高中：分段数列专题探讨.doc

。分段数列专题分析类型一：前后分段；1. 基于通项与前项和的关系的分段数列和含有绝对值的数列。已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值分析：本题所涉及的数列都不是分段数列，但在解答第（1）小题时仍需要考虑分段证明，解题中很多考生都出现了证明不完整的情况。典型错误：因为，两式相减得：，即，所以数列是等比数列；这里错误之处有2个，一是和上题一样忽略了成立的条件是，另一个是并不等价于。第三问作差法解数列通项公式；对的正负进行讨论取绝对值，然后解关于k的不等式。解析：(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k). （3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn； 当nk+1时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.变式练习：数列是递增的等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的最小值；（3）求数列的前项和【答案】（1） 由，得、是方程的二个根，此等差数列为递增数列，公差，（2），（3）由得，解得，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的当且时，当且时，2.递推关系分段给出的分段数列已知为首项的数列满足: .(1)当时，求数列的通项公式；（2）当时，试用表示数列前100项的和；分析：本题所给的递推关系式既含等差又含等比，立意新颖，难度适中。但由于做限制条件，很难对和讨论一般情况。这道题很容易出错，很多学生会误以为后面的条件是n3和n3，然后就是全军覆没！注意是，所以要对每一项的值进行计算，然后再判断其通项是按照上面的算还是下面的算，第一问直接代数即可，可以发现这是一个周期数列，每三项是一个周期；第二问给的是范围，所以要判断后面的值，会发现它也是个周期数列，每三项是一个周期，所以将三项合并在一起计算，就变成了一个等比数列，计算就简单了很多。解析 ：（1）由题意；由得； 由得；由得，由此得（）（2）当时， ， 变式练习：1数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 类型二：奇偶分段；1.已知数列是首项为的等比数列，且满足.（1） 求常数的值和数列的通项公式；（2） 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、第项、，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列，试写出数列的通项公式；（3） 在（2）的条件下，设数列的前项和为.是否存在正整数，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.分析：第一问根据等比数列的定义代入，可求出数的值和数列的通项；第二问，根据题意可知奇数项和偶数项分别构成两个等比数列，求数列的通项要注意项数，此处要和学生讲到何时要奇偶分段，强调一定要确定清项数；第三问代入解出n就可以，要注意n的范围为正整数。答案：（1）；（2） （3）存在，变式练习：在数列，中，,（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设为数列的前项的和，若对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】解：（1）因为，即数列是首项为2，公比为的等比数列，所以.3分 ，所以，当时，即.6分 （2）由 得， ，因为，所