人教版九年级数学上册 第22章 二次函数知识点汇总.doc

二次函数知识点汇总 姓名： 。1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数 的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：时，对称轴为轴；(即、同号)时,对称轴在轴左侧；(即、异号)时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。一三点式。1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。二顶点式。1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。三交点式。1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。四定点式。1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。五平移式。2，把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2，抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.六距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。七对称轴式。1，抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。1，已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。八对称式。1.平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2.求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。九切点式。1，已知直线y=ax-a2(a0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。十判别式式。1.已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。2.已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。3.已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。12.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为() (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). (3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 13二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程是二次函数当y的值为0时的情况(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值知识点一、二次函数的概念1下列函数中，其形状为抛物线的是（ ）ABCD2若函数是二次函数，则的值为 .3若二次函数的图象经过点（2，1），则的值为 .知识点二、二次函数的图象和性质1、二次函数的性质： 二次函数开口方向0时，开口 ；0时，开口 。0时，开口 ；0时，开口 。对称轴顶点坐标（ ， ）（ ， ）练一练：函数开口方向对称轴顶点坐标2、二次函数的增减性以 分界.（1）当a0，在对称轴的左侧，曲线从左往右.即当时， 随的增大而；在对称轴的右侧，曲线从左往右.即当时，随的增大而.（2）当a0，在对称轴的左侧，曲线从左往右.即当时， 随的增大而；在对称轴的右侧，曲线从左往右.即当时，随的增大而.3、二次函数的最值在 处取得.（1）当a0时，抛物线开口向上，顶点是最 点， 因而y有 值；（2）当a0时，抛物线开口向下，顶点是最 点， 因而y有 值；练一练：（1）二次函数，当 时，有最 值为 ；当 时，随的增大而 ；当 时，随的增大而 。（2）抛物线上三点（2，a）、(1，b)，（3，c），则a、b、c的大小关系是（ ）A、abc B bac C cab D无法比较大小4、二次函数的平移规律：平方内 ， 。（1）把抛物线向左平移2个，再向上平移3个单位，所得的函数关系式是（ ）A、 B、 C、 D、（2）将抛物线先向下平移1个，再向左平移4个单位，则平移后的函数式是： 练一练：已知抛物线的解析式为，请按下列要求作答：（1）开口向_，顶点坐标是_，对称轴是_，（2）在右边空白处画出它的大致图像；（3）观察图像，当 时，随的增大而 ，当 时，随的增大而 ，当=_时，有最_值 = _。（4）图像与轴的交点是： ，与轴的交点是： 。（5）当 时， 0；当 时, 0。（6）抛物线可以看作是由抛物线y - x2向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的.知识点三、二次函数的顶点坐标的求法：1、 法 2、 法、 3、 法1、说出下列二次函数的顶点坐标和对称轴（1）y2 (x1)23 （2）y (x-5)24（ 3）y3 (x4)21 （4）y(x2)23一般地，二次函数ya(x-h)2k，其顶点坐标为 2、用简捷的方法求出下列二次函数的顶点坐标（1）（1）（3）（4）3、已知抛物线（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2）列表、描点、连线，得函数图象；xy（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1x21，试比较y1与y2的大小知识点四、二次函数的顶点坐标及其运用 （顶点坐标公式：h ， k ）1对于二次函数，当x= 时，y有最小值2若抛物线的对称轴是直线x=4，则m的值为。3已知二次函数有最小值 1，则a与b之间的大小关系是 （ ）Aab Ba=b Cab D不能确定4抛物线y3x2+6xc的顶点是（1，2），则c 5抛物线y4x22xm的顶点在x轴上，则m_6已知二次函数顶点坐标为（2，），则 ， 。7已知二次函数yx2（m1）x1，当x1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A、m1 B、m3 C、m1 D、m1知识点五、二次函数的轴对称性及其运用：关于抛物线的对称点，（1）从图象上看， 的两个点为对称点； （2）从数值来看， 的两个点为对称点； （3）中点坐标公式：x 轴上两点x1 、x2的中点坐标 x .练一练：1观察下列图形，利用二次函数图象的轴对称性，回答以下问题：（1）如下图1点A的坐标为（ ， ）；（2）如下图2抛物线的对称轴是 . 图1 图2 图32小颖用几何画板软件探索方程的实数根，作出了如上图3所示的图象，观察得一个近似根为，则方程的另一个近似根为 .3已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：x01234y41014点A（，）、B（，）在函数的图象上，则当 时，与的大小关系正确的是（ ）A B C D 4用中点法求二次函数的最值。知识点六、待定系数法求二次函数解析式:（1）、已知抛物线经过点A（2，9），B（3，4），C（0，5），求抛物线解析式解：设二次函数关系式为y = 分别代入A（2，9），B（3，4），C（0，5）可得：（请往下继续完成解题过程）（2）已知抛物线的顶点为P（3，4），且过点A（1，2），求此抛物线的解析式。解：因顶点P为（3，4）为，故设解析式为 ，代人A（1，2），可得： （请往下继续完成解题过程）（3）已知一抛物线与x轴的交点是A（-1，0），B（3，0），且经过C（1，-5）求该抛物线的解析式及其顶点坐标。解：已知抛物线与x轴的两个交点A（-1，0），B（3，0），故可设交点式：ya（x ）（x ）代人（1，-5），可得： （请往下继续完成解题过程）练一练：1试根据图中所给的信息，求出二次函数的解析式xyOCBA（第2题图）2（12泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y0时x的取值范围知识点七、二次函数的、的几何意义如下图，抛物线的解析式为yax2bxc：（1）如图，由图可得： （2） 由图可得：a_0 a_0b_0b_0c_0c_0_0 b24ac_0知识点八、直线和抛物线的交点1在右边的网格中作函数的图象，利用图象求：（1）方程的近似解（精确到十分位）（2）方程的近似解（精确到十分位）（3）方程的近似解（精确到十分位）2已知函数yax2bxc（a，b，c为常数，且a0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2bxc40的根的情况是（ ） A有两个不相等的正实数根B有两个异号实数根 C有两个相等实数根D无实数根3（1）抛物线与轴的交点是： ； （2）抛物线与轴的交点是： ； （3）抛物线与轴的交点是： 。（4）抛物线与x轴交点为 ，与y轴交点为 。（5）二次函数与x轴没有交点，则m的取值范围是 。4若抛物线与轴有两个交点A、B，且已知AB=3,求的值。知识点九、二次函数与二次方程、不等式的关系1如图1一元二次方程ax2bxc3的解为_2如图2是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）A、 B、 C、D、3二次函数的图象如图3，若方程有实数根，则m的最大值为（ ）A.-3 B.3 C.-5 D.9图2yx图1 图34利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式：（1）方程ax2bxc0的根为_；（2）方程ax2bxc3的根为_；（3）方程ax2bxc4的根为_；（4）不等式ax2bxc0的解集为_；（5）不等式ax2bxc0的解集为_；（6）不等式4ax2bxc0的解集为_5如图，直线记为y1，抛物线记为y2：（1）若y1y2，则x的范围是 ；（2）若y1y2，则x的 值 是 ；（3）若y1y2，则x的范围是 。知识点十、二次函数与实际问题（1、面积问题2、最大利润问题3、抛物线型桥梁、涵洞问题）1、面积问题：要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃ABCD，已知墙长16米，设AB长为x米，矩形ABCD面积为S平方米。（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？注：若顶点不在自变量的取值范围，函数的最值要根据结合图像来确定。练一练（1）矩形的周长为48，一边长为 x，面积为y，则y与x 之间的函数关系式为 ，当 x= 时，函数有最大值，为 。（2）如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速向B点方向运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速向C点运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动。设运动时间为x秒，PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求PBQ的面积的最大值.2、最大利润问题某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？练一练某旅行社团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元，旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的收费就降低10元。请计算当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大的营业额？3、抛物线型桥梁、涵洞问题：运用数学建模的思想某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？专题一、抛物线与三角形、四边形等图形结合问题1、二次函数的图象的顶点与原点的距离为5，求的值2、如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B(1,0)、C(2，1)，交y轴于点M.(1)求抛物线的表达式；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标。3、如图，已知A，B两点坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EFx轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积；（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（3）当梯形OPFE的面积等于APF的面积时，求线段PF的长专题二、二次函数专项训练（1）1根据右表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与 轴（ ） A只有一个交点 B有两个交点，且它们分别在轴两侧 C有两个交点，且它们均在轴同侧 D无交点2二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：x32101y323611则该函数图象的顶点坐标为（）A（3，3） B（2，2） C（1，3） D（0，6）3已知函数的图象如图1所示，那么关于的方程 的根的情况是（ ）图2A无实数根; B有两个相等实数根; C有两个异号实数根; D有两个同号不等实数根4抛物线的对称轴是直线（ ）A、 B、C、D、5抛物线的图象与坐标