2017高考数学一轮考点训练-函数的概念、基本初等函数ⅰ及函数的应用（附答案）

1 / 15 2017 高考数学一轮考点训练 -函数的概念、基本初等函数及函数的应用（附答案） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 m 第二章函数的概念、基本初等函数 () 及函数的应用 考纲链接 1.函数 (1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念 (2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图象法、列表法、解析法 )表示函数 (3)了解简单的分段函数，并能简单应用 (函数分段不超过三段 ) (4)理解函数的单调性、最大 (小 )值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义 (5)会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 2指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景 2 / 15 (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 (3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2， 3， 10， 12， 13 的指数函数的图象 (4)体会指数函数是一类重要的函数模型 3对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化 运算中的作 用 (2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2， 10， 12 的对数函数的图象 (3)体会对数函数是一类重要的函数模型 (4)了解指数函数 y ax(a0，且 a1) 与对数函数 ylogax(a0，且 a1) 互为反函数 4幂函数 (1)了解幂函数的概念 (2)结合函数 y x， y x2， y x3， y x12， y 1x 的图象，了解它们的变化情况 5函数与方程 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性 与根的个数 3 / 15 6函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 (2)了解函数模型 (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )的广泛应用 函数及其表示 1函数的概念 一般地，设 A， B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有 _f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A到集合 B 的 一个 _，记作 y f(x)， xA ，其中， x叫做 _， x 的取值范围 A 叫做函数的 _；与 x的值相对应的 y 值叫做 _，其集合 f(x)|xA 叫做函数的 _ 2函数的表示方法 (1)解析法：就是用 _表示两个变量之间的对应关系的方法 (2)图象法：就是用 _表示两个变量之间的对应关系的方法 4 / 15 (3)列表法：就是 _来表示两个变量之间的对应关系的方法 3构成函数的三要素 (1)函数的三要素是： _， _， _. (2)两个函数相等：如果两个函数的 _相同，并且_完全一致，则称这两个函数相等 4分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数 5映射的概念 一般地，设 A， B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 _元素 x，在集合 B中都有 _元素 y 与之对应，那么就称对应 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 6映射与 函数的关系 (1)联系：映射的定义是在函数的现代定义 (集合语言定义 )的 基 础 上 引 申 、 拓 展 而 来 的 ； 函 数 是 一 种 特 殊 的_ (2)区别：函数是从非空数集 A 到非空数集 B 的映射；对于映射而言， A 和 B 不一定是数集 7. 复合函数 一般地，对于两个函数 y f(u)和 u g(x)，如果通过变量5 / 15 u， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y f(u)和 u g(x)的复合函数，记作 y f(g(x)，其中 y f(u)叫做复合函数 y f(g(x)的外层函数， u g(x)叫做 y f(g(x)的内层函数 自查自纠： 1唯一确定的数 函数 自变量 定义域 函数值 值域 2 (1)数学表达式 (2)图象 (3)列出表格 3 (1)定义域 对应关系 值域 (2)定义域 对应关系 5任意一个 唯一确定的 6 (1)映射 (XX山东 )函数 f(x) 1（ log2x） 2 1 的定义域为 ( ) ， 12 B (2， ) ， 12(2 ， ) ， 122 ， ) 解： (log2x)2 1 0，即 log2x 1 或 log2x 1，解得 x 2 或 0 x 12，故所求的定义域是 0， 12(2 ， ) 故选 c. (XX全国新课标 ) 设函数 f(x) 1 log2（ 2 x），x1，所以 f(log212) 2log212 1 2log26 6，故 f( 2)f(log212) 9.故选 c. 下列各图表示两个变量 x， y 的对应关系，则下列判断正确的是 ( ) A都 表示映射，都表示 y 是 x 的函数 B仅 表示 y 是 x 的函数 c仅 表示 y 是 x 的函数 D都不能表示 y 是 x 的函数 解：根据映射的定义， 中， x 与 y 的对应关系都不是映射，当然不是函数关系， 是映射，是函数关系故选 c. (XX甘肃模拟 )已知 f(x) 2x， x 0， f（ x 1）， x0 ，则 f 43 _. 解：由题意知 f 43 f 43 1 f 13 f 13 1 f23223 43.故填 43. (XX新课标 ) 设函数 f(x) ex 1， x 1， x13， x1 ，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是 _ 解：由题设知 f(x)2 可转化为 x 1， ex 12 或 x1 ，x132 ，解得 x8. 故填 ( ， 8 7 / 15 类型一 函数和映射的定义 下列对应是集合 P 上的函数的是 _ P Z， Q N*，对应关系 f：对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应； P 1， 1， 2， 2， Q 1， 4，对应关系 f： xy x2， xP ， yQ ； P 三角形 ， Q x|x0，对应关系 f：对 P 中三角形求面积与 集合 Q 中元素对应 解：由于 中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中没有对应元素，而 中集合 P 不是数集，所以 和 都不是集合 P 上的函数由题意知， 正确故填 . 点拨： 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验： 定义域和对应关系是否给出； 根据给出的对应关系，自变量 x 在其定义域内的每一个值是否都有唯一确定的函数值 y 与之对应； 集合 P， Q 是否为非空数集 (XX南昌模拟 )给出下列四个对应： A R， B R，对应关系 f： xy ， y 1x 1； A a|12aN* ， B b|b 1n， nN* ，对应关系 f： ab ，b 1a； A x|x0 ， B R，对应关系 f： xy ， y2 x； 8 / 15 A x|x 是平面 内的矩形 ， B y|y 是平面 内的圆 ，对应关系 f：每一个矩形都对应它的外接圆 其中是从 A 到 B 的映射的为 _ 解：对于 ，当 x 1 时， y 值不存在，所以 不是从 A到 B 的映射； 对于 ， A， B 两个集合分别用列举法表述为 A 2， 4， 6， ，B 1， 12， 13， 14， ，由对应关系 f： ab ， b 1a 知， 是从 A 到 B 的映 射； 不是从 A到 B的映射，如 A中元素 1对应 B中两个元素 1 ； 是从 A 到 B 的映射 故填 . 类型二 判断两个函数是否相等 已知函数 f(x) |x 1|，则下列函数中与 f(x)相等的函数是 ( ) A g(x) |x2 1|x 1|B g(x) |x2 1|x 1|， x 1，2， x 1 c g(x) x 1， x 0， 1 x， x0D g(x) x 1 解： g(x) |x2 1|x 1| |x 1|， x 1， 2， x 1与 f(x)的定义域和对应关系完全一致，故选 B. 点拨： 两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关在对9 / 15 函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变 (即是否是等价变形 )；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断 (XX杭州质检 )下列各组函数中，是同一函数的是 ( ) A f(x) x2， g(x) 3x3 B f(x) |x|x， g(x) 1， x0 ， 1， x 0 c f(x) 2n 1x2n 1， g(x) (2n 1x)2n 1， nN* D f(x) xx 1， g(x) x（ x 1） 解：对于 A， f(x) x2 |x|， g(x) 3x3 x，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于 B，函数 f(x)的定义域为 ( ， 0)(0 ， ) ，而 g(x)的定义域为 R，所以不是同一函数；对于 c，当 nN* 时， 2n1 为奇数，则f(x) 2n 1x2n 1 x， g(x) (2n 1x)2n 1 x，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于 D， f(x)的定义域为 0， ) ，而 g(x)的定义域为 ( ， 10 ， ) ，它们的 定义域不同，所以不是同一函数故选 c. 类型三 求函数的定义域 (1)(XX山东模拟 )函数 y（ 4x 3）的定义域为( ) ， B ( ， 1) ， 1 10 / 15 解：要使函数有意义， x 应满足 4x 3 0，（ 4x 3） 0 ，解得 34 x1 ，所以函数的定义域为 34， 1.故选 D. (2)若函数 y f(x)的定义域为 1， 1)，则函数 yf(x2 3)的定义域为 _ 解：由题意知 x2 3 1， x2 3 1，解得 x 2 或 x2 ， 2 x 2. 函数的定义域为 ( 2， 22 ， 2) 故填 ( 2， 22 ， 2) 点拨： 求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数 x 的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在 x 轴上的投影所对应的实数的集合；当函数 y f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x 的集合，一般通过列不等式 (组 )求其解集常见的条件有：分式的分母不等于 0，对数的真数大于 0，偶次根式下的被开方数大于或等于 0 等若已知函数 y f(x)的定义域为 a，b，则函数 y f(g(x)的定义域由不等式 ag(x)b 解出 (1)(XX安徽省黄山市检测 )函数 y log2（ x 1） 2 x 的定义域为 _ 解：要使函数有意义， x 应满足 x 1 0， 2 x 0，解得 1 x 2，所以函数的定义域为 (1， 2)故填 (1， 2) (2)已知函数 f(2x 1)的定义域为 1， 4，则函数 f(2x)11 / 15 的定义域为 _ 解： 函数 f(2x 1)的定义域为 1， 4， 1x4 ， 12x 17 ， 故函数 f(x)的定义域是 1， 7 令 12x 7 ，得 0xlog27 ，故所求函数的定义域为 0，log27故填 0， log27 类型四 求函数的值域 求下列函数的值域： (1)y 1 x21 x2； (2)y 2x 1 x； (3)y 2x 1 x2； (4)y x2 2x 5x 1； (5)若 x， y 满足 3x2 2y2 6x，求函数 z x2 y2 的值域； (6)f(x) 2x 1 x 4. 解： (1)解法一： (反解 ) 由 y 1 x21 x2，解得 x2 1 y1 y， x20 ， 1 y1 y0 ，解得 1 y1 ， 函数值域为 ( 1， 1 解法二： (分离常数法 ) y 1 x21 x2 1 21 x2， 又 1 x21 ， 0 21 x22 ， 1 1 2x2 11 ， 函数的值域为 ( 1， 1 (2)(代数换元法 ) 令 t 1 x(t0) ， x 1 t2， 12 / 15 y 2(1 t2) t 2t2 t 2 2t 142 178. t0 ， y178 ，故函数的值域为 ， 178. (3)(三角换元法 ) 令 x cost(0t) ， y 2cost sint 5sin(t ) 其中 cos 15， sin 25. 0t ， t ， sin( )sin(t )1. 故函数的值域为 2， 5 (4)解法一： (不等式法 ) y x2 2x 5x 1（ x 1） 2 4x 1 (x 1) 4x 1， 又 x 1 时， x 1 0， x 1 时， x 1 0， 当 x1 时， y (x 1) 4x 124 4，且当 x 3，等号成立；当 x1 时， y（ x 1） 4（ x 1） 4，且当 x 1，等号成立 函数的值域为 ( ， 44 ， ) 解法二： (判别式法 ) y x2 2x 5x 1， x2 (y 2)x (y 5) 0， 又 函数的定义域为 ( ， 1)(1 ， ) ， 方程 x2 (y 2)x (y 5) 0 有不等于 1 的实根 (y 2)2 4(y 5) y2 160 ，解得 y 4 或 y4. 当 y 4 时， x 1； y 4 时， x 3. 13 / 15 故所求函数的值域为 ( ， 44 ， ) (5)(单调性法 ) 3x2 2y2 6x， 2y2 6x 3x20 ，解得 0x2. z x2 y2 x2 3x 32x2 12x2 3x 12(x 3)2 92. 对称轴为 x 3 2，即 z 在 x0 ， 2上单调递增 当 x 0 时， z 有最小值 0，当 x 2 时， z 有最大值 4， 故所求函数的值域为 0， 4 (6)(图象法 ) f(x) x 5， x 12， 3x 3， 12x4 ， x 5， x 4， 作出其图象，可知函数 f(x)的值域是 92， . 点拨： 求函数值域的常用方法： 单调性法，如 (5)； 配方法，如 (2)； 分离常数法，如 (1)； 数形结合法； 换元法 (包括代数换元与三角换元 )，如 (2)， (3)； 判别式法，如 (4)； 不等式法，如 (4)， (5)； 导数法，主要是针对在某区间内可导的函数； 图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如 (6)；对于二元函数的值域问题，如 (5)，其解法要针对具