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2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 1 交流电机数学模型与坐标变换交流电机数学模型与坐标变换 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 2 一、特点一、特点 直流电机：直流电机： 1 1个输入量个输入量: 电枢电压电枢电压 1 1个输出量个输出量: : 转速转速 动态方程可描述为单变量的三阶线性方程动态方程可描述为单变量的三阶线性方程 用经典控制理论用经典控制理论 异步电机：异步电机： （1）多变量、强耦合系统）多变量、强耦合系统 U/f 控制控制 即有即有U、f 两种独立输入变量（也有两种独立输入变量（也有i、f） 输出输出n、（控制（控制，在动态过程中保持恒定），在动态过程中保持恒定） U(或或 i )、f、n相互影响相互影响 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 3 （2）非线性）非线性 转矩转矩 t = i 旋转感应电势旋转感应电势 e = = n 各量同时变化，模型中有两个变量的乘积，不考虑磁饱和，也为非线性各量同时变化，模型中有两个变量的乘积，不考虑磁饱和，也为非线性 （3）高阶系统）高阶系统 定子定子3个绕组，转子个绕组，转子3个绕组（均有电磁惯性）个绕组（均有电磁惯性） 运动机电惯性运动机电惯性 至少为至少为7阶系统阶系统 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 4 二二、三相异步电机的数学模型三相异步电机的数学模型 假定：假定： 无空间谐波，三相绕组对称，磁动势沿气隙圆周按正弦分布；无空间谐波，三相绕组对称，磁动势沿气隙圆周按正弦分布； 忽略磁路饱和、各自感、互感都恒定；忽略磁路饱和、各自感、互感都恒定； 忽略铁心损耗；忽略铁心损耗； 不考虑频率和温度对绕组电阻的影响；不考虑频率和温度对绕组电阻的影响； 将电机转子均等效为绕线式转子，并折算至定子侧，折算将电机转子均等效为绕线式转子，并折算至定子侧，折算 后每相绕组匝数均相等。后每相绕组匝数均相等。 三相异步电机的物理模型三相异步电机的物理模型 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 5 （1 1）电压方程）电压方程 A AA1 d ui R dt 1 B BB d ui R dt 1 C CC d ui R dt 2 a aa d ui R dt 2 b bb d ui R dt 2 c cc d ui R dt URIp 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 6 (2)(2)磁链方程磁链方程 磁通：互感磁通、漏磁通磁通：互感磁通、漏磁通 互感：互感： ( (与与定子一相绕组交链的最大互感磁通相对应定子一相绕组交链的最大互感磁通相对应) ) AA AAABACAaAbAc BBBABBBCBaBbBc CCCACBCCCaCbCc aAaBaCaaabacaa bAbBbCbabbbcbb cAcBcCcacbcc cc iLLLLLL iLLLLLL iLLLLLL LLLLLLi LLLLLLi LLLLLLi 漏感：漏感： 定子漏感定子漏感Ll1 转子漏感转子漏感L Ll2 各相对称、漏感值相等各相对称、漏感值相等 定子互感定子互感Lm1 转子互感转子互感Lm2 ( (与转 与转子一相绕组交链的最大互感磁通相对应子一相绕组交链的最大互感磁通相对应) ) 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 7 Lm1=Lm2 Lab=Lbc=Lca=Lba=Lcb=Lac=-Lm1/2 折算后的定转子匝数相等，磁阻相等折算后的定转子匝数相等，磁阻相等 LAA=LBB=LCC=Lm1+Ll1 Laa=Lbb=Lcc=Lm1+Ll2 (a) 定子三相定子三相彼此之间，转子三相之间彼此间的位置固定，故为常值彼此之间，转子三相之间彼此间的位置固定，故为常值 (b) 定子定子任一相与转子任一相间位置总是变化，为任一相与转子任一相间位置总是变化，为的函数的函数 两相间互感：两相间互感： (a)类类：LAB=Lm1cos120=-Lm1/2 LAC=Lm1cos(-120)=-Lm1/2 故故: LAB=LBC=LCA=LBA=LCB=LAC=-Lm1/2 (b)类类： LAa=LaA=LBb=LbB=LCc=LcC=Lm1cos LAb=LbA=LBc=LcB=LCa=LaC=Lm1cos(120) LAc=LcA=LBa=LaB=LCb=LbC=Lm1cos(-120) 自感：自感：( (对应互感磁通对应互感磁通+ +漏磁磁通）漏磁磁通） 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 8 SSSSSr rrSrr r ILL LLI 1111 1111 1111 /2/2 /2/2 /2/2 mlmm SSmmlm mmml LLLL LLLLL LLLL 1211 1121 1112 /2/2 /2/2 /2/2 mlmm rrmmlm mmml LLLL LLLLL LLLL 1 coscos(120 )cos(120 ) cos(120 )coscos(120 ) cos(120 )cos(120 )cos T rSSrm LLL 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 9 变压器电动势变压器电动势 旋转电动势旋转电动势 （3）运动方程）运动方程 恒转矩负载时，恒转矩负载时，D=K=0 pn极对数，极对数，D阻转矩阻尼系数，阻转矩阻尼系数，K扭转弹性转矩系数扭转弹性转矩系数 () dIdL URIp LIRILI dtdt dIdL RILI dtd el nnn J dDK TT pdtpp el n J d TT pdt 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 10 （4）转矩方程）转矩方程 磁场储能磁场储能 11 22 TT mm WWII LI 0 11 22 0 Sr TT enn rS L L Tp IIp II L . . mm en i Constm i Const WW Tp m n p 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 11 Te = pnLm1(iAia+iBib+iCic)sin+ (iAib+iBic+iCia)sin(+120) + (iAic+iBia+iCib) sin(-120) 式中式中i为瞬时值，适用变频器供电的三相异步电机系统为瞬时值，适用变频器供电的三相异步电机系统 （5）数学模型）数学模型 dIdL URILI dtd eL n J d TT pdt d dt , I T I代入代入 , ,可得可得 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 12 三、三、坐标变换坐标变换 由直流电机模型而来由直流电机模型而来 交流电机：交流电机： 电枢绕组电枢绕组 补偿绕组补偿绕组 励磁绕组励磁绕组 控制十分方便控制十分方便 三相交流三相交流 二相交流二相交流 旋转直流旋转直流 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 13 1. .三相三相-二相变换（二相变换（3/2变换）变换） A、B、C 、0 N2i=N3iA-N3iBcos60-N3iCcos60 = N3(iA-iB/2-iC/2) 变换前后总功率不变，可证明：变换前后总功率不变，可证明： 3 2 0 11 1 22 33 0 22 A B C ii N ii N i i KKK 3 2 2 3 N N 2 3BC 3 =( - ) 2 N iN ii 总功率不变，需变换矩阵为正交矩阵（矩阵的逆与转置相等）总功率不变，需变换矩阵为正交矩阵（矩阵的逆与转置相等） 1 2 K 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 14 变换矩阵：变换矩阵： 32： 23： 相功率相功率 ，相数，相数32，总功率，总功率P2=P3 23 3 2 pp 3/2 11 1 22 233 0 322 111 222 C 2/3 1 10 2 2131 3222 131 222 C 电压变换矩阵、电流变换矩阵、磁链变换矩阵均相等电压变换矩阵、电流变换矩阵、磁链变换矩阵均相等 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 15 2. .二相（静止）二相（静止）二相（旋转）变换（二相（旋转）变换（2S/2r变换）变换） 、 M、T i1 在在M、T上分量不变上分量不变 在在、上上 分量随时间而变分量随时间而变 同步速同步速 cossin sincos M T ii ii 1 2 /22 /2 cossin sincos SrrS CC 0 0 cossin0 sincos0 001 M T ii ii i i 变换矩阵变换矩阵C2r/2S 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 16 四四、异步电机在二相坐标上的数学模型、异步电机在二相坐标上的数学模型 1.1.异步电机在二相任意速旋转坐标系上的数学模型异步电机在二相任意速旋转坐标系上的数学模型 过程：过程： Lm：dq坐标系定子、转子同轴等效绕组间互感坐标系定子、转子同轴等效绕组间互感 A、B、C 3/2 、 2S/2r d、q mm1 3 2 LL(其中其中3/2为为 2 2 相取代相取代 3 相而引起相而引起) LS：dq，定子等效绕组自感，定子等效绕组自感 LS=Lm+Ll1 Lr：dq，转子等效绕组自感，转子等效绕组自感 Lr=Lm+Ll2 磁链方程磁链方程 d1d1 sm q1q1 sm d2d2 mr q2q2 mr 00 00 00 00 iLL iLL iLL iLL d1s d1m d2 q1s q1m q2 d2m d1r d2 q2m q1r q2 LiL i LiL i L iLi L iLi 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 17 电压方程电压方程 11 11111 11 11111 1221222 1212222 dd SSmm qq SSmm mmrrdd mmrrqq ui RL pLL pL ui LRL pLL p L pLRL pLui LL pLRL pui p=11(dq相对定子相对定子) 12(dq相对转子相对转子) d11 d1d111q1 q11 q1q111d1 d22 d2d212q2 q22 q2q212d2 uRip uRip uR ip uR ip 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 含 R 项为电阻压降电阻压降 含 Lp 项为电感压降，即变压器电动势变压器电动势 含 项为旋转电动势旋转电动势 d1d1d1 1sm q1q1q1 1sm d2d2d2 2mr q2q2q2 2mr d1 11 q 11 22 22 00000 00000 00000 00000 000 000 000 000 uiiRL pL p uiiRL pL p uiiRL pL p uiiRL pL p 1 d2 q2 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 T d1q1d2q2 Uuuuu T d1q1d2q2 Iiiii T d1q1d2q2 1 1 2 2 000 000 000 000 R R R R R R sm sm mr mr 00 00 00 00 LL LL LL LL L L 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 旋转电动势向量旋转电动势向量 d1 11 q1 11 r d2 12 q2 12 000 000 000 000 e e 异步电机非线性动态电压方程异步电机非线性动态电压方程 r UIpIRLeRLe L I 11 11 22 22 00 00 00 00 dd Sm qq Sm mrdd mrqq i LL i LL LLi LLi 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 21 运动方程运动方程 T e = TL J/pn d/dt 电机转子角速度电机转子角速度 =11-12 T e = pnLm(iq1id2-id1iq2) 等效电路等效电路 11q1 12q2 id1 ud1 R1 id2 Ll1p Ll2p Lm ud2 pd1 pd2 R2 d d轴轴: : 11d1 iq1 uq1 R1 iq2 Ll1p Ll2p Lm uq2 pq1 pq2 12d2 R2 q q轴轴: : 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 22 多变量控制结构多变量控制结构 特点：特点： (a) 双输入双输入 电压矢量电压矢量 、dq 转速转速 11 U 双输出双输出 磁链矢量磁链矢量 、转子转速、转子转速 状态变量：电流矢量状态变量：电流矢量 (b) 非线性：旋转电动势非线性：旋转电动势 f(e)、电磁转矩、电磁转矩 f(t) (c) 多变量耦合关系：旋转电动势多变量耦合关系：旋转电动势 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 23 2.2.在在、坐标系上的数学模型坐标系上的数学模型 11=0 d、q 、 12= - 11 11 22 22 00 00 00 00 Sm Sm mr mr i LL i LL LLi LLi 11 1 11 1 222 222 00 00 Sm Sm mmrr mmrr ui RL pL p ui RL pL p L pLRL pLui LL pLRL pui 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标变换 24 代入转矩表达式代入转矩表达式 11 11 22 22 cossin00 sincos00 00cossin 00sincos d q d q ii ii ii ii 1212 () enm Tp L i ii i 得：得： T e = pnLm(iq1id2-id1iq2) = TL J/pn d/dt 交流电机调速理论与方法交流电机调速理论与方法 浙江大学电气工程学院浙江大学电气工程学院 2017/9/24 交流电机数学模型与坐标