2017年重庆市中考数学26题新题集锦(PDF版含答案).pdf

第 1 页（共 64 页） 二次函数综合题专项训练二次函数综合题专项训练 一解答题（共一解答题（共 17 小题）小题） 1如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点 （点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（4，0） ，将直线 y=kx 沿 y 轴向上平移 4 个单位长度后恰好经过 B，C 两点 （1）求直线 BC 及抛物线的解析式； （2）将直线 BC 沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后与抛物线交于 D，E 两点，若点 P 是抛物线位于直线 BC 下方的一个动点，连接 PD，交直线 BC 于点 Q，连接 PE 和 PQ，设PEQ 的面积为 S，当 S 取得最大值时，求出此时点 P 的坐标及 S 的最 大值 （3）如图 2，记（2）问中直线 DE 与 y 轴交于 M 点，现有一点 N 从 M 点出发， 先沿 y 轴到达 K 点，再沿 KB 到达 B 点，已知 N 点在 y 轴上运动的速度是每秒 2 个单位长度，它在直线 KB 上运动速度是 1 个单位长度，现要使 N 点按照上述要 求到达 B 点所用的时间最短，请简述确定 K 点位置的过程，求出点 K 的坐标，不 要求证明 2如图，抛物线 y=x2+ x+2 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0） ，过 点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q （1）求点 A，点 B，点 C 的坐标； （2）求直线 BD 的解析式； 第 2 页（共 64 页） （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 Q，使BDQ 是以 BD 为直角边的直角 三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 3 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 B、 C 两点 （点 B 在点 C 的左侧） ，与 y 轴交于点 A，抛物线的顶点为 D，B（3，0） ，A （0，） （ （1）求抛物线解析式及 D 点坐标； （2）如图 1，P 为线段 OB 上（不与 O、B 重舍）一动点，过点 P 作 y 轴的平行 线交线段 AB 于点 M，交抛物线于点 N，点 N 作 NKBA 交 BA 于点 K，当MNK 与MPB 的面积相等时，在 X 轴上找一动点 Q，使得CQ+QN 最小时，求点 Q 的坐标及CQ+QN 最小值； （3）如图 2，在（2）的条件下，将ODN 沿射线 DN 平移，平移后的对应三角 形为ODN，将AOC 绕点 O 逆时针旋转到 A1OC1的位置，且点 C1恰好落在 AC 上， A1DN是否能为等腰三角形， 若能求出 N的坐标， 若不能， 请说明理由 4如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2 x与 x 轴交于 A、B、 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）判断ABC 形状，并说明理由 第 3 页（共 64 页） （2）在抛物线第四象限上有一点，它关于 x 轴的对称点记为点 P，点 M 是直线 BC 上的一动点，当PBC 的面积最大时，求 PM+MC 的最小值； （3）如图 2，点 K 为抛物线的顶点，点 D 在抛物线对称轴上且纵坐标为，对 称轴右侧的抛物线上有一动点 E，过点 E 作 EHCK，交对称轴于点 H，延长 HE 至点 F，使得 EF=，在平面内找一点 Q，使得以点 F、H、D、Q 为顶点的四 边形是轴对称图形，且过点 Q 的对角线所在的直线 是对称轴，请问是否存在这 样的点 Q，若存在请直接写出点 E 的横坐标，若不存在，请说明理由 5如图 1，已知抛物线 y=x2x3 与 x 轴交于 A 和 B 两点（点 A 在点 B 的 左侧） ，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D （1）求出点 A，B，D 的坐标； （2）如图 1，若线段 OB 在 x 轴上移动，且点 O，B 移动后的对应点为 O，B首 尾顺次连接点 O、B、D、C 构成四边形 OBDC，当四边形 OBDC 的周长有最小 值时，在第四象限找一点 P，使得PBD 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标 （3）如图 2，若点 M 是抛物线上一点，点 N 在 y 轴上，连接 CM、MN当CMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点 N 的坐标 第 4 页（共 64 页） 6如图 1，二次函数 y=x22x+1 的图象与一次函数 y=kx+b（k0）的图象交 于 A，B 两点，点 A 的坐标为（0，1） ，点 B 在第一象限内，点 C 是二次函数图 象的顶点，点 M 是一次函数 y=kx+b（k0）的图象与 x 轴的交点，过点 B 作轴 的垂线，垂足为 N，且 SAMO：S四边形AONB=1：48 （1）求直线 AB 和直线 BC 的解析式； （2）点 P 是线段 AB 上一点，点 D 是线段 BC 上一点，PDx 轴，射线 PD 与抛 物线交于点 G，过点 P 作 PEx 轴于点 E，PFBC 于点 F当 PF 与 PE 的乘积最 大时，在线段 AB 上找一点 H（不与点 A，点 B 重合） ，使 GH+BH 的值最小， 求点 H 的坐标和 GH+BH 的最小值； （3）如图 2，直线 AB 上有一点 K（3，4） ，将二次函数 y=x22x+1 沿直线 BC 平移，平移的距离是 t （t0） ，平移后抛物线上点 A，点 C 的对应点分别为点 A， 点 C；当ACK 是直角三角形时，求 t 的值 7如图 1，抛物线 y=ax2+x+3（a0）与 x 轴的负半轴交于点 A（2，0） ，顶点 为 C，点 B 在抛物线上，且点 B 的横坐标为 10，连接 AB、BC、CA，BC 与 x 轴交 于点 D 第 5 页（共 64 页） （1）求点 D 的坐标； （2）动点 P 在线段 BC 上，过点 P 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 Q，过点 Q 作 QHBC 于 H，求PQH 的周长的最大值，并直接写出此时点 H 的坐标； （3）如图 2，以 AC 为对角线作正方形 AMCN，将正方形 AMCN 在平面内平移得 正方形 AMCN，当正方形 AMCN有顶点在ABC 的边 AC 上（不含端点）时， 正方形 AMCN与ABC 重叠部分得到的多边形能否为轴对称图形？如果能，求 出此时重叠部分的面积 S 的值，或重叠部分面积 S 的取值范围；若不能，说明理 由 8已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于 点 C，抛物线的顶点为 D （1）求 b，c 的值及顶点 D 的坐标； （2）如图 1，点 E 是线段 BC 上的一点，且 BC=3BE，点 F（0，m）是 y 轴正半 轴上一点，连接 BF，EF 与线段 OB 交于点 G，OF：OG=2：，求FEB 的面积； （3）如图 2，P 为线段 BC 上一动点，连接 DP，将DBP 绕点 D 顺时针旋转 60 得DBP（点 B 的对应点是点 B，点 P 的对应点是点 P） ，DP交 y 轴于点 M，N 为 MP的中点，连接 PP，NO，延长 NO 交 BC 于点 Q，连接 QP，若PPQ 的面 积是BOC 面积的，求线段 BP 的长 第 6 页（共 64 页） 9如图，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D，C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴相交于点 E （1）求直线 AD 的解析式； （2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求FGH 周长的最大值； （3）如图 2，点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一动点，点 Q 是坐标平面内 一点，四边形 APQM 是以 PM 为对角线的平行四边形，点 Q与点 Q 关于直线 AM 对称，连接 M Q，P Q当PM Q与APQM 重合部分的面积是APQM 面积的 时，求APQM 面积 10已知抛物线 y=x2+4 交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C，连接 AC、BC （1）求交点 A、B 的坐标以及直线 BC 的解析式； （2）如图 1，动点 P 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度向点 O 运动，过点 P 作 y 轴的平行线交线段 BC 于点 M，交抛物线于点 N，过点 N 作 NCBC 交 BC 于点 第 7 页（共 64 页） K，当MNK 与MPB 的面积比为 1：2 时，求动点 P 的运动时间 t 的值； （3）如图 2，动点 P 从点 B 出发以每秒 5 个单位的速度向点 A 运动，同时另一 个动点 Q 从点 A 出发沿 AC 以相同速度向终点 C 运动，且 P、Q 同时停止，分别 以 PQ、BP 为边在 x 轴上方作正方形 PQEF 和正方形 BPGH（正方形顶点按顺时针 顺序） ，当正方形 PQEF 和正方形 BPGH 重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此 时轴对称图形的面积 11如图所示，对称轴是 x=1 的抛物线与 x 轴交于 A、B（1，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，作直线 AC，点 P 是线段 AB 上不与点 A、B 重合的一个动点， 过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 AC 于点 D，交抛物线于点 E，连结 CE、OD （1）求抛物线的函数表达式； （2）当 P 在 A、O 之间时，求线段 DE 长度 s 的最大值； （3）连接 AE、BC，作 BC 的垂直平分线 MN 分别交抛物线的对称轴 x 轴于 F、N， 连接 BF、OF，若EAC=OFB，求点 P 的坐标 12如图 1，抛物线 y=x2 x3 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 侧） ，过点 A 的直线交 y 轴于点 D，且 tanDAO= （1）求直线 AD 的解析式； 第 8 页（共 64 页） （2）若点 P 是抛物线上第四象限得到一个动点，过点 P 作直线 PFx 轴于点 P， 直线 PF 交 AD 于 E；过点 P 作 PGAD 于 G，PG 交 x 轴于点 H，当PGE 的周长 取得最大值时，求点 P 的坐标及四边形 GEFH 的面积； （3）如图 2，在（2）的条件下，当PGE 的周长取得最大值时 P 停止运动，连 接 PA 交直线 CB 于 Q，将直线 AD 绕点 Q 旋转，旋转后的直线 l 与直线 AD 相交 于点 M，与直线 CB 相交于点 N，当四边形 QDMN 为平行四边形时，求点 M 的 坐标 13如图（1） ，已知抛物线 y=ax2+bx+5 与 x 轴交于 A、B（点 A 在点 B 的左侧） 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 A 的横坐标为5，且点 D（2，3）在此抛 物线的对称轴上 （1）求 a、b 的值； （2）若在直线 AC 上方的抛物线上存在点 M，使点 M 到 x 轴的距离与 M 到直线 AC 的距离之比为，试求出点 M 的坐标； （3）如图（2） ，过点 B 做 BKx 轴交直线 AC 于点 K，连接 DK、AD，点 H 是 DK 的中点，点 G 是线段 AK 上任意一点，将DGH 沿边 GH 翻折得DGH，当 KG 为何值时，DGH 与KGH 重叠部分的面积是DGK 面积的，请直接写出你 的答案 第 9 页（共 64 页） 14如图，在平面直角坐标系中，OA=6，以 OA 为边长作等边三角形 ABC，使 得 BCOA，且点 B、C 落在过原点且开口向下的抛物线上 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在图中，假设一动点 P 从点 B 出发，沿折线 BAC 的方向以每秒 2 个单位 的速度运动，同时另一动点 Q 从 O 点出发，沿 x 轴的负半轴方向以每秒 1 个单 位的速度运动，当点 P 运动到 A 点时，P、Q 都同时停止运动，在 P、Q 的运动 过程中，是否存在时间 t，使得 PQAB，若存在，求出 t 的值，若不存在，请说 明理由； （3）在 BC 边上取两点 E、F，使 BE=EF=1 个单位，试在 AB 边上找一点 G，在抛 物线的对称轴上找一点 H， 使得四边形 EGHF 的周长最小， 并求出周长的最小值 15如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点C（点 C 点 A 的右侧） ， 点 P 是抛物线上一动点 （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）若点 P 在第二象限内抛物线上一点，过点 P 作 PDy 轴交 AB 于 D，点 E 为线段 DB 上一点，且 DE=2，过 E 做 EFPD 交抛物线于点 F，当点 P 运动到 什么位置时，四边形 PDEF 的面积最大？并求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，点 F 为 AO 的中点，连接 BF，点 G 为 y 轴负半轴上一点且 GO=2， 沿 x 轴向右平移直线 AG，记平移过程直线为 AG，直线 AG交 x 轴于点 M，交 直线 AB 为 N，当FMN 为等腰三角形时，求平移后 M 点的坐标 第 10 页（共 64 页） 16如图，已知抛物线 y=（x+2） （xa） （a0）与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 右侧） ，与 y 轴交于点 C，抛物线过点 N（6，一 4） （1）求实数 a 的值； （2）在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+CH 最小，求出点 H 的坐标； （3）若把题干中“抛物线过点 N（6，4）”这一条件去掉，试问在第四象限内， 抛物线上是否存在点 F，使得以点 B，A，F 为顶点的三角形与BAC 相似？若存 在，求 a 的值；若不存在，请说明理由 17如图 1，抛物线 y=x2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右 侧） ，交 y 轴于点 C，点 D 的坐标为（0，1） ，直线 AD 交抛物线于另一点 E， 点 P 是第二象限抛物线上的一点，作 PQy 轴交直线 AE 于 Q，作 PGAD 于 G， 交 x 轴于点 H （1）求线段 DE 的长； （2）设 d=PQPH，当 d 的值最大时，在直线 AD 上找一点 K，使 PK+EK 的 值最小，求出点 K 的坐标和 PK+EK 的最小值； （3）如图 2，当 d 的值最大时，在 x 轴上取一点 N，连接 PN，QN，将PNQ 沿 着 PN 翻折，点 Q 的对应点为 Q，在 x 轴上是否存在点 N，使AQQ是等腰三角 第 11 页（共 64 页） 形？若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，说明理由 第 12 页（共 64 页） 二次函数综合题专项训练二次函数综合题专项训练 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 17 小题）小题） 1（2017沙坪坝区校级模拟） 如图 1， 在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为（4， 0） ，将直线 y=kx 沿 y 轴向上平移 4 个单位长度后恰好经过 B，C 两点 （1）求直线 BC 及抛物线的解析式； （2）将直线 BC 沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后与抛物线交于 D，E 两点，若点 P 是抛物线位于直线 BC 下方的一个动点，连接 PD，交直线 BC 于点 Q，连接 PE 和 PQ，设PEQ 的面积为 S，当 S 取得最大值时，求出此时点 P 的坐标及 S 的最 大值 （3）如图 2，记（2）问中直线 DE 与 y 轴交于 M 点，现有一点 N 从 M 点出发， 先沿 y 轴到达 K 点，再沿 KB 到达 B 点，已知 N 点在 y 轴上运动的速度是每秒 2 个单位长度，它在直线 KB 上运动速度是 1 个单位长度，现要使 N 点按照上述要 求到达 B 点所用的时间最短，请简述确定 K 点位置的过程，求出点 K 的坐标，不 要求证明 【解答】解： （1）由题意 C（0，4） ，B（4，0） ， 直线 BC 的解析式为 y=x+4， 把 C（0，4） ，B（4，0）代入 y=x2+bx+c 得到， 第 13 页（共 64 页） 解得， 抛物线的解析式为 y=x25x+4 （2）直线 DE 的解析式为 y=x+9， 设 P（m，m25m+4） ，作 PKy 轴交 DE 于 K，连接 CE则 K（m，m+9） ，PK= m2+4m+5， 由解得或， D（1，10） ，E（5，4） ， SPQE=SPDESDEQ，DEQ 的面积为定值， PDE 的面积最大时，PQE 的面积最大， SPDE=PK（ExDx）=（m2+4m+5）6=3（m2）2+27， 30， m=2 时，PDE 的面积最大，最大值为 27 DEQ 的面积=DEC 的面积=56=15， PQE 的面积最大值为 12 （3）在 x 轴的负半轴上取一点 L，使得LMO=30作 NHLM 于 H，BGLM 于 G 交 OM 于 K 点 N 的运动时间=+NB，NH=MN， 点 N 的运动时间=NH+BN， 当点 N 与点 K 重合时，点 N 的运动时间最短=BG， 在 RtALM 中，OM=9，LMO=30， OL=3，BL=4+3， 在 RtLBG 中，BLG=60， BG=BLsin60=（4+3）=2+ 第 14 页（共 64 页） 2 （2017开江县一模）如图，抛物线 y=x2+x+2 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的 坐标为（m，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q （1）求点 A，点 B，点 C 的坐标； （2）求直线 BD 的解析式； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 Q，使BDQ 是以 BD 为直角边的直角 三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 第 15 页（共 64 页） 【解答】解： （1）当 x=0 时，y=2，即 C 点坐标为（0，2） ； 当 y=0 时，x2+x+2=0，解得 x1=1，x2=4， 即 A（1，0） ，B（4，0） ； （2）点 D 与点 C 关于 x 轴对称， D（0，2） ，设直线 BD 的解析式为 y=kx+b， 将 B、D 点坐标代入解析式，得 ，解得， 直线 BD 的解析式为 y=x2； （3）存在，点 P 的坐标为（m，0） ，PQx 轴交抛物线于点 Q， 设点 Q 的坐标为（m，m2+m+2） ， BDQ 是以 BD 为直角边的直角三角形， 当QBD=90时，由勾股定理，得 BQ2+BD2=DQ2，即（m4）2+（ m2+m+2）2+202=m2+（x2+ x+2+2）2， 解得 m1=3，m2=4（不符合题意，舍） ， Q（3，2） ； 当QDB=90时，由勾股定理，得 BQ2=BD2+DQ2，即（m4）2+（m2+m+2）2=20+m2+（x2+x+2+2）2， 解得 m1=8，m2=1， 第 16 页（共 64 页） Q（8，18） ；Q（1，0） ， 综上所述：点 Q 的坐标为（3，2） ， （8，18） ， （1，0） 3 （2017 春沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 B、C 两点（点B 在点 C 的左侧） ，与 y 轴交于点 A，抛物 线的顶点为 D，B（3，0） ，A（0，） （ （1）求抛物线解析式及 D 点坐标； （2）如图 1，P 为线段 OB 上（不与 O、B 重舍）一动点，过点 P 作 y 轴的平行 线交线段 AB 于点 M，交抛物线于点 N，点 N 作 NKBA 交 BA 于点 K，当MNK 与MPB 的面积相等时，在 X 轴上找一动点 Q，使得CQ+QN 最小时，求点 Q 的坐标及CQ+QN 最小值； （3）如图 2，在（2）的条件下，将ODN 沿射线 DN 平移，平移后的对应三角 形为ODN，将AOC 绕点 O 逆时针旋转到 A1OC1的位置，且点 C1恰好落在 AC 上， A1DN是否能为等腰三角形， 若能求出 N的坐标， 若不能， 请说明理由 【解答】解： （1）把 B（3，0） ，A（0，）的坐标代入 y=x2+bx+c，得 到， 解得， 二次函数的解析式为 y=x2x+， 顶点 D 的坐标为（1，） 第 17 页（共 64 页） （2）如图 1 中，设 P（m，0）则 N（m，=m2m+） A（0，） ，B（3，0） ， 直线 AB 的解析式为 y=x+，AB 用 PN 的交点 M（m，m+） ， NMK=BMP，NKM=MPB=90， NMKBMN， MNK 与MPB 的面积相等， NMKBMN， MN=BM， 在 RtABO 中，tanABO=， ABO=30， BM=2PM=MN， m2m+m+=2（m+） ， 解得 m=2 或3（舍弃） ， N（2，） ， 在 y 轴上取一点 F，使得OCF=30，作 QHCF 于 H， QH=CQ， NQ+CQ=NQ+QH， 根据垂线段最短可知，当 N、Q、H 共线，且 NHCF 时，NQ+CQ=NQ+QH 的值 第 18 页（共 64 页） 最小 直线 CF 的解析式为 y=x，直线 NH 的解析式为 y=x， Q（1，0） ， 由，解得， H（，） ， NH=3， NQ+CQ=NQ+QH 的最小值为 3 （3）如图 2 中， 在 RtAOC 中，OA=，OC=1，AC=2， tanACO=， ACO=60， OC=OC， COC是等边三角形， ACC=COC=60， ACOC， A（，） ， N（2，） ，D（1，） ， 第 19 页（共 64 页） 直线 DN 的解析式为 y=x+，直线 AN 的解析式 y=x， （）=1， ANDN，设直线 DN 交 x 轴于 G，则 G（5，0） ，对称轴与 x 轴的交点为 E （1，0） ， 在 RtDGE 中，tanDGE=， DGE=30 如图 3 中，当 AD=AN时，易知 ND=NN，N（，） 如图 4 中，当 ND=NA时， AN=1，DN=， 在 RtANN 中，AN=ND=，AN=1，NN=， N（，） 第 20 页（共 64 页） 如图 5 中，延长 CA交 DG 于 N，此时DNA是等腰三角形 理由：作 DKCN于 K，易知 N（，） ， AN=2， 在 RtDNK 中，DNK=30，DN=， DK=，KN=1， KA=ANNK=21=1， 在 RtADK 中，AD=， DN=DA， ADN是等腰三角形， 综上所述，当点 N的坐标为（ ，）或（，）时，ADN是等腰 三角形 4 （2017 春九龙坡区校级月考）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2 x与 x 轴交于 A、B、两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）判断ABC 形状，并说明理由 （2）在抛物线第四象限上有一点，它关于 x 轴的对称点记为点 P，点 M 是直线 BC 上的一动点，当PBC 的面积最大时，求 PM+MC 的最小值； （3）如图 2，点 K 为抛物线的顶点，点 D 在抛物线对称轴上且纵坐标为，对 称轴右侧的抛物线上有一动点 E，过点 E 作 EHCK，交对称轴于点 H，延长 HE 第 21 页（共 64 页） 至点 F，使得 EF=，在平面内找一点 Q，使得以点 F、H、D、Q 为顶点的四 边形是轴对称图形，且过点 Q 的对角线所在的直线 是对称轴，请问是否存在这 样的点 Q，若存在请直接写出点 E 的横坐标，若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）结论：ABC 是直角三角形理由如下， 对于抛物线 y=x2x，令 y=0 得 x2 x=0，解得 x=或 3；令 x=0 得 y=， A（，0） ，C（0，） ，B（3，0） ， OA=，OC=，OB=3， =，AOC=BOC， AOCCOB， ACO=OBC， OBC+OCB=90， ACO+BCO=90， ACB=90 （也可以求出 AC、BC、AB 利用勾股定理的逆定理证明） （2）如图 1 中，设第四象限抛物线上一点 N（m，m2m） ，点 N 关 于 x 轴的对称点 P（m，m2+m+） ，作过 B、C 分别作 y 轴，x 轴的平行 线交于点 G，连接 PG 第 22 页（共 64 页） G（3，） ， SPBC=SPCG+SPBGSBCG= （m2+m+2） + （3m） =（m）2+ 0， 当 m=时，PBC 的面积最大， 此时 P（，） ， 如图 2 中，作 MECG 于 M CGOB， OBC=ECM，BOC=CEM， CEMBOC， OC：OB：BC=1：3：， EM：CE：CM=1：3：， 第 23 页（共 64 页） EM=CM， PM+CM=PM+ME， 根据垂线段最短可知，当 PECG 时，PM+ME 最短， PM+MC 的最小值为+= （3）存在理由如下， 如图 3 中，当 DH=HF，HQ 平分DHF 时，以点 F、H、D、Q 为顶点的四边形 是轴对称图形，且过点 Q 的对角线所在的直线 是对称轴 作 CGHK 于 G，PHx 轴，EPPH 于 P FHCK，K（，） ， 易知 CG：GK：CK=3：4：5， 由EPHKGC，得 PH：PE：EH=3：4：5，设 E（ （n，n2n） ，则 HE=（n） ，PE=（n） ， DH=HF， +n2+n+（n）=（n）+， 解得 n=或（舍弃） 如图 4 中，当 DH=HF，HQ 平分DHF 时，以点 F、H、D、Q 为顶点的四边形 是轴对称图形，且过点 Q 的对角线所在的直线 是对称轴 第 24 页（共 64 页） 同法可得n2n+（n）=（n）+， 解得 n=+或（舍弃） 如图 5 中，当 DH=DF，DQ 平分HDF 时，以点 F、H、D、Q 为顶点的四边形 是轴对称图形，且过点 Q 的对角线所在的直线 是对称轴 设 DQ 交 HF 于 M由DHMCKG，可知 HM：DH=4：5， （n）+：n2n+（n）=4：5， 解得 n=+或=（舍弃） ， 综上所， 满足条件的点 E 的横坐标为或+或+ 5 （2017 春沙坪坝区校级月考）如图 1，已知抛物线 y=x2 x3 与 x 轴交 于 A 和 B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D 第 25 页（共 64 页） （1）求出点 A，B，D 的坐标； （2）如图 1，若线段 OB 在 x 轴上移动，且点 O，B 移动后的对应点为 O，B首 尾顺次连接点 O、B、D、C 构成四边形 OBDC，当四边形 OBDC 的周长有最小 值时，在第四象限找一点 P，使得PBD 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标 （3）如图 2，若点 M 是抛物线上一点，点 N 在 y 轴上，连接 CM、MN当CMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点 N 的坐标 【解答】解： （1）令 y=x2x3 中 y=0，则 x2x3=0， 解得：x1=2，x2=4， A（2，0） ，B（4，0） y=x2x3=（x22x）3=（x1）2， D（1，） （2）令 y=x2x3 中 x=0，则 y=3， C（0，3） D（1，） ，OB=OB=4 如图 1，作点 C（0，3）关于 x 轴的对称点 C（0，3） ，将点 C（0，3）向右平 移 4 个单位得到点 C（4，3） ，连接 DC，交 x 轴于点 B，将点 B向左平移 4 个 单位得到点O， 连接CO， CO， 则四边形OBCC为平行四边形， 此时四边形OBDC 周长取最小值 第 26 页（共 64 页） 此时 C四边形OBDC=CD+OB+CO+DB=CD+OB+DC OB=4，CD=，CD=， 四边形 OBDC 的周长最小值为 4+ 设 P（m， m2m3） ，作 DHx 轴于 H，连接 PH易知 H（1，0） ，B（， 0） SPDB=SPDH+SPHBSDHB= （m1）+（m2+m+3） =（3m2+23m20） ， m=时，PDB的面积最大， 此时 P（，） （3）CMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形分两种情况（如图 2） ： 过点 C 作直线 y=x3 交抛物线于点 M， 联立直线 CM 和抛物线的解析式得：，解得：或， 第 27 页（共 64 页） M（ ，） CMN 为等腰直角三角形，C（0，3） ， 点 N 的坐标为（0，）或（0，） ； 过点 C 作直线 y=x3 交抛物线于点 M， 联立直线 CM 和抛物线的解析式得：，解得：或 ， M（，） CMN 为等腰直角三角形，C（0，3） ， 点 N 的坐标为（0，）或（0，） 综上可知： 当CMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形时， 点 N 的坐标为 （0， ） 、 （0，） 、 （0，）或（0，） 6 （2016重庆）如图 1，二次函数 y=x22x+1 的图象与一次函数 y=kx+b（k 0）的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标为（0，1） ，点 B 在第一象限内，点 C 是 二次函数图象的顶点，点 M 是一次函数 y=kx+b（k0）的图象与 x 轴的交点， 过点 B 作轴的垂线，垂足为 N，且 SAMO：S四边形AONB=1：48 （1）求直线 AB 和直线 BC 的解析式； （2）点 P 是线段 AB 上一点，点 D 是线段 BC 上一点，PDx 轴，射线 PD 与抛 物线交于点 G，过点 P 作 PEx 轴于点 E，PFBC 于点 F当 PF 与 PE 的乘积最 大时，在线段 AB 上找一点 H（不与点 A，点 B 重合） ，使 GH+BH 的值最小， 求点 H 的坐标和 GH+BH 的最小值； （3）如图 2，直线 AB 上有一点 K（3，4） ，将二次函数 y=x22x+1 沿直线 BC 平移，平移的距离是 t （t0） ，平移后抛物线上点 A，点 C 的对应点分别为点 A， 点 C；当ACK 是直角三角形时，求 t 的值 第 28 页（共 64 页） 【解答】解： （1）点 C 是二次函数 y=x22x+1 图象的顶点， C（2，1） ， PEx 轴，BNx 轴， MAOMBN， SAMO：S四边形AONB=1：48， SAMO：SBMN=1：49， OA：BN=1：7， OA=1 BN=7， 把 y=7 代入二次函数解析式 y=x22x+1 中，可得 7=x22x+1， x1=2（舍） ，x2=6 B（6，7） ， A 的坐标为（0，1） ， 直线 AB 解析式为 y=x+1， C（2，1） ，B（6，7） ， 直线 BC 解析式为 y=2x5 （2）如图 1， 第 29 页（共 64 页） 设点 P（x0，x0+1） ， D（，x0+1） ， PE=x0+1，PD=3x0， DPF 固定不变， PF：PD 的值固定， PEPF 最大时，PEPD 也最大， PEPD=（x0+1） （3x0）=x02+x0+3， 当 x0=时，PEPD 最大， 即：PEPF 最大此时 G（5，） MNB 是等腰直角三角形， 过 B 作 x 轴的平行线， BH=B1H， GH+BH 的最小值转化为求 GH+HB1的最小值， 当 GH 和 HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小， 此时 H（5，6） ，最小值为 7= （3）令直线 BC 与 x 轴交于点 I， I（，0） IN=，IN：BN=1：2， 沿直线 BC 平移时， 横坐标平移 m 时， 纵坐标则平移 2m， 平移后 A （m， 1+2m） ， C（2+m，1+2m） ， AC2=8，AK2=5m218m+18，CK2=5m222m+26， 当AKC=90时，AK2+KC2=AC2，解得 m=，此时 t=m=2； 当KCA=90时，KC2+AC2=AK2，解得 m=4，此时 t=m=4； 当KAC=90时，AC2+AK2=KC2，解得 m=0，此时 t=0 7 （2016重庆模拟）如图 1，抛物线 y=ax2+x+3（a0）与 x 轴的负半轴交于点 第 30 页（共 64 页） A（2，0） ，顶点为 C，点 B 在抛物线上，且点 B 的横坐标为 10，连接 AB、BC、 CA，BC 与 x 轴交于点 D （1）求点 D 的坐标； （2）动点 P 在线段 BC 上，过点 P 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 Q，过点 Q 作 QHBC 于 H，求PQH 的周长的最大值，并直接写出此时点 H 的坐标； （3）如图 2，以 AC 为对角线作正方形 AMCN，将正方形 AMCN 在平面内平移得 正方形 AMCN，当正方形 AMCN有顶点在ABC 的边 AC 上（不含端点）时， 正方形 AMCN与ABC 重叠部分得到的多边形能否为轴对称图形？如果能，求 出此时重叠部分的面积 S 的值，或重叠部分面积 S 的取值范围；若不能，说明理 由 【解答】解： （1）抛物线 y=ax2+x+3 经过点 A（2，0） ， 4a2+3=0， a=， 抛物线解析式为 y=x2+x+3， y=x2+x+3=（x2）2+4， 顶点 C 的坐标（2，4） ， 在 y=x2+x+3 中，x=10，y=12， 点 B 坐标为（10，12） ， 设直线 BC 解析式 y+kx+b（k0） ，B、C 在直线上， 解得， 第 31 页（共 64 页） 直线 BC 解析式为 y=2x+8， 在 y=2x+8 中，当 y=0 时，x=4， 点 D 坐标为（4，0） （2）过 C 作 CEAD 垂足为 E，如图 1，则 E（2，0） ， DE=2，CE=4， CD=2， DE：CE：CD=1：2：， CEx 轴，PQx 轴， CEPQ， ECD=QPE， CED=QHP=90， CDEPQH， QH：PH：PQ=DE：CE：CD=1：2：， QH=PQ，PH=PQ， PQH 的周长=QH+PH+PQ=（1+）PQ， 设 P 点坐标为（x，2x+8） ，则点 Q 坐标（x，x2+x+3） ， PQ=x2+x+3（2x+8）=+3x5=（x6）2+4， x=6 时，PQ 最大值=4， PQH 周长最大值=4+， 第 32 页（共 64 页） 此时点 H 坐标（，） （3）能，理由如下： 当 A在边 AC 上时（如图 2）重叠得到的四边形或三角形不是轴对称图形 当点 M在 AC 上时（如图 3）重叠部分不构成多边形 当 C在 AC 边上时， （） 点 M在ABC 外或 AB 边上， 重叠得到的等腰直角三角形是轴对称图形 （如 图 4） 点 C与点 A 重合时，s=0； 点 M在 AB 边上时， 第 33 页（共 64 页） s=CMCM=4， 0s4 （）点 M在ABC 内，仅当 AC=CM时重叠部分的四边形是轴对称图形（如 图 5） 点 A必在 CA 的延长线上， AA=ACAC=4， s=AM2AA2=1616 当点 N在 AC 边上时，仅当 C在ABC 内或 BC 边上时，重叠部分得到的五边 形是轴对称图形（如图 6） 当点 N与 A 重合时，s=AM2=8 当点 C在 BC 边上时 （如图 7） ， 作 CEOD 垂足为 E， 交 CN于 F， AN交 AB 于 G， NCAD， CNCCAD， 第 34 页（共 64 页） ， CE=4，NC=4，AD=6， CF=，EF=CECF=，GA=NA2EF=， s=AN2AG2=， 8s， 综上所述，正方形 AMCN与ABC 重叠部分得到的多边形能为轴对称图形，此 时，0s4 或 s=1616 或 8s 8 （2016重庆模拟）已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3， 0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D （1）求 b，c 的值及顶点 D 的坐标； （2）如图 1，点 E 是线段 BC 上的一点，且 BC=3BE，点 F（0，m）是 y 轴正半 轴上一点，连接 BF，EF 与线段 OB 交于点 G，OF：OG=2：，求FEB 的面积； （3）如图 2，P 为线段 BC 上一动点，连接 DP，将DBP 绕点 D 顺时针旋转 60 得DBP（点 B 的对应点是点 B，点 P 的对应点是点 P） ，DP交 y 轴于点 M，N 为 MP的中点，连接 PP，NO，延长 NO 交 BC 于点 Q，连接 QP，若PPQ 的面 积是BOC 面积的，求线段 BP 的长 第 35 页（共 64 页） 【解答】解： （1）根据题意得：， 解得：， 则抛物线的解析式是 y=x2+4x3， y=x2+4x3=（x24x）3=（x24x+44）3= （x2）2+， 则顶点 D 的坐标是（2，） ； （2）在 y=x2+4x3中令 y=0，则x2+4x3=0， 解得：x=1 或 3，则 B 的坐标是（3，0） ， 令 x=0，则 y=3，则 C 的坐标是（0，3） ， BC=3BE，易得 E 的坐标是（2，） 作 EHx 轴交 y 轴于点 H DFGHFE， 故=，HE=2 解得：HF=，OH=，OF=，OG= SFEB=SFGB+SGEB=（3）+（3）= 即FEB 的面积是 （3）由题意得ADB 是等边三角形，OBC=60， 第 36 页（共 64 页） 旋转后 B与 A 重合，BP在 x 轴上，设线段 BP 长为 d，0d6 P（1d，0） ，B（1，0） ，D（2，） 过 D 作 BP的垂线， 垂足为 K， 过 Q 作OB 的垂线， 垂足为 L， 由于QOB=NOP=NPO， 则有PDKOQL， 从而得， 设 Q（a，） ，则：； 解得 a=，|yQ|= 又 P（3，） ，|yP|= 则 SPPQ=SPPBSBPQ=BP（|yP|yQ|）= （d+2）（） =（d24d6） 而易求 SBOC= 由 SBOC=9SPPQ得： 化简得：d24d6=2；即 d24d4=0， 解得 d=2+2或 d=（舍去） ； 故 BP 的长 d=2+2 第 37 页（共 64 页） 9 （2016沙坪坝区校级三模）如图，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴交于点 C， 点 D， C 关于抛物线的对称轴对称， 直线 AD 与 y 轴相交于点 E （1）求直线 AD 的解析式； （2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求FGH 周长的最大值； （3）如图 2，点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一动点，点 Q 是坐标平面内 一点，四边形 APQM 是以 PM 为对角线的平行四边形，点 Q与点 Q 关于直线 AM 对称，连接 M Q，P Q当PM Q与APQM 重合部分的面积是APQM 面积的 时，求APQM 面积 【解答】解： （1）令x2+2x+3=0， 解得 x1=1，x2=3， A（1，0） ，C（0，3） ， 第 38 页（共 64 页） 点 D，C 关于抛物线的对称轴对称， D（2，3） ， 直线 AD 的解析式为：y=x+1； （2）设点 F（x，x2+2x+3） ， FHx 轴， H（x2+2x+2，x2+2x+3） ， FH=x2+2x+2x=（x）2+， FH 的最大值为， 由直线 AD 的解析式为：y=x+1 可知DAB=45， FHAB， FHG=DAB=45， FG=GH= 故FGH 周长的最大值为2+=； （3）当 P 点在 AM 下方时，如图 1， 设 P（0，p） ，易知 M（1，4） ，从而 Q（2，4+p） ， PM Q与APQM 重合部分的面积是APQM 面积的， PQ必过 AM 中点 N（0，2） ， 可知 Q在 y 轴上， 第 39 页（共 64 页） 易知 QQ的中点 T 的横坐标为 1，而点 T 必在直线 AM 上， 故 T（1，4