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文档简介
。分段数列专题分析类型一:前后分段;1. 基于通项与前项和的关系的分段数列和含有绝对值的数列。已知有穷数列共有2项(整数2),首项2设该数列的前项和为,且2(1,2,21),其中常数1(1)求证:数列是等比数列;(2)若2,数列满足(1,2,2),求数列的通项公式;(3)若(2)中的数列满足不等式|4,求的值分析:本题所涉及的数列都不是分段数列,但在解答第(1)小题时仍需要考虑分段证明,解题中很多考生都出现了证明不完整的情况。典型错误:因为,两式相减得:,即,所以数列是等比数列;这里错误之处有2个,一是和上题一样忽略了成立的条件是,另一个是并不等价于。第三问作差法解数列通项公式;对的正负进行讨论取绝对值,然后解关于k的不等式。解析:(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a; 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解:由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k). (3)设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn; 当nk+1时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.变式练习:数列是递增的等差数列,且,(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和的最小值;(3)求数列的前项和【答案】(1) 由,得、是方程的二个根,此等差数列为递增数列,公差,(2),(3)由得,解得,此数列前四项为负的,第五项为0,从第六项开始为正的当且时,当且时,2.递推关系分段给出的分段数列已知为首项的数列满足: .(1)当时,求数列的通项公式;(2)当时,试用表示数列前100项的和;分析:本题所给的递推关系式既含等差又含等比,立意新颖,难度适中。但由于做限制条件,很难对和讨论一般情况。这道题很容易出错,很多学生会误以为后面的条件是n3和n3,然后就是全军覆没!注意是,所以要对每一项的值进行计算,然后再判断其通项是按照上面的算还是下面的算,第一问直接代数即可,可以发现这是一个周期数列,每三项是一个周期;第二问给的是范围,所以要判断后面的值,会发现它也是个周期数列,每三项是一个周期,所以将三项合并在一起计算,就变成了一个等比数列,计算就简单了很多。解析 :(1)由题意;由得; 由得;由得,由此得()(2)当时, , 变式练习:1数列的通项,其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 类型二:奇偶分段;1.已知数列是首项为的等比数列,且满足.(1) 求常数的值和数列的通项公式;(2) 若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、第项、,余下的项按原来的顺序组成一个新的数列,试写出数列的通项公式;(3) 在(2)的条件下,设数列的前项和为.是否存在正整数,使得?若存在,试求所有满足条件的正整数的值;若不存在,请说明理由.分析:第一问根据等比数列的定义代入,可求出数的值和数列的通项;第二问,根据题意可知奇数项和偶数项分别构成两个等比数列,求数列的通项要注意项数,此处要和学生讲到何时要奇偶分段,强调一定要确定清项数;第三问代入解出n就可以,要注意n的范围为正整数。答案:(1);(2) (3)存在,变式练习:在数列,中,,().(1)求数列、的通项公式;(2)设为数列的前项的和,若对任意,都有,求实数的取值范围.【答案】解:(1)因为,即数列是首项为2,公比为的等比数列,所以.3分 ,所以,当时,即.6分 (2)由 得, ,因为,所
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