2014年数学建模折叠桌问题解决.doc

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 16045007 所属学校（请填写完整的全名）： 新乡学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王世霄 2. 夏美玲 3. 任正通 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 毛新娜 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：平板折叠桌的合理化设计摘 要因为桌子在折叠过程中会出现三角形，三角形具有良好的稳定性，所以我们利用三角形的相关性质来对问题进行分析求解。对于问题1，假设木条的正中间位于圆上，平铺时，链接木条中间与圆心，利用勾股定理得到最长的木条为52.194cm, 利用MATLAB软件进一步得到每根木条的长度，从外到中间，由对称性，所以分别为：52.1938，46.8304，43.4641，41.0016，39.1209，37.6743，36.5813，35.7939，35.2829，35.0313；折叠成桌子时，以最短木条为例，将最短木条与最长木条平移到同一平面上，过木条的交点做上下平面的垂线，得到相似三角形，由已知数据利用勾股定理得到折叠时钢筋到桌边缘的长度为26.8072cm，将木板平展时即可得到钢筋到桌边缘的长度8.9031，两者的差值即为木条开槽的长度17.8728cm,利用相似方法得到从边缘到中间的开槽长度：0，4.3565，7.6637，10.3685，12.5926，14.3930，15.8031，16.8445，17.5314，17.8728；建立合理的坐标系，将相交的木条平移到同一平面上，过折叠时木条的边缘做过钢筋的平面垂线的平行线，得到相似三角形，利用相似可求得每根木条边缘中间的空间坐标，依次求出所有坐标，利用MATLAB软件拟合，得到木条边缘线的空间形状。对于问题二，当钢筋位于木条中间，不同朝向的木条数相等，且最短木条与最长木条关于过钢筋的垂线对称时，其稳定性最好。将木条截面视为正方形，在保证木条数为偶数的前提下，分别设木条的宽度为2.5cm，4cm，5cm，利用第一问的方法计算出他们尺寸，和木条开槽长度，通过比较选出最佳的木条尺寸为：木条宽度为4cm时，其尺寸为：167.949 cm 80 cm 4 cm，从边缘到中间木条长度分比为：71.4845，62.9032，57.5170，53.5771，50.5679，48.2533，46.5045，45.2447，44.4271，44.0245。开槽长度从边缘到中间为0，4.3565，6.9838，8.9538，10.4584，11.6157，12.4901，13.1200，13.5288，13.7301。 对于问题三，根据客户的实际要求，建立合理空间直角坐标平面，根据桌角函数，结合高度，可求得不同边缘的坐标。取特殊情况，即桌面为圆形，根据高，利用MATLAB编写相应的程序，可以得到不同高度，桌面函数的折叠桌动态图。关键词：平板折叠桌 相似三角形 勾股定理 MATLAB软件 拟合 1问题的重述某公司生产的一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有保证滑动自由度的空槽。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。1. 已知给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。则需建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，并给出此折叠桌的设计加工参数，如：桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线的数学描述。2. 为使折叠桌达到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，可以得到长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。3. 为公司开发一种折叠桌设计软件，使其可根据客户需求，如：任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。同时设计出自己的平板卓，并画出至少8张动态变化过程的示意图。2问题的分析某公司生产的桌面呈圆形的折叠桌，由若干木条组成，因此在折叠过程中就会形成相似三角形，因此我们可以应用三角形的相关性质。对于问题一，已知长方形木板的尺寸以及每根木条的宽度为2.5cm,将木板铺平利用勾股定理先求出最外侧木条的长度。又每根木条的宽度一定，通过找规律可以得每条木条腿的长度。此时可以将交叉的木条移动同一平面上，利用直角三角形可求出折叠时，钢筋所在位置到桌子边缘的距离。平铺时，连接桌腿的钢筋固定在最外侧木条的中心位置，可求出钢筋到桌面边缘的距离，两者的差值即为木条的开槽长度，再利用相同方法，得到一个通式，进而得到每根木条的开槽长度。最后建立合理的坐标系，求出每根木条的边缘的空间坐标，利用拟合，即可得到桌角边缘的空间表示图像。对于问题二，先对稳固性，加工方便，用材多少进行分析，确定钢筋的位置，然后对每根木条的宽度和厚度进行不同的假设，最后通过比较选出相对较好的方案。对于问题三，首先以折叠桌的桌面为参考面，以桌面的重心为原点，建立平面坐标系，可得到相应的桌面边缘线的对应函数，由桌面边缘线的方程即可求出折叠桌面不同地方的坐标，再以过桌面重心的垂线为轴，可得到关于桌角边缘线的函数表示，再根据桌角边缘线和折叠桌的高度等利用勾股定理可求得材料的相应尺寸。另一方面将桌面理解为一个圆形，并且木条的宽度为问题二中的合理宽度，结合问题二的过程可得到相应的MATLAB程序，从而可根据不同因素要求，得到不同高度，直径的动态的折叠桌。3模型的假设与符号说明31 假设 为方便解决问题取得最优解设立了以下假设。（1）设木条的正中间位置位于圆上。（2）木条之间连接紧密，没有缝隙。（3）木条的材质良好，持久耐用。（4）穿在木条间的钢筋不会变形弯曲。（5）木条的开槽绝对光滑，不会出现滑动受阻情况。（6）钢筋的尺寸可以忽略不计。32 符号说明木条的根数最边上的木腿长 从外到中间第根的木腿长从外到中间第根木条开槽长度平展时钢筋到桌边缘的距离从边缘到中间的木条编号 木条不同厚度下的总长度折叠桌的高度4模型的建立与求解4.1问题1的模型建立与求解 首先已知给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，由相关资料得知木板的宽即为圆的直径1，故需要的木条数，又由假设木条的正中间位于圆上，由勾股定理2可知折叠桌的最边上的腿长为： （1）通过观察找到规律： （2）利用MATLAB编程（见附录一）得到每根木腿的长度如表1 表1 对称的木条的长度52.193846.830443.464141.001639.120937.674336.581335.793935.282935.0313以最短的木条为例则与最长的木条构成了相似三角形，如图1 DEFGCBIJA图1则的长即为最长的木条的长度为52.1938cm，点为中点，证明可得，由于题中要求桌高53cm，而桌的厚度为3cm，故最长木条在桌面下边缘和地面的高度为50cm，由勾股定理可得到： （3）AC的长度即为长木条的上边缘到短木条的上边缘距离为： （4）又 （5）折叠时钢筋到桌子边缘的长度为：。当桌子平展成平板时，因为钢筋位于最长木条的中间，此时钢筋所在的位置到桌子折叠边缘的长度为最短木条最长木条一般的差值： （6）则最短的木条的开槽 （7）同理可求出木条的开槽长： （8）利用MATLAB软件（附录二）可得到开槽长如表2 表2 对称的木条的开槽长度04.35657.663710.368512.592614.393015.803116.844517.531417.8728如图1 所示，桌子折叠时，木条的边缘在上平面的投影为,利用相似三角形可得： （9）以最短的木条为例，可得 （10）解得： 以地面为参考面，以桌面平展时宽的中间连线为轴，以长边的中间连线为轴，以过圆心的垂线为轴，如图2 所示 图2则的值从轴负半轴到正半轴的的木条的边缘值为：x=-23.75，-21.25，-18.75，-16.25，-13.75，-11.25，-8.75，-6.25，-3.75，-1.25，1.25，3.75，6.25，8.75，11.25，13.75，16.25，18.75，21.25，23.75则的值从轴正半轴到负半轴的的木条的边缘值为：y=-22.7793，-19.4000，-15.5268，-13.5588，-12.5984，-12.198，-12.0996，-12.1429，-12.2304，-12.3037，-12.3037，-12.2304，-12.1429，-12.0996，-12.1986，-12.5984，-13.5588，-15.5268，-19.4000，-22.7793则的值从轴负半轴到正半轴的的木条的边缘值为：z=0，1.6390，5.0031，8.0730，10.6908，12.8337，14.5243，15.7968，16.6804，17.3303，17.3303，16.6848，15.7968，14.5243，12.83337，10.6908，8.0730，5.0031，1.6390，0已知各木条的边缘空间坐标，则由MATLAB软件编程（附录三）通过拟合3可得下图：图34.2问题2的模型建立与求解稳定性分析：取折叠后的最短木条和最长木条于同一平面上，如图（3）：AFDCBE 图4 由受力分析可得，要使其稳固性最好，则,又因为在同一平面上，故可证明得到,即要求木条上边缘到钢筋的距离相等。为了保证每根木条的受力情况均匀分散，还应满足最短木条和最长木条间的对称木条数刚好配对，也即最短木条和最长木条包括期间的总木条数为偶数。加工方便分析：我们认为此折叠桌的主要工序，是木条的开槽，故要使加工方便，只要减少木条的数量即可。用材分析：桌子的用材主要体现在平板的厚度，和木板的长度上，要想用材最少，应满足最长木条的倾斜角度最优。另外由平行的相关性质分析得钢筋的位置并不影响最长木条与地面的夹角。当要求桌高为70cm,桌的直径为80cm时，考虑到节省材料，则令长木板的宽为80cm。由上面的稳定性分析，可将木条的宽度设为4cm,则木条的数量,由假设可知知木条的中间位于圆上，假设木板的长度为，可得到最长的腿的木条长为： （11）, （12） ，（13）过最长木条上边缘做垂线，如下图4 AFCBED 图5由于截面积太小时，钢筋穿过木条，最容易造成破坏，在木条的截面呈正方形时最合理，可得木板的厚度为4cm,可知： （14）令 （15） （16） （17）可得 木板的长为 其尺寸为：167.949 cm 80 cm 4 cm根据第一问的方法可得到每根木条的长度如下表3表3 对称的木条的长度71.484562.903257.517053.577150.567948.253346.504545.244744.427144.0245可得到每根木条的开槽长为，得到如下表4 表4 对称的木条的开槽长度04.35656.98388.953810.458411.615712.490113.120013.528813.7301由稳定性分析的，木条的根数必须为偶数，将木条的宽度设为2.5cm,此时,假设木板的长度为，可得到最长的腿的木条长为: （18） （19） （20）此时木板厚度为2.5cm，则可知 （21）令 （22） （23） （24）可得 木板的长为 其尺寸为：167.6238 cm 80 cm 2.5 cm可得到每根木条的长度如下表5表5 对称的木条的长度73.890366.902262.342458.843256.001253.630251.625949.923248.478747.261546.249545.433644.780744.303243.988143.8314可得到每根木条的开槽长为，得到如下表6 表6 对称的木条的开槽长度03.49415.77407.52368.944610.130111.132211.983612.705813.314413.820414.228414.554814.793614.951115.0295将木条的宽度设为5cm,此时假设木板的长度为，可得到最长的腿的木条长为: （25） （26） （27）此时木板厚度为5cm，则可知 （28）令 （29） （30） （31）可得 木板的长为 其尺寸为：164.285 cm 80 cm 5 cm可得到每根木条的长度如下表7 表7 对称的木条的长度68.223158.824153.095149.073146.173844.145842.852042.2207可得到每根木条的开槽长为，得到如下表8 表8 对称的木条的开槽长度04.69957.56409.57511.024712.038712.685613.0012对上述三个假设综合分析如下：木条宽度为4cm时，其木板体积为：开槽总长度为： 木条宽度为2.5cm时，其木板体积为：开槽总长度为： 木条宽度为5cm时，其木板体积为：开槽总长度为： 通过比较可得木条宽度和厚度为4cm时，相比之下所需的用材较少、加工方便、稳定性高。4.3问题3的模型建立与求解在该问题中，由折叠桌高度桌面边缘线的形状大小，桌角边缘线的大致形状可求出所需平板材料的形状尺寸，首先我们以桌面为参考面，以桌面的重心为原点，做平面直角坐标系，可用一函数表示桌面边缘线： （32）由桌面边缘线的方程即可求出折叠桌面不同地方的坐标，再以过桌面重心的垂线为轴，可得到关于桌角边缘线的函数表示： （33）当折叠桌的高度已知时，结合桌角边缘线和桌面边缘线的函数表达式，可得到空间中的各点坐标，再利用空间向量法和勾股定理即可得到材料的尺寸。另一方面，木条与地面的夹角必须小于，同时为了满足稳定性的要求，相交的木条必须关于钢筋的垂线对称。假设折叠桌的桌面为圆形，可得到相应的桌面边缘曲线，又高度已知，结合桌脚边缘曲线可得到相应的空间坐标，以问题二中得到的木条宽度为最优宽度，利用MATLAB软件可编写程序得到动态图，最终可求出相应的尺寸。下图是高度为50cm直径为50cm时的四张动态图（程序见附录四）：图6 图7 图8 图9 下图为高度为70cm,直径为50cm时的四张图（程序见附录五）：图10图11图12图135模型的推广与改进方向5.1在问题一的建模过程中主要利用了相似的三角形的相关性质，并且结合折叠和平铺的具体情况，进行了科学的分析，得出了合力的结果。5.2在问题二的求解过程中，如果可以结合角度进行分析，结果精确度将会进一步提高。6模型的优缺点6.1优点：6.1.1本模型避免了用三角函数进行计算，避免的计算的繁琐性。6.1.2模型假设木条的正中央位于圆上，这样可以对其波动进行评估。6.2不足：6.2.1在问题二的解决中，将木条的厚度和宽度直接设为了整数，误差相对比较大，但是保证了计算的方便性。6.2.2 在问题二的建模过程中，只考虑了木条总数为偶数的情况，情况单一。参考文献1 韩佳成，平板折叠桌，设计，2012年08期。2 周建伟，解析几何，北京.高等教育出版社。3 赵静 但琦， 数学建模与数学实验（第3版）， 北京：高等教育出版社，2008.1。附录注：以下程序均在MATLAB中运行。附录一：%每条木条的长度计算functionmypi=pifun(n)n=0:1:9;y=60-sqrt(60.9375-6.25*n.2+118.75*n);mypi=y 附录二：%每条木条的开槽长度计算functionf=fun(x)f=sqrt(44.7073-x)2+252)-(x-26.0969); 附录三：%桌角边缘曲线三维空间的拟合x=-23.75 -21.25 -18.75 -16.25 -13.75 -11.25 -8.75 -6.25 -3.75 -1.25 1.25 3.75 6.25 8.75 11.25 13.75 16.25 18.75 21.25 23.75;y=-22.7793 -19.4000 -15.5268 -13.5588 -12.5984 -12.1986 -12.0996 -12.1429 -12.2304 -12.3037 -12.3037 -12.2304 -12.1429 -12.0996 -12.1986 -12.5984 -13.5588 -15.5268 -19.4000 -22.7793 ;z=0 1.6390 5.0031 8.0730 10.6908 12.8337 14.5243 15.7968 16.6804 17.3303 17.3303 16.6848 15.7968 14.5243 12.83337 10.6908 8.0730 5.0031 1.6390 0;scatter3(x,y,z);hold on;plot3(x,y,z,r,linewidth,3);grid on;xlabel(X);ylabel(Y);zlabel(Z);附录四：%折叠桌的动态变化过程H=50;%宽D=50;%宽，圆桌面直径d=4;%木板宽hL=L/2;%半长R=D/2;%圆桌面半径ye=-R+d/2:d:R-d/2;%长条宽度方向中心位置xe=sqrt(R2-ye.2);%长条中心在圆上的位置legL=hL-xe;hH=legL(1)/2;%最长腿长度，也就是最大桌子高度ddeg=2;%角度增量Tx=xe-xe;xe-xe;Tx=Tx(:);Tz=zeros(size(Tx);Ty=ye-d/2fliplr(ye)+d/2;ye+d/2fliplr(ye)-d/2;%桌面数据Ty=Ty(:);legx=hL*ones(size(xe);hL*ones(size(xe);xe;xe;%桌腿数据legy=ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2;legz=zeros(size(legx);zhoux=hL-legL(1)/2;hL-legL(1)/2;zhouy=-RR;zhouz=0;0;%轴数据yb=linspace(ye(1),ye(end),50);xb=sqrt(R2-yb.2);Bx=hL*ones(size(xb);By=yb;Bz=zeros(size(xb);figure(1),clf;holdonh1=patch(Tx,Ty,Tz,facecolor,001,edgecolor,111);h2=patch(legx,legy,legz,facecolor,001,edgecolor,111);h3=patch(-legx,legy,legz,facecolor,001,edgecolor,111);h4=plot3(zhoux,zhouy,zhouz,c);h5=plot3(-zhoux,zhouy,zhouz,c);h6=plot3(Bx,By,Bz,r);h7=plot3(-Bx,By,Bz,r);holdoff;view(3);axisequal;axis(-hLhL-RR02*hH);axisoff;fordeg=0:ddeg:75%最长条桌腿相对桌面折叠角度zz=-hH*sind(deg);%轴相对桌面高度xz=xe(1)+hH*cosd(deg);%轴横坐标alldeg=atan2(-zz*ones(size(xe),xz-xe);%每个条腿折叠角度allx=legL.*cos(alldeg)+xe;%每条腿末端x坐标allz=-legL.*sin(alldeg);%每条腿末端z坐标alldeg2=atan2(-zz*ones(size(xb),xz-xb);Bx=(hL-xb).*cos(alldeg2)+xb;Bz=-(hL-xb).*sin(alldeg2);minz=min(Bz);%最小z坐标legx=allx;allx;xe;xe;%腿x数据legz=allz;allz;zeros(size(allz);zeros(size(allz)-minz;set(h1,ZData,-minz*ones(size(Tz);set(h2,XData,legx,ZData,legz);set(h3,XData,-legx,ZData,legz);set(h4,XData,xz;xz,ZData,zz;zz-minz);set(h5,XData,-xz;xz,ZData,zz;zz-minz);set(h6,XData,Bx,ZData,Bz-minz);set(h7,XData,-Bx,ZData,Bz-minz);pause(0.1);drawnow;end 附录五 %折叠桌的动态变化过程H=70;%宽D=50;%宽，圆桌面直径d=4;%木板宽hL=L/2;%半长R=D/2;%圆桌面半径ye=-R+d/2:d:R-d/2;%长条宽度方向中心位置xe=sqrt(R2-ye.2);%长条中心在圆上的位置legL=hL-xe;hH=legL(1)/2;%最长腿长度，也就是最大桌子高度ddeg=2;%角度增量Tx=xe-xe;xe-xe;Tx=Tx(:);Tz=zeros(size(Tx);Ty=ye-d/2fliplr(ye)+d/2;ye+d/2fliplr(ye)-d/2;%桌面数据Ty=Ty(:);legx=hL*ones(size(xe);hL*ones(size(xe);xe;xe;%桌腿数据legy=ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2;legz=zeros(size(legx);zhoux=hL-legL(1)/2;hL-legL(1)/2;zhouy=-RR;zhouz=0;