xx高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练

1 / 20 XX 高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k XX高考数学圆锥曲线的综合问题一轮专练 【选题明细表】 知识点、方法题号 圆锥曲线的综合问题 2、 4、 6、 11 直线与圆锥曲线的综合问题 3、 8、 9、 14 圆与圆锥曲线的综合问题 7、 10、 12、 13 圆锥曲线与其他内容的综合 1、 5 一、选择题 1.椭圆 +=1(ab0)的左顶点为 A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴上的一个端点 ,若 3=+2,则该椭圆的离心率为 ( D ) (A)(B)(c)(D) 解析 :设 D(0,b),则 =(-c,-b), =(-a,-b),=(c,-b), 2 / 20 由 3=+2得 -3c=-a+2c, 即 a=5c, e=. 故选 D. 2.(XX 年高考福建卷 )已知双曲线 -=1 的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合 ,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( A ) (A)(B)4(c)3(D)5 解析 :抛物线 y2=12x的焦点是 (3,0), c=3,b2=c2 -a2=5. 双 曲线的渐近线方程为 y=x, 焦点 (3,0)到 y=x 的距离 d=. 故选 A. 3.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A、 B 两点 ,过原点与线段 AB中点直线的斜率为 ,则的值为 ( A ) (A)(B)(c)(D) 解析 :设交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),中点为 m(x0,y0), 将 y=1-x 代入 ax2+by2=1 得 (a+b)x2-2bx+b-1=0, 故 x1+x2=,x0=, y1+y2=2 -=,y0=, k=. 3 / 20 故选 A. 4.(XX 山 东 淄 博 一 中 高 三 上 期 末 考试 ) 过椭圆+=1(ab0)的焦点垂直于 x轴的弦长为 ,则双曲线 -=1的离心率 e 的值是 ( B ) (A)(B)(c)(D) 解析 :设椭圆的半焦距为 c1, 在椭圆中当 x=c1时 ,+=1, y2=b21-=, y=. =, 即 a2=4b2, 设双曲线的半焦距为 c2, 在双曲线中 =a2+b2=5b2, e=. 故选 B. 5.(XX 河 北 省 衡 水 中 学 高 三 模 拟 ) 点 P 在 双 曲 线-=1(a0,b0) 上 ,F1 、 F2 是 双 曲 线 的 两 个 焦点 ,F1PF2=90, 且 F 1PF2 的三条边长成等差数列 ,则此双曲线的离心率是 ( D ) (A)(B)(c)2(D)5 解析 :不妨设点 P 在双曲线的右支上 ,F1为左焦点 , 设 |PF1|=r1,|PF2|=r2, 4 / 20 则 r1-r2=2a,2r1=r2+2c, 解得 r1=2c-2a,r2=2c-4a, 代入 +=4c2可得 c2+5a2-6ac=0, 两边同除以 a2 得 e2-6e+5=0, 解得 e=1或 e=5. 又 e1,所以 e=5.故选 D. 6.(XX福建泉州质检 )如图所示 ,在等腰梯形 ABcD中 ,ABcD,且 ,AB=2AD.设 DAB=,0, 以 A、 B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1,以 c、 D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2,则 ( B ) (A)随着角度 的增大 ,e1增大 ,e1e2 为定值 (B)随着角度 的增大 ,e1减小 ,e1e2 为定值 (c)随着角度 的增大 ,e1增大 ,e1e2 也增大 (D)随着角度 的增大 ,e1减小 ,e1e2 也减小 解析 :设 AD=1,则 AB=2,Dc=2-2cos, 在 ABD 中 ,由余弦定理得 BD=, e1=,0, 所以随着角度 的增大 ,e1减小 ; 又 e2=, e1e2=1, 故选 B. 7.过双曲线 -=1(a0,b0)的左焦点 F 引圆 x2+y2=a25 / 20 的切线 ,切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于点 P,若 T 为线段FP的中点 ,则该双曲线的渐近线方程为 ( B ) (A)xy=0(B)2xy=0 (c)4xy=0(D)x2y=0 解析 :如图所示 ,设双曲线的另一个焦点为 F, 连结 oT、PF. FT 为圆的切线 , FToT, 且 |oT|=a, 又 T 、 o 分别为 FP、 FF 的中点 , oTPF 且 |oT|=|PF|, | PF|=2a, 且 PFPF. 又 |PF|-|PF|=2a, |PF|=4a. 在 RtPFF 中 ,|PF|2+|PF|2=|FF|2, 即 16a2+4a2=4c2,=5. = -1=4,=2, 即渐近线方程为 y=2x, 即 2xy=0. 故选 B. 二、填空题 8.(XX 年高考重庆卷 ) 设 P 为直线 y=x 与双曲线6 / 20 -=1(a0,b0)左支的交点 ,F1 是左焦点 ,PF1 垂直于 x轴 ,则双曲线的离心率 e= . 解析 :由 消去 y 得 x=a. 又 PF1x 轴 , a=c,e=. 答案 : 9.(XX东莞模拟 )已知抛物线 c的方程为 x2=y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 c 没有公共点 ,则实数 t 的取值范围是 . 解析 :当 t=0时 ,直线 AB与抛物线 c 有公共点 , 当 t0, 则过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线方程为 =, 即 4x-ty-t=0, 由 得 2tx2-4x+t=0,=16 -42t20, 解得 t. 答案 :(-, -)(,+) 10.过双曲线 c:-=1(a0,b0)的一个焦点作圆x2+y2=a2 的两条切线 ,切点分别为 A、 B.若 AoB=120(o 是坐标原点 ),则双曲线 c 的离心率为 . 解析 :如图 ,由题知 7 / 20 oAAF,oBBF 且 AoB=120, AoF=60. 又 oA=a,oF=c, =cos60=, =2. 答案 :2 11.(XX 安徽蚌埠二模 )点 A 是抛物线 c1:y2=2px(p0)与双曲线 c2:-=1(a0,b0)的一条渐近线的交点 ,若点 A到抛物线 c1 的准线的距离为 p,则双曲线 c2 的离心率等于 . 解析 :设 A(x0,y0), A 在抛物线上 , x0+=p, x0=, 由 =2px0得 y0=p或 y0=-p. 双曲线渐近线的斜率 =2. e=. 答案 : 三、解答题 12.已知椭圆的中心在原点 ,焦点在 x 轴上 ,离心率为 ,且椭圆经过圆 c:x2+y2-4x+2y=0 的圆心 c. 8 / 20 (1)求椭圆的方程 ; (2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 c 相切 ,求直线 l 的方程 . 解 :(1)圆 c 方程可化为 (x-2)2+(y+)2=6, 圆心 c(2,-),半径 r= 设椭圆的方程为 +=1(ab0), 则 所求椭圆的方程是 +=1. (2)由 (1)得椭圆的左右焦点分别是 F1(-2,0),F2(2,0), |F2c|=)的右焦点 F 在圆D:(x-2)2+y2=1上 ,直线 l:x=my+3(m0) 交椭圆于 m、 N两点 . (1)求椭圆 c 的方程 ; 9 / 20 (2)若 (o 为坐标原点 ),求 m 的值 ; (3)若点 P 的坐标是 (4,0),试问 PmN 的面积是否存在最大值 ?若存在 ,求出这个最大值 ;若不存在 ,请说明理由 . 解 :(1)由题意知 ,圆 D:(x-2)2+y2=1 的圆心坐标是 (2,0),半径是 1, 故圆 D 与 x 轴交于两点 (3,0),(1,0), 所以在椭圆中 c=3 或 c=1, 又 b2=3, 所以 a2=12或 a2=4(不满 足 a,舍去 ), 于是 ,椭圆 c 的方程为 +=1. (2)设 m(x1,y1),N(x2,y2), 直线 l 与椭圆 c 方程联立 化简并整理得 (m2+4)y2+6my-3=0, y1+y2=,y1y2=, x1+x2=m(y1+y2)+6=, x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9 =+9 =. , =0, 即 x1x2+y1y2=0 得 =0, 所以 m2=,m=. 10 / 20 (3)SPmN=|FP|y1 -y2| =1 = =2 =22=1. 当且仅当 m2+1=3, 即 m= 时等号成立 . 故 PmN 的面积存在最大值 1. 14.(XX 黄冈一模 )已知中心在原点 ,焦点在坐标轴上的椭圆 的方程为 +=1(ab0),它的离心率为 ,一个焦点是(-1,0),过直线 x=4 上一点引椭圆 的两条切线 ,切点分别是 A、 B. (1)求椭圆 的方程 ; (2)若椭圆 :+=1(ab0) 在点 (x0,y0)处的切线方程是 :+=1.求证 :直线 AB恒过定点 c,并求出定点 c 的坐标 ; (3)求证 :+为定值 (点 c 为直线 AB恒过的定点 ). (1)解 :椭圆 的焦点是 (-1,0), 故 c=1,又 =, 所以 a=2,b=, 所以所求的椭圆 方程为 +=1. (2)解 :设切点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 上一点 m11 / 20 的坐标 (4,t), 则切线 Am、 Bm 的方程分别为 +=1,+=1. 又两切线均过点 m, 所以 x1+y1=1,x2+y2=1, 即点 A,B的坐标都适合方程 x+y=1, 故直线 AB的方程是 x+y=1, 显然直线 x+y=1恒过点 (1,0), 故直线 AB恒过定点 c(1,0). (3)证明 :将直线 AB的方程 x=-y+1,代入椭圆方程 ,得 3-y+12+4y2-12=0, 即 +4y2-2ty-9=0, y1+y2=, y1y2=, 不妨设 y10,y2b0)的离心率为 ,直线 l:y=x+2与以原点为圆心 ,椭圆的短半轴为半径的圆 o 相切 . (1)求椭圆 c 的方程 ; (2)设椭圆 c 与曲线 |y|=kx(k0)的交点为 A、 B,求 oAB面积的最大值 . 解 :(1)由题设可知 ,圆 o 的方程为 x2+y2=b2, 因为直线 l:x-y+2=0 与圆 o 相切 , 故有 =b, 所以 b=. 又 e=,所以有 a2=3c2=3(a2-b2), 所以 a2=3, 所以椭圆 c 的方程为 +=1. (2)设点 A(x0,y0)(x00,y00), 则 y0=kx0, 设 AB交 x 轴于点 D,如图 , 14 / 20 由对称性知 : SoAB=2SoAD=2x0y0=k. 由解得 =. 所以 SoAB=k=. 当且仅当 =3k,即 k=时取等号 . 所以 oAB 面积的最大值为 . 3. (XX 泉州五中模拟 )已知抛物线 c:x2=2py(p0)上一点P(a,)到焦点距离为 1. (1)求抛物线 c 的方程 ; (2)直线 y=kx+2 交 c 于 m,N 两点 ,Q 是线段 mN 的中点 ,过 Q作 x 轴的垂线交 c 于点 T. 证明 :抛物线 c 在点 T 处的切线与 mN平行 ; 是否存在实数 k使 =0?若存在 ,求 k的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 解 :(1)依据抛物线的定义知 ,P 到抛物线焦点 F 的距离为PF=+=1,所以 p=, 抛物线的方程为 x2=y. (2) 证明 :设 m(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0), 联立得 2x2-kx-2=0, 所以 x1+x2=,x1x2=-1, 15 / 20 所以 x0=. 因为 y=2x2,所以 y=k, 所以抛物线 y=2x2在 T 点处的切线与 mN平行 . 由 可得 T, 则 =x1-x2-+y1-y2- =(k2+1)x1x2+k-(x1+x2)+2-2 =-(k2-4)(k2+16)=0, 解得 k=2, 所以存在 k=2 满足 =0. 4.(XX 年高考江西卷 )已知三点 o(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 c 上任意一点 m(x,y)满足 |+|=(+)+2. (1)求曲线 c 的方程 ; (2)点 Q(x0,y0)(-2x00, 关于 m 的方程 m2-m+2-3=0有解 . 在 x 轴上存在点 c,使得 |cA|2+|cB|2=|AB|2 成立 . 7.(XX 年高考广东卷 )已知抛物线 c 的顶点为原点 ,其焦 点19 / 20 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 ,设 P 为直线 l上的点 ,过点 P 作抛物线 c 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点 . (1)求抛物线 c 的方程 ; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时 ,求直线 AB的方程 ; (3)当点 P在直线 l上移动时 ,求 |AF|BF|的最小值 . 解 :(1) 抛物线 c的焦点 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0的距离为 , =, 得 c=1, F(0,1), 即抛物线 c 的方程为 x2=4y. (2)设切点 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 x2=4y得 y=x, 切线 PA:y-y1=x1(x-x1), 有 y=x1x-+y1,而 =4y1, 即切线 PA:y=x1x-y1, 同理可得切线 PB:y=x2x-y2. 两切线均过定点 P(x0,y0), y0=x1x0 -y1,y0=x2x0-y2, 由