2016深圳南山高三数学(上)期末试卷(理附答案和解释）

1 / 30 2016深圳南山高三数学 (上 )期末试卷 (理附答案和解释） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年广东省深圳市南山区高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=Z，集合 A=1， 6， AB=2 ， 0， 1， 6，那么（ UA） B= （ ） A B 3， 4， 5c 2， 0D 1， 6 2已知复数 z=x+yi（ x、 yR ），且有，则 |z|=（ ） A 5B c 3D 3设 a， bR ，则 “a b 1” 是 “a b a2 b2” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 c充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4二项式的展开式中，若常数项为 60，则 m2n2的值为（ ） A 2B 3c 4D 6 5实数 x、 y 满足条件，则 z=x y 的最小值为（ ） A 1B 1c D 2 6表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中2 / 30 记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对应数据根据 下表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =+，那么表中 t 的值为（ ） x3456 A 3B 7设 是第二象限角，且，则 tan2= （ ） A B c D 8阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出 i 的结果为（ ） A 7B 8c 9D 10 9如图，在矩形 ABcD中， Bc=1，沿 Ac将矩形 ABcD折叠，连接 BD，所得三棱锥 D ABc 的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 D ABc的侧视图的面积为（ ） A B c D 10如图，已知 F1， F2 是双曲线的下，上焦点，过 F2点作以 F1 为圆心， |oF1|为半径的圆的切线， P 为切点，若切线段 PF2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ） A 3B 2c D 3 / 30 11在 ABc 中， A， B， c 的对边分别为 a， b， c， a=10，且 acosc， bcosB， ccosA成等差数列，则 c=（ ） A 15B 5c 3D 25 12已知椭圆 E： +=1（ a b 0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 m，直线 l： 3x 4y=0 交椭圆 E 于 A， B 两点，若|AF|+|BF|=4，点 m 到直线 l 的距离不小于，则椭 圆 E 的离心率的取值范围是（ ） A（ 0， B（ 0， c ， 1） D ， 1） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13设随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 2 ），且 P（ Xa2 1） =P（ X a 3），则正数 a= 14设 a 0， a1 ，则 “ 函数 f（ x） =ax在 R 上是减函数 ” ，是 “ 函数 g（ x） =（ 2 a） x3在 R 上是增函数 ” 的 条件（在 “ 充分不必要条件 ” 、 “ 必要不充分 ” 、 “ 充分必要 ” 、 “ 既不充分有不必要 ” 中选一个填写） 15已知数列 an满足， a1=1， Sn 是数列 an的前 n 项和，则 SXX= 16函数 f（ x） =cos（ 2x+ ）（ | ）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则当函数 f（ x）在 0， 上取得最小值时， x= 4 / 30 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知 an是一个单调递增的等差数列，且满足是 a2，a4的等比中项， a1+a5=10数列 bn满足 （ 1）求数列 an的通项公式 an； （ 2）求数列 bn的前 n 项和 Tn 18某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平， 在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90，100 （ ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （ ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学，求这名同学考试成绩在 80分以上（含 80分）的概率； （ ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这3 名同学中考试成绩在 80分以上（含 80分）的人数记为 X，求 X 的分布列及数学期望（注：频率可以视为 相应的概率） 19如图所示，已知四棱锥 P ABcD 中， PA 平面 ABcD，底面 ABcD是直角梯形， ABcD ， ABAD ， AB=2AD=2AP=2cD=2，E 是棱 Pc上一点，且 cE=2PE （ 1）求证： AE 平面 PBc； （ 2）求二面角 A Pc D 的大小 5 / 30 20如图，点 o 为坐标原点，直线 l 经过抛物线 c： y2=4x的焦点 F （ ）若点 o 到直线 l 的距离为，求直线 l 的方程； （ ）设点 A 是直线 l 与抛物线 c 在第一象限的交点点 B是以点 F 为圆心， |FA|为半径的圆与 x 轴负半轴的交点试判断 直线 AB与抛物线 c 的位置关系，并给出证明 21已知函数 f（ x） =lnx ax+，其中 a 为常数 （ ）若 f（ x）的图象在 x=1处的切线经过点（ 3， 4），求a 的值； （ ）若 0 a 1，求证：； （ ）当函数 f（ x）存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修 4-1：几何证明选讲 22如图所示， PA为圆 o 的切线， A 为切点， Po交圆 o 于 B，c 两点， PA=20， PB=10， BAc 的角平分线与 Bc和圆 o 分别交于点 D 和 E 6 / 30 （ 1）求证： （ 2）求 ADAE 的值 选修 4-4：极坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xoy 中，曲线 c1 的参数方程为，（ 为参数），以原点 o 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 c2的极坐标方程为 （ ）求曲线 c1的普通方程与曲线 c2的直角坐标方程； （ ）设 P 为曲线 c1上的动点，求点 P 到 c2上点的距离的最小值 选修 4-5：不等式选讲 24设 函数 f（ x） =|2x a| （ 1）当 a=3时，解不等式， f（ x） |x 2| （ 2）若 f（ x） 1 的解集为 0， 1， +=a（ m 0， n 0），求证： m+2n4 XX-2016学年广东省深圳市南山区高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 7 / 30 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=Z，集合 A=1， 6， AB=2 ， 0， 1， 6，那么（ UA） B= （ ） A B 3， 4， 5c 2， 0D 1， 6 【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案 【解答】解：全集 U=Z，集合 A=1， 6， AB=2 ， 0， 1，6， 集合 BAB ，并且一定有 0， 2， UA 也一定有 0， 2， （ UA） B=0 ， 2 故选： c 2已知复数 z=x+yi（ x、 yR ），且有，则 |z|=（ ） A 5B c 3D 【考点】复数求模 【分析】利用复 数的乘法运算法则化简复数，通过复数相等求出结果即可 【解答】解：复数 z=x+yi（ x、 yR ），且有， x=1+y+（ y 1） i， 8 / 30 解得 y=1， x=2， |z|=|2+i|= 故选： B 3设 a， bR ，则 “a b 1” 是 “a b a2 b2” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 c充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 【解答】解：设命题 p： a b 1；则 a b 0， 命题 q： a b a2 b2化简得 （ a b）（ a+b）（ a b）， 又 a ， bR ， pq ， q 推不出 p， P 是 q 的充分不必要条件， 即 “a b 1” 是 “a b a2 b2” 的充分不必要条件， 故选： A 4二项式的展开式中，若常数项为 60，则 m2n2的值为（ ） A 2B 3c 4D 6 【考点】二项式系数的性质 9 / 30 【分析】根据二项展开式的通项公式 Tr+1，求出常数项的表达式，即可求出 m2n2的值 【解答】解：（ x+） 6 的二项展开式的通项公式为： Tr+1=nrx6 3r， 令 6 3r=0， 解得 r=2； 所以展开式中的常数项为： m2n2=15m2n2=60， 解得 m2n2=4 故选： c 5实数 x、 y 满足条件，则 z=x y 的最小值为（ ） A 1B 1c D 2 【考点】简单线性规划 【分析】由题意作出其平面区域，将 z=x y 化为 y=x z， z 相当于直线 y=x z 的纵截距，由几何意 义可得 【解答】解：由题意作出其平面区域， 将 z=x y 化为 y=x z， z 相当于直线 y=x z 的纵截距， 则过点（ 0， 1）时， z=x y 取得最小值， 则 z=0 1= 1， 故选 B 10 / 30 6表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对应数据根据下表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =+，那么表中 t 的值为（ ） x3456 A 3B 【考点】回归分析的初步应用 【分析】先求出这组数据的样本中心点，样 本中心点是用含有 t 的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于 t 的一次方程，解方程，得到结果 【解答】解： 由回归方程知 =， 解得 t=3， 故选 A 7设 是第二象限角，且，则 tan2= （ ） A B c D 【考点】二倍角的正切 【分析】根据题意，利用同角三角函数的基本关系算出 sin ，可得 tan ，再由二倍角的正切公式加以计算，可得 tan211 / 30 的值 【解答】解： ， sin2=1 cos2= 又 是第二象限角，得 sin 0， si n= ， 由此可得 tan= ，因此 tan2= 故选： D 8阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出 i 的结果为（ ） A 7B 8c 9D 10 【考点】程序框图 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：第一次执行循环体后， S=lg，不满足退出循环的条件， i=3； 再次执行循环体后， S=，不满足退出循环的条件， i=5； 再次执行循环体后， S=， 不满足退出循环的条件， i=7； 再次执行循环体后， S=，不满足退出循环的条件， i=9； 再次执行循环体后， S=，满足退出循环的条件， 12 / 30 故输出的 i 值为 9， 故选： c 9如图，在矩形 ABcD中， Bc=1，沿 Ac将矩形 ABcD折叠，连接 BD，所得三棱锥 D ABc 的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 D ABc的侧视图的面积为（ ） A B c D 【考点】简单空间图形的三视图 【分析】由题意知平面 ABD 平面 BcD，三棱锥 A BcD侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过 B 和 D 向 Ac 所做的垂线，求出直角边的长度，即可得侧视图的面积 【解答】解：由正视图和俯视图可知平面 ABD 平面 BcD， 三棱锥 A BcD 侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过 A 和 c 向 BD 所做的垂线， 由面积相等可得直角边长为 =， 侧视图面积为 S= 故选： c 10如图，已知 F1， F2是双曲线的下，上焦点，过 F2点作以 F1 为圆心， |oF1|为半径的圆的切线， P 为切点，若切线13 / 30 段 PF2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ） A 3B 2c D 【考点】双曲线的简单性 质 【分析】由已知 F2（ 0， c），直线 PF2： y c=，过 F2 点作以 F1为圆心， |oF1|为半径的圆的方程为 x2+（ y+c） 2=c2，联立，求出 P，从而求出 m，由此能求出双曲线的离心率 【解答】解： F1 ， F2是双曲线的下，上焦点，过 F2点作以 F1为圆心， |oF1|为半径的圆的切线， P 为切点，若切线段 PF2 被一条渐近线平分， F2 （ 0， c）， |F1F2|=2c， |PF1|=c， 直线 PF2的斜率 k=， 直线 PF2： y c=，过 F2点作以 F1为圆心， |oF1|为半径的圆的方程为 x2+（ y+c） 2=c2， 联立，得 P（， c）， m （，）， 切线段 PF2被一条渐近线平分， m （，）在渐近线 y=上， ， b= ， c2=a2+b2=4a2 ， c=2a， 双曲线的离心率为 e= 故选： B 14 / 30 11在 ABc 中， A， B， c 的对边分别为 a， b， c， a=10，且 acosc， bcosB， ccosA成等差数列，则 c=（ ） A 15B 5c 3D 25 【考点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算 【分析】先根据等差数列的性质，以及正弦定理和两角和的正弦公式求出 B=60 ，再根据余弦定理即可求出 c 的值 【解答】解、 acosc 、 bcosB、 ccosA 成等差数列， 2bcosB=acosc+ccosA ， 由正弦定理 =， 2sinBcosB=sinAcosc+sinccosA ， 即 2sinBcosB=sin（ A+c） =sinB， A ， B， c 为 ABc 的内角， sinB0 ， cosB= ， B=60 ， 由余弦定理，可得 b2=a2+c2 2accosB， a=10， c2 10c 15=0， 解得 c=15， 故选： A 12已知椭圆 E： +=1（ a b 0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 m，直线 l： 3x 4y=0 交椭圆 E 于 A， B 两点，若15 / 30 |AF|+|BF|=4，点 m 到直线 l 的距离不小于，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ） A（ 0， B（ 0， c ， 1） D ， 1） 【考点】直线与圆锥曲线的关系 【分析】如图所示，设 F 为椭圆的左焦点，连接 AF ， BF ，则四边形 AFBF 是 平 行 四 边 形 ， 可 得4=|AF|+|BF|=|AF|+|BF|=2a 取 m（ 0， b），由点 m 到直线l 的距离不小于，可得，解得 b1 再利用离心率 计算公式e=即可得出 【解答】解：如图所示，设 F 为椭圆的左焦点，连接 AF ，BF ，则四边形 AFBF 是平行四边形， 4=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a ， a=2 取 m（ 0， b）， 点 m 到直线 l 的距离不小于， ，解得 b1 e= 椭圆 E 的离心率的取值范围是 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13设随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 2 ），且 P（ Xa2 1） =P（ X a 3），则正数 a= 3 或 2 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 16 / 30 【分析】根据正态曲线关于 x=1对称，得到两个概率相等的区间关于 x=1对称，得到关于 a 的方程，解方程即可 【解答】解： 随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 2 ），且 P（ Xa2 1） =P（ X a 3）， a2 1+a 3=2， a= 3 或 2， 故答案为： 3 或 2 14设 a 0， a1 ，则 “ 函数 f（ x） =ax在 R 上是减函数 ” ，是 “ 函数 g（ x） =（ 2 a） x3在 R 上是增函数 ” 的 充分不必要 条件（在 “ 充分不必要条件 ” 、 “ 必要不充分 ” 、“ 充分 必要 ” 、 “ 既不充分有不必要 ” 中选一个填写） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据函数 f（ x） =ax在 R 上是减函数求出 a 的范围，代入函数 g（ x） =（ 2 a） x3，分析函数的增减性，然后根据函数 g（ x） =（ 2 a） x3在 R 上是增函数，求出 a 的范围，判断函数 f（ x） =ax在 R 上是否为减函数 【解答】解：由函数 f（ x） =ax 在 R 上是减函数，知 0 a 1，此时 2 a 0，所以函数 g（ x） =（ 2 a） x3在 R 上是增函数， 反之由 g（ x） =（ 2 a） x3在 R 上是增函数，则 2 a 0，所以 a 2，此时函数 f（ x） =ax 在 R 上可能是减函数，也可17 / 30 能是增函数， 故 “ 函数 f（ x） =ax在 R 上是减函数 ” 是 “ 函数 g（ x） =（ 2 a） x3在 R 上是增函数 ” 的充分不必要的条件 故答案为充分不必要 15已知数列 an满足， a1=1， Sn 是数列 an的前 n 项和，则 SXX= 1 【考点】数列递推式 【分析】由数列 an满足， a1=1，可得 a4k 3=1， a4k 2= 1， a4k 1= 1， a4k=1， kN* 即可得出 【解答】解： 数列 an满足， a1=1， a2= 1， a3= 1， a4=1， a5=1 ， a4k 3=1， a4k 2= 1， a4k 1= 1， a4k=1， kN* 即数列各项的值呈周期性出现 SXX=503 （ 1 1 1+1） +（ 1 1 1） = 1 故答案为： 1 16函数 f（ x） =cos（ 2x+ ）（ | ）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则当函数 f（ x）在 0， 上取得最小值时， x= 【考点】函数 y=Asin（ x+ ）的图象变换 【分析】由条件根据函数 y=Acos（ x+ ）的图象变换规18 / 30 律，余弦函数的图象的对称 性可得 +=k+ ， kz ，由此根据 | 求得 的值得到函数解析式即可得解 【解答】解：函数 f（ x） =cos（ 2x+ ）（ | ）的图象向左平移个单位后得到的函数解析式是： y=cos2（ x+）+=cos （ 2x+ ）， 函数图象关于原点对称， 可得 +=k+ ， kz ， | ， 可解得： = ，即有： f（ x） =cos（ 2x+） 由题意 x0 ， ，得 2x+ ， ， cos （ 2x+） 1， ，即有当 2x+= 即 x=时，函数 f（ x） =cos（ 2x+）在区间 0， 的取最小值为 1 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知 an是一个单调递增的等差数列，且满足是 a2，a4的等比中项， a1+a5=10数列 bn满足 （ 1）求数列 an的通项公式 an； （ 2）求数列 bn的前 n 项和 Tn 【考点】数列的求和 【分析】（ 1）设等差数列 an的公差为 d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式即可得出； 19 / 30 （ 2）利用数列的求和方法： “ 错位相减法 ” 与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】解：（ 1）设等差数列 an的公差为 d，则依题知 d 0 由 2a3=a1+a5=10，又可得 a3=5 由是 a2， a4的等比中项，可得 a2a4=21， 得（ 5 d）（ 5+d） =21，可得 d=2 a1=a3 2d=1可得 an=2n 1（ nN* ）； （ 2）由（ 1）得 =（ 2n 1） （） n， Tn=1+3+5+ （ 2n 1） （） n， Tn=1+3+5+ （ 2n 1） （） n+1， 得， Tn=+2（ + （） n）（ 2n 1） （）n+1 =+2（ 2n 1） （） n+1， Tn=3 18某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90，20 / 30 100 （ ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （ ）如果从参加本次考 试的同学中随机选取 1 名同学，求这名同学考试成绩在 80分以上（含 80分）的概率； （ ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这3 名同学中考试成绩在 80分以上（含 80分）的人数记为 X，求 X 的分布列及数学期望（注：频率可以视为相应的概率） 【考点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】（ ）根据频率分布直方图，计算数据的平均数即可； （ ）计算被抽到的同学考试成绩在 80（分）以上的概率； （ ）得出 X 可能的取值，求出 X 的分布列与期望 E（ X） 【 解答】解：（ ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为： 55+65+75+85+95= ； （ ）设被抽到的这名同学考试成绩在 80（分）以上为事件 A P（ A） =10+10= ； 被抽到的这名同学考试成绩在 80（分）以上的概率为； （ ）从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 8021 / 30 （分）以上的概率为 P=； X 可能的取值是 0， 1， 2， 3； P （ X=0） =； P（ X=1） =； P（ X=2） =； P（ X=3） =； X 的分布列为： X0123 P 所以 E（ X） =0+1+2+3= ； （或 X B（ 3，）， E （ X） =np=3= 19如图所示，已知四棱锥 P ABcD 中， PA 平面 ABcD，底面 ABcD是直角梯形， ABcD ， ABAD ， AB=2AD=2AP=2cD=2，E 是棱 Pc上一点，且 cE=2PE （ 1）求证： AE 平面 PBc； （ 2）求二面角 A Pc D 的大小 22 / 30 【考点】二面角的平面角及求法；直线 与平面垂直的判定 【分析】（ 1）先证 Bc 平面 PAc，可得 AEBc ，再用勾股定理的逆定理证 AEPc ，由此能证明 AE 平面 PBc （ 2）设 Ac中点为 o， cE中点为 m，连 Do， om， Dm，由三垂线逆定理知 DmPc ， omD 为二面角 A Pc D 的平面角，由此能求出二面角 A Pc D 的大小 【解答】证明：（ 1） PA 平面 ABcD， Bc平面 ABcD，BcPA ， 底面 ABcD 是 直 角 梯 形 ， ABcD ， ABAD ，AB=2AD=2AP=2cD=2， Ac=Bc= ， Ac2 +Bc2=AB2， AcBc ， AcPA=A ， Bc 平面 PAc， AEBc ， Pc=， E 是棱 Pc上一点，且 cE=2PE， PE= ， cE=， PA2 PE2=Ac2 cE2， AEPc ， BcPc=c ， AE 平面 PBc 解：（ 2）设 Ac 中点为 o， cE中点为 m，连 Do， om， Dm， 则 omAE ， Do 平面 PAc，由（ 1）知 AEPc ， omPc ， 由三垂线逆定理知 DmPc ， omD 为二面角 A Pc D 的平面角， 23 / 30 ， omD=60 ， 二面角 A Pc D 的大小 60 20如图，点 o 为坐标原点，直线 l 经过抛物线 c： y2=4x的焦点 F （ ）若点 o 到直线 l 的距离为，求直线 l 的方程； （ ）设点 A 是直线 l 与抛物线 c 在第一象限的交点点 B是以点 F 为圆心， |FA|为半径的圆与 x 轴负半轴的交点试判断直线 AB与抛物线 c 的位置关系，并给出证明 【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 【分析】法一：（ ）抛物线的焦点 F（ 1， 0），当直线 l 的斜率不存在时，即 x=1不符合题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： y=k（ x 1），所以，由此能求出直线 l的方程 （ ）直线 AB 与抛物线相切设 A（ x0， y0），则因为|BF|=|AF|=x0+1，所以 B（ x0， 0），由此能够证明直线 AB与抛物线相切 法二：（ ）同解法一 （ ）直线 AB 与抛物线相切，设 A（ x0， y0），则设圆的24 / 30 方程为：由此能够证明直线 AB与抛物线相切 【解答】解法一：（ ）抛物线的焦点 F（ 1， 0）， 当直线 l 的斜率不存在时，即 x=1 不符合题意 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为： y=k（ x 1），即 kx y k=0 所以，解得： 故直线 l 的方程为：，即 （ ）直线 AB 与抛物线相切，证明如下： （法一）：设 A（ x0， y0），则 因为 |BF|=|AF|=x0+1，所以 B（ x0， 0） 所以直线 AB的方程为：， 整理得： （ 1） 把方程（ 1）代入 y2=4x得：， ， 所以直线 AB与抛物线相切 解法二：（ ）同解法一 （ ）直线 AB 与抛物线相切，证明如下： 设 A（ x0， y0），则 设圆的方程为：， 当 y=0时，得 x=1 （ x0+1）， 因为点 B 在 x 轴负半轴，所以 B（ x0， 0） 所以直线 AB的方程为， 25 / 30 整理得： （ 1） 把方程（ 1）代入 y2=4x得：， ， 所以直线 AB与抛物线相切 21已知函数 f（ x） =lnx ax+，其中 a 为常数 （ ）若 f（ x）的图象在 x=1处的切线经过点（ 3， 4），求a 的值； （ ）若 0 a 1，求证：； （ ）当函数 f（ x）存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性 【分析】（ ）求出原函数的导函数，得到 f（ 1） =1 2a，又，得 1 2a=2，求得 a=； （ ）求出，构造函数，由导数求得得答案； （ ）求出原函数的导函数，然后分 a0 ， a， 0 三种情况讨论 f（ x）的零点的个数 【解答】解：（ ） f （ x） =lnx ax+， ， f （ 1） =1 2a， 又， 1 2a=2， a=； （ ）， 26 / 30 令， 则， x （ 0， 1）时， g（ x） 0， g（ x）单调递减， 故 x （ 0， 1）时， 当 0 a 1 时，； （ ） ， 当 a0 时，在（ 0， + ）上， f（ x） 0， f（ x）递增， f （ x） 至多只有一个零点，不合题意； 当 a 时，在（ 0， + ）上， f （ x） 0 ， f（ x）递减， f （ x）至多只有一个零点，不合题意； 当 0 时，令 f （ x） =0，得， 此时， f（ x）在（ 0， x1）上递减，（ x1， x2）上递增，（ x2，+ ）上递减， f （ x）至多有三个零点 f （ x）在（ x1， 1）递增， f （ x1） f（ 1） =0， 又 ， ，使得 f（ x0） =0， 又， 恰有三个不同零点：， 函数 f（ x）存在三个不同的零点时， a 的取值范围是 请考生在 22、 23、 24 三题中 任选一题作答注意：只能做27 / 30 所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B铅笔在答题卡上将