“定幂差线”定理及其应用.pdf

考 试 在 竞赛之路 ； 一 一 一 一 ； 高中 数学 竞 赛 中 常用 的结 论 一 磨 鏊臻 霪 沈毅 ( 重 庆市 合川 太和 中学 ) 平 面几 何 中 有这 样 一 个 能 够 沟 通 直 线 间 的 位置 关系和线段间的数量关系 的结论 ， 即定幂差线定理 本文介绍这个定理 的相关知识及其应用 定 幂差 线 定 理 A、 B 是 平 面 上 两 点 ， 则 满 足 P A。 一P B。 一k ( k为 常数 ) 的 点 P 的 轨 迹 是一 条 垂 直 于 AB 的直 线 定理 中所 述 的轨 迹称 为定 幂 差 线 1 ， 下 面介 绍定 理 的一个 简单证 明 证明 ： 以线段 AB的 中点为原点 ， 直线 AB为 轴建 立 直 角 坐 标 系， 并 设 A ( 一 t ， 0 ) ， B( t ， 0 ) ， P( x ， ) ， 其 中 0 ， 则 P A。 一 P B 。 一k ( z+ ) 。 +Y 。 一 ( z t ) L + 一是 铺 一 ( 常数) 所 以点 P的轨 迹是 一条垂 直 于 AB 的直线 对 于上 述定 理适 当拓展 ， 便 可得 到 下 面三 个 广泛 应 用 的推论 推 论 1 设 A、 B、 P、 Q是 平 面上 四个 不 同的 点 ， 则 P Q上AB 的充 要 条件是 P A。 一PB 。 ： ： = Q A。 一Q B 。 推论 2 ( 根 轴 定 理 ) 两 已知 圆有 等幂 的点 的 轨 迹是一条垂直于连心线的直线 推论 3( 三 垂 线 共 点 定 理 )D、 E、 F 分 别 是 AAB C的边 B C、 C A、 AB上的点 ， 分别过点 D、 E、 F 作所在边 的垂线 ， 则这三条垂线共点的充要条件是 BD。 + CE +AF 一 DC0 + EA。 + FB。 限 于篇 幅 ， 上 述 三 个 推 论 的证 明 留给 读 者 完 成 ， 下 面介 绍定幂 差线定 理及其 推论在 解竞 赛题 中的 应用 例 1 ( 2 0 0 7年 中国 国 家集 训 队测 试 题 ) 设 是 AABC的内心 ， M 、 N 分 别 为 AB、 AC的 中点 ， 点 D、 E分别在直线 AB、 AC上 ， 满足 BDC E=BC 过点 D且垂直于 I M 的直线与过点 E 且垂直于 N 的直 线交 于点 P 求 证 ： AP上B C 解： 如图 1所示， 设O 与边 AB、 AC相 切， 切点 分别为 G、 F O，的半径为 r ， B C=a ， C Ab ， ABC ， 蔓 5 7 2 009 年 第 9期 l 匕旬 l 则 B D = = ： c En ， B M =AM =2 ， C N=AN=b ，BG 一 ，c F 一 半 所 以 DGBDBG A 一 睾 ， E FC EC F f + n b 9 因 此D M一 口 一号 ， E N n B L 图 1 一 ，E 一， +EF 一， 。 + ( ) 。 ， D I 一 T2 q - D G 。 一 y2 + ( a -To ) 又 由 P D_ 上 I I M ， P E上J N， 得 P 一PI W D 一DI V l z P， 0 一 PNz E 一 EN 两式 相减 ， 得 P N 。 一 P 一 D 。 一 E f q - E N 一 D 一 ( 睾 ) 一 ( 号 ) 一 A N 。 一 A ， 因此 ， 由推论 1知 AP上MN， 即 AP 上BC 例 2 ( 2 0 0 9年 中国国家集训队选拔考试试题) 设 D 是 AAB C 的 边 B C 上 一 点 ， 满 足 C D A AC AB， o0经过 B、 D 两点 ， 并分 别 与 AB、 AD 交 于 E、 F 两 点 ， BF、 DE 交 于 G 点 连 结 AO、 AG， 取 A G 的 中点 M 求证 ： C M上A 0 解 ： 如 图 2所 示 ， 由 相交 弦 定 理 ， 可 在 AG 延 长线 上取点 P， 满足 AG GP EG GD FG G B， 连 结 0 _M、 0 C、 P B、 PD、 PF、 P E， 设 o0 的半 径 为 R 图2 易证 A、 F、 P、 B四点共圆， A、 E、 P、 D四点共圆 稿 中学数学教学参考 2 O0 9 年 第 9期 t - -3 竞赛之路 所 以 BP A + B ED 一 B F A + BF D = 1 8 0 。 于是 E、 B、 P、 F 四点 共 圆 ， 所 以 AEAB=AG AF 由圆幂定 理 ， 得 0 ) 2 一 C D CB+R。 ， A0 =AE AF+ R 一 AG AP+ R0 ， 0G 一 R0 一 EG GD R 一 AG GP 利 用 中线 长公 式 ， 得 1 1 M 一 M A 2 一 1 ( 2 0 A 2 + 2 0 G 2 一 A G 2 ) 一 A G 2 1 一 妻( 2 R +A G A P A G G P A G 。 ) 一R 由C D AC AB知 C A 一C D C B， 所 以 C O。 一C A。 一R 。 一 一M 因此 C 上A0 点评 ： 上面例 题体 现 了定 幂 差线 定 理与 勾股 定理 的密切联系， 在解题 中我们要注意这两个定理的综合 运用 例 3 ( 1 9 9 7年 中国数 学奥林 匹克试题)四边 形 ABC D内接 于 O0， AB与 DC 的延 长 线交 于 点 P， AD与 BC的延长线交于点 Q， 过 Q点作该 圆的两条 切线 QE、 QF， 切点分别 为 E、 F 求证 ： P、 E、 F三点 共线 解 ： 如图 3所示 ， 设 QC D 的外 接 圆 与 PQ 交 于 点 G， 连结 O E、 O F、 0P、 C G， 设oo的半径为R 易知 P G C= QDC= ABC， 从 而 B、 C、 G、 P 四点共 圆 利用 圆幂定 理和 切割线 定 理 ， 得 P02 一R0 + PB PA R0 十PCPDR +PG PQ 又 E Q2 一 Q C QB Q G QP， 所 以 P0z PQ。一 R。 + PG PQ PQ。一 R 一 QG QPR 一 EQ ： E0。 一 EQ。 Q =F ( ) 2 一F Q2 图 3 P 根 据定幂 差线定 理 ， P、 E、 F三点共 线 例 4 ( 2 0 0 7 年 中国国家队选拔考试题) 已知 AB 是o0的弦 ， M 是 AB 的中点， C是 O0外任意一点 ， 过点 C作oO的切线 C S、 C丁 连结 MS、 MT， 分别交 AB于点 E、 F 过点 E、 F作 AB 的垂线， 分别交 OS 、 OT于点 X、 y， 再过点 C作 ( 三 ) 0的割线 ， 交 oO于点 P、 Q， 连结 MP 交 AB 于点 尺， 设 Z是 PQ R 的外 心 求证 ： X、 y、 Z三点共 线 解 ： 如 图 4所示 ， 连接 相应 线 段 ， 易证 oM上AB， xE 7 oM 所以 XES 一 oMS 一 XSE， 即 XE XS， 所 以， 以 X 为 圆 心 ，XE 为 半 径作 OX 并 设 oX 和A P Q R 的外接 圆半径 分别 为 R 、 R 易 证ME MS MA 一 M R M P 考 试 在 线 图 4 由圆幂定理 ， 得 xM2 一 ME MS+R MR MP+ 磷 ， X CS +R ， Z 一 MR MP+ R； ， Z C 一 C P C Q+ R； 一 CS 。 +R； 所 以 XM。 XC 一 MR MP C S 。一 Z 一 ZC。 同理 可证 Z 一Z C =Y M。 一y C 。 因此 由幂差线 定理 知 X、 y、 Z三点 共线 点评 ： 运用定幂差线定理证明点共线问题的关键 是找 到两个 点 ， 使 得需 要证 明共线 的点到 这两 个 点距 离的平方差为定值 ( 或者相等) 例 5 设不等边AB C的边 B Cn ， C A= = = b ， AB C ， 0、 工分别 为其外心 和 内心， 且 A 上 1 0 求证 ： b + c一 2 a 解 ： 如图 5所示 ， 延 长 AI 交 B C 于 点 M ， 设 内 切 圆 与 边 B C、 C A相 切 ， 切 点 分别 为 D、 E， R、 r分别 是AAB C的外接 圆和 内切圆半径 ， 一 翌 由角平分线定理， 得 图5 一 一 詈 朋B M 6 a c M c 一 ， 所 以 MDBDB M 一户一6 一 a c 由圆幂定 理 ， 得 OA 一01 W =R 一OM 2 一BM -M C 而 I A。 =AE +r =( p-a ) + ， I M 2 一 M D + r 2 一 ( 户 一 6 一 ) + ， 所 以， 由 AJ 上 I O 知 O A 一 O M2 一B M MC 。I 1 W ，即而 a c。 一 (p 一 D 1_C 口 1-C 一 ( 一 6 一 而 a c ) ， 考 试 在 线 竞赛之路 评注 ： 例 5证 明的结论是三角 形三边成 等差 数 列 ， 而后 面 习题 5证 明的结 论则 是 三角 形 三边 的倒数 成等差数列 ， 读后让人感到数学的和谐 、 美妙 ! 例 6 ABC中， 半径 为 R 的oo经过 A、 B两 点 ， 且 分别与 边 、 C B交 于点 D 、 E， AE与 BD 交 于 点 P 求证 ： o C 。 +0 P 一PC 。 一2 R 解 ： 如 图 6所 示 ， 过 点 C 作 oO的两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 M、 N， 连结 MA、 MD、 NB、 NE、 DE 易证 C D ) C 4 ， C E N C NB， CD lE C A DM CD N E cN 于 是 MA CM BN 一 CB A B CB 丽一面 C 图6 由切线长定理知 C MC N， 所 以 于是 AE、 BD、 MN 相 交于点 P 又 MN上C0， 所 以 P P = = ： N N 一0 一R 一R ， 即 0C + 0P0 一 PC。 一 2 R 习 题 1 P是 正ABC内一点 ， 点 P在 边 BC、 C A、 AB 上的射影分别为 D、 E、 F 求证 ： BD+C E+AF=DC+E A+F B 2 E、 F是 正方形 AB C D 的边 AB、 B C上 的点 ， 分 别以 AE、 C F为直径的半圆 、 。 外切于点 P 求证 ： P D是 与 。的外公切线 3 M 为 o0 内一 点 ， A B， ( 一1 ， 2 ， 3 ) 是 经 过 点 M 的o0的三条弦， 过点 AI 、 的O0的切线交于点 P ( 一1 ， 2 ， 3 ) 求 证 ： P 1 、 P 、 P 。 三点 共线 4 点 。是AB C的外心 ， 是 AB C的旁 心， D、 E 分 别 是 边 AB、 AC 延 长线 上 的 点 ， 且 满 足 BD C E：B C 求 证 ： DE上0f 5 设 不等 边ABC的边 B C一口 ， C A= ： = b ， ABc ， 0、 工 、 G分别 为其外心、 内心和 重心， 若 AG L 0 1 ， 证 明 ： 了 1十 一1一一2 D C a 6 ( 第 4 9届 I MO 试 题 )已 知 H 是 锐 角 ABC 的垂心 ， 以边 B C的 中点 为 圆心 ， 过 点 H 的 圆与 直 线 B C相交于A 、 A 两点 ； 以边 C A的中点为圆心 ， 过点 H 的圆与直线 C A 相交于 B 、 B 两点 ； 以边 AB的中 点为圆心 ， 过点 H 的圆与直线 AB相交 于 C 、 C 。 两 点 证 明 ： A 、 A。 、 B 、 B 、 C 、 C 2 六 点共 圆 答案 提示 1 设AB C的边长为 a， 由推论 3知 BD + 中学数学教 学参考 2 009 年 第 9 期 L t = 旬 ) + AF 一 DC + EA。+ FB。 ， 即BD + C E + A F2 一 ( a -B D) 。 + ( a一 ) 。 + ( nAF) 。 ， 化 简 得 B D +C E+AF一 ， 所以命题成立 2 设 0 】 、 0 2分别是 半 圆 C O 、 C O 。的圆心 ， 则 0 1 、 0 2 、 P 共线 ， 易 证 D0 一 D0 ； 一 P 0 一P0 ； ， 于 是 由推 论 1知 AP上 0 1 0 2 ， 所 以 P D 是 与 C O 的外公 切线 3 设 O P 交 A B 于 点 H ， 易 证 OP 上 A B， ， Hf A 一 H B 因 此 P A 一 P M 。 一 Hf A 一 H M。 一 Af M M B ，Pf M 。 一 P A 一 A MM Bf 又 P 0 一 P A 。 + Af 0 ， 因 此 P 0。 一 P ， M 。 =A 0。 +Af M MB ， 一定 值由定 幂差 线 定 理 ， P。 、 P 、 P 。三 点 共 线 4 记 。 与 边 AB、 AC延 长 线 相 切 ， 切 点 为 M 、 N 连 结 OD、 OE、 I D、 I E、 I M 、 I N ， 并 设 B Ca， C A 一6 ， A Bc ， 户 一 ， R、 r 分别是AB c的外接圆 和内切圆半径 由三角形旁切圆的性质， 得 DA=n +C ， D M =a +C -P ，E Aa +b ， E N=a +6 一P 由圆 幂定 理 ， 得 0D2 0E 2 一( R +DBDlA) 一( R +ECEA) 一 DB DA一 E A=a ( a +c ) -a ( a + 6 ) =a ( c -b ) 而 I D 一I E。 ： ( +D ) 一 ( r + EN。 ) 一D 一 E N