但当球的半径为 2 时， 223 1 AA,故当球与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值 3 2 ，此时 球的体积为 33 4439 ( ) 3322 R， 评析：本题主要三棱柱的内切球考查学生的空间想象能力和分析问题解决问题的能力. （12）已知O为坐标原点，F是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点，A，B分别 为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M， 与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 答案：A 解析：依题意画出图形，如图设OE的中点为N，则由MF/OE得， a ca FO AF OE MF ，即 a ca OE MF 由ON/MF得， ca a BF OB MF ON 即 ca a MF OE 2 1 将两式相乘得 ca ca 2 1 ，故ca3，所以 3 1 a c e 评析：本题考查椭圆离心率的求法，求椭圆的离心率问题，关键是根据题意找到cba,之 间的齐次关系式，画出图形，利用数形结合，结合定义在图形中找到cba,之间的关系 式是常用的求解离心率的方法. 第第 IIII 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分。第第（1313）题题 第第（2121）题为必考题题为必考题，每个试题每个试题 考生都必须作答。第（考生都必须作答。第（2222）题）题 第（第（2424）题未选考题，考生根据要求作答。）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 （13）设 x，y 满足约束条件 210, 210, 1, xy xy x 则 z=2x+3y5 的最小值为_. 答案：10 解答：作出不等式组满足的区域，如图所示，由图知当目标函 数 z=2x+3y 5 经 过 点( 1, 1)A 时 取 得 最 小 值 ， 即 min 2 ( 1)3 ( 1)510Z 。 评析：简单的线性规划问题。 （14）函数y=sin xcosx的图像可由函数y=2sin x的图像至少向右平移_个单位长度得 到. 答案： 3 解析：因为sin3cos2sin() 3 yxxx ，所以函数sin3cosyxx的的图像可 由函数 2sinyx的图像至少向右平移 3 个单位长度得到 评析：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数 （15）已知直线l：360xy与圆 22 12xy交于,A B两点，过,A B分别做l的垂 线与x轴交于,C D两点，则|CD _. 答案：4 解析：由360xy得36xy，带入圆的方程，并整理，得 2 3 360yy， 解得 12 2 3,3yy， 所以 12 0,3xx ， 所以 22 1212 ()()2 3ABxxyy， （或圆心(0,0)到直线的距离为 22 6 3 1( 3) d ， 则 2 2 1232 3AB ） 又直线 l的倾斜角为 0 30，由平面几何知识在梯形ABDC中 0 4 cos30 AB CD 。 评析：本题考查直选与圆的位置关系及倾斜角。 （16）已知 f(x)为偶函数，当0x 时， 1 ( ) x f xex ，则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线 方程式_. 答案：2yx 解 析： 当0x 时 ，0x ， 则 1 () x fxex 又因 为( )f x为 偶函 数， 所 以 1 ( )() x f xfxex ，所以 1 ( )1 x fxe ，则切线斜率为(1)2 f ，所以切线方程 为22(1)yx，即2yx 评析：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 12 分） 已知各项都为正数的数列 n a满足 1 1a ， 2 11 (21)20 nnnn aaaa . （I）求 23 ,a a； （II）求 n a的通项公式. 解： （I）由已知0 n a 可得 2 1 222 nnn n n aaa a a ，则 23 11 , 24 aa。 （II） 1 2 n n a a ， 1 1 2 n n a a ， 则数列 n a为首项为1， 公比为 1 2 的等比数列， 则 1 1 2 n n a 。 评析： ：本题考查 1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式 （18） （本小题满分 12 分） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 注：年份代码 17 分别对应年份 20082014. （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量. 附注： 参考数据： 7 1 9.32 i i y ， 7 1 40.17 ii i t y ， 7 2 1 ()0.55 i i yy ，72.646. 参考公式： 1 22 11 ()() ()(yy) n ii i nn ii ii ttyy r tt ， 回归方程yabt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， =.a ybt 解： （）由折线图中数据和附注中参考数据得 77 2 11 4,()28,(yy)0.55 ii ii ttt ， 7777 1111 ()(yy)yy40.174 9.322.89 iiiii iiii tttt 2.89 0.99 0.55 2 2.6464 r 因为y与t的相关系数近似为 0.99，说明y与t的的线性相关程度相当高，从而可以用线性 回归模型拟合y与t的关系。 （）由331. 1 7 32. 9 y及（）得103. 0 28 89. 2 )( )( 7 1 2 7 1 i i i ii tt yytt b， 92. 04103. 0331. 1 t bya. 所以，y关于t的回归方程为：ty10. 092. 0. 将 2016 年对应的9t代入回归方程得：82. 1910. 092. 0y. 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 评析： 本题考查线性相关与线性回归方程的求法与应用， 需要将本题中给出的公式进行变形 处理采用利用上给出的数据，公式的变形是一个难点. （19） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA地面 ABCD，ADBC， AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点. （I）证明 MN平面 PAB; （II）求四面体 N-BCM 的体积. （I）由已知 2 2 3 AMAD，取BP的中点T，连接,AT TN由N为PC中点知 / /TNBC, 1 2 2 TNBC。又/ /ADBC，故/ /TNAM，四边形AMNT为平行四边形， 于是/ /MNAT。因为ATPAB平面，MNPAB平面，所以/ /MNPAB平面。 （II）因为PAABCD平面，N为PC的中点，所以N到平面 ABCD的距离为 1 2 PA， 取BC的中点E， 连结AE。 由3ABAC, 得AEBC, 22 5AEABBE .由/ /AMBC得M到BC的 距离为 5， 故 1 452 5 2 BCM S .所以四面体NBCM的体 积 14 5 323 N BCMBCM PA VS 。 （20） （本小题满分 12 分） 已知抛物线C： 2 2yx的焦点为F， 平行于x轴的两条直线 12 ,l l分别交C于AB，两 点，交C的准线于PQ，两点 （I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明FQAR/； （II）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 解：由题设），（0 2 1 F，设,:,: 21 bylayl则0ab，且), 2 (), 2 ( 22 b b Ba a A ) 2 , 2 1 (), 2 1 (), 2 1 ( ba RbQaP 记过BA,的直线为l，则l的方程为0)(2abybax （1）由于F在线段AB上，故01 ab， 因 2 1a ba kAR b a ab aaba ba1 2 FQ k 所以FQAR/ (2)设l与x轴的交点为)0 ,( 1 xD， 则 2 , 2 1 2 1 2 1 1 ba SxabFDabS PQFABF 由题设可知 22 1 1 ba xab ，故0 1 x（舍去）或1 1 x 设满足条件的AB中点为）yxE,( 当AB与x轴不垂直时，由 DEAB kk可得) 1( 1 2 x x y ba ，而y ba 2 ，所以 ) 1( 1 2 xxy 当AB与x轴垂直时，D与E重合，所以，所求轨迹方程为1 2 xy 评析：本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系、轨迹方程的求 法，在计算时为了简化运算需要用到设而不求的思想，考查了学生的思维转化能力，对学生 的计算能力要求较高，属于中等偏上难度的题目. （21） （本小题满分 12 分） 设函数( )ln1f xxx （I）讨论( )f x的单调性； （II）证明当(1,)x时， 1 1 ln x x x ； （III）设1c ，证明当(0,1)x时，1 (1) x cxc. 解析： （I）由题设，( )f x的定义域为(0,)， 1 ( )1fx x ，令( )0fx，解得 1x 。 当01x时，( )0fx ，( )f x单调递增；当1x 时，( )0fx ，( )f x单调递减； （II）由（I）知，( )f x在1x 处取得最大值，最大值为(1)0f。所以1x 时， ln1xx。故当(1,)x时，ln1xx， 11 ln1 xx ，即 1 1 ln x x x 。 （III）由题设1c ，设( )1 (1) x g xcxc ，则( )1ln x g xccc ，令( )0g x ， 解得 0 1 ln ln ln c c x c 。 当 0 xx时，( )0g x，( )g x单调递增； 当 0 xx时，( )0g x，( )g x 单调递减；由（II）知， 1 1 ln c c c ，故 0 01x，又(0)(1)0gg，故当当01x 时，( )0g x ，所以当(0,1)x时，1 (1) x cxc. 评析：考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法 请考生在请考生在2222、2323、2424题中任选一题作答题中任选一题作答。作答时用作答时用 2B2B 铅笔在答题卡上把铅笔在答题卡上把 所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，O中 AB的中点为P，弦PCPD，分别交AB于EF，两点 （I）若2PFBPCD ，求PCD的大小； （II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明 OGCD 解析： （I）连结,PB BC,则,BFDPBABPD PCDPCBBCD .因为AP BP ，所以 PBAPCB ,又 BPDBCD , 所以 BFDPCD .又 0 180 ,2PFDBFDPFBPCD ,所以 0 3180PCD，因此 0 60PCD。 （II）因为PCDBFD ，所以 0 180PCDEFD,由 此知,C D F E四点共圆， 其圆心既在CE的垂直平分线上， 又在 DF的垂直平分线上，故G就是过,C D F E四点的圆的圆心， 所以G在CD的垂直平分线上，因此OGCD。 评析：本题考查 1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共 圆等知识点。 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐