Felbin意义下模糊赋范空间中模糊有界线性算子-硕士学位论文.pdf

致谢 摘要 A b s t r a c t 第一章引言 第二章预备知识 第三章模糊有界线性算子 目录 第四章模糊有界线性算子范数及空间 第五章几种模糊有界线性算子的比较 后记 参考文献 n m 沁 1 4 9 “ 巧 钉 弛 致谢 衷心感谢导师严从华教授对我的悉心指导与热情帮助，我才能顺利地完成学 业本文从选题到成稿，每一步都是在老师的鼓励和指导下完成的，我所取得的进步 无不倾注着老师的心血严老师渊博的学识，严谨的治学精神以及诲人不倦的高尚 品格必将使我受益终身在此，我向严老师表示最衷心的感谢! 同时，我要感谢同学、朋友对我的关心、帮助和支持! 借此机会，我还要特别感谢我的家人，感谢他们的鼓励和照顾，论文的完成与他 们的支持是分不开的 这篇论文是用C 碳软件制作的感谢h t 七p ：w w w c t e x 。r g 免费提供了 这个软件 江苏南京 2 0 1 0 年1 月 岳倩钰 摘要 F e l b i n 意义下模糊赋范空间是一种较为典型的模糊赋范空间，本文致力于 F e l b 试意义下糊赋范空间上的的模糊有界线性算子的基本性质的研究主要内容包 括如下： 讨论F e l b m 意义下模糊赋范空间模糊有界性线性算子和模糊连续线性算子的 一些基本性质，证明了模糊连续线性算子的模糊集合式刻划与序列式刻划是等价 的，同时给出了模糊线性算子的几个充要条件，证明了模糊线性算子的有界性与连 续性的等价关系引入模糊连续线性算子范数的概念，讨论固定妒的模糊有界线性 算子空间，证明该算子空间为F e l b m 意义下的模糊赋范线性空间，此外给出该算子 空间成为模糊B o 礼o c 空间的充要条件，及在一定条件下算子的保范延拓定理对 已有的F e l b i n 意义下模糊赋范空间中几种模糊有界线性算子的概念进行了较深入 的研究，讨论他们相互之间的关系 关键词：模糊赋范空间，模糊有界线性算子，模糊连续线性算子，模糊范数，模 糊B a n a c h 空间 A b s t r a c t F u z z yn o 肌e ds p a c em s e n s eo fF e I b i ni so n eo fc l a s s i cs p a c i a lf u z z yn o r m e d s p a c e ，t h i sp a p e rb e n d s i t s e l ft 0s m d yt h eb a s i cp r o P e r t i e so ft h ef u z z yb o u n d e d 1 m e a ro p e r a t o r T h em a mc o n t e n t sc o n c l u d ea sf o o w s ： F i r s n 弦s o m eb a s i cP r o p e r H e s0 ff u z z y b o u n d e dl m e a r 叩e r a 毛0 ra n df u z z y c o n 妇u o u sH n e a ro p e r a t o ra r ed i s c u s s e d I ti sp r o V e dm a td 协r a c t e r i z a t i o r 略f o r f u z z yc o n t m u o u sn n e a ro p e r a t o r sb ya i d so fm ef u z z ys e t sa n dm ef u z z ys e q u e n c e si se q u i V a l e n t A tm e s a I n eH m e ，s e V e r a lo t h e rn e c e s s 时a n d s u f f i c i e n c y o ft h ef u z z yc o n t h l u o u sl i l l e a ro p e r a t o ra r eg a V e ，a n dm ee ( 1 u i V a l e r 忙eb e t w e e n t h eb o u n d e d n e s sa n dt h ec o n t i n u i 哆o fm ef u z z yl i I 论a ro p e r a t o ri sp r 0 V e d S e c o n d l 弦m ed e n i t i o no f 龀n o n no ff u z z yb o u n d e dl m e a r 叩e r a t o r si s i n t r o d u c e d ，t h es p a c eo ff u z z yb o 山1 d e dH n e a r 叩e r a t o r sd e t en n j n e db yaf i x e d o r d e r - h o m o m o 叩K s m 妒i sd i s c u s s e d ，a J l dt h e c o n c l u s i o nW h j c ht h e s p a c e o ff u z z y b o u n d e dH n e a r 叩e r a t o r si saf u z z yn o r m e dn n e a rs p a c ems e n s eo fF e l b 血i s p r o v e d A l s om en e c e s s i t ) ，a n ds u f ! f ：i c i e n c ) rm a tt h es p a c eo ff u z z yb o u n d e d l 试一 e a r 叩e r a t o r si saf u z z yB a J l a c hs P a c ei so b t a m e d M o r e o v e r ，n o r m p r e s e r V m g e x t e n S i o nm e o r e mu n d e rs o m ec o n d i t i o n si sp r o v e d A t1 a s t ，ar e l a t i v e l yd e e ps m d yo ft h ec o n c e p t sf o rs e V e r a lf u z z yb o u n d e d 1 i n e a ro p e r a t o r sh a V eb e e n 价t r o d u c eI l pt 0n o wi sc 删e d0 u t ，a n dt h er e l a t i o n s a m o n g o fm e mi sd i s c u s s e d K e yw o r d s ：f L l Z z yn o r m e ds p a c e ；f u z z yb o u n d e dl i n e a r 叩e r a t o 巧f u z z yc o n _ t i l l u o u sH 1 1 e a ro p e r a t o 巧f u z z yn o m ；：F u z z yB a I 协c hs P a c e 第1 章引言 随着科学技术的迅速发展，现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随 着复杂性出现，而建立在经典集合论基础上的精确数学及随机数学不能很好地描述 这些模糊性1 9 6 5 年美国控制论专家L A Z a d e h 教授【1 】发表了关于模糊集的开 创性论文，模糊数学作为一门新的学科诞生了把研究确定性对象的数学与不确定 性对象的数学沟通起来，实现了对模糊性进行有效地定量描述，人们可以用精确的 数学方法来研究和处理模糊现象了模糊数学的发展近一步丰富和发展了经典数学 的理论模糊数学理论及其应用已取得巨大发展，在模糊分析学，模糊拓扑学，模糊 代数学，模糊集合论等诸多领域都已取得了可喜得进展，模糊数学已成为广泛应用 的新学科，吸引众多学者专家从事这方面的理论和应用研究，从而使模糊数学发展 为当前十分活跃的学科之一 以L A Z a d e h 的模糊集合论为基础，1 9 6 8 年C L C h a n g 【2 2 】引入了模糊拓扑“ 空间的概念，1 9 7 4 年C K W - 0 n g 【2 9 】在模糊拓扑空间中引入模糊点及其邻域概念， 但模糊点概念存在一定缺陷，给性质的深入研究带来许多局限性1 9 7 7 年蒲保明和 刘应明【2 4 】首次突破传统邻域方法引入重域概念，并以重域基为工具对模糊拓扑 进行系统而又深入地研究，使模糊拓扑学的研究取得突破性进展将模糊拓扑结构 与线性结构相结合，开展模糊拓扑线性空间的研究始于K a t s a r a s 与L i u 1 9 7 7 年 A K K a t s a r a s 与D B L i u 【2 3 】首次给出了模糊拓扑线性空间的定义，但存在一定 的不足，因该空间不具有平移不变性，无法进行深入研究A K K a t s a r a s 【2 5 】后来 又利用R L o w e n 的满层模糊拓扑的概念给出改进的模糊拓扑线性空间的定义与 此同时，吴从忻，方锦暄先后给出了模糊拓扑线性空间的两种定义，1 9 8 2 年又进行 了再定义【2 7 】，以模糊点的重域系为工具展开了深入的研究吴从圻，方锦暄【2 7 】的 定义虽然在形式上与A K K a s a r a s 【2 5 】的定义有所不同，但这两种定义实际上是等 价的1 9 9 7 年方锦暄和严从华【2 8 】引进了厶模糊拓扑线性空间的概念，将模糊拓 扑空间的研究拓展到格上，进行了相关深入地研究 1 第1 章引言 2 在初步建立模糊拓扑线性空间理论之后，作为模糊拓扑线性空间一种特殊情 形的模糊赋范空间，其研究很快引起学者的关注1 9 8 4 年吴从忻和方锦暄【3 0 】， A K K a s a r a S 【2 6 】分别引入了两种模糊赋范空间的定义，其上的模糊拓扑结构以 及Z a d e h 型模糊线性算子的研究得到了展开1 9 9 2 年F e l b i n 【3 】受o K a l e v a 和S S e i k k a l a 【2 】关于模糊度量空间的启发定义了一种模糊范数为非负模糊数的模糊赋 范空间，2 0 0 3 年，B a g 与S 锄趴t a 【2 0 】给出了一种基于概率范数的模糊赋范空间 最近，B a g 与S 锄a n t a 【2 1 】对已有的各种模糊赋范空间的概念进行深入地比较研究， 揭示了这些概念之间的关系，最后得到了如下结论：“上述所有的模糊赋范空间的 概念中，以F e l b m 意义下的模糊赋范空间及K a t s a r a s 意义下的模糊赋范空间最为 典型”此表明对上述两种意义下的模糊赋范空间开展研究是非常有意义的肖建 中，朱杏华【1 5 】研究了F e l b i l l 意义下模糊赋范空间中由模糊范数诱导的分明线性 拓扑结构，并讨论了分明拓扑结构下模糊赋范空间的一些性质，如紧性，完备性等 肖建中，朱杏华【1 6 】中继续深入研究模糊赋范线性空间上将分明集映到分明集的 经典的模糊有界线性算子及模糊有界线性算子空间的若干性质此外，M a s u oI t o h ， M u n e oC h o 【1 3 】和T B a g ，S K S a m a n t a 【1 9 】分别介绍了F e l b i n 意义下模糊赋范 线性空间上的另外三种经典的模糊有界线性算子，并讨论了相关性质，取得一些较 为系统的成果徐国华【1 2 】文中研究了在F e l b 协意义下模糊赋范空间中由模糊范 数诱导的一种新的模糊线性拓扑结构，并讨论了它的相关性质，如收敛性，有界性， 稠密性，完备性等但还有一些性质的研究尚未深入进行，如相应模糊赋范线性空 间上的模糊有界线性算子及其空间性质的研究等等在以往的研究中，F e l b m 意义 下模糊赋范空间中模糊线性算子的研究，都是基于分明集之间的映射，甚至还不是 Z a d e h 型模糊线性算子，这与模糊分析学的研究是不相适应的较为一般的模糊线 性算子的研究，可以追溯到1 9 8 8 年吴从忻与马明【4 】的工作，1 9 9 6 年，方锦暄教授 将它推广为模糊线性序同态，在模糊拓扑线性空间的研究中，已有的研究成果表明， 作为线性算子推广的模糊线性序同态是非常理想的本文中模糊线性算子，我们采 用的是最为一般的模糊线性序同态 本文在徐国华【1 2 】中定义的模糊赋范空间的基础上讨论将模糊集映到模糊集 第1 章引言 3 的模糊有界线性算子的一些基本性质，证明了模糊线性算子的有界性与连续性的 等价性，给出模糊有界线性算子的模糊范数的定义，证明了模糊有界线性算子空间 关于算子范数构成F e l b i n 意义下模糊赋范空间，给出模糊有界线性算子空间成为 模糊B o n o c 九空间的充要条件及一定条件下算子的保范延拓性质，同时还比较了 F e l b m 意义下模糊赋范空间中几种模糊有界线性算子 本文是作者在硕士生学习期间工作的总结，主要内容包括以下五个方面，论文 的大致框架如下： 第一章，介绍模糊赋范线性空间产生的背景和研究发展的现状 第二章，作为预备知识，介绍模糊赋范线性空间的某些基本概念和性质，模糊线 性算子的基本概念和运算及有关记号 第三章，讨论模糊有界性线性算子的一些基本性质，证明了模糊线性算子的有 界性与连续性的等价关系 第四章，讨论模糊有界线性算子空间，证明该算子空间为F e l b i n 意义下的模糊 赋范线性空间，此外给出该算子空间成为模糊B o 礼o c I l 空间的充要条件，及在一定 条件下算子的保范延拓定理 第五章，比较F e l b i n 意义下模糊赋范空间中几种模糊有界线性算子，讨论他们，_ 相互之间的关系 第2 章预备知识 本文中J ，如分别表示【o ，1 】，( o ，l 】，p 是x 上的所有模糊集组成的的集合，口 是x 上的零元，N 表示全体自然数的集合， z ) n N 为一个模糊点列对7 【o ，1 】， X 上取常值r 的模糊集记为匕设A p ，z A 是一个模糊点，P t ( p ) 为所有模糊 点的集合若A ( o ) 之A ，则称z A 属于A ，记为z A A ；若A ( z ) 1 一A ，则称z A 重 于A ，记为。A 毛A ，反之若A ( z ) 1 一A ，则称纵不重于A ，记为z A 聋A 用R 表示 实数域，R 上的映射7 7 ：R _ ，称为模糊数，设模糊数的Q 一水平集表示为M a ，它 定义为M a = t RI 叩( t ) Q ) ，VQ ( o ，1 】，彤( ，) 表示所有上半连续的，正规 的，凸的，非负模糊实数组成的集合B 莎( X ，y ) 为所有模糊有界线性算子的集合， B 瓦( X ，y ) 为所有由固定序同态妒的模糊有界线性算子的集合 定义2 1 ( 【3 】) 设x 为R 上的线性空间，| l 0 ：x _ 彤( J ) 是一个映射，又 设厶冗：【o ，1 】 o ，1 】_ 【o ，1 】是关于两个变元对称的，不减的二元函数，满足： L ( o ，o ) = o ，R ( 1 ，1 ) = 1 记z | l 】口= 【她岭，忙，Vz x ，口( o ，1 】，又设存在不 依赖z 的Q o ( o ，1 】，使得对所有的z x 【口) ，有 ( A ) I l z | | 呈 o 如果| I 0 还满足： ( F 一1 ) 忙I I ：石当且仅当z ：伊，此处6 ( 亡) ： 1 。_ o 【o t o ( F 一2 )0 七z 0 = I 后II I z l l ，z x ，尾R ( F 一3 ) Vz ，可x ，成立 ( o ) sSJ I z I I i ，t I | y | I i ，且s + t I I z + 可l l i ，有I I z + 可I I ( s + t ) L ( 1 | z | l ( s ) ，I l I I ( ) ) ； ( 6 ) s I I z I I i ，舌I I 可I l ，且s + t f I z + 可I I ，有I I 。+ l I ( 8 + ) 月( I l z I l ( s ) ，I I I I ( t ) ) 则称”I I 为x 上的模糊范数，称( x ，”I I ，厶R ) 为模糊赋范空间 4 第2 章预备知识 5 注记2 1 条件( A ) Va ( o ，1 】，忙峪 o ，定义x 上的模 糊集如下：展( z ) = s u p l Q ：忙峪 o ，展( z ) = s u p 【l a ：I I z 0 口2 o ) 为基坯( Q L ) 一型，一拓扑线性空间 引理2 3 ( 【1 2 】) 设 z 5 ：) ) n 为( x ，0 0 ，厶兄) 中的模糊点列，z A 是x 中的模 糊点则z 5 ：? _ z A = 号挫恐I I z n 一zI | ；“= o 且桌罢入n2A n n 定义2 3 ( 【1 2 】) 设( x ，少) 为，拓扑线性空间，J 4 p ，如果对每个入( o ，1 】 及以的任一Q 一重域u ，存在亡 o 及7 ( 1 一入，1 】，使得An c 亡u 则称A 为 罗一有界的模糊集 定义2 4 ( 【5 】) 设( x ，”I l ，厶兄) 为模糊赋范空间，A p ，则A 是昂I I - 有界 的，当且仅当对每个A ( o ，1 】，删z 吲z 口乏A ，Q A ，1 】) 是R 中有界集 第2 章预备知识 6 定义2 5 ( 【1 2 】) 设【z 5 ：? ) 为( x ，”I l ，厶R ) 中c 。仳c 切点列，当且仅当概入n = 肛 o 且V 入( o ，1 ) ，有l Iz ( n ) 一z ( m ) 峪一o ( m ，他_ O 。) 定义2 6 ( 【1 】) 设，：x _ y 是一个普通的映射，则能被扩张成莎( x ) 记为： 当A 莎) 时 厂。+ c A ，c 可，= 霉案们A ( z ：，二! ：二 ，( B ) ( z ) = B ( ， ) ) B ：尹( y ) ， ( A + B ) ( z ) = s u pm i n ( A ( s ) ，B ( ) ) ， ( 后A ) ( z ) = A ( z 后) 凫o ， ( 。A ) ( z ) ： ：酱A 。) z = 以 I o z 口 z A + 鼽= ( z + 可) m i n ( ，m ， 定义2 7 ( 【7 】) 如果映射妒：j 一，满足： ( 1 )妒( 0 ) = 0 ； ( 2 )妒为保并的，即妒( V 毗) = V 妒( 吼) ； ( 3 ) 妒一1 为保逆合的，即对V6 J ，妒一1 ( 6 ，) = ( 妒一1 ( 6 ) ) ； 其中妒一1 ( 6 ) = V 【口JI 妒( o ) 6 ) 则称妒为序同态 第2 章预备知识 7 定义2 8 ( 【7 】) 设x ，y 是数域K 上的两个向量空间，映射F ：罗( x ) _ 岁( y ) 为序同态，满足：F ( Q A + p B ) = Q F ( A ) + p F ( B ) ，W ，B 莎( x ) ，口，卢K 则称 F 为一个模糊线性序同态 引理2 4 ( 【7 】) 设x ，y 为两个向量空间，F ：庐( x ) _ 伊( y ) 为模糊线性序同 态令j 一个通常的线性算子，：X _ y 和一个序同态妒：J _ J 使得F 是一个 关于，和妒的双线性映射，即F ( A ) ( 秒) = V 妒( A ( z ) ) ，A 莎( x ) ，可y ，仁) = v 定义2 9 ( 【7 】) 设x ，y 是数域K 上的两个向量空间，映射F ：P t ( J x ) _ P t ( ，y ) 满足： ( 1 ) F ( Q z A + p 轨) = a F O A ) + p F ( p ) ； ( 2 ) F ( 目v 沁) = VF ( p A 。) ； ( 3 ) 夕t F 一1 ( 以，) = 【 夕t F 一1 ( 以) 】7V 入( o ，1 ) 其中F 一1 ( 纵) = U 莎( x ) ：F ( ) c 叭) ， 9 以= s u pA ( z ) 则称F 为一个模糊线性算子 引理2 5 ( 【7 】) F ：R ( P ) 一P t ( ，y ) 为模糊线性算子乍令| 一个通常的线性算 子，：x _ y 和一个序同态妒：，一，使得F ( z A ) = ( ，( z ) ) 妒( A ) ，Vz A 尸t ( p ) 记F = ( ，妒) 。 注记2 4 从【6 】中知每个模糊线性序同态可由一个模糊线性算子唯一确定，反 之成立故可将模糊线性序同态与模糊线性算子视为同一，模糊线性算子为模糊线 性序同态的点式刻划 引理2 6 ( 【8 】) 设( ，妒) _ + ：莎( x ) _ 莎( y ) 为模糊序同态，z A P t ( p ) ，A 莎( x ) ，B 莎( y ) ，r ( o ，l 】贝U ( 1 )( ，妒) 。( z A ) = ( ，( z ) ) 妒( A ) ( 2 )( ，妒) 。( B ) ( z ) = 妒- 1 ( B ( 厂( z ) ) ) ( 3 )( ，妒) 。( An D = ( ，妒) 。( A ) n 妒( r ) ( 4 )( ，妒) 。( A n 妒一1 p ) ) c ( ，妒) 。( A ) n 第2 章预备知识 8 引理2 7 ( 【1 0 】) 设妒：J _ ，为序同态，入，p ，s J 则 ( 1 )p 1 一A号妒( 肛) 1 一妒( A ) ； ( 2 )妒( p ) 1 一入 专妒一1 ( 入) 1 一p ； ( 3 ) 妒- 1 ( s ) r 净妒( r ) 1 一Q ，于是妒( u ( z ) ) 1 一妒( a ) ，即( ，妒) _ + ( z 口) 毛( ，妒) 。( U ) ( 2 ) z n 乏( ，妒) 。( y ) 督( ，妒) 。( y ) ( z ) = 妒一1 ( y ( ，( z ) ) ) 1 一Q 甘 妒( Q ) 1 一y ( ， ) )铮y ( ， ) ) l 一妒( 口) 车= 争( ，妒) 。( z 。) 乏矿 ( 3 ) 因( ，妒) 。( u ) 盛y ，从而了鲰萑( ，妒) 。( u ) ，但轧隹矿由鼽毛( ，妒) 。( u ) ， 知( ( ，妒) _ + ( u ) ) 白) 1 一p 于是V 妒( U ( 名) ) 1 一p ，即j 翔x ，满足 厂( 劲) = 可，使得妒( u ( 徇) ) 1 一肛辛 【厂( 询) 1 一妒一1 ( p ) 净绚I P 一- ( p ) 乏u 令 z a = 细妒一- ( p ) ，由( 1 ) 有( ，妒) 。( z 口) 乏( ，妒) 。( U ) 又由鲰譬y 号y ( ) 1 一p 1 一妒妒。( p ) = 争 蜘I P 一- ( p ) 隹y 即( ，妒) 。( 铷一- ( p ) ) 隹y = 争 ( ，妒) ( z 口) 隹y 定理3 1 设( x ，1 1 1 1 1 厶R ) ，( VI I 恢厶R ) 为两个模糊赋范空间，A p ， ( ，妒) 。：P t ( J x ) 一R ( ，y ) 为模糊线性算子，( ，妒) 。( A ) 为妒( 入) 一模糊有界车号 删厂( z ) 0 筻o 。lz 口毛A ，口队，1 捋为R 中有界，V 入( o ，1 】 证明：哥对V A ( o ，1 】，因( ，妒) _ + ( A ) 是妒( 入) 一有界模糊集，G 为吆A ) 的 9 第3 章模糊有界线性算子 1 0 t 乡i 1 。重域，了亡 o ，r ( 1 一妒( A ) ，1 】，使得( ，妒) 。( A ) n c 亡a 对Vz 口萑A ，Q 入，1 】由弓I 理3 1 知，( ，妒) 。( z a ) 乏( ，妒) 。( A ) 由于a 队，l 】净 妒( a ) 妒( 入) 净 7 + 妒( Q ) 1 一妒( A ) + 妒( A ) = 1 冷 ( ，妒) 。( 。口) 乏( ，妒) - + ( A ) n 号 ( ，妒) 一( z 口) 乏t q = G 从而有I I ，( z ) 恺a ) 1 一妒( A n ) ， 有妒( A n ) 妒( A o ) 一g n 丛笋= l 一( 1 一亟笋) = 争1 一A n 1 一妒一1 ( 1 一掣) ，于是jE 7 o ，使得h 1 一妒- 1 ( 1 一掣) + g 1 一妒一1 ( 1 一掣) 由伯 1 一妒( k ) ，“递减趋于o ，故j N ，对V 几，使得 r o 1 一妒( 入o ) + 1 一妒( 入o ) ，进一步地，有伽 1 一妒( A o ) + 。 1 一妒( A 。) ，故有 ( 妒) 。( z 5 ：) ) 套鱼兮( ，妒) 。( z 5 ：) ) 叠佗Q 。= c k 。所以I I ，( z ( n ) 幢k 眦o ( 佗 ) 辛 l I 厂( z ) | I 曼a Iz 。萑A ，Q 【1 一妒_ 1 ( 1 一掣) + E 7 ，1 】) 在R 中无界，与假设产 生矛盾 定理3 2 设( x ，”1 1 1 ，L ，冗) ，( y ，l | 恢厶R ) 为两个模糊赋范空间，( ，j 妒) 。： P t ( P ) 一P 亡( ，) 为模糊线性算子，则下面几个条件等价： ( 1 ) ( ，妒) 。模糊有界； ( 2 ) 对V o ，入( o ，1 】( ，妒) _ + ( 最) 是妒( A ) 一有界模糊集； ( 3 ) 对VA ( o ，1 】，( ，妒) 。( B 1 ) 是妒( 入) 一有界模糊集 证明：( 1 ) 号( 2 ) 对V o ，入( o ，l 】，展为| 乡i i I I 。有界，则展为A 一有界模 糊集( ，妒) 。为模糊有界线性算子号( ，妒) 。( B ) 为妒( 入) 一有界模糊集 ( 2 ) 兮( 3 ) 取s = 1 即可得( 厂，妒) 。( B 1 ) 为妒( A ) 一有界模糊集 第3 章模糊有界线性算子 1 1 ( 3 ) 号( 1 ) 对V 入( o ，l 】，A p 为乡i i 。有界，即A 为入一有界模糊集 V o ，展为以的乡i l 1 l 。重域，于是| t o ，p ( 1 一入，1 】，使得A pc 亡展= 玩 当然成立( ，妒) 。( A 人p ) c ( ，妒) 。( 玩) = 纪( ，妒) - + ( B 1 ) 因( ，妒) 。( B 1 ) 为妒( A ) 一 有界模糊集对吆 ) 的任一重域G 互存在s o ，( 1 一妒( A ) ，1 】，使得 ( ，妒) 。( B 1 ) 八芝cs G ，y 记a = m i n 妒) ，y ) ，由引理3 1 ，知口 l 一妒( A ) 故有 ( ，妒) 。( A ) g = ( ，妒) 。( A p ) 芝c 拓( ，妒) - + ( B 1 ) 人芝ct s E 饺 ，y 此表明( ，妒) 。( A ) 为妒( 入) 一有界模糊集，即( ，妒) 。为模糊有界线性算子 定理3 3 设( x ，”| 1 1 厶R ) ，( KI I 恢厶R ) 为两个模糊赋范空间，模糊线性算 子( ，妒) 。：尸t ( p ) 一P t ( J y ) 为连续的号当模糊点列z 5 ：? 旦骂z 时，有 ( ，妒) 。( z 5 ：7 ) 业( ，妒) 1 ( z A ) 证明：号对( ，妒) 1 ( z A ) 的任意| 乡i i 。重域y ，存在z 的t 乡i i I l 。重域u ，使得 ( ，妒) 。( ) cy ，当z 是! 坐kz A 时，| N ，对Vn ，有z 廷乏u 于是有 ( 厂，妒) 。( z 东) 萑( ，妒) 。( u ) cy 故( ，妒) 。( z 掣) 二坠与( ，妒) 。( z ) 乍设( ，妒) 1 不连续，于是存在( ，妒) 。( z A ) 的玩。重域y ，对z A 的任意 | 乡i l 。重域u ，总有( ，妒) 。( U ) 仁y 即U 茌( ，妒) ( y ) ，则对V n N ，7 ( 1 一A ，1 】， 有z + B 丢人茹( ，妒) 。( y ) 取z 5 ：) 乏z + B 砉 己但z 5 ：) 譬( ，妒) 。( y ) ，由此可知， ( 厂，妒) 。( z 2 ) 磊y 因z 5 ：) 乏z + B 去 易我们有z 5 ：? 旦业z ，由充分性的假设可知， ( ，妒) 。( z 2 ) 型当( 厂，妒) 。( z A ) 此与( ，妒) 。 5 ：? ) 隹y 产生矛盾所以模糊线性算 子( 妒) 。：P t ( J x ) 斗尸t ( ，y ) 是连续的 定理3 4 设( x ，”1 1 1 ，L ，兄) ，( V ”l | 2 ，厶冗) 为两个模糊赋范空间，( 妒) _ + ： P t ( p ) _ P 亡( ，y ) 为模糊线性算子，( ，妒) 。连续，则对Vp ( o ，1 】，：( x ，I I I I 也) _ ( y ，”I 隧“ ) 在入【p ，1 】等度连续 证明：对Vz x ， o ，p ( o ，1 】及任意，y ( 1 一妒( p ) ，1 】，因，( z ) + Q 八，y 是( ，妒) 。( 唧) 的乡i | ：重域及( 厂，妒) 。的连续性，知j6 o ，7 ( 1 一肛，1 】，使得 ( ，妒) 。( o + 风人) c ，( z ) + Q 7 第3 章模糊有界线性算子 对VA 阻，1 】，且忙一圳如 1 一p ，有r 1 一入，从而 一可) A 萑故有( z 一耖) A 萑风 D 即有 枞乏z + 风八据引理3 1 ，有( 厂，妒) ( 弧) 乏( ，妒) 。( 茁+ 风八dc ，( z ) + Q 7 于 是有( ，( z ) 一，( ) ) 妒( A ) 萑G 人2cQ 进一步地，有I I ，( z ) 一，( ) I l 爨“ o ，使得对VA p ，1 】，当| | z 一! ，l I 赵 1 一妒( A ) ，即( ，妒) 。( A ) 为妒( 入) 一有界，此表 明( - 厂，妒) 。为模糊有界线性算子 仁假设( ，妒) 。有界但不连续V 入( o ，1 】，jQ ( o ，妒( A ) ) ，取( o ，妒( A ) 一 Q ) ，递减趋于o ，令p n = 1 一妒( 入) + ，可以验证集族 丢B 王人妒_ 1 ( ) I 礼N 为以的砀。重域基由假设( ，妒) 。不连续，故jA ( o ，1 】和吆A ) 的砀f f 。重域 Q 。八鱼使得( ，妒) 。( 去B 击 竺玉越) 茌G 。八堡即 B 砉 竺二：( 丝竺2 茌( ，妒) 。( 佗c ：。 蓟 于是jz 5 ：) 萑B 丢 竺塑但z 5 ：) 霉( ，妒) ( 佗G 。八鱼) 因z 5 ：) 乏竺塑 净 妒一1 ( p 。) 1 一入n = 争乒h 1 一妒( 入n ) ，即1 一妒( A ) + g n 1 一妒( A 。) 专 妒( 入n ) 妒( 入) 一E n Q = 争妒( A n ) 1 一( 1 一Q ) = 争1 一入n l 一妒一1 ( 1 一口) 从而| 0 ，使得k 1 一妒一1 ( 1 一a ) + 1 一妒一1 ( 1 一a ) 由z 5 ：) 隹( ，妒) 。( 佗G 。八鱼) 兮( ，妒) 。( z 对) 隹扎 鱼因礼G 。 堡是吆A ) 的t 乡i i 。重域，r 0 1 一妒( 入) ，因n 递减趋于o ，兮j N ，对V 礼，有 咱 1 一妒( A ) + 住 l 一妒( 入) ，进一步地有伯 1 一妒( 入) + n 1 一妒( h ) 于是有 第3 章模糊有界线性算子 1 3 ( ，妒) 。( z 5 ：? ) 乏鱼则( ，妒) 。( z 2 ) 趸n c ：。= G 瞻。令0 ，( z ) l I 曼h 船o ( n ) 令删，( z ) l I 茏口Iz n 乏B 丢，Q 【1 一妒一1 ( 1 一a ) + 1 】) 在R 上无界，由定理3 1 知 ( ，妒) 。( B 击) 无界，但由定理3 2 及( ，妒) 。有界，知( ，妒) 。( B 击) 有界，产生矛盾结 论为真 定理3 6 设( x ，I I | 1 1 ，厶兄) ，( I | I | 2 ，L ，兄) 为两个模糊赋范空间，( ，妒) 。： P t ( p ) _ P t ( ，) 为模糊线性算子，( ，妒) 。有界铮Vp ( o ，l 】，有，：，” 0 乞) _ ( l I 1 I 曼“ ) 在A p ，1 】等度有界，即对V 入【p ，1 】，jM = M ( 肛) ，使得 V z x ，I I ，( z ) I I 爨A ， o ，对任意A 【肛，1 】，当忙0 乞 o ，使得J J 厂( z o ) J J 爨糊 洲z oJ l 招此时有 l | 嚣I l 翘 0 ( ，妒) 。+ ( 9 ，妒) 。I I 。( s + 亡) 一于是s + 亡【o ，I I ( ，妒) 。+ ( 夕，妒) 。I I ( 口) 】注意到 s + t I I ( ，妒) 。+ ，妒) 。I I ( Q ) I | ( ，妒) 。I I ( a ) + I l ( 9 ，妒) 。l I ( 口) 故有s 0 ( 厂，妒) 。I I ( Q ) 或亡l l ( 夕，妒) 。0 ( ) ，即I I ( ，妒) 。I r ( s ) Q 或l l ( 夕，妒) 1 0 + ) Q 所以 m a X I I ( 厂，妒) 。I r ( 8 ) ，0 0 ，妒) 。0 + ( t ) ) Q I I ( ，妒) 。+ ( 夕，妒) 。I r ( s + 亡) 一E 由的任意性，得I I ( ，妒) + ( 夕，妒) 。旷( s + t ) m a X 删( ，妒) 。旷( s ) ，I I ( 夕，妒) 1 阜( t ) ) 第4 章模糊有界线性算子范数及空间 1 9 由定义证得0 ( ，妒) 旷为B 玩( x ，y ) 上模糊算子范数，( B 玩( x ，y ) ，0 忆L ，m 口z ) 为模糊赋范空间 定理4 2 设( x ，| | 忆厶R ) ，( KI I 1 1 2 ，L ，R ) 为两个模糊赋范空间，冗m 哟则 ( B 玩( x ，y ) ，I I I I 。，L ，m a X ) 为模糊B o 佗口眈空间告专( y 1 2 ，厶冗) 为模糊B o n 口c 九 空间 证明： 昔设( B 玩( x ，y ) ，0 I I ，L ，m a X ) 为模糊J E i n n o c 空间由x 口) ，jz 。x 且忙。l I 2 = 1 再由( x ，1 1 I I 2 ) 为分明赋范空间，由H o 危几一B n n n c 定理，j ，( x ，忙。I I 2 ) ，使得厂( z 。) = I I 文| I i 2 = 1 = I I ，I I 设_ 【可2 ) 为( y 0 恢L ，R ) 中任意模糊C 口u c 幻列，则l i mA n = p ，且对V 入( o ，1 】，j N ，使得 当m ，他，总有 0 暑，( n ) 一可( m l I 爨A ) t 又 IJ y ( n ) 一夕J | 爨k ) = J J 厂( t I ( z 。) 一9 ( z 。) | J 爨h I J ( 厂( n ) 一夕，妒) 。| l ( 入。) I | 以I | 扫 I I ( ，m ) 一夕，妒) 。0 ( 入n ) l l z 。| I i 2 此表明芝一钆，即( V | | 1 1 2 ，厶R ) 为模糊B o 礼o c 空间 仁设 ( ，( 川，妒) ) 为( B 昂( x ，y ) ，J | 忆厶R ) 中任意模糊G D 牡洗3 ，列，且 l i mk = p o 对V 入( o ，1 】， o ， | N ，使得当Vm ，n 时，有J J ( ，( 删，妒) 。一( ，( ，妒) 。J | ( 入) t 取= m a X 1 ，2 ) ，当n 时，有 I I ( ，) 一，妒) 。I I ( A n ) I I ( ，m ) 一，妒) 。I I ( t ) g 即( ，( 川，妒) 毫_ ( ，妒) 7 ，故( B 昂( x ，y ) ，”n 厶R ) 为模糊B o n o c 九空间 定理4 3 设( x ，”I I l ，L ，R ) ，( K ”| 1 2 ，厶兄) 为两个模糊赋范空间，且( K ” 恢厶R ) 为模糊B o n 口抚日口u s d D r ，空间，知cx 为分明集且在( x ，| I 忆L ，R ) 上层层一致稠密，( ，妒) 。 气( ，y ) ，则存在唯一( 夕，妒) - B 昂( x ，y ) ， 使得( ，妒) 。( z A ) = 0 ，妒) 。( z A ) ，Vz A 尸t ( ，) 且I I ( 厂，妒) 胪= I I ( 9 ，妒) 。| | 证明：因弱在( x ，”1 1 1 ，厶R ) 上层层一致稠密，对Vz x ，j 【z ( n ) ) c 凰， 使得V 入( O ，1 】，有 忙( “) 一z I I 如_ o ，_ 。o ) ( 4 4 ) 于是当m ，佗一，有I l z ( n ) 一z ( 仇I I 也一o 由引理4 1 知，对V 入( o ，1 】，有 I I ，( z ( n ) 一，( z ( 仇) I l 爨A ) = | I ，0 ( 竹) 一z ( m ) I I 曩 ) 0 ( 厂，妒) 。I I ( A ) 忙( n ) 一z ( m I I 乞_ o ，( m ，n _ o o ) ( 4 5 ) 即【，( z ( n ) ) P ( A ) ) 是y 中模糊C o 仳c 幻列因( I I 1 1 2 ，厶R ) 为模糊B o 扎o c 九空间， 存在秒y ，使得厂( z ( n ) ) 妒( A ) _ 妒( A ) 定义映射夕：x y ，夕( z ) = ! ，下证与z ，( ，妒) 1 有关，但与 z 0 ) 的选择无 关取名( “) ，使得对V 入( o ，1 】，有I I z ( n ) 一z 0 乞_ o ，即名，_ z A ，( 佗_ 。o ) 采用与上述证明一样的方法，| 叫y ，使得，( z ( n ) ) l P ( A ) _ 叫垆( A ) ，( n 叶o 。) 令 u ( n ) = z ( n ) 一z ，有 I I u ( n ) 一目| f 趋I I z ( “) 一z I | 诧+ I I z ) 一z l I 趋_ o ，( n _ o o ) ，V 入( o ，1 】 即u 0 _ 以因( 厂，妒) 。B 昂( ，y ) ，有( ，妒) 。( u 0 ) 一吆A ) 又 第4 章模糊有界线性算子范数及空间 ( ，妒) 1 ( 仳，) = ( ，妒) - + ( ( z ( n ) 一名加) ) = ，( z ( n ) P ( A ) 一，( 名( n ) I p ( A ) 一 一伽) I P ( A ) 因( V ”1 1 2 厶冗) 为日n u s d 卯，空间，有 一叫) 妒( A ) = 吆A ) 兮剪= 叫 ( 9 ，妒) _ + 显然为从P t ( p ) 映射到P 亡( ，) 的模糊线性算子( 9 ，妒) 。( z A ) = ( ，妒) 。( z A ) ，Vz A P t ( J x 0 ) 事实上，对Vz x o ，取z ( n ) = z ，V 佗，易知 z 妒_ z A ，VA ( o ，l 】由夕的定义，( ，妒) 。( z ，) = ( ，( z ( n ) ) ) 妒( A ) _ 9 ( z ) 妒( A ) 由( ，妒) ( z 0 ) = ( ，妒) 。( z A ) = ( ，( z ) ) I P ( A ) ，推知，夕( z ) = ，( z ) ，Vz 由( 4 4 ) 式，有川z ( ”) I I 赵一忙I I 乜l I I z ( n ) 一z I I 也_ o 即对V 入( o ，1 】，有 j i 哩忖n ) 呛= 恻盼 由( 4 5 ) 式，有l | | 厂( z ( n ) 0 曼舢一怕( z ) 0 曼A I I I ，( z ( n ) 一夕( z ) 0 曼A ) _ o 即对 VA ( o ，1 】，有l i ml l ，( z ( n ) | I 曼“ = l I 夕