xx届高考数学考点知识专题总复习函数与导数的综合应用

1 / 7 XX 届高考数学考点知识专题总复习函数与导数的综合应用 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 课时考点 3 函数与导数的综合应用 高考考纲透析： 利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值。 高考风向标： 函数与方程、不等式知识相结合是高考热点与难点。利用分类讨论的思想方法论证或判断函数的单调性，函数的极值、最值，函数与导数的综合题必是高考题中六个解答题之一。 热点题型 1：导函数与恒不等式 已知向量在区间（ 1， 1）上是增函数， 求 t 的取值范围 . 解法 1：依定义 开口向上的抛物线，故要使在区间 （ 1， 1）上恒成立 2 / 7 . 解法 2：依定义 的图象是开口向下的抛物线， 变式新题型 1： 已知函数，（ 1）若在实数 R 上单调递增，求的取值范围； （ 2）是否存在这样的实数，使在上单调递减，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 解题分析：本题应注意检验，第一小题需验证是否符合，第二小题需验证是否符合？ 热点题型 2：导函数的极值与分类讨论 (理科 ) 已知，讨论函数的 极值点的个数 . （ 1）当 x x1 3 / 7 +0 0+ 为极大值 为极小值 即此时有两个极值点 . （ 2）当有两个相同的实根 于是 无极值 . （ 3） 为增函数，此时无极值 .因此当无极值点 . （文科）设函数 R. （ 1）若处取得极值，求常数 a 的值； （ 2）若上为增函数，求 a 的取值范围 . 解：（ ） 因取得极值，所以解得 经检验知当为极值点 . （ ）令 当和上为增 函数，故当上为增函数 . 当上为增函数，从而上也为增函 数 . 综上所述，当上为增函数 变式新题型 2： 4 / 7 已知函数，若函数的一个极值点落在轴上，求的值。 解题分析：本题有三个未知量，极值点的横坐标，但只有两个方程，因此解出是不可能的。只能从两方程中寻找出的合理关系来解决问题。 热点题型 3：导函数与转化的思想方法 （理科）已知函数 f(x) lnx， g(x) ax2 bx， a0 。 （ ）若 b 2，且 h(x) f(x) g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围； （ ）设函数 f(x)的图象 c1与函数 g(x)图象 c2交于点 P、Q，过线段 PQ的中点作 x 轴的垂线分别交 c1， c2于点 m、 N，证明 c1在点 m 处的切线与 c2在点 N 处的切线不平行。 解：（ I）， 则 因为函数 h(x)存在单调递减区间，所以 0时，则 ax2+2x 10 有 x0 的解 . 当 a0时， y=ax2+2x 1 为开口向上的抛物线， ax2+2x 10总有 x0 的解； 当 a0总有 x0的解； 则 =4+4a0, 且方程 ax2+2x 1=0至少有一正根 .此时， 1a0. 综上所述， a 的取值范围为（ 1， 0） （ 0， + ） 5 / 7 （ II）证法一设点 P、 Q 的坐标分别是（ x1,y1），（ x2,y2），0x1x2. 则点 m、 N 的横坐标为 c1在点 m 处的切线斜率为 c2在点 N 处的切线斜率为 假设 c1在点 m处的切线与 c2在点 N处的切线平行，则 k1=k2. 即，则 = 所以设则 令则 因为时，所以在）上单调递增 .故 则 .这与 矛盾，假设不成立 故 c1 在点 m 处的切线与 c2在点 N 处的切线不平行 证法二：同证法一得 因为，所以 令，得 令 因为，所以时， 故在 1， +上单调递增 .从而，即 于是在 1， +上单调递增 故即这与 矛盾，假设不成立 6 / 7 故 c1在点 m 处的切线与 c2在点 N 处的切线不平行 变式新题型 3：（文、理合用） 曲线，当时，有极小值，当时，有极大值，且在处切线的斜率为。（ 1）求；（ 2）是否存在一点 P，使得的图象关于点 P中心对称？若存在，请求出点 P 坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由。 解题分析：第一小题三个 条件三个未知量，解方程就行。第二小题：曲线关于点对称可采用解析几何中求轨迹方程的一种方法 坐标代入法（相关点法），求出对称曲线方程，比较对应项系数相等求得点坐标；函数图象关于点 P 中心对称，也可采用结论对任意恒成立，比较对应项系数相等求得点坐标。 备选题： 已知抛物线 c1:y=x2+2x 和 c2:y= x2+a如果直线 l 同时是 c1和 c2的切线，称 l 是 c1 和 c2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段 （ ） a 取什么值时， c1 和 c2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （ ）若 c1 和 c2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分 （ ）解：函数 y=x2+2x 的导数 =2x+2， 曲线 c1在点 P（ x1，）的切线方程是， 7 / 7 即 函数 y= x2+a的导数 = 2x， 曲线 c2在点 Q（ x2，）的切线方程是， 即 如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线，则 式和 式都是 l 的方程 所以 消去 x2得方程 若判别式 =4 42 （ 1+a） =0，即 a=时解得 x1=，此时点P 与 Q 重合 即当 a=时 c1 和 c2 有且仅有一条公切线，由 得公切线方程为 y=x （ ）证明：由（ ）可 知，当 a时 c1和 c2有两条公切线设一