高考数学复习知识串讲

高考数学串讲（一） 函数一，基础知识1，函数的基本性质：（1）函数的单调性：（或）单调递增（或单调递减）； 单调递增（或单调递减）（或）。（2）函数的周期性：，则称为的一个为期；若是所有 周期中一个最小的正周期，则称的周期是。（3）函数的奇偶性：是偶函数； 是奇函数。（注：定义域需关于原点对称）。（4）函数的连续性：在处连续（常数）。（5）函数图像的对称性：若满足的图像 关于直线对称。2，函数的图像：， ，的图像。3，函数的定义域与值域：定义域与值域的关系：与互换；极值：是的一个极值；最值：(i)对于定义域D内的任意,存在,使得,则; 对于定义域D内的任意,存在,使得,则(ii)在闭区间内连续,则必有最大值与最小值.(iii) 恒成立或4，根的分布：若在闭区间内连续，且，则至少存在一点，使得。二，跟踪训练1，（04广东）设函数。（I）证明：当，且时，；（II）点P（）（）在曲线上，求曲线在点P处的切线与轴和轴的正向所围成的三角形面积表达式（用表示）。2，（04广东）设函数，其中常数为整数。（I）当为何值时，；（II）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使。试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。3，（05广东）设函数在上满足，且在闭区间上，只有。（I）试判断函数的奇偶性；（II）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。4，（05全国III）已知函数。（I）求的单调区间和值域；（II）设，函数。若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围。5，（05辽宁）函数在区间内可导，导函数是减函数，且。设，是曲线在点处的切线方程，并设函数。（I）用，表示；（II）证明：当时，；三，简明提示1，（I）由，可证。（II）切线方程为，。2，（I），由，得；（II）由，及可证。3，（I）是的对称轴，若是奇函数，有=，与在上只有矛盾！同理可知它也不是偶函数；得是非奇非偶函数。（II）由，又在上只有，知在上只有2个解，在上只有个解，在上只有400个解，共802个解。4，（I）当时，是减函数；当时，是增函数。的值域是。（II）当时，有为减函数，又，则，得。5，（I）；（II）令，得；高考数学串讲（二） 直线 平面 简单几何体一，基础知识1,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法（1）,运用定义证明(有时要用反证法); （2）,运用平行关系证明; （3）,运用垂直关系证明; （4）,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明2,空间中的角和距离的计算（1）,求异面直线所成的角,(平移法)过P作,则与的夹角就是与的夹角;,证明(或),则与的夹角为(或);,求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角().（2）,求直线与平面所成的角(定义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角;,证明(或),则与的夹角为(或);求与的法向量所成的角,则与所成的角为或.（3）,求二面角,(直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P作AB的垂线,交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角.,(面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F的面积为,F在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).,(异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角的平面角,EA在半平面内且于点A,BF在半平面内且FBAB于B,而,.,(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为 (同类)或(异类).（4）,求异面直线的距离(定义法)求异面直线公垂线段的长; (体积法)转化为求几何体的高; (转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值; 二，跟踪训练ABCDEA1B1C1D11，（04湖北）如图，在棱长为1的正方体中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。（I）试确定点F的位置，使得平面；（II）当平面时，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）ABCPNA1B1C1M2，（04北京）如图，在正三棱柱中，AB3，M为的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为N，求：（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（II）PC和NC的长；（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。ABCFA1B1EC13，（05天津）如图，在斜三棱柱中，AB=AC，侧面与底面ABC所成的二面角为，E，F分别是棱，的中点。（I）求与底面ABC所成的角；（II）证明：平面；（III）求经过，A，B，C四点的球的体积。ABCPEF4，（05广东）如图，在四面体中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=。F是线段PB上一点，CF=，点E在线段AB上，且。（I）证明：平面CEF；（II）求二面角的大小。AOBCO1D图1AOBCO1D图25，（05湖南）如图1，已知ABCD是上，下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角，如图2。（I）证明：；（II）求二面角的大小。三，简明提示1，（I）设，得，当点F是CD的中点时，平面；（II）二面角的大小为。2，（I）；（II）；（III）。3，（I）；（II）略；（III）半径，。4，（I）由勾股定理得均为直角，得平面ABC，再用等面积法证明，结合可证；（II）为所求的二面角的平面角，。5，（I）建立空间直角坐标系，可证得；（II）用法向量法可求得。高考数学串讲（三） 直线 圆 圆锥曲线一，基础知识椭圆双曲线抛物线定义与两个定点的距离的和等于常数与两个定点的距离的差的绝对值等于常数与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程(或),(或)(或)参数方程(或)(或)(或)焦点或或或正数a,b,c,p的关系()()离心率准线(或)(或)(或)渐近线(或)焦半径(或)(,),(点在左或下支)(或)统一定义到定点的距离与到定的距离之比等于定值的点的集合,(注:焦点要与对应准线配对使用)二，跟踪训练1，（05广东）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO（如图4所示）.（）求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.2，（05广东）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.（）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；O（A）BCDxy（）求折痕的长的最大值.3,(04全国I)双曲线C：（）与直线：相交于两个不同的点A，B（I）求双曲线C的离心率的取值范围；（II）设直线与轴的交点为P，且，求的值。4，（05重庆）已知椭圆的方程为，双曲线的左，右焦点分别为的左，右顶点，而的左，右顶点分别是的左，右焦点。（I）求双曲线的方程；（II）若直线：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B满足（其中O为原点），求的取值范围。5，（04广东）设直线与椭圆相交于A，B两点，又与双曲线相交于C，D两点，C，D三等分线段AB。求直线的方程。三，简明提示1，（I）设，则消去得；（II），当，即时，等号成立。2，解：设点落在上的点处，则折痕所在的直线是线段的垂直平分线() 的方程为： 点的纵坐标恒为1，代入 得点横坐标为，由：，得折痕的方程为：得： （其中）(II) 若折痕所在直线与轴的交点的纵坐标大于1，则折痕与线段CD有交点若折痕所在直线与直线的交点的纵坐标小于0，则折痕与线段AB有交点对于折痕上的点（，）当时，令，得：，又，所以即：当时，折痕与线段AD有交点 当时，折痕与线段DC有交点 当时，令，得，又，所以即：当时，折痕与BC的边有交点 当时，折痕与线段AB有交点 综合、。记折痕的长度为（1） 当时，折痕的两个端点分别在AD、BC上当时，有最大值= （2） 当时，折痕的两个端点分别在AB、AD上设，则 （）对求导数，则：解，得（舍去）或，而因此：的最大值从而得到：（3） 当时，折痕的两个端点分别在AB、CD上当时，有最大值综合（1）、（2）、（3），得，当时，有最大值。3，（I）由，得 ，有且，得的取值范围为；（II）设，由，得，有，得，消去，得。4，（I）设所求的方程为，则，有；（II）由有两个不同解得 ，由有两个不同解得且 ，由得，即或 由，得的取值范围是。5，解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：依题意有，由得若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故由故l的方程为(ii)当b=0时，由(1)得故l的方程为再讨论l与x轴垂直的情况.设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，综上所述，故l的方程为、和。高考数学串讲（四） 应用问题一，基础知识1，概率与统计（1）等可能性事件的概率（古典概型）。试验由个基本事件组成，所有结果等可能出现，如果某个事件A包含的结果有个，那么事件A的概率为。（2）互斥事件的概率：；对立事件的概率：。（3）相互独立事件的概率：若与互相独立，则；如果在一次试验中某事件发生的概率是，则在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为：。（4）离散型随机变量的分布列与期望：设离散型随机变量的分布列为：（）则的期望。其中；。2，求函数最值的常用方法（1）一次函数：根据函数的单调性求解；运用线性规划的方法求解。（2）二次函数：运用配方法求解；运用数形结合求解。（3）其它函数：配方法：如，求函数的最小值。 配成。求导法，运用函数的单调性求解。判别式法：如，求的最大值和最小值。不等式法：（i），则；（ii）。换无法：当时，求函数的最小值。数形结合法。二，跟踪训练1，（05江西）A，B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设表示游戏终止时掷硬币的次数。（I）求的取值范围；（II）求的数学期望。2，（05广东）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以表示取球结束时已取到白球的次数.（）求的分布列；（）求的数学期望3，（05湖南）某城市有甲，乙，丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为04，05，06，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。（I）求的分布列及数学期望；（II）记“函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率。4，（05重庆）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张，求：（I）该顾客中奖的概率；（II）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布和期望。5，（04广东）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)。6，（04辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂。由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入。在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格），（I）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（II）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元）。在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？三，简明提示1， 解：（I）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：（II）2，解：(I)的可能取值为：0,1,2,n的分布列为012n-1np(II) 的数学希望为(1)(2)(1) (2)得。3，解（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件，。由已知，相互独立，。客人游览的景点数的可能取什为0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3。=，。则。（II）由，得，从而。4，解：（），即该顾客中奖的概率为.（）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.010205060P故有分布列：从而期望5，解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.6，解（I）乙方的实际年利润为=。当时，取得最大值。（II）设甲方净收入为元，则，将代入得，得，令得。当时，；当时，。所以时，取得最大值。高考数学串讲（五） 解三角形一，基础知识BCabcA1，三角形中的常用公式如图，中，外接圆半径为R，内切圆半径为，半周长为。（1）正弦定理：。变形：。（2）余弦定理：；。（3）面积：=。2,等差数列与等比数列(1),等差数列:,定义:.,通项公式:.,前项和公式:.,任意两项有.,对于任意正整数,若,则.反之不行.,若均是等差数列,则也是等差数列.()(2),等比数列:,定义:.,通项公式:.,前项和公式:.,任意两项有.,对于任意正整数,若,则.,无穷递缩等比数列所有项和公式:.二，跟踪训练1，