物质热力学函数温度系数的通用计算方法.pdf

2 0 1 4 年2 月 第4 0 卷第2 期 北京航空航天大学学报 J o u r n a lo fB e i j i n gU n i v e r s i t yo fA e r o n a u t i c sa n dA s t r o n a u t i c s F e b r u a r y 2 0 1 4 V 0 1 4 0N o 2 物质热力学函数温度系数的通用计算方法 刘洌梁国柱 ( 北京航空航天大学宇航学院，北京1 0 0 1 9 1 ) 摘 要：物质热力函数( 摩尔定压热容、熵、焓) 是用于火箭发动机热力特性分析的常 用函数根据热力学关系，上述3 种热力函数可表示为以温度为自变量，且含相同7 个温度系 数的多项式由于精确分析物质热力特性的需要，需要各温度下更新更精确的数据值将热力 函数按温度高低分为不同区间，在保证各温度连接点函数值相等的情况下，采用最小二乘法的 数学方法，通过编程计算，重新确定了1 3 5 种火箭发动机常用物质的温度系数，得到3 0 0 50 0 0K 内这些物质的函数计算值进一步，对氮原子、液体铅、固体硅等相对误差较大的2 6 种 物质的摩尔定压热容利用最小二乘法再次进行了修正，使其精确度平均提高了1 0 0 倍所得到 的热力函数计算值与标准值比较，误差小，精度高，使用方便，具有广泛的应用价值 关键词：热力函数；最小二乘法；温度系数 中图分类号：V4 3 5 1 1 文献标识码：A 文章编号：1 0 0 1 5 9 6 5 ( 2 0 1 4 ) 0 2 - 0 2 1 6 - 0 6 G e n e r a lc a l c u l a t i o ns t u d ym e t h o do ft h e r m o d y n a m i cf u n c t i o n sf o rs u b s t a n c e s L i uL i e L i a n gG u o z h u ( S c h o o lo fA s t r o n a u t i c s ，B e i j i n gU n i v e r s i t yo fA e r o n a u t i c sa n dA s t r o n a u t i c s ，B e i j i n g1 0 0 1 9 1 ，C h i n a ) A b s t r a c t ：T h es u b s t a n c e St h e r m o d y n a m i cf u n c t i o n s ( h e a tc a p a c i t y ，e n t r o p y ，e n t h a l p y ) w e r ec o m m o n l y u s e di nt h er o c k e te n g i n e St h e r m a lp r o p e r t ya n a l y s i s A c c o r d i n gt ot h et h e r m o d y n a m i cr e l a t i o n ，t h et h r e e f u n c t i o n sa b o v ec a nb ee x p r e s s e da sp o l y n o m i a lo nt e m p e r a t u r ew i t ht h es a m es e v e nf a c t o r s D u et ot h et e c h n o - l o g i c a lp r o g r e s s ，n e w e ra n dm o r ep r e c i o u sd a t aa td i f f e r e n tt e m p e r a t u r e sw e r ed e m a n d e d T h ef u n c t i o nd a t a w e r ed i v i d e di n t od i f f e r e n ti n t e r v a l sb a s e do nt e m p e r a t u r e s ，t oe n s u r et h ec a l c u l a t e dd a t aw e r ee q u a la ta d j a - c e n ti n t e r v a l s ，w i t ht h el e a s ts q u a r em e t h o da n dp r o g r a mc a l c u l a t i n g ，13 5k i n d so fs u b s t a n c e s t e m p e r a t u r e c o e f f i c i e n t sw e r er e d e f i n e d A n dt h ea b o v es u b s t a n c e s c a l c u l a t e dt h e r m o d y n a m i cf u n c t i o n sf r o m3 0 0Kt o 50 0 0Kw e r ed e t e r m i n e d F u r t h e r m o r e ，t og e tm o r ep r e c i s ev a l u e s ，t h eh e a tc a p a c i t i e so f2 6s u b s t a n c e ss u c h a sn i t r o g e na t o m ，l i q u i dl e a d ，c r y s t a l l i n es i l i c o n ，w h i c hh a dl a r g e rr e l a t i v ee r r o r sw e r ec o r r e c t e db yu s i n gt h e l e a s ts q u a r em e t h o da n dt h ep r e c i s i o no fh e a tc a p a c i t i e si s10 0t i m e sh i g h e rt h a nb e f o r e C o m p a r e dw i t ht h e s t a n d a r dd a t a ，t h ec a l c u l a t e dd a t ah a v es m a l le r r o ra n dh i g hp r e c i s i o na n dc a nb ea p p l i e dt om a n yd i s c i p l i n e s K e yw o r d s ：t h e r m o d y n a m i cf u n c t i o n ；l e a s ts q u a r em e t h o d ；t e m p e r a t u r ec o e f f i c i e n t 在火箭发动机的热力特性分析中，需要使用 推进剂及其燃烧产物在一定温度下的热力函数 ( 摩尔定压热容C ：。、焓磷、熵s ：) 值由于热力 学性质表大多只给出的整百K 下的标准热力函 数值，当计算某一非整百K 温度的热力函数值 时，就必须利用2 个或若干个相邻温度的标准数 据进行插值，导致较大误差产生因此，1 9 6 1 年， 美国的研究人员提出，考虑到物质的摩尔定压热 容与焓、熵的相互耦合关系，可用最小二乘法拟合 出计算热力函数的多项式温度系数，达到方便求 解某一温度范围内，任意温度下热力函数的目 的2 0 世纪七八十年代，利用相似的方法，美国 收稿日期：2 0 1 3 - 0 4 1 1 ；网络出版时间：2 0 1 3 - 0 7 - 2 21 1 ：0 4 网络出版地址：W W W c n k i n e t k c m s d e t a i l 1 1 2 6 2 5 V 2 0 1 3 0 7 2 2 1 1 0 4 0 0 7 h t m l 作者简介：刘洌( 1 9 8 8 一) ，男，重庆人，博士生，s h o w f o r a d a y 1 6 3 c o r n 万方数据 第2 期刘洌等：物质热力学函数温度系数的通用计算方法 2 1 7 刘易斯研究中心通过计算机程序计算得到常用化 学物质的温度系数，并提高了计算热力函数值的 精度旧。3 1 2 0 世纪9 0 年代，我国的科技工作者通 过精确计算，获得了C u 及其氧化物、氟化物的温 度系数o 最近2 0 年来，美国相关研究中心进一 步扩充了具有广泛用途( 包括火星大气性质分 析“ - 6 ) 的求解物质热力函数的温度系数数据 库。10 | 近年来，火箭发动机推进剂配方不断改 进，以及类似于光谱测量、原子振动测试等实验技 术的发展，不仅使火箭发动机推进剂与燃烧产物 中可能存在的物质数量大幅增加，而且通过实验 测定得到的热力函数值也更加精确，因此应该对 现有物质温度系数表进行进一步的更新和扩充 本文根据标准热力学数据“纠计算现代火 箭发动机中常见的1 3 5 种单质、化合物以及带电 离子在3 0 0 50 0 0K 温度范围内的温度系数，并 对计算得到的物质摩尔定压热容误差较大的温度 系数进行单独修正，为工程计算提供更准确的热 力函数温度系数值 1 计算方法 1 1 热力函数的温度系数表达 根据文献 3 ，并考虑工程中实际应用要求， 可采用含7 个相同温度系数的经验公式计算上述 3 种热力函数公式，具体公式表达如下 摩尔定压热容： r O 二茅2n - + 口：T + 口，严+ 。一，+ 口s ，( 1 ) 焓： 堕R T = n 。+ r + 严+ 詈r + 孚r + 等 ( 2 ) 熵： 善= 口。l n r + 口：r + 严+ 矿+ 孚P + 。， ( 3 ) 由热力学微分关系形式可知，上述3 种热力 函数具有关联性，应作为整体考虑热力函数都具 有相同的温度系数a 。一a ，焓、熵具有各自独立的 系数a 6 ，a ，；J A N A F 标准热力函数表( N I S T - J A N A F t h e r m o c h e m i c a lt a b l e s ) 的实验测得值与经验公式 计算值之间具有一定的误差为了减少经验公式 计算值与标准值间的相对误差，可以采用最小二 乘法进行拟合计算，求出温度系数a 。一a ， 实际上，随着温度不断升高，分子振动加剧， 摩尔定压热容、焓、熵等热力函数值发生剧烈变 化，尤其要指出的是摩尔定压热容，对某些物质， 甚至会改变摩尔定压热容以温度为自变量的单调 性因此可人为将温度分为若干区间，对于相同物 质的不同的温度区间，采用不同的温度系数来计 算热力函数对大多数物质而言，可分为高、低温 2 个区间，对于部分固体和液体物质，需要将温度 区间更细划分，以满足精度要求 1 2 温度系数的求解方法 选取温度区间 瓦，r 。 ， L ，咒 ， r 。一。， 丁。 ，共有对应的口，a ，a 川。i ( i = 1 ，2 ， 7 ) ，7 n 个待求温度系数对某种确定的物质而言， 需依据不同温度区间计算不同的温度系数 此外，为保证函数的精确性，要求通过相邻温 度区间的不同温度系数在温度交界点计算得到的 热力函数值相等，即使分段函数两端取得的热力 函数值相等，则必须满足如下3 ( 1 t 一1 ) 个方程： C 。( 哆。) = c ；。( 吁i )讲( a j 叱；) = 磷( a j ，。) s o ( a i - 1 。) = s o ( 口) T = t ，= 1 ，2 ，n 一1 ；i = 1 ，2 ，7 为方便表达，用x 表示式( 1 ) 一式( 3 ) 中与温 度系数相乘的各组合量，如石c 。= 0 ，菇雌= 0 5 R 严，戈。= R I n T ，本文下标表示热力函数和与 之对应的温度系数下标则在温度分段交接点上， 利用上述热力函数值相等的条件，可将方程变为 戈c p 。，l 巳一l ，l + 戈C p , m , 2 a j 1 2 + 菇( J p , m , 3 a j 一1 ，3 = 77 X C p m , i a j i 一戈。a j 叱。 I2 12 4 - = 1 ，2 ，凡一1( 4 ) X , H 。1 a j 1 1 + x l t ，2 a j 一1 ，2 + x n 3 a j 一1 3 2 77 菇。，i a j i 一省。，；。卜。，； ( 5 ) I = Il2 4 X s ，1 a j 一1 1 + x , S 2 a j 一1 ，2 + x S ，3 a j 一1 3 2 77 z 。，i a j ，i 一戈。i a ，一。，。 ( 6 ) 对式( 4 ) 式( 6 ) 而言，z c 。，；，z ，菇。，i ( i = 1 ， 2 ，7 ) 均是交接温度下的已知参数 对于一个确定的，式( 4 ) 式( 6 ) 是关于温 度系数口川，。，口川，：和a j - l ，的三元一次方程组当 ，= n 一1 时，求出其左端关于待求温度系数的已知 系数矩阵的逆矩阵B ( 3 ，3 ) ，将其左乘于方程右 端各项，获得a m 。( k = 1 ，2 ，3 ) 的表达式： 77 n 。一：。= = A ：j 一2 4 2 。一。+ A 。( ，n 。- + 2 。, n - 2 ) 。一：，。 l2 1I24 k = 1 ，2 ，3 式中A 子2 “2 对应于为求取口州。，经逆矩阵左乘 后得到的右端温度系数的系数矩阵A ( 3 ，1 1 ) 的 万方数据 2 1 8 北京航空航天大学学报 元素，其下标代表元素编号，上标第1 项代表待求 温度系数a m 。，第2 项代表求取口盹。时得到的 系数矩阵类似地，从J = n 一2 ，n 一3 ，2 ，1 ，每 一温度段温度系数中的3 个均可用后面各温度段 的温度系数表达，即可用口。( k = 4 ，5 ，6 ，7 ) ， 口m ( k = 4 ，5 ，6 ，7 ) ，口州女( k = 1 ，2 ，7 ) 线性 组合得到经n 一1 次上述类似过程后，式( 4 ) 式( 6 ) 左端的共3 ( 凡一1 ) 个温度系数口H 。( k = 1 ，2 ，3 ) 可以由下面的通式表示： 7n l7 q 叱。= A ”2 + A 。( j - y I , 一C 。p - I , i l2 1 P2 J I2 4 ，= 1 ，2 ，r t 一1 ；k = 1 ，2 ，3( 7 ) 式中A 。( J - 1 ”对应于为求取口H 。用到的在求取 口川。时经逆矩阵左乘得到的右端温度系数的系 数矩阵A ( 3 ，1 1 ) 的元素 由于在各温度区间交接点上，矩阵A 内均为 与交接温度相关的可计算参数至此，如果已知式 ( 7 ) 右端中的4 凡+ 3 个温度系数，则由该方程即 可求出左端的3 ( n 一1 ) 个余下的温度系数因 此，下面将讨论由求解7 n 个待求温度系数变成求 解4 n + 3 个温度系数的求解过程 以穸。代表对应于标准温度下经验公式的3 个热力函数计算值，) ，。表示3 个热力函数标准值 ( 实测值) ，下标m 表示数据点的编号假设在对 应温度系数口似( J = 0 ，1 ，r t 一1 ；k = 1 ，2 ， 7 ) 的区间内有N 。( 1 = 0 ，1 ，n 一1 ) 个温度下的 热力函数已知标准值，结合摩尔定压热容、焓、熵 的相互关系，则可将3 N f ( f = 0 ，1 ，凡一1 ) 个标 准数据点进行共同处理由最d x - - 乘法可知，需使 得拟合得到的热力函数计算值与热力函数标准值 n 一1 3 N t 相比，有最小的误差平方和Q = ( 罗。一 Y 。) 2 ，则需有 ? 生：0i ：1 ，2 ，7 O a n 1 i ( 8 ) 旦：0 _ ：1 “2 一，n 一：4 , 5 ，6 ，7 O a j l ， ( 9 ) 当T t 一。， 时： 7 穸。= ，X m m = ， ) ，m2 乞, i m21 ，2 ，3 N j a n _ 3 I V _ i = l 热力函数计算值对温度系数的偏导数为 ( 1 0 ) 旦：江1 ，2 ，7 ( 11Xm ) 瓦j 2 , i 汪1 乙 ? 生：o ：1 ，2 ，n 一1 ；i ：1 ，2 ，7 ( 1 2 ) 式中戈“仅是温度的函数 由式( 7 ) ，当T ，丁。 u u r 。一：， r 川 ，对应区间的温度系数为口i ( i = 1 ，2 ， 7 ) 时： 一。=n，一l，。+(戈。，A(J-Y i X m , I A 。1 “一2 +m2 2 jn ，一l ，+ 2 ( 戈m ， - t 。+ X m , 2 A i ：j 1 ，“一2 + X m , 3 A j ：i 1 ，“一2 a 。一，i + ( 并叫A 。 J - + I ，, ”+ 2 A 。( J - + l ，, ”+ X m , 3 。A 3 ( j ，- + 1 4 , 9 1 ) 口p 1 i J = 0 ，1 ，凡一1 ；m = 1 ，2 ，3 H( 1 3 ) 热力函数计算值对温度系数的偏导数为 瓦a Y m = 彬棚) 帆哪倒m ) + ，啦圳 ( 1 4 ) 瓦a Y m 一叫懈( j - I , p _ 1 ) + X m , 2 A 。( J ，- 。I , 9 1 + X m , 3 A 。( Y ，- + l ，, 一1 老1 ，川_ ，+ ( 1 5 ) X m , 2 A 。( J ，- 。l , J 一1 + X m , 3 。A 3 ( j ，J - + 1 4 , 7 1 + 石。，。l P = J + 1 ，J + 2 ，n 一1 J 由式( 8 ) 、式( 9 ) ，可得 乏n - 1 善3 N I ( 卜毫= 。，2 ，7 ( 1 6 ) 芝3 N l ( 穸。- - Y m ) 堕：o 再圣( 穸m 旦O 口j - I , i l 0m1 = o = 歹= 1 ，2 ，n 一1 ；i = 4 ，5 ，6 ，7 ( 1 7 ) 根据偏导数关系式( 1 1 ) 、式( 1 2 ) 、式( 1 4 ) 和 式( 1 5 ) ，结合式( 1 6 ) 、式( 1 7 ) ，可得到一个4 n + 3 阶的正规线性方程组，用选主元的D o o l i t t l e 方法， 精确地解出各个温度区间内的4 n + 3 个温度系数 n 然后根据确定的相互关系式( 7 ) ，解出剩余的 3 ( r t 一1 ) 个未知数 本方法能使3 种热力函数同时得到很好的拟 合，又保证了在若干个不同温度区间的交界处计 算的函数值相等，误差小，精度高 1 3 摩尔定压热容的单独修正 用1 2 节中方法得到的温度系数可以计算出 对应温度下的摩尔定压热容、焓和熵但根据热力 学分析可知，作为以温度为单自变量的函数，物质 的焓、熵具有单调性，但对于某些特殊物质，摩尔 万方数据 第2 期 刘洌等：物质热力学函数温度系数的通用计算方法 2 1 9 定压热容的单调性不成立，以致使用该温度系数 计算得到的摩尔定压热容值误差相对较大其次， 某些物质的摩尔定压热容与焓、熵数量级相差较 大，也会对摩尔定压热容的计算精度造成影响 用计算得到的温度系数计算热力函数值，与 标准值进行比较，可知摩尔定压热容的相对误差 均比焓、熵的相对误差大一个数量级以上，特别是 在函数的单调性发生变化的时候，误差更为明显 为了保证数据的精确性，本文进一步对摩尔定压 热容进行单独修正 为了保证拟合摩尔定压热容函数的精确性， 可重新确定一组新的温度系数来单独计算物质的 摩尔定压热容 根据式( 1 ) ，设摩尔定压热容的计算值为 C 。，在不同温度区间的连接点上，保证计算的函 数值相等，在温度系数口，。( J = 0 ，1 ，n 一1 ；k = 1 ，2 ，7 ) 的温度区间内有批( Z = 0 ，1 ，凡一1 ) 个关于摩尔定压热容的数据，设标准值为C ， 如果使： n lN t Q = ( e 。，。一C ，。) 2 ( 1 8 ) f ：0m2 l 有最小，就可以达到修正的目的 由式( 1 ) 可知，存在5 n 个待求温度系数，根 据1 2 节中类似方法，通过函数变换，化简为 ( 4 n + 1 ) ( 4 n + 1 ) 的标准矩阵方程形式，从而 求得待求温度系数值用新求解的温度系数计算 摩尔定压热容值，可进一步提高摩尔定压热容值 的数据精度 2 计算结果与分析 根据1 3 5 种火箭发动机常见物质在3 0 0 5 0 0 0 K 上的最新标准热力函数数据，统一将温度 划分为低温区间( 3 0 0 10 0 0K ) 和高温区间 ( 10 0 0 50 0 0K ) ，采用上述计算方法，用F O R - T R A N 9 0 语言编写计算热力函数温度系数的程 序，计算得到火箭发动机1 3 5 种常见物质的温度 系数值，以及相应的摩尔定压热容、焓、熵的计算 值，并将其与已知的热力函数标准值进行比较，获 得上述每一种物质在各计算温度下的热力函数相 对误差及标准差 现代的固体火箭发动机常采用硼和铜元素作 燃烧添加剂，以B ，O ，与C u O 气体为例，其温度系 数计算结果如表1 、表2 所示利用式( 1 ) 式 ( 3 ) 计算在上述各温度区间上B ：O ：和C u O 的热 力函数值，热力函数标准值、计算值结果如图1 所 示 表1B ：O ：( 气) 的温度系数表 将得到的函数的计算值与标准值比较，可得 如图2 所示的计算区间上各计算温度点的相对 误差，并得到表3 、表4 所示的热力函数计算值与 标准值的误差分析表 表3B ：O ：( 气) 热力函数计算值与标准值误差分析表 参数定压摩尔热容熵焓 平均偏差0 2 8 j ( t o o l 平均相对误差0 4 9 最大相对误差4 1 3 表4C u O ( 气) 热力函数计算值与标准值误差分析表 参数定压摩尔热容熵焓 平均偏差0 1 3 3 j ( m o l K ) 0 1 2J ( m o l K ) 0 0 2 5k J t o o l 平均相对误差0 5 1 0 0 0 5 90 0 0 6 最大相对误差 3 0 7 0 0 9 00 0 2 1 由图2 可知，对B ，O ，与C u O 而言，摩尔定压 热容函数值在3 0 0 ，10 0 0 以及5 0 0 0 K ( 2 个区间端 点以及交接点) 上相对误差较大，B ，O ，在3 0 0 K 时 取得最大相对误差4 1 3 ，C u O 在5 0 0 0K 时取得 最大相对误差3 0 7 ，而在其他温度下误差均在 1 以内，2 种物质的平均相对误差均在0 5 左 右；而就焓、熵而言，计算值和标准值相比，在误差 较大的区间端点处相对误差也小于1 。，计算值 与标准值几乎完全一致 对1 3 5 种物质分析计算得到的误差结果如表 5 所示，可以看出利用温度系数计算得到的计算 值相对误差均较小，完全适用于工程应用 0 眇 5 0 0 OOK 肿舵 0 0 700K 万方数据 2 2 0 北京航空航天大学学报2 0 1 4 年 ， 2 ：- o j 7 o 鋈 ， j ， 2 o Y o 鼍 a B ：O ：( 气) 、c u 0 ( 气) 摩尔定压热容的计算值与标准值 刀1 0 3 K b B ：0 ：( 气) 熵和焓的计算值与标准值 ”1 0 3 K C C u O ( 气) 熵和熔的计算值与标准值 图1B ：0 ：( 气) 、C u O ( 气) 热力函数 计算值与标准值比较 ， 2 弓 三 二 邑 蜜 表51 3 5 种物质热力函数计算值与标准值误差分析表 1 3 5 种物质中的2 6 种物质( 氮原子、液体铅、 固体硅等) 的摩尔定压热容计算值，从平均相对 误差而言，误差小于5 ，但最大相对误差大于 1 0 。有必要进行进一步修正 i 三 状 琐 专 Z * 星 驾 _ 呈 涮 g 专 翌 g 婆 玎1 0 3 K b B 2 0 ：( 气) 、各温度下焓和熵的相对误差 CC u O ( 。t ) 各温度下焓和熵的相财误差 = 彩 愁 专 ：= * g 蟹 T 呈 辙 基 b ， X 至 g 篓 图2 热力函数计算值与标准值相对误差 对误差 以氮原子为例，在温度小于19 0 0K 时，摩尔 定压热容数值基本不发生变化，但随着温度的继 续升高，摩尔定压热容迅速增大在这种条件下， 若不对计算摩尔定压热容的温度系数进行修正， 计算中会产生很大误差，但焓、熵的相对误差仍然 保持较低值修正后与修正前得到的摩尔定压热 容值相比，可以得到图3 所示结果利用重新修 正的计算摩尔定压热容的温度系数计算摩尔定压 热容，与标准摩尔定压热容值相比较，可以得到表 6 所示结果 一一竿IogI)IF星o。 一| _ 一) I Io#I)王一打_!=|_ 万方数据 第2 期刘 洌等：物质热力学函数温度系数的通用计算方法 2 2 1 012345 1 0 1 K 图3氮原子摩尔定压热容修正前后比较 表6 氮原子摩尔定压热容修正前后误差比较 由表6 可知，与修正前相比，整个温度区间上 摩尔定压热容的平均相对误差减小了2 5 0 倍，达 到1 0 。数量级，与焓、熵精度相同，最大相对误差 也大大减小至3 ，进一步提高了摩尔定压热容 温度系数的精确度与计算上的适应性，完全满足 工程计算需要 当然，经验公式计算的准确性还依赖于热力 函数标准数据的准确性根据不同物质的特有化 学性质，对单质、化合物等还可以采用3 系数、9 系数等各种形式的经验公式进行热力函数值的计 算，以便进一步提高精确性此外，根据物质不同 的物理性质，划分不同的温度区间，也可以进一步 减小计算误差 3 结论 为了达到方便准确计算物质热力函数的目 的，采用含7 个温度系数的多项式作为计算摩尔 定压热容、焓、熵3 种热力函数的经验公式，得到 如下成果： 1 ) 利用最小二乘法，计算了火箭发动机研究 中常见的包括单质、化合物以及带电离子在内的 1 3 5 种物质在3 0 0 5 0 0 0K 温度范围内的温度系 数 2 ) 根据得到的温度系数计算了1 3 5 种物质 的摩尔定压热容、焓、熵与标准值相比，在任意温 度区间下，焓与熵的相对误差均小于1 0 ，除极 个别温度外，摩尔定压热容的计算值相对误差均 小于1 3 ) 对氮原子等2 6 种摩尔定压热容值随温度 变化较大的物质进行摩尔定压热容的温度系数的 单独修正，修正后摩尔定压热容相对误差接近 1 0 - 。 4 ) 建立了更准确的热力函数数据库及温度 系数数据库所获得的温度系数不仅可运用于火 箭发动机的热力分析，还可以应用于热能动力、化 工冶金等其他学科，具有广泛的应用价值 参考文献( R e f e r e n c e s ) 1 Z e l e n z n i kFJ ，G o r d o nS S i m u l t a n e o u sl e a s t s q u a r e sa p p r o x i m a - t i o no faf u n c t i o na n di t sf i r s ti n t e g r a l sw i t ha p p l i c a t i o nt ot h e r - m o d y n a m i ed a t a R N A S AT ND - 7 6 7 ，1 9 6 1 2 M c B r i d eBJ ，H e i m e lS ，E h l e r sJG ，e ta 1 T h e r m o d y n a m i cp r o p e r t l e st o6 0 0 0 Kf o r 2 1 0s u b s t a n c e si n v o l v i n gt h ef i r s t1 8e l e m e n t s R N A S AS P 3 0 0 1 ，1 9 6 3 3 M c B r i d eBJ ，G o r d o nS C o m p u t e rp r o g r a mf o rc a l c u l a t i o no f c o m p l e xc h e m i c a le q u i l i b r i u mc o m p o s i t i o n sr o c k e tp e r f o r m a n c e i n c i d e n ta n dr e f l e c t e ds h o c k sa n dC h a p m a n - J o u g u e td e t o n a t i o n s R N A S AS P - 2 7 3 ，1 9 7 l 4 田德余，翁武军，刘振源热力学函数温度系数的计算 J 航空动力学报，1 9 9 1 ，6 ( 2 ) ：1 0 1 1 0 4 T i a nD e y u ，W e n gW u j u n ，L i uZ h e n y u a n C a l c u l a t i o no ft h et h e r - m o d y n a m i cf u n c t i o n s t e m p e r a t u r ec o e f f i c i e n t J J o u r n a lo f A e r o s p a c eP o w e r ，1 9 9 1 ，6 ( 2 ) ：1 0 1 1 0 4 ( i nC h i n e s e ) 5 C a p t e l l iM ，C o l o n n aG G i o r d a n oD H i g h t e m p e r a t u r et h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e so fM a t s - a t m o s p h e r ec o m p o n e n t s J J o u r n a lo f S p a c e c r a f ta n dR o c k e t s ，2 0 0 5 ，4