§空间角与距离的计算举例

1 / 8 空间角与距离的计算举例 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 空间角与距离的计算举例 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识 ,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。 【教学目标】： （ 1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题 . （ 2）过程与 方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。 （ 3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。 【教学重点】： 将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算 . 【教学难点】： 将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算 . 【教学过程设计】： 2 / 8 教学环节教学活动设计意图 一、复习引入 1两个向量的数量积如何运算？ 2向量的模与向量的数量积是什么关系？ 3向量的加法法则。为探索新知识做准备 . 二、探究与练习 一、用空间向量解 决立体几何问题的 “ 三步曲 ” 学生回顾用平面向量解决平面几何问题的 “ 三步曲 ” ，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的 “ 三步曲 ” ： （ 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （ 2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （ 3）把向量的运算结果 “ 翻译 ” 成相应的几何意义。（回到图形问题） 二、例题 例 1：如图 1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A 为端点的三条 棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60 ，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图 1，设 3 / 8 化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算 回到图形问题 这个晶体的对角线的长是棱长的倍。 思考： （ 1）本题中四棱柱的对角线 BD1 的长与棱长有什么关系？ 分析 : （ 2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗 ? 分析 : 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （ 3）本题的 晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） 分析：面面距离点面距离向量的模回归图形 解： 4 / 8 练习 : 如图 2，空间四边形 oABc 各边以及 Ac， Bo 的长都是 1，点D， E 分别是边 oA， Bc 的中点，连结 DE，计算 DE 的长 例 2：如图 3，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面上的点 B 处。从 A， B 到直线（库底与水坝的交线）的距离 Ac 和 BD 分别为 a 和 b,cD 的长为 c,AB 的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值 解：如图 化为向量问题 根 据向量的加法法则 进行向量运算 设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。 因此 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 思考： （ 1）本题中如果夹角可以测出，而 AB 未知，其他条件不变，可以计算出 AB 的长吗？ 5 / 8 分析： 可算出 AB 的长。 （ 2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 A 为端点的对角线长为 d，三条棱长分别为 a,b,c,各棱间夹角为 . （ 3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等 a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？ 分析：二面角平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E，在平面Ac 内作 cFAB 于 F。 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 练习： （ 1）如图 4， 60 的二面角的棱上有 A、 B 两点，直线 Ac、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直 AB，已知AB 4， Ac 6， BD 8，求 cD 的长。 6 / 8 2）三棱柱 ABc-A1B1c1 中，底面是边长为 2 的正三角形，A1AB 45 ， A1Ac 60 ，求二面角 B-AA1-c 的平面角的余弦值。 让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。 例 1 的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。 这是例题 1 的推广，方法类似，学生进一步体会 . 及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。 例 2 是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。 三、小结 1用空间向量解决立体几何问题的 “ 三步曲 ” 。 2面面距离点面距离向量的模回归图形 二面角平面角向量的夹角回归图形 反思归纳 四、作业课本 P112 第 2、 4 题。 练习与测试： 7 / 8 （基础题） 1正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为（） A 75B 60c 45D 30 答： c。 2如图，在棱长为 2 的正方体中， o 是底面 ABcD 的中心，E、 F 分别是、 AD 的中点。那么异面直线 oE 和所成的角的余弦值等于（） A B c D 答： B。 3，把正方形 ABcD 沿对角线 Ac 折起 ,当以 A、 B、 c、 D 四点为顶 点的棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABc 所成的角的大小为） A 90 B 60 c， 45 D 30 答： c。 4，已知是两条异面直线的公垂线段，则所成的角为 答：或。 （中等题） 5，一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是 30 ， 这条线段与这个二面角的棱