xx届高考数学备考复习：不等式

1 / 16 XX 届高考数学备考复习：不等式 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲不等式 【最新考纲透析】 1不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 2一元二次不等式 （ 1）会从实际情境中了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。 （ 3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。 3二元一次不等式组与简单线性规划问题 （ 1）会 从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 （ 2）了解二地一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 （ 3）会从实际情境中抽出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 4基本不等式： （ 1）了解基本不等式的证明过程。 2 / 16 （ 2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 【核心要点突破】 要点考向 1：不等式的求解问题 考情聚焦： 1.求不等式解集及构建不等求参数取值范围问题是高考中对不等式考查的一个重要考向 ,每年高考均有重要体现。 2.常考查一元二次不等及可转化为一元 二次不等式的简单分式不等式、指数、对数不等式的解法。以选择、填空为主，属中档题。 考向链接： 1.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化为一般形式，再求相应一元二次方程的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集。 2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式（一般为一元二次不等式）求解。 3.解含参数不等的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因。确定分类标准、层次清楚地求解。 例 1：（ XX全国卷 文科 13） )不等式的解集是 . 【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法 【思路点拨】首先将因式分解，然后将化为三个因式乘积的形式， 采用 “ 序轴标根法 ” 即穿根法求解集 . 3 / 16 【规范解答】， 数轴标根得： 【答案】 要点考向 2：不等式恒成立问题 考情聚集： 1.不等式恒成立以及可转化为不等式恒成立的问题是近几年高考的热点，在各省市高考中占较大比重且点重要的位置。 2.常与函数的图象、性质、方程及重要的思想方法交汇命题，多以解答题的形式出现，属中档偏上题目。 考向链接：求解不等式恒成立问题的常用思 想方法： 1.分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解。 2.函数思想：转化为求含参数的最值问题求解。 3.数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。 例 2：已知二次函数 f(x)满足 f(-1)=0,且 8xf(x)4(x2+1)对于 xR 恒成立 . (1)求 f(1); (2)求 f(x)的表达式； (3)设 ,定义域为 D，现给出一个数学运算程序： 若 xnD, 则运算继续下去；若 xnD,则运算停止 .给出 ,请你写出满足上述条件的 4 / 16 集合 D=x1,x2,x3,xn .（满分 13分） 解析： (1)由 8xf(x)4(x2+1), 令 x=1得 8f(1)8, f(1)=8. (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a0), 由 (1)及 f(-1)=0得 b=4,a+c=4. 又 ax2+bx+c8x, 即 ax2-4x+c0, 对 xR 恒成立 , , 即 (a-2)20,a=2,c=2. 故 f(x)=2(x+1)2. (3)由 g(x)= 由题意 x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5 无意义，故 D=,-,-1 要点考向 3：线性规划问题 考情聚焦 :1.线性规划是中学教材中仅有的几个具有实际应用操作的考点之一 ,又具有全面考查直线知识与数形结合思想的强大功能 ,是各省市高考的重点 . 2.常与函数、直线、实际问题等交汇命题，多以选择、填空题形式出现。 考向链接： 1.线性规划问题一般有三种题型 :一是求最值 ;二是求区域面积 ;三是最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围 . 2.解决线性规划问题首先要找到可行域 ,再注意目标函数所表示的几何意义 ,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点 (或边界上的点 ),但要注意作图一定要准确 ,整 点问题要验证解决 . 5 / 16 例 3:（ XX安徽高考文科 8）设 x,y 满足约束条件则目标函数 z=x+y的最大值是（） （ A） 3（ B） 4（ c） 6（ D） 8 【命题立意】本题主要考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力。 【思路点拨】由约束条件画可行域确定目标函数的最大值点计算目标函数的最大值 【规范解答】选 c约束条件表示的可行域是一个三角形区域， 3 个顶点分别是，目标函数在取最大值 6，故 c 正确 【方法技巧】解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域） ，则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值 要点考向 4：利用基本不等式求最值问题 考情聚焦 :1.利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方法 ,为近几年各省市高考的热点 . 2.常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题，多以中档题形式出现 . 例 4:（ XX 江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易 (卖出或买进 )的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度 为 . 6 / 16 现假设甲生产 A、 B两种产品的单件成本分别为 12元和 5元，乙生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、 B 的单价分别为元和元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 (1)求和关于、的表达式；当时，求证： =； (2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记 (2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 【解析】 (1) 当时， , ,= （ 2）当时， 由，故当即时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。 （ 3）由（ 2）知： = 由得：， 令则，即：。 同理，由得： 另一方面， 7 / 16 当且仅当，即 =时，取等号。由（ 1）知 =时 h 甲 =h乙 所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。 【高考真题探究】 1.（ XX江西理数） 3.不等式的解集是（） 【答案】 A 【解析】考查绝对值不等式的化简 .绝对值大于本身，值为负数 .，解得 A。 或者选择 x=1和 x=-1,两个检验进行排除。 2.（ XX安徽文数）（ 8）设 x,y满足 约束条件则目标函数 z=x+y的最大值是 （ A） 3（ B） 4（ c） 6（ D） 8 【解析】不等式表示的区域是一个三角形， 3 个顶点是，目标函数在取最大值 6。 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值 . 3.（ XX 安徽文数） (15)若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 (写出所有正确命题的编号 ) 8 / 16 ； ； ； ； 15. ， ， 【解析】令，排除 ；由，命题 正确； ，命题 正确；，命题 正确。 4.（ XX 湖北理数） 15.设 a0,b0,称为 a， b 的调和平均数。如图， c 为线段 AB 上的点，且 Ac=a， cB=b， o 为AB中点，以 AB为直径做半圆。过点 c 作 AB的垂线交半圆于D。连结 oD， AD， BD。过点 c 作 oD的垂线，垂足为 E。则图中线段 oD 的长度是 a， b 的算术平均数，线段的长度是 a,b的几何平均数，线段的长度是 a,b 的调和平均数。 【答案】 cDDE 【解析】在 RtADB 中 Dc 为高，则由射影定理可得，故，即 cD 长度为 a,b 的几何平均数，将 oc=代入可得 故，所以ED=oD-oE=，故 DE的长度为 a,b的调和平均数 . 6.（ XX上海高考理科 22）若实数、满足，则称比远离 . （ 1）若比 1 远离 0，求的取值范围； （ 2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离； （ 3）已知函数的定义域 .任取，等于和中远离 0 的那个值 .写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明） . 【命题立意】本题主要考查解不等式，证明不等式等不等式9 / 16 的有关知识以及分段函数、三角函数的有关性质等问题 【思路点拨】（ 1）根据题意列出不等式，解不等式； （ 2）采用分析法证明不等式，注意去绝对值的方法和分析法的步骤； （ 3）结合三角函数的图象观察函数性质 【规范解答】（ 1）由题意知，即，所以， 解得或，所以 x 的取值范围是或 （ 2）要证明比远离， 即证， 因为，故， 所以只需证明 即 ,化简得显然成立， 所以比更远离 （ 3） 性质： 偶函数关于 y 轴对称 ; 周期 T; 在区间上单调增，在区间上单调减 ; 最大值为 1，最小值为 【方法技巧】 新概念问题要紧跟 “ 新概念 ” 不放 函数图像与性质紧相连。 【跟踪模拟训 练】 一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，共 36分） 10 / 16 1.在平面直角坐标系中，若不等式组 (a为常数 )所表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值为 () (A)-5(B)1(c)2(D)3 2.在 R上定义运算 a*b=a(1-b),则满足 (x-2)*(x+2)0的实数 x 的取值范围为 () (A)（ 0， 2） (B)（ -2， 1） (c)（ - ， -2） (1,+) (D)（ -1， 2） 3.在 “ 家电下乡 ” 活动中，某厂要将 100台洗衣机运往邻近的乡镇 .现有 4辆甲型货车和 8辆乙型货车可供使用 .每辆甲型货车 运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300元，可装洗衣机 10台 .若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 () (A)2000 元 (B)2200 元 (c)2400 元 (D)2800 元 4.某企业生产甲、乙两种产品 .已知生产每吨甲产品要用 A原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨 .销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元 .该企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过 13 吨、 B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是11 / 16 () (A)12万元 (B)20 万元 (c)25万元 (D)27万元 5.若不等式 (1-a)n-a lga0 恒成立，求实数 x 的取值范围 . 11.某居民小区要建造一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABcD 和 EFGH 构成的 ,面积为 200平方米的十字形地带 .计划在正方形 mNPQ上建一座花坛，造价是每平方米 4200 元，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价是每平方米 210 元，再在四个空角上铺上草坪，造价是每平方米 80元 . 12 / 16 (1)设总造价是 S 元， AD长为 x 米， 试建立 S 关于 x 的函数关系式； (2)当 x 为何值 时， S 最小？并求 出最小值 . 12.已知函数为奇函数，且不等式的解集是 （ 1）求证：； （ 2）求的值； （ 3）是否存在实数使不等式对一切成立？若存在， 求出的取值范围；若不存在，请说明理由 参考答案 1.【解析】选 D.根据定义：（ x-2)*(x+2)=(x-2) 1-(x+2) =-(x-2)(x+1)0,即 (x-2)(x+1)0.解得-1x2，所以所求实数 x 的取值范围为 (-1,2). 2.【解析】选 D.作出不等式组表示的平面区 域如图所示阴影 部 分 ， 求 得A(1,0),B(1,a+1),c(0,1),SABc=(a+1)1=2 ，解得 :a=3. 3.【解析】选 B.设使用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，求z=400x+300y的最小值，可求出最优解为 (4,2),故 zmin=2200. 4.【解析】选 D.设生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，则有关系 13 / 16 目标函数 z=5x+3y. 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知，当 x=3,y=4时 ,zmax=27 万元 . 5.【解析】选 c.当 0a1 时， lga0， 要使不等式 (1-a)n-a lga0,即 a0， (1 -a)n 在 1,+) 上为增函数， (1-a)n min=1-a,a1 -a,得 0a1时， lga0， 有 (1-a)n-a(1-a)n对任意正整数 n 恒成立，又 1-a1-a,得 a, 又 a1,a1. 综上可知 0a1. 7. 9. 10.【解析】设 f(a)=a(x2+x)-2x-2，则当 a 1,3时f(a)0 恒成立 . 14 / 16 得 x2或 x2或 x43(B)1 32 (c)423(D)341 15 / 16 【解析】选 c.前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正