d)(线性与非线性区别.pdf

简介 近十年以来，人们已不再将有限元分析 (FEA) 视为仅供分析师使用的工具，它已 进入到实际的设计工作中。如今，CAD 软件中都内置了 FEA 功能，设计工程师 可使用 FEA 作为日常设计工具，协助完成产品设计过程。 但是，直到最近，设计工程师所采用的大多数 FEA 应用程序还仅仅局限于线性 分析。对于设计工程师所遇到的大多数问题，此类线性分析所得到的结果均与 其实际特征大体接近。但是，有时也会出现需要采用非线性方法解决的更具挑 战性的问题。 过去，工程师们不愿意使用非线性分析，因为使用这种方法对问题进行公式表示 非常复杂并且需要很长的求解时间。现在，随着非线性 FEA 软件与 CAD 结合， 情况有所改观，软件的使用也更加简便。此外，改进的求解算法辅之以强大的 台式计算机性能，使求解时间大大缩短。十年前，工程师将 FEA 视为极具价值 的设计工具。现在，他们开始认识到非线性 FEA 的优点并更深刻地理解了它对 设计过程所产生的影响。 线性分析与非线性分析的区别 术语“刚度”定义了线性分析与非线性分析间的根本区别。刚度是零件或装配 体的特性，用于表征其对所施加载荷的反应。影响刚度的因素有很多： 1. 形状：工字形横梁与槽形横梁具有不同的刚度。 2. 材料：与相同尺寸的钢制横梁相比，铁制横梁的刚度较低。 3. 零件支撑方式：对于相同的横梁，在只有一端支撑时的刚度要比带有两端嵌入 式支撑时的刚度低，弯曲程度更大，如图 1 所示。 图 1：悬臂横梁（上图）比具有两端支撑的相同横梁（下图）的刚度要低。 术语“刚度”定义了线性分析与非线性分析 间的根本区别。刚度是零件或装配体的特性， 用于表征其对所施加载荷的反应。影响刚度 的三个主要因素为：形状、材料和零件的支 撑方式。 如果刚度变化足够小，则可以假定在变形过程 中形状或材料属性没有任何变化。此假设是线 性分析的基本原理。 了解非线性分析 2 当结构在载荷的作用下发生变形时，由于上述一个或多个因素的影响，其刚度 会发生变化。如果变形很大，则其形状会发生变化。如果材料达到失效极限， 则材料属性将会变化。 另一方面，如果刚度变化足够小，则可以假定在变形过程中形状或材料属性没 有任何变化。此假设是线性分析的基本原理。 这意味着，在整个变形过程中，所分析的模型将保持施加载荷前尚未变形时所 具有的刚度。无论模型的变形程度如何、载荷是一次施加还是逐渐施加、对载 荷的反抗应力有多大，模型都将保持最初的刚度。 此假设极大地简化了问题的公式表示和求解过程。回想一下 FEA 的基本方程式： F = K * d 其中： F 是已知的节点载荷向量 K 是已知的刚度矩阵 d 是未知的节点位移向量 此矩阵方程式描述了 FEA 模型的状态。它包含大量的线性代数方程式，方程式 的数量从数千到数百万不等，具体取决于模型大小。刚度矩阵 K 取决于几何 形状、材料属性和约束。在线性分析假设下，模型的刚度永远不变，这些方程 式只需组建并求解一次。当模型发生变形时，无需进行任何更新。因此，在线 性分析中，从问题的公式表示到求解完成遵循的是一条直线道路。即使是非常 庞大的模型，也只需要数秒钟或数分钟就能得到结果。 在非线性分析的世界中，任何事物都会发生变化，因为非线性分析要求工程师 放弃刚度不变的假设，而是认为刚度在变形过程中会发生变化，并且在迭代求 解过程中，刚度矩阵 K 必须随非线性解算器的进展而更新。这些迭代运算增 加了获得准确结果所需的时间。 了解不同类型的非线性行为 尽管刚度变化的过程对于各类非线性分析都相同，但非线性行为的来源可能 不同。因此，按照造成非线性的主要来源对非线性分析进行分类是合理的。 由于在很多问题中无法指出造成非线性行为的单一原因，因此某些分析可能 必须解释多种非线性类型。 几何非线性 如前所述，当零件的刚度在操作条件下发生变化时，就需要采用非线性分析。 如果刚度的变化只是由形状变化造成，则将该非线性行为定义为几何非线性。 当零件产生肉眼可看到的较大变形时，就会发生此类由形状导致的刚度变化。 一条广为接受的经验是，当变形大于零件最大尺寸的 1/20 时，应进行几何非 线性分析。另一个需要注意的重要因素是，当发生较大的变形时，载荷方向会 随着模型的变形而发生变化。大多数 FEA 程序会提供两种选择来解释此种方向 变化：跟随载荷和非跟随载荷。 跟随载荷保持与变形后模型的相对方向，如图 2 所示。而非跟随载荷保持其最 初的方向。 图 2：跟随载荷（或称非保守载荷）在变形过程中会改变其方向并与变形的横梁保持垂直 （左图）。非跟随载荷（或称保守载荷）保持其原始方向（右图）。 一条广为接受的经验是，当变形大于零件最 大尺寸的 1/20 时，应进行几何非线性分析。 另一个需要注意的重要因素是，当发生较大 的变形时，载荷方向会随着模型的变形而发 生变化。 了解非线性分析 3 压力容器在高压条件下发生巨大的变形是后一种情况的典型示例。该压力载荷 总是垂直施加于压力容器的器壁。尽管对此种情况的线性分析假定容器的形状 没有改变，但实际对压力容器进行分析时，需要分析在非保守载荷（或称跟随 载荷）下的几何非线性。 当变形很小时，也可能发生由于形状造成的刚度变化。一个典型的示例是，原本 平坦的薄膜在压力的作用下发生弯曲（参见图 3） 图 3：尽管变形的幅度非常小，但压力载荷下的平面薄膜仍需要采用非线性几何分析。 最初，薄膜仅以折弯刚度对抗压力载荷。当压力载荷造成一定的曲率后，除原始 折弯刚度外，变形的薄膜还会产生附加刚度（图 4）。变形会改变薄膜的刚度， 这使变形后的薄膜具有比平面薄膜具有更大的刚度。 有些 FEA 程序使用令人混淆的术语，将所有几何非线性分析统称为“大变形 分析”。此说法忽略了对较小变形执行非线性分析的必要性。 图 4：平面薄膜对载荷仅作出折弯刚度效应。由于发生变形，因此还产生了薄膜刚度。因此， 薄膜的刚度比线性分析预测的要大。 非线性材料 如果刚度的变化仅仅是由于材料属性在操作条件下的变化造成，则该问题属于 材料非线性。线性材料模型假定应力与应变成比例（下面的图 5）。这意味着， 其假定条件为施加的载荷越大，应力越大，并且变形将与载荷的变化成比例。 它还假定不会产生永久的变形，一旦载荷消失，模型将总是恢复到其原始形状。 图 5 当变形很小时，也可能发生由于形状造成的刚 度变化。一个典型的示例是，原本平坦的薄膜 在压力的作用下发生弯曲。最初，薄膜仅以折 弯刚度对抗压力载荷。当压力载荷造成一定的 曲率后，除原始折弯刚度外，变形的薄膜还会 产生附加刚度。 了解非线性分析 4 尽管这种简化是可以接受的，但是如果载荷高到足以导致某些永久变形（例如， 大多数塑料所发生的变形），或者如果应变非常高（有时会 50%，例如橡胶 和弹性体所发生的应变），则必须使用非线性材料模型。 由于不同种类材料在操作条件下的行为有很大的差异，FEA 程序开发了专门的 技术和材料模型来模拟这些行为。下表简要介绍各材料模型最适用的问题。 弹性塑料 超弹性材料 粘弹性材料 蠕变材料 超弹性材料 （形状记忆合金） 这些模型适用于在达到最终应力前， 其应变-应力曲线呈现“平稳”形状的 材料。通过此材料模型可以很好地表 征大多数工程用金属和一些塑料。 此模型适用于土壤和颗粒状材料。 适用于不能压缩的弹性体，例如橡胶。 此模型适用于可压缩的聚氨酯泡沫 橡胶。 此模型适用于硬橡胶或玻璃。 蠕变是指在恒定应力状态下产生的与时 间相关的应变。大多数工程材料，尤其 是高温下的金属、高分子塑料、混凝土 和火箭发动机中的固体推进剂都会发生 蠕变。 形状记忆合金 (SMA)（例如镍钛诺） 表现超弹性效应。这种材料在装载-卸 载周期内会发生较大的变形，但不会 发生永久变形。 Von Mises 或 Tresca Drucker-Prager Mooney-Rivlin 和 Ogden Blatz-Ko 多种（可选择其 他模型） 多种（可选择其 他模型） 镊钛诺 材料分类模型备注 图 6：理想弹塑性材料模型的应力-应变曲线。在此材料模型中，最大应力值不能超过塑性应 力的极限（屈服应力）。 在分析理想弹塑性材料模型（即在变形后完全失去恢复到原有形状的能力的材 料）时，应力在超过特定应变值时将保持恒定。它描述了一个由 8 个螺栓很好 地固定到位的铸铁材料挡盖（此模型是一个最简单的非线性材料模型，其应变- 应力曲线如图 6 所示）。 如果载荷高到足以导致某些永久变形（例如， 大多数塑料所发生的变形），或者如果应变非 常高（有时会 50%，例如橡胶和弹性体所发 生的应变），则必须使用非线性材料模型。 了解非线性分析 5 线性分析表明，最大 von Mises 应力为 614 MPa (89,600 psi)，而材料屈服力为 206 MPa (30,000 psi)。线性分析的结果如图 7 所示。 图 7：线性应力求解表明，挡盖有非常高的局部应力集中。 如果应力超过屈服力，挡盖将会破裂吗？要回答此问题，需要使用弹塑性材料 模型来分析材料变为塑性的程度。图 8 显示当最大应力等于屈服应力时的非线 性求解。塑性区域仍是局部的，这表明挡盖不会破裂。当然，需要通过严谨的 工程评估来判断此设计是否可以接受。 图 8：通过理想弹性塑性材料模型得到的非线性应力求解。红色区域表示材料变为塑性。 塑性区域的范围仍为局部。 在分析理想弹塑性材料模型（即在变形后完全 失去恢复到原有形状的能力的材料）时，应力 在超过特定应变值时将保持恒定。 了解非线性分析 6 图 9 显示了铝制支架的线性应力求解。最大应力为 44 MPa (6,400 psi)， 忽略材料在 28 MPa (4,100 psi) 下屈服这一事实。 图 9：带孔支架的线性应力求解表明应力远远超过了材料屈服应力的限制。 非线性材料分析可以解释这些结果，即当最大应力保持在 28 MPa (4,100 psi)时 材料产生屈服（下面的图 10）。非线性应力结果表明支架即将断裂。塑性区域 几乎占据了悬臂的整个截面，稍微增加载荷量即可导致截面完全塑化，形成塑 性铰，进而导致支架断裂。 图 10：非线性应力求解显示最大应力不超过屈服应力。塑性区域的范围表明支架即将形成塑 性铰。它已处在载荷承受能力的极限。 如果应力超过屈服力，挡盖将会破裂吗？要回 答此问题，需要使用弹性塑性材料模型来分析 材料变为塑性的程度。塑性区域仍是局部的， 这表明挡盖不会破裂。 了解非线性分析 7 在为普通钢制曲别针的简单动作（“拉直”然后“弯回”）建模时，需要同时 考虑材料非线性分析和几何非线性分析。图 11 显示了使用理想弹塑性材料模型 获得的曲别针变形后的形状。图 12 显示了在曲别针恢复原有形状后残余的应力。 图 11：曲别针弯曲分析需要采用材料非线性和几何非线性分析。“拉直”位置的曲别针显示 塑性应力。 图 12：弯回到原有形状的曲别针显示残余应力。 失去弹性稳定性（屈曲） 零件的刚度还会因所施加的载荷而变化。有时，根据载荷施加方式的不同，载荷 会增加刚度（拉伸载荷）或减小刚度（压缩载荷）。例如，绷紧的绳索可以承 载杂技演员的体重，而松弛的绳索将会使其坠落。在压缩载荷的情况下，如果 刚度的改变足以导致结构刚度降为零，即会发生屈曲并且结构会发生快速变形。 然后，结构可能坍塌或在其屈曲后的状态中获得新的刚度。 可通过线性屈曲分析计算导致结构发生屈曲的载荷（欧拉载荷）。但是，线性 屈扭曲分析的结果是不保守的。此外，FEA 模型中的理想化条件可能导致 FEA 模型预测的屈曲载荷远远高于实际失稳载荷。因此，应该谨慎使用线性屈曲分 析的结果。 屈曲并不一定意味着灾难性故障，在发生屈扭曲后结构仍有可能承载载荷。非线 性分析将解释屈曲后的行为。 了解非线性分析 8 图 13 和 14 显示了翘曲效应。零件甚至在发生扭曲后仍保持其承载能力。 图 13 图 14：屈曲效应分析需要采用非线性分析。 接触应力和非线性支撑 如果支撑条件（包括接触条件）在应用工作载荷时发生变化，则需要采用非线 性分析。 接触应力在两个接触面间形成。因此，接触面积及接触区域的刚度在求解前是 未知的。图 15 显示了典型接触问题的应力求解。尽管与总体的模型尺寸相比， 接触应力面积非常小，但是接触区域的刚度变化仍需要采用非线性分析。 图 15：为两个球面（只显示了两个接触零件中的一个）间产生的应力建模的接触应力分析属 于非线性支撑分析类别。 图 16 显示非线性支撑的示例。有效横梁长度及其后续的刚度取决于横梁的变 形量。当横梁接触支撑物时，其刚度因有效支撑长度增加而增加。 图 16：此支撑（当启用时）会改变横梁的有效长度，从而导致横梁的刚度发生变化，因此该 问题需要采用非线性分析。 如果支撑条件（包括接触条件）在应用工作载 荷时发生变化，则需要采用非线性分析。 了解非线性分析 9 非线性动态分析 动态分析可解释惯性效应、阻尼及与时间相关的载荷。跌落测试、发动机架的 振动、气囊弹出或碰撞模拟都需要采用动态分析。但是，应采用动态线性分析 还是动态非线性分析？判断准则与静态分析完全相同。 如果模型刚度在施加载荷的条件下没有发生明显变化，则采用线性动态分析 即可。振动的发动机架或音叉都是围绕平衡点发生小的变形，因此可以采用线 性动态分析。 诸如碰撞模拟、气囊弹出分析或金属冲压处理建模等问题都需要采用非线性动 态分析，这是因为上述过程中同时发生了大的变形（几何非线性分析）和大的 应变（材料非线性分析）。 非线性分析怎样帮助我们生产出更好的产品？ 真实世界是非线性的。这意味着线性分析只能近似零件和装配体的真实非线性 行为。大多数情况下，这种近似是可接受的，并且线性分析能够提供关于产品 特性的有价值信息。但是在很多情况下，线性假设与实际情况相差甚远，提供 的信息过于粗糙甚至会产生误导。 使用此类线性分析结果来判断零件在工作载荷下是否会出现故障可能会导致 保守设计。例如，仅采用线性分析的支架设计要求设计者必须严格满足应力不 超过屈服力的要求。但是，非线性分析则可能表明一定的屈服是可以接受的。 在此情况下，可以节省用料或选择较为便宜的材料，而不会影响结构完整性。 另一个示例是，采用线性分析进行测试的工程师可能因担心平板的挠度过大而 进行保守设计，以补偿该挠度。孰不知，线性分析夸大了变形，原本的设计就 已足够好。 日常设计实践中的非线性分析 一旦工程师获得了足够的经验来识别非线性问题，就会发现非线性分析技术的 应用并不仅局限于特殊情况。在各行各业的各种日常设计实践中，都存在很多 需要采用非线性分析或者可从该方法获益的设计。 下面是一些产品示例，为它们作出正确的设计决策需要采用非线性分析。其中 的很多问题涉及到多种非线性行为。 导轮（图 17） 这种由冲压钢制成的导轮在皮带载荷形成过度应力前可能发生屈曲。尽管线性 屈曲分析足以判定扭曲载荷，但需要通过非线性分析来研究屈曲后的行为。 图 17 但是在很多情况下，线性假设与实际情况相差 甚远，提供的信息过于粗糙甚至会产生误导。 使