学生宿舍设计方案的层次分析模型.doc

学生宿舍设计方案的层次分析模型数学与计算机科学学院 数学与应用数学105012012023 陈瑶琼 指导老师：唐嘉【摘 要】基于美国运筹学家T.LSaaty等人提出的层次分析模型的背景、方法及步骤的介绍，以2010年全国大学生数学建模竞赛D题为例，阐述该模型的基本步骤在层次分析概念界定的基础上，重点探讨层次分析的实际应用，在实际生活的决策问题中充分体现该模型的实用性、必要性 【关键词】层次分析法；基本概念；实际应用1引言1.1层次分析法产生背景 在日常生活中，人们经常会碰到各种决策问题：例如逛街购物，买一件衣服，要在纯棉羊毛，纤维的以及中长，合身或者短的之中做出抉择5；宿舍聚餐，要筹划是去外面吃还是在宿舍，自己买东西回来煮；外出旅游，是去北国冰封的哈尔滨，还是以东方明珠著称的上海，或者去峡谷纵横深切的香格里拉，这些都是人们在日常生活中会遇到的问题当然远不止这些问题，对于大四的学子们，面临着考研、考公、或是公司直接应聘或是招考应聘，工作岗位多，选择多，当然抉择也就多了，因此要慎重考虑各方面的影响因素、并经过反复的比较，尽可能地作出自己满意的决策，选择较优的去处在处理以上这些决策问题的时候，人的主观选择有相当主要的作用，因此就不能用一般的数学方法解决这类问题51.2层次分析法意义人们在日常生活中常常碰到许多决策问题，很多人为此犹豫不决，为了帮助现阶段很多有“选择困难症”的人抉择，因此研究这种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析法1.3层次分析法的方法与步骤由美国运筹学家T.LSaaty等人在20世纪70年代提出的层次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP)6，它是能有效地处理这类决策问题的实用方法它的基本思路是：第一，根据问题的要求，提出一个总的目标第二，将问题按层分解，对同一层内的诸因素通过两两比较确定出对于上一层目标的权系数第三，依此类似的层层分析下去最后，得出所有因素相对于总目标按重要程度的排序用层次分析法解决实际的决策问题的基本思路跟人对于复杂的决策问题的思维及判断过程是一致的1以2010年全国大学生数学建摸D题对学生宿舍设计方案的评价为例：本题给出了四种方案，让咱们对其进行评价，主要考虑以下三个因素：（1）经济性；（2）舒适性；（3）安全性其中经济性包含建设成本、运行成本和收费标准等方面；舒适性包含人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等方面；安全性包含人员疏散和防盗等方面4首先，可以根据自己的实际情况对这几个因素进行反复比较，确定各个因素在心目中所占的比重；其次，可以将子准则与对应的准则层作对比；接下来，可以将子准则层与四个方案进行对比；最后，要把这三个层次的比较结果进行综合，在四个方案中确定最佳方案 上面的思考过程可以加工成下面的几个步骤：（1） 把决策问题分成四个层次：最上面的一层为目标层，即方案评价；第二层为准则层，有经济性、舒适性、安全性3个准则；第三层为子准则层，经济性的子准则层包含建设成本、运行成本和收费标准，舒适性的子准则层包含人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风，安全性的子准则层包含人员疏散和防盗；最下层为方案层，有四个方案待选择2各层次间的联系用直线相连表示，如图1-1所示目标层A方案评价 准则层B经济性舒适性安全性 子准则层C运行成本收费标准人均面积使用方便采光通风互不干扰防盗人员疏散建设成本方案四方案三方案二方案层D方案一图1-1 对学生宿舍设计方案的评价层次结构图 （2）通过两个两个之间比较，确立准则层对于目标层的比重及子准层对于每一准则层的比重以及各个方案层对于每一子准则层的比重这些比重在人们的思考过程中通常是定性的，在层次分析中则要给出定量的方法，即确定比重（3）把方案层对子准则层的比重、子准则层对准则层的比重及准则层对目标层的比重进行综合，最终确定方案层对目标层的比重 用层次分析法完成以上步骤，并给出决策结果接下来，一起为大家讲明该怎样比较同一层的各因素对其上一层因素的影响，确定在上层因素中所占的比值1.3.1成对比较矩阵和权向量假设要比较某一层个因素对上层一个因素的影响7，采用相对尺度进行两两对比，即一次取两个因素和，用表示和对的影响的比值，比较的结果可以用成对比较矩阵1其中，这种矩阵称为正互反矩阵3，如用依次表示经济性、舒适性和安全性三个准则，设某人用成对比较法得到的成对比较矩阵2为上述矩阵中，表示经济性与安全性对方案评价这个目标的重要性之比为可以看出，此人在方案评价中，首先考虑方案的经济性，其次是方案的舒适性，最后是方案的安全性仔细分析一下此成对比较矩阵可以发现，与之比为，与之比为，与之比为，由于，所以该成对比较并非完全一致的况且个因素要做的比较次数为，次数较多，若要求全部一致，太过于苛刻了所以， Saaty等人给出了一个在成对比较出现不一致的情况下运算各因素对因素的影响比重的方法，且确立了其不一致的允许区域为了讲明上面的问题，先看成对比较是完全一致的情况定义1 假如在一般情况下一个正互反阵满足： 则称为一致性矩阵，简称一致阵1性质1 一致阵的秩为1，且有唯一非零的特征根，且其任意一列向量都为对应着特征根非零的特征向量假如成对比较阵是一个一致阵，则应取对应特征根非零的、且归一化的特征向量（各个分向量的和为1）表示因素对其上一层因素的影响比重此向量叫做权向量假如成对比较阵不是一个一致阵，但它是在不一致的允许区域内，Saaty等人建议了用它的最大特征根的特征向量，进行归一化，作为权向量，则11.3.2最大特征根和特征向量的算法上面提及最大特征根和特征向量，接下来，本人将给大家介绍几种算法在高中已有接触过矩阵的特征根及特征向量的算法，在大学高等数学中也有继续深入的学习，当然数学专业的学生，还更进一步的通过高等代数学习这些内容通常的算法，是用定义计算矩阵的特征根和特征向量，这样的算法计算量比较大一点，特别是矩阵阶数较高的时候若有MATLAB，可以用其计算；若无，则尽量不要用定义计算，因为成对比较阵是比较粗糙的量化结果，对它作精确计算是没必要的，以下介绍了几种方法（1）幂法1基本步骤：任取维归一化的初始向量；计算；将归一化，即令；对于预先给定的误差精度，当时，就是所求的特征向量，否则返回这一步；算出最大特征根这是利用迭代方法求最大特征根对应特征向量可随意取，或着也可取由下面方法得到的结果（2）和法1基本步骤：把A的每一列向量都归一化得；对按行累加求和得；把归一化就是近似特征向量；算出，以此当做所求的近似值这个方法是把的列向量归一化后取它的平均值，当做的特征向量因为当是一个一致阵时，的任意一个列向量都是特征向量，所以若的不一致性不会那么严重，把列向量归一化的平均值作为近似的特征向量是可以的（3）根法1基本步骤与和法大致相同，只是将这一步改为对按行累加求积，并开次方，即根法实际上是把和法中求列向量的算术平均值换成求其几何平均值上述三个方法中，和法是最为简便的，用其解上述成对比较阵：1.3.3比较尺度当咱们在比较两个因素和对于一个上层因素的影响时，若和具有不同的性质，咱们采用Saaty等人提出的1-9尺度，即采用的取值范围是1，2，9和它们各自的倒数1，1/2，1/91，理由有两点：；一是心理学里面，人的记忆方块是，人们的判断能力也在中；二是Saaty曾用过27种比较尺度，将27种比较尺度进行对比，1-9尺度比较好1-9尺度的含义如表1-1所示 表1-1 尺度的含义尺度含义1和的影响相同3和的影响稍强5和的影响强7和的影响明显强9和的影响绝对强2，4，6，8和的影响之比在上述两个相邻等级之间 与的影响之比为上面的倒数1.3.4一致性检验定理2 阶正互反矩阵的最大特征根，当时，A才是一致阵定义2 ，Saaty将称作一致性指标8，是阶正互反阵的最大特征根1当时，是一致阵；越小，一致性程度越高；反之，越大，一致性程度越低由于的个特征根之和等于的迹，也就是对角线之和，因为，所以的个特征根之和等于，因此实际上是除了之外，剩余的个特征根的平均值定义3 ，Saaty将称作随机一致性指标其中是阶随机正互反矩阵的最大特征根的平均值，Saaty对不同的，用充分大的样本运算出的随机一致性指标的数值如表1-2所示表1-2 随机一致性指标的数值11234567891011000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 定义4 ，Saaty将称作随机一致性比率当时，则可认为该矩阵的不一致性程度在允许区域内刚才求解过上述成对比较阵，求得，则，所以，通过一致性检验，该可以作为权向量在学生宿舍设计方案的评价中，我们前面已经算出了准则层对目标层的权向量，把它记作咱们可以用同样的办法构造子准则层对各自的准则层的成对比较阵，还有方案层对每一个子准则层的成对比较阵在此为便于解题，先提出以下几个假设：假设四个设计方案的建设成本的单价是一致的；假设四个设计方案的运行成本的单价是一致的；假设四个设计方案的收费标准的单价也是一致的；假设每个地域风的动力因素和光照强度相差不多；假设每个地域的治安条件相差不多；假设四个设计方案里的寝室互不干扰咱们先来算子准则层对各自的准则层的成对比较阵，建设成本、运行成本和收费标准对经济性的成对比较阵为；人均面积、使用方便、互不干扰、采光通风对舒适性的成对比较阵为；人员疏散和防盗对安全性的成对比较阵为，经过比较得出、2分别如下 方案层对每一个子准则层的成对比较阵分别为，从四个方案的设计中能得出下表1-3所列的数据表1-3 方案设计数据4方案方案一方案二方案三方案四建筑面积877.35266022291886.64房间间数23553822学生人数184220228132寝室25.52526.952.5卫生间27.5417.2淋浴室27.54盥洗室27.5227.721.2夜间自习室27.7活动室（带电视房115.8简易餐厅、厨房；垃圾间；开水间46.636.7有无单独卫生间无有无有经过量化分析可得方案层对每一个子准则层的成对比较阵2分别如下：利用MATLAB分别求解以上成对比较阵的最大特征根和最大特征向量，并做一致性检验，得出结果如下表1-4表1-4 成对比较阵的求解数据成对比较阵最大特征根最大特征向量3.0183（0.0400，0.8380，0.1220）0.009150.580.01584.1031（0.0228，0.3173，0.5718，0.0881）0.034370.900.03822（0.1000，0.9000）0004.1053（0.0436，0.4089，0.3756，0.1718）0.03510.900.03904.0875（0.0189，0.6311，0.0674，0.2826）0.02920.900.03244.1742（0.0246，0.6929，0.1749，0.1076）0.05810.900.06454.1046（0.0132，0.0546，0.2198，0.7124）0.03490.900.03874.1032（0.0187，0.5961，0.0945，0.2907）0.03440.900.03824.1431（0.0194，0.6881，0.1276，0.1649）0.04770.900.05304.1074（0.5782，0.0750，0.3445，0.0022）0.03680.900.03984.0145（0.0600，0.0280，0.2307，0.6813）0.00480.900.00534.1752（0.7253，0.0402，0.0521，0.1825）0.05840.900.06491.3.5组合权向量及组合一致性检验组合权向量即为计算某一层次的所有因素对于总目标的权重，这个过程是从最高层到最底层逐层实现的设共有层，第一层只有一个因素，第二层有个，第三层有个.第层有个记第二层对第一层的权向量为，记第三层对第二层的权向量为，将作为列向量构造矩阵那么第三层对第一层的组合权向量就是，因此可得第层对第一层的组合权向量为，即当然也要对组合权向量进行一致性检验，与组合权向量一样，检验也是从最高层到最低层依次进行的记第三层的一致性指标为，则同理可得随机一致性指标为，做如下定义，则第三层的组合权向量的随机一致性比率为一般的，则第层的组合权向量的随机一致性比率为当时，第层通过组合权向量的随机一致性检验显然第层对第一层的组合权向量的随机一致性比率为，当时，认为整个层次有满意的一致性在宿舍设计方案的评价问题中，根据上述内容计算组合权向量及一致性比率第三层对第一层的组合权向量是其中子准则层只有各自准则层相连接，记无直接相连的为0，因此，则通过MATLAB计算得 一致性比率第四层对第一层的组合权向量是其中则通过MATLAB计算得 一致性比率，通过组合一致性检验，因此组合权向量可当作最后的决策依据据此，可以知道方案二是最优的选择1.3.6层次分析法的基本步骤在实际生活中用层次分析法进行决策时，大致可以按照以下4个步骤1（1）建立层次结构模型对问题进行深入的分析之后，先把问题中包含的因素划分为若干不同的层次，可用程序框图的形式说明层次各结构之间的从属关系若遇到类似上述问题，可将某层次进一步分解为若干子层次（2）构造成对比较矩阵成对比较矩阵中的元素的值反映的是两个因素之间重要性的比率，一般利用数字19和它的倒进行标度对某一层次的各因素关于其上一层次中的某一因素的重要性进行两两比较，从而构造成对比较矩阵（3）权向量及其一致性检验通过求解成对比较矩阵的特征根以及特征向量，经过归一化处理后就是某一层次的各因素对于上一层次某因素的重要性的权值，称为权向量，并对其进行一致性检验（4）组合权向量及其一致性检验进行组合权向量的计算，这一过程是由高层次到低层次逐层进行的，并进行一致性检验2 层次分析法的应用2.1葡萄酒的评价2.1.1问题重述某公司要对葡萄酒进行质量评价，聘请了一批有资质的评酒员进行品评共有四个样品酒，各个品酒员都对其进行品评，主要主要考虑以下因素（1）外观分析；（2）香气分析；（3）口感分析；（4）整体分析其中外观分析包括澄清度、色调；香气分析包括香气纯正度、香气浓度、香气质量；口感分析包括口感纯正度、口感浓度、口感持久性、口感质量请根据表2-1样品评价具体数据，利用层次分析法对这四种样品进行评价表2-1 样品评价具体数据3总分：100干白品种品酒员1品酒员2品酒员3品酒员4品酒员5项目满分酒样品26外观分析5澄清度434441510色调68888香气分析6纯正度55555308浓度7688816质量1410141216口感分析6纯正度44546448浓度766688持久性7666822质量1310161319整体评价118810911酒样品5外观分析5澄清度4123210色调64666香气分析6纯正度635458浓度7476716质量1410141214口感分析6纯正度424258浓度727468持久性7465622质量1910161019整体评价111071089酒样品4外观分析5澄清度3343410色调66868香气分析6纯正度545458浓度6774616质量1414141012口感分析6纯正度344458浓度676668持久性7767622质量1616161316整体评价119910892.1.2问题求解 （1）建立适合该问题的层次结构模型，如图2-1所示目标层A样品评价外观分析香气分析口感分析整体评价爱准则层B子准则层C感质量感浓度感持久度感纯正度香浓度香质量香纯正度色调澄清度方案层D酒样品5酒样品26酒样品4 图2-1 葡萄酒评价的层次结构图 （2）根据所给数据将准则层的四个因素进行两两比较，构造准则层对目标层的成对比较矩阵，进行一致性检验，并求其权向量其成对比较矩阵为经MATLAB计算可得的最大特征值为4.01044，因此不是一致阵，需要进行一致性程度检验，据表2可知，因此则成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量（3） 构造子准则层对各自准则层的各因素的成对比较矩阵，进行两两比较，于是可得子准则层对于各自准则层的每一准则的成对比较阵分别为： 对于上述每个矩阵进行一致性检验，并求得相应的权向量对于：可求得最大特征值为2，故为一致性矩阵，利用MATLAB可求得权向量 对于：可求得最大特征值为3.0183，查表2可知，所以 这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为4，故为一致性矩阵，利用MATLAB可求得权向量同理构造方案层对各子准则层的各因素的成对比较矩阵，根据表2-1进行两两比较表2-1 评价均值样品26样品5样品4外观分析澄清度3.82.43.4色调7.65.66.8香气分析纯正度54.64.6浓度7.46.26质量13.212.812.8口感分析纯正度4.63.44浓度6.65.26.2持久性6.65.66.6质量14.214.815.4平衡/整体评价9.28.89于是可得方案层对于子准则层的每一准则的成对比较阵分别为： 对于上述每个矩阵进行一致性检验，并求得相应的权向量对于：可求得最大特征值为3.0092，查表1-2可知，所以 这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量 对于：可求得最大特征值为3.0026，查表1-2可知，所以 这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3，故为一致性矩阵，利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3.1356，查表1-2可知，所以 这说明成对比较矩阵的不一致程度是不可以接受的需要对进行调整，将调整为对于：可求得最大特征值为3.0940，查表1-2可知，所以 这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量 对于：可求得最大特征值为3，故为一致性矩阵，利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3.0385，查表1-2可知，所以这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3.0055，查表1-2可知，所以这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3.5608，查表1-2可知，所以这说明成对比较矩阵的不一致程度是不可以接受的需要对进行调整，将调整为对于：可求得最大特征值为3.0536，查表1-2可知，所以 这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3.0385，查表1-2可知，所以 这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3.0037，查表1-2可知，所以这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量（4） 求各样品的组合权向量，先求第三层对第一层的组合权向量，再求第四层对第一层的组合权向量，并进行组合一致性检验第三层对第一层的组合权向量是其中子准则层只有各自准则层相连接，记无直接相连的为0，因此，则通过MATLAB8计算得 一致性比率第四层对第一层的组合权向量是其中则通过MATLAB计算得 一致性比率，通过组合一致性检验，因此组合权向量可当作最后的决策依据据此，可以知道方案三即样品4是最优的用所有平均分加起来，分数最高的是样品26，但是用层次分析法所得最优的是样品4虽然样品26与样品4分数差不多，但是比重不同，因此最后综合得到的最优方案不同2.2工作单位的选择2.2.1问题重述某人现有3个工作单位可供选择，倘若此人选择工作单位时主要考虑以下因素：（1）对此的感兴趣程度；（2）单位未来的发展前景；（3）单位工资待遇；（4）单位所处的位置；（5）进一步深造的机会请收集4个单位的相关信息，并根据此人对（1）（5）准则的重视程度，确定这3个工作单位的优先顺序，帮他确定令他最满意的工作单位12.2.2问题求解（1） 建立适合该问题的层次结构模型，如图3所示单位选择目标层A 兴趣程度发展前景所处位置工资待遇深造机会准则层B 方案层C单位三单位一单位二 图3 单位选择的层次结构图（2）将准则层的五个因素进行两两比较，构造准则层对目标层的成对比较矩阵，进行一致性检验，并求其权向量其成对比较矩阵为经MATLAB计算可得的最大特征值为5.12275，因此不是一致阵，需要进行一致性程度检验，据表1-2可知，因此则成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量（5） 构造方案层对每一准则层的各因素的成对比较矩阵，进行两两比较，于是可得方案层对于准则层的每一准则的成对比较阵分别为： 对于上述每个矩阵进行一致性检验，并求得相应的权向量对于：可求得最大特征值为3.0246，查表1-2可知，所以这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量 对于：可求得最大特征值为3.0037，查表1-2可知，所以这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3，故为一致性矩阵，利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3.0858，查表1-2可知，所以这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量对于：可求得最大特征值为3.0385，查表1-2可知，所以这说明成对比较矩阵的不一致程度是可以接受的利用MATLAB可求得权向量 （4）求各方案层的组合权向量，并进行组合一致性检验第三层对第一层的组合权向量是其中，则通过MATLAB计算得 一致性比率，通过组合一致性检验，因此组合权向量可当作最后的决策依据据此，可以知道方案三即单位三是最优的，最令他满意的单位3 总结 在生活中，从衣食住行的选择，到棘手事情的处理，无一不需要决策的当朋友做决策犹豫不决时，一般都会让他们先思考，得出一个顺序性，再进行比较，最终确定要做的事情，这归根结底就是利用了层次分析法的原理在各行各业中随处可见层次分析模型的身影，这充分体现了层次分析模型的实用性、必要性掌握好层次分析法，必将使你受益匪浅参考文献1 姜启源.数学模型M.北京：高等教育出版社，1993,249-265.2 庞梅，叶超，张德煜.2